अध्याय 13 प्रायिकता अभ्यास 13.3
अभ्यास 13.3
1. एक बरतन में 5 लाल और 5 काली गेंद हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है, इसका रंग नोट किया जाता है और फिर बरतन में वापस डाल दी जाती है। इसके अतिरिक्त, निकाले गए रंग के दो अतिरिक्त गेंदें बरतन में डाल दी जाती हैं और फिर एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?
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बरतन में 5 लाल और 5 काली गेंद हैं।
मान लीजिए कि पहले प्रयास में एक लाल गेंद निकाली गई।
$\therefore P($ लाल गेंद निकालना $)=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
यदि दो लाल गेंद बरतन में डाल दी जाती हैं, तो बरतन में 7 लाल और 5 काली गेंद होती हैं।
$P( $ लाल गेंद निकालना $ ) =\dfrac{7}{12}$
मान लीजिए कि पहले प्रयास में एक काली गेंद निकाली गई।
$\therefore P$ (पहले प्रयास में काली गेंद निकालना) $=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
यदि दो काली गेंद बरतन में डाल दी जाती हैं, तो बरतन में 5 लाल और 7 काली गेंद होती हैं।
$P( $ लाल गेंद निकालना $)=\dfrac{5}{12}$
इसलिए, दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता है
$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{12}+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{12}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{7}{12}+\dfrac{5}{12})=\dfrac{1}{2} \times 1=\dfrac{1}{2}$
2. एक बैग में 4 लाल और 4 काली गेंद हैं, दूसरा बैग में 2 लाल और 6 काली गेंद हैं। दोनों बैगों में से एक बैग यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उस बैग से एक गेंद निकाली जाती है जो लाल निकलती है। लाल गेंद के पहले बैग से निकले होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
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मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ पहले बैग और दूसरे बैग के चयन के घटनाएं हैं।
$\therefore P(E_1)=P(E_2)=\dfrac{1}{2}$
मान लीजिए $A$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
$\Rightarrow P(A \mid E_1)=P($ पहले बैग से लाल गेंद निकालना $)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow P(A \mid E_2)=P($ दूसरे बैग से लाल गेंद निकालना $)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$
दिया गया है कि गेंद लाल है, तो पहले बैग से गेंद निकालने की प्रायिकता $P$ $(E_2 \mid A)$ द्वारा दी गई है।
बेयर्स प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} P(E_1 \mid A) & =\dfrac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{8}} \\ & =\dfrac{2}{3} \end{aligned} $
3. कॉलेज में छात्रों के बारे में जानकारी है कि 60% छात्र छात्रावास में रहते हैं और 40% दिन के छात्र हैं (छात्रावास में नहीं रहते हैं)। पिछले वर्ष के परिणाम रिपोर्ट करते हैं कि सभी छात्रों में से 30% छात्रावास में रहने वाले छात्र अपनी वार्षिक परीक्षा में A ग्रेड प्राप्त करते हैं और 20% दिन के छात्र अपनी वार्षिक परीक्षा में A ग्रेड प्राप्त करते हैं। वर्ष के अंत में, कॉलेज से एक छात्र यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उसे A ग्रेड है, तो छात्र के छात्रावास में रहने की प्रायिकता क्या है?
