हल

दिया गया है $P(A)=\frac{3}{5}$ और $P(B)=\frac{1}{5}$

$A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं। अतः,

$ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{25} $

हल

52 कार्ड के एक डेक में 26 काले कार्ड होते हैं।

मान लीजिए $P(A)$ पहले खींचे गए कार्ड काला होने की प्रायिकता है।

$\therefore P(A)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$

मान लीजिए $P(B)$ दूसरे खींचे गए कार्ड काला होने की प्रायिकता है।

कार्ड वापस नहीं लिया जाता है, अतः

$\therefore P(B)=\frac{25}{51}$

इसलिए, दोनों कार्ड काले होने की प्रायिकता $=\frac{1}{2} \times \frac{25}{51}=\frac{25}{102}$

हल

मान लीजिए $A, B$, और $C$ क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे खींचे गए संतरे अच्छे होने के घटनाएँ हैं।

इसलिए, पहले खींचे गए संतरे अच्छे होने की प्रायिकता, $P(A)=\frac{12}{15}$

संतरे वापस नहीं लिए जाते हैं।

इसलिए, दूसरे संतरे अच्छे होने की प्रायिकता, $P(B)=\frac{11}{14}$

इसी तरह, तीसरे संतरे अच्छे होने की प्रायिकता, $P(C)=\frac{10}{13}$

बॉक्स बिक्री के लिए अनुमोदित होगा, यदि सभी तीन संतरे अच्छे हों।

इसलिए, सभी संतरों के अच्छे होने की प्रायिकता $=\frac{12}{15} \times \frac{11}{14} \times \frac{10}{13}=\frac{44}{91}$

इसलिए, बॉक्स के अनुमोदन की प्रायिकता $\frac{44}{91}$ है।

हल

यदि एक असममुख डायर और एक अनुसूचित सिक्का फेंका जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष $S$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$S=\begin{cases} (H, 1),(H, 2),(H, 3),(H, 4),(H, 5),(H, 6), \\ (T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6) \end{cases} $

मान लीजिए A: सिक्के पर सिर आता है

$A={(H, 1),(H, 2),(H, 3),(H, 4),(H, 5),(H, 6)}$

$\Rightarrow P(A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

B: डायर पर 3 आता है $={(H, 3),(T, 3)}$

$P(B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$

$\therefore A \cap B={(H, 3)}$

$P(A \cap B)=\frac{1}{12}$

$P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}=P(A \cap B)$

इसलिए, $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं।

हल

जब एक डायर फेंका जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष (S) है

$S={1,2,3,4,5,6}$

मान लीजिए $A$ : संख्या सम है $={2,4,6}$

$\Rightarrow P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$B:$ संख्या लाल है $={1,2,3}$

$\Rightarrow P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\therefore A \cap B={2}$ $P(A \cap B)=P(A \cap B)=\frac{1}{6}$

$P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \neq \frac{1}{6}$

$\Rightarrow P(A) \cdot P(B) \neq P(A \cap B)$

इसलिए, A और B स्वतंत्र नहीं हैं।

हल

दिया गया है कि $P(E)=\frac{3}{5}, P(F)=\frac{3}{10}$, और $P(E \cap F)=\frac{1}{5}$

$P(E) \cdot P(F)=\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{10}=\frac{9}{50} \neq \frac{1}{5}$

$\Rightarrow P(E) \cdot P(F) \neq P(E \cap F)$

इसलिए, $E$ और $F$ स्वतंत्र नहीं हैं।

हल

दिया गया है कि $P(A)=\frac{1}{2}, P(A \cap B)=\frac{3}{5}$, और $P(B)=p$

(i) जब $A$ और $B$ परस्पर अपवादी होते हैं, तो $A \cap B=\Phi$

$\therefore P(A \cap B)=0$

ज्ञात है कि, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{1}{2}+p-0 \\ & \Rightarrow p=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{1}{10} \end{aligned} $

(ii) जब $A$ और $B$ स्वायत्त होते हैं, तो $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{2} p$

ज्ञात है कि, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{1}{2}+p-\frac{1}{2} p$

$\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{1}{2}+\frac{p}{2}$

$\Rightarrow \frac{p}{2}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{1}{10}$

$\Rightarrow p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

हल

दिया गया है कि $P(A)=0.3$ और $P(B)=0.4$

(i) यदि $A$ और $B$ स्वायत्त घटनाएँ हैं, तो

$P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=0.3 \times 0.4=0.12$

(ii) ज्ञात है कि, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$\Rightarrow P(A \cup B)=0.3+0.4-0.12=0.58$

(iii) ज्ञात है कि, $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

$\Rightarrow P(A \mid B)=\frac{0.12}{0.4}=0.3$

(iv) ज्ञात है कि, $P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$\Rightarrow P(B \mid A)=\frac{0.12}{0.3}=0.4$