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मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ घटनाएं हैं जिनके अंतर्गत छात्र छात्रावास में रहते हैं और दिन के छात्र हैं क्रमशः और $A$ घटना वह है जिसमें चुने गए छात्र को A ग्रेड मिलता है।
$\therefore P(E_1)=60 %=\dfrac{60}{100}=0.6$
$P(E_2)=40 %=\dfrac{40}{100}=0.4$
$P(A \mid E_1)=P$ (A ग्रेड प्राप्त करने वाले छात्र छात्रावास में रहते हैं) $=30 %=0.3$
$P(A \mid E_2)=P($ A ग्रेड प्राप्त करने वाले छात्र दिन के छात्र हैं $)=20 %=0.2$
एक यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र के छात्रावास में रहने की प्रायिकता, जिसके अंतर्गत उसे A ग्रेड मिलता है, $P(E_1 \mid A)$ द्वारा दी गई है।
बेयर्स प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} P(E_1 \mid A) & =\dfrac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)} \\ & =\dfrac{0.6 \times 0.3}{0.6 \times 0.3+0.4 \times 0.2} \\ & =\dfrac{0.18}{0.26} \\ & =\dfrac{18}{26} \\ & =\dfrac{9}{13} \end{aligned} $
4. एक बहुविकल्पीय परीक्षा के प्रश्न का उत्तर देते समय, एक छात्र या तो उत्तर जानता है या अनुमान लगाता है। मान लीजिए $\dfrac{3}{4}$ वह प्रायिकता है जिसमें वह उत्तर जानता है और $\dfrac{1}{4}$ वह प्रायिकता है जिसमें वह अनुमान लगाता है। मान लीजिए एक छात्र जो उत्तर का अनुमान लगाता है, उत्तर के सही होने की प्रायिकता $\dfrac{1}{4}$ है। छात्र के उत्तर के सही होने के दिए गए अंतर्गत छात्र के उत्तर जानने की प्रायिकता क्या है?
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मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ क्रमशः विद्यार्थी के उत्तर जानता है और उत्तर अनुमान लगाता है इन घटनाओं को दर्शाते हैं।
मान लीजिए $A$ घटना है कि उत्तर सही है।
$\therefore P(E_1)=\dfrac{3}{4}$
$P(E_2)=\dfrac{1}{4}$
दिया गया है कि विद्यार्थी उत्तर जानता है, तो सही उत्तर देने की प्रायिकता 1 है।
$\therefore P(A \mid E_1)=1$
दिया गया है कि विद्यार्थी अनुमान लगाता है, तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $\dfrac{1}{4}$ है।
$\therefore P(A \mid E_2)=\dfrac{1}{4}$
दिया गया है कि विद्यार्थी उत्तर सही देता है, तो उत्तर जानता है इसकी प्रायिकता $P(E_1 \mid A)$ है।
बेयेस के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} P(E_1 \mid A) & =\dfrac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)} \\ & =\dfrac{\dfrac{3}{4} \cdot 1}{\dfrac{3}{4} \cdot 1+\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4}} \\ & =\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{16}} \\ & =\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{13}{16}} \\ & =\dfrac{12}{13} \end{aligned} $
5. एक प्रयोगशाला रक्त परीक्षण $99 %$ कुशल है एक निश्चित बीमारी के उपस्थिति में जब वास्तव में वह उपस्थित है। हालांकि, परीक्षण भी स्वस्थ व्यक्ति के लिए गलत धन नतीजा देता है $0.5 %$ (अर्थात यदि एक स्वस्थ व्यक्ति का परीक्षण किया जाता है, तो वह बीमारी के रूप में दिखाई देने की प्रायिकता 0.005 है)। यदि 0.1 प्रतिशत जनसंख्या वास्तव में बीमार है, तो एक व्यक्ति के बीमार होने की प्रायिकता क्या है जबकि उसका परीक्षण नतीजा धनात्मक है?
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मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ क्रमशः एक व्यक्ति के बीमार होने और एक व्यक्ति के बीमार नहीं होने की घटनाओं को दर्शाते हैं।
क्योंकि $E_1$ और $E_2$ एक दूसरे के पूरक घटनाएं हैं,
$\therefore P(E_1)+P(E_2)=1$
$\Rightarrow P(E_2)=1-P(E_1)=1-0.001=0.999$
मान लीजिए $A$ घटना है कि रक्त परीक्षण का नतीजा धनात्मक है।
$P(E_1)=0.1 %=\dfrac{0.1}{100}=0.001$
$P(A \mid E_1)=P($ नतीजा धनात्मक है जब व्यक्ति बीमार है $)=99 %=0.99$
$P(A \mid E_2)=P($ नतीजा धनात्मक है जब व्यक्ति बीमार नहीं है $)=0.5 %=0.005$
प्रतिशत ज्ञात करें कि एक व्यक्ति के रोग होने की संभावना, जबकि उसका परीक्षण परिणाम धनात्मक है, द्वारा $ P(E_1 \mid A) $ द्वारा दिया गया है।
बेयर्स के प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} P(E_1 \mid A) & =\dfrac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)} \\ & =\dfrac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99+0.999 \times 0.005} \\ & =\dfrac{0.00099}{0.00099+0.004995} \\ & =\dfrac{0.00099}{0.005985} \\ & =\dfrac{990}{5985} \\ & =\dfrac{110}{665} \\ & =\dfrac{22}{133} \end{aligned} $
6. तीन सिक्के हैं। एक दो चाला सिक्का (दोनों ओर चाला होता है), दूसरा एक विकृत सिक्का है जो 75% के समय चाला आता है और तीसरा एक अनुसूचित सिक्का है। तीनों सिक्कों में से एक यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उछाला जाता है, यह चाला दिखाई देता है, तो इसकी संभावना कि यह दो चाला सिक्का है क्या है?
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मान लीजिए $ E_1, E_2 $, और $ E_3 $ क्रमशः दो चाला सिक्का, विकृत सिक्का और अनुसूचित सिक्का के चयन के घटनाएं हैं।
$\therefore P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=\dfrac{1}{3}$
मान लीजिए $ A $ घटना है कि सिक्का चाला दिखाई देता है।
एक दो चाला सिक्का हमेशा चाला दिखाई देता है।
$\therefore P(A \mid E_1)=P($ सिक्का चाला दिखाई देता है, जबकि यह दो चाला सिक्का है $)=1$
चाला आने की संभावना, जबकि यह विकृत सिक्का है $=75 %$
$\therefore P(A \mid E_2)=P($ सिक्का चाला दिखाई देता है, जबकि यह विकृत सिक्का है $)=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$
तीसरा सिक्का अनुसूचित है, इसलिए इसकी संभावना कि यह चाला दिखाई देता है हमेशा $\dfrac{1}{2}$ होती है।
$\therefore P(A \mid E_3)=P($ सिक्का चाला दिखाई देता है, जबकि यह अनुसूचित सिक्का है $)=\dfrac{1}{2}$
सिक्का दो चाला होने की संभावना, जबकि यह चाला दिखाई देता है, $P(E_1 \mid A)$ द्वारा दी गई है।
बेयर्स के प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} P(E_1 \mid A) & =\dfrac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)+P(E_3) \cdot P(A \mid E_3)} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot 1}{\dfrac{1}{3} \cdot 1+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}} \\
& =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}(1+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2})} \\ & =\dfrac{1}{\dfrac{9}{4}} \\ & =\dfrac{4}{9} \end{aligned} $
7. एक बीमा कंपनी ने 2000 स्कूटर ड्राइवर, 4000 कार ड्राइवर और 6000 ट्रक ड्राइवर की बीमा की है। दुर्घटना की प्रायिकता क्रमशः $0.01, 0.03$ और 0.15 है। एक बीमा के व्यक्ति के दुर्घटना में शामिल होने के बाद, उसके स्कूटर ड्राइवर होने की प्रायिकता क्या है?
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मान लीजिए $E_1, E_2$, और $E_3$ क्रमशः वह घटना है जिसमें ड्राइवर एक स्कूटर ड्राइवर, एक कार ड्राइवर और एक ट्रक ड्राइवर है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें व्यक्ति एक दुर्घटना में शामिल हो जाता है।
2000 स्कूटर ड्राइवर, 4000 कार ड्राइवर और 6000 ट्रक ड्राइवर हैं।
कुल ड्राइवरों की संख्या $=2000+4000+6000=12000$
$P(E_1)=P($ ड्राइवर एक स्कूटर ड्राइवर है) $=\dfrac{2000}{12000}=\dfrac{1}{6}$
$P(E_2)=P$ (ड्राइवर एक कार ड्राइवर है) $=\dfrac{4000}{12000}=\dfrac{1}{3}$
$P(E_3)=P($ ड्राइवर एक ट्रक ड्राइवर है) $=\dfrac{6000}{12000}=\dfrac{1}{2}$
$P(A \mid E_1)=P($ स्कूटर ड्राइवर दुर्घटना में शामिल हो गया $)=0.01=\dfrac{1}{100}$
$P(A \mid E_2)=P($ कार ड्राइवर दुर्घटना में शामिल हो गया $)=0.03=\dfrac{3}{100}$
$P(A \mid E_3)=P($ ट्रक ड्राइवर दुर्घटना में शामिल हो गया $)=0.15=\dfrac{15}{100}$
दिया गया है कि ड्राइवर दुर्घटना में शामिल हो गया है, तो ड्राइवर के स्कूटर ड्राइवर होने की प्रायिकता $P(E_1 \mid A)$ द्वारा दी गई है।
बेयर्स प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} P(E_1 \mid A) & =\dfrac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)+P(E_3) \cdot P(A \mid E_3)} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{100}}{\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{100}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{15}{100}} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{100}}{\dfrac{1}{100}(\dfrac{1}{6}+1+\dfrac{15}{2})} \end{aligned} $
$ \begin{aligned} & =\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{104}{12}} \\ & =\dfrac{1}{6} \times \dfrac{12}{104} \\ & =\dfrac{1}{52} \end{aligned} $
8. एक कारखाने में दो मशीन A और B हैं। पिछले रिकॉर्ड के अनुसार, मशीन A ने आउटपुट के 60% आइटम उत्पन्न किए और मशीन B ने 40% आइटम उत्पन्न किए। इसके अतिरिक्त, मशीन A द्वारा उत्पन्न आइटम के 2% और मशीन B द्वारा उत्पन्न आइटम के 1% खराब थे। सभी आइटम एक स्टॉकपाइल में रखे गए और फिर इसमें से एक आइटम यादृच्छिक रूप से चुना गया और यह खराब पाया गया। यह खराब आइटम मशीन B द्वारा उत्पन्न होने की प्रायिकता क्या है?
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मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ मशीन $A$ और $B$ द्वारा उत्पादित आइटम के संबंधित घटनाएँ हैं। मान लीजिए $X$ घटना है कि उत्पादित आइटम खराब पाया गया।
$\therefore$ मशीन $A$ द्वारा उत्पादित आइटम की प्रायिकता, $P(E_1)=60 %=\dfrac{3}{5}$
मशीन $B$ द्वारा उत्पादित आइटम की प्रायिकता, $P(E_2)=40 %=\dfrac{2}{5}$
मशीन $A$ द्वारा उत्पादित खराब आइटम की प्रायिकता, $P(X \mid E_1)=2 %=\dfrac{2}{100}$
मशीन $B$ द्वारा उत्पादित खराब आइटम की प्रायिकता, $P(X \mid E_2)=1 %=\dfrac{1}{100}$
यदि यादृच्छिक रूप से चुनी गई आइटम खराब है, तो इसकी प्रायिकता कि यह मशीन $B$ द्वारा उत्पादित है, $P(E_2 \mid X)$ द्वारा दी गई है।
बेयेस के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
$ \begin{aligned} P(E_2 \mid X) & =\dfrac{P(E_2) \cdot P(X \mid E_2)}{P(E_1) \cdot P(X \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(X \mid E_2)} \\ & =\dfrac{\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{100}}{\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{100}+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{100}} \\ & =\dfrac{\dfrac{2}{500}}{\dfrac{6}{500}+\dfrac{2}{500}} \\ & =\dfrac{2}{8} \\ & =\dfrac{1}{4} \end{aligned} $
9. एक कंपनी के बोर्ड ऑफ डायरेक्टर के पद के लिए दो समूह प्रतियोगिता कर रहे हैं। पहले और दूसरे समूह के प्रतियोगिता जीतने की प्रायिकता क्रमशः 0.6 और 0.4 है। इसके अतिरिक्त, यदि पहले समूह जीतता है, तो नए उत्पाद के प्रोमोट करने की प्रायिकता 0.7 है और दूसरे समूह जीतता है तो इसकी प्रायिकता 0.3 है। नए उत्पाद के प्रोमोट करने की प्रायिकता कि यह दूसरे समूह द्वारा किया गया है, ज्ञात कीजिए।
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मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ पहले समूह और दूसरे समूह के प्रतियोगिता जीतने की घटनाएँ हैं। मान लीजिए $A$ नए उत्पाद के प्रोमोट करने की घटना है।
$P(E_1)=$ पहले समूह के प्रतियोगिता जीतने की प्रायिकता $=0.6$
$P(E_2)=$ दूसरे समूह के प्रतियोगिता जीतने की प्रायिकता $=0.4$
$P(A \mid E_1)=$ पहले समूह जीतता है तो नए उत्पाद के प्रोमोट करने की प्रायिकता $=0.7$
$P(A \mid E_2)=$ दूसरे समूह जीतता है तो नए उत्पाद के प्रोमोट करने की प्रायिकता $=0.3$
संभावना कि नए उत्पाद को दूसरे समूह द्वारा पेश किया गया है, $P(E_2 \mid A)$ द्वारा दी गई है।
बेयेस के प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} P(E_2 \mid A) & =\dfrac{P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)} \\ & =\dfrac{0.4 \times 0.3}{0.6 \times 0.7+0.4 \times 0.3} \\ & =\dfrac{0.12}{0.42+0.12} \\ & =\dfrac{0.12}{0.54} \\ & =\dfrac{12}{54} \\ & =\dfrac{2}{9} \end{aligned} $
10. मान लीजिए एक लड़की एक पासा फेंकती है। यदि वह 5 या 6 प्राप्त करती है, तो वह एक सिक्का तीन बार उछालती है और सिरों की संख्या का ध्यान रखती है। यदि वह 1, 2, 3 या 4 प्राप्त करती है, तो वह एक सिक्का एक बार उछालती है और एक सिर या पैंट के प्राप्त होने के बारे में ध्यान रखती है। यदि वह ठीक एक सिर प्राप्त करती है, तो वह डायर के 1, 2, 3 या 4 के साथ फेंके की संभावना क्या है?
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मान लीजिए $E_1$ घटना है कि पासे के परिणाम 5 या 6 है और $E_2$ घटना है कि पासे के परिणाम 1, 2, 3 या 4 हैं।
$\therefore P(E_1)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ और $P(E_2)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
मान लीजिए $A$ घटना है कि ठीक एक सिर प्राप्त होता है।
$P(A \mid E_1)=$ पासे के तीन बार उछालने पर ठीक एक सिर प्राप्त करने की संभावना जब वह 5 या 6 प्राप्त करती है $=\dfrac{3}{8}$
$P(A \mid E_2)=$ एक सिक्का एक बार उछालने पर ठीक एक सिर प्राप्त करने की संभावना जब वह 1, 2, 3 या 4 प्राप्त करती है $=\dfrac{1}{2}$
यदि वह ठीक एक सिर प्राप्त करती है, तो वह डायर के 1, 2, 3 या 4 के साथ फेंके की संभावना $P(E_2 \mid A)$ द्वारा दी गई है।
बेयेस के प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} P(E_2 \mid A) & =\dfrac{P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)} \\ & =\dfrac{\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2}} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}(\dfrac{3}{8}+1)} \\ & =\dfrac{1}{\dfrac{11}{8}} \\ & =\dfrac{8}{11} \end{aligned} $
11. एक निर्माता के तीन मशीन ऑपरेटर $A, B$ और $C$ हैं। पहला ऑपरेटर $A$ 1% खराब आइटम बनाता है, जबकि अन्य दो ऑपरेटर $B$ और $C$ क्रमशः 5% और 7% खराब आइटम बनाते हैं। $A$ 50% समय तक काम पर होता है, $B$ 30% समय तक काम पर होता है और $C$ 20% समय तक काम पर होता है। एक खराब आइटम बनाया गया है, तो इसकी संभावना कि यह $A$ द्वारा बनाया गया है क्या है?
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मान लीजिए $E_1, E_2$ और $E_3$ क्रमशः मशीन $A, B$ और $C$ द्वारा कार्य के लिए समय लेने के घटनाएं हैं।
$ \begin{aligned} & P(E_1)=50 %=\dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2} \\ & P(E_2)=30 %=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10} \\ & P(E_3)=20 %=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5} \end{aligned} $
मान लीजिए $X$ विकल्पत वस्तुओं के उत्पादन की घटना है।
$ \begin{aligned} & P(X \mid E_1)=1 %=\dfrac{1}{100} \\ & P(X \mid E_2)=5 %=\dfrac{5}{100} \\ & P(X \mid E_3)=7 %=\dfrac{7}{100} \end{aligned} $
विकल्पत वस्तु के उत्पादन के द्वारा $A$ की प्रायिकता $P(E_1 \mid A)$ द्वारा दी गई है।
बेयर्स प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} P(E_1 \mid X) & =\dfrac{P(E_1) \cdot P(X \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(X \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(X \mid E_2)+P(E_3) \cdot P(X \mid E_3)} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{100}}{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{100}+\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{5}{100}+\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{7}{100}} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{100} \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{100}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{5})} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{34}{10}} \\ & =\dfrac{5}{34} \end{aligned} $
12. 52 कार्ड के पैक से एक कार्ड खो गया। पैक के शेष कार्डों में से दो कार्ड खींचे गए और वे दोनों ही डायमंड कार्ड हैं। खोए हुए कार्ड के डायमंड होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
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मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ क्रमशः डायमंड कार्ड के चुने जाने और डायमंड कार्ड न होने की घटनाएं हैं।
मान लीजिए $A$ खोए हुए कार्ड को दर्शाता है।
52 कार्ड में से 13 कार्ड डायमंड हैं और 39 कार्ड डायमंड नहीं हैं। $\therefore P(E_1)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}$
$P(E_2)=\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}$
जब एक डायमंड कार्ड खो जाता है, तो 51 कार्ड में से 12 डायमंड कार्ड होते हैं।
12 डायमंड कार्ड में से 2 कार्ड खींचे जा सकते हैं ${ }^{12} C_2$ तरीकों से।
इसी तरह, 51 कार्ड में से 2 डायमंड कार्ड खींचे जा सकते हैं ${ }^{51} C_2$ तरीकों से। जब एक डायमंड कार्ड खो जाता है, तो दो कार्ड प्राप्त करने की प्रायिकता $P(A \mid E_1)$ द्वारा दी गई है।
$P(A \mid E_1)=\dfrac{{ }^{12} C_2}{{ }^{51} C_2}=\dfrac{12 !}{2 ! 10 !} \times \dfrac{21 \times 49 !}{51 !}=\dfrac{11 \times 12}{50 \times 51}=\dfrac{22}{425}$
जब खोया गया कार्ड डायमंड नहीं है, तो 51 कार्ड में से 13 डायमंड कार्ड हैं।
13 डायमंड कार्ड में से 2 कार्ड निकाले जा सकते हैं ${ }^{13} C_2$ तरीकों से जबकि 51 कार्ड में से 2 कार्ड निकाले जा सकते हैं ${ }^{51} C_2$ तरीकों से।
जब एक कार्ड खो गया हो जो डायमंड नहीं है, तो दो कार्ड के प्राप्त होने की प्रायिकता $P(A \mid E_2)$ द्वारा दी गई है।
$ P(A \mid E_2)=\dfrac{{ }^{13} C_2}{{ }^{51} C_2}=\dfrac{13 !}{2 ! \times 11 !} \times \dfrac{2 ! \times 49 !}{51 !}=\dfrac{12 \times 13}{50 \times 51}=\dfrac{26}{425} $
जब खोया गया कार्ड डायमंड है उसकी प्रायिकता $P(E_1 \mid A)$ द्वारा दी गई है।
बेयेस के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} P(E_1 \mid A) & =\dfrac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{22}{425}}{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{22}{425}+\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{26}{425}} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{425}(\dfrac{22}{4})}{\dfrac{1}{425}(\dfrac{22}{4}+\dfrac{26 \times 3}{4})} \end{aligned} $
$ \begin{matrix} =\dfrac{\dfrac{11}{2}}{25} \\ =\dfrac{11}{50} \end{matrix} $
13. A के सच बोलने की प्रायिकता $\dfrac{4}{5}$ है। एक सिक्का उछाला जाता है। A बतलाता है कि सिक्के पर सिर आया। वास्तव में सिर आए होने की प्रायिकता है
(A) $\dfrac{4}{5}$
(B) $\dfrac{1}{2}$
(C) $\dfrac{1}{5}$
(D) $\dfrac{2}{5}$
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Solution
मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ ऐसे घटनाएं हैं कि
$E_1:$ A सच बोलता है
$E_2$ : A झूठ बोलता है
मान लीजिए $X$ ऐसी घटना है जिसमें सिर आता है।
$P(E_1)=\dfrac{4}{5}$
$\therefore P(E_2)=1-P(E_1)=1-\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}$
यदि एक सिक्का उछाला जाता है, तो यह या तो सिर $(H)$ या पैसा $(T)$ के रूप में परिणाम दे सकता है।
सिर के प्राप्त होने की प्रायिकता $\dfrac{1}{2}$ होती है चाहे A सच बोलता हो या नहीं।
$\therefore P(X \mid E_1)=P(X \mid E_2)=\dfrac{1}{2}$
वास्तव में सिर के होने की प्रायिकता $P(E_1 \mid X)$ द्वारा दी गई है।
$ \begin{aligned} P(E_1 \mid X) & =\dfrac{P(E_1) \cdot P(X \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(X \mid E_1)+P(E_2) \cdot P(X \mid E_2)} \\ & =\dfrac{\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{2}} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5}}{\dfrac{1}{2}(\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5})} \\ & =\dfrac{4}{\dfrac{5}{1}} \\ & =\dfrac{4}{5} \end{aligned} $
इसलिए, सही उत्तर A है।
14. यदि $A$ और $B$ दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $A \subset B$ और $P(B) \neq 0$, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
(A) $P(A \mid B)=\dfrac{P(B)}{P(A)}$
(B) $P(A \mid B)<P(A)$
(C) $P(A \mid B) \geq P(A)$
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर दिखाएँ
हल
यदि $A \subset B$, तो $A \cap B=A$ $\Rightarrow P(A \cap B)=P(A)$
इसके अतिरिक्त, $P(A)<P(B)$
विचार करें $P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A)}{P(B)} \neq \dfrac{P(B)}{P(A)} \ldots$ (1)
विचार करें $P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A)}{P(B)} \ldots$ (2)
ज्ञात है कि, $P(B) \leq 1$
$\Rightarrow \dfrac{1}{P(B)} \geq 1$
$\Rightarrow \dfrac{P(A)}{P(B)} \geq P(A)$
(2) से, हम प्राप्त करते हैं
$\Rightarrow P(A \mid B) \geq P(A)$
$\therefore P(A \mid B)$, $P(A)$ से कम नहीं है।
इसलिए, (3) से, विकल्प $C$ में दी गई संबंध सही है।
बीटा