हल

दिया गया है कि, $P(A)=\frac{1}{4}$ और $P(A \cap B)=\frac{1}{8}$

$P(not$ on $A$ और नहीं $B)=P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$

$P(not$ on $A$ और नहीं $B)=P((A \cup B))^{\prime}$

$=1-P(A \cup B)$

$ [A^{\prime} \cap B^{\prime}=(A \cup B)^{\prime}] $

$=1-[P(A)+P(B)-P(A \cap B)]$

$=1-[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}]$

$=1-\frac{5}{8}$

$=\frac{3}{8}$

Solution

दिया गया है $P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{7}{12}$, और $P(not A$ या not $B)=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow P(A^{\prime} \cup B^{\prime})=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow P((A \cap B)^{\prime})=\frac{1}{4} \quad[A^{\prime} \cup B^{\prime}=(A \cap B)^{\prime}]$

$\Rightarrow 1-P(A \cap B)=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow P(A \cap B)=\frac{3}{4}$

हालाँकि, $P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{12}=\frac{7}{24}$

यहाँ, $\frac{3}{4} \neq \frac{7}{24}$

$\therefore P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$

इसलिए, A और B स्वाधीन घटनाएँ हैं।

Solution

दिया गया है $P(A)=0.3$ और $P(B)=0.6$

इसके अतिरिक्त, $A$ और $B$ स्वाधीन घटनाएँ हैं।

(i) $\therefore P(A$ और $B)=P(A) \cdot P(B)$

$\Rightarrow P(A \cap B)=0.3 \times 0.6=0.18$

(ii) $P(A$ और not $B)=P(A \cap B^{\prime})$ $=P(A)-P(A \cap B)$

$=0.3-0.18$

$=0.12$

(iii) $P(A$ या $B)=P(A \cup B)$

$=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$=0.3+0.6-0.18$

$=0.72$

(iv) $P($ न तो $A$ न तो $B)=P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$

$=P((A \cup B)^{\prime})$

$=1-P(A \cup B)$

$=1-0.72$

$=0.28$

Solution

एक पासे के एक उछाल में विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

उसी तरह, सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

तीन बार सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

इसलिए, कम से कम एक फेंक में विषम संख्या मिलने की प्रायिकता

$=1-$ कम से कम एक फेंक में विषम संख्या न मिलने की प्रायिकता

$=1-$ तीन फेंक में से एक भी विषम संख्या न मिलने की प्रायिकता

$=1-\frac{1}{8}$

$=\frac{7}{8}$

हल

कुल गेंदों की संख्या $=18$

लाल गेंदों की संख्या $=8$

काली गेंदों की संख्या $=10$

(i) पहली निकाल में लाल गेंद मिलने की प्रायिकता $=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$

पहली निकाल के बाद गेंद को वापस रख दिया जाता है।

$\therefore$ दूसरी निकाल में लाल गेंद मिलने की प्रायिकता $=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$

इसलिए, दोनों गेंदों के लाल मिलने की प्रायिकता $=\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{16}{81}$

(ii) पहली गेंद काली मिलने की प्रायिकता $=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$

पहली निकाल के बाद गेंद को वापस रख दिया जाता है।

दूसरी गेंद लाल मिलने की प्रायिकता $=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$

इसलिए, पहली गेंद काली और दूसरी गेंद लाल मिलने की प्रायिकता $=\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{20}{81}$

(iii) पहली गेंद लाल मिलने की प्रायिकता $=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$

पहली निकाल के बाद गेंद को वापस रख दिया जाता है।

दूसरी गेंद काली मिलने की प्रायिकता $=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$

इसलिए, पहली गेंद काली और दूसरी गेंद लाल मिलने की प्रायिकता $=\frac{4}{9} \times \frac{5}{9}=\frac{20}{81}$ इसलिए, एक गेंद काली और दूसरी गेंद लाल मिलने की प्रायिकता

$=$ पहली गेंद काली और दूसरी गेंद लाल मिलने की प्रायिकता + पहली गेंद लाल और दूसरी गेंद काली मिलने की प्रायिकता $=\frac{20}{81}+\frac{20}{81}$

$ =\frac{40}{81} $

हल

समस्या को $A$ द्वारा हल करने की प्रायिकता, $P(A)=\frac{1}{2}$

समस्या को $B$ द्वारा हल करने की प्रायिकता, $P(B)=\frac{1}{3}$

क्योंकि $A$ और $B$ द्वारा समस्या स्वतंत्र रूप से हल की जाती है,

$\therefore P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

$P(A^{\prime})=1-P(A)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$P(B^{\prime})=1-P(B)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ i. $\quad$ समस्या को हल करने की प्रायिकता $=P(A \cup B)$

$=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ $=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}$

$=\frac{4}{6}$

$=\frac{2}{3}$

(ii) उनमें से केवल एक ही समस्या को हल करने की प्रायिकता निम्नलिखित द्वारा दी गई है,

$ \begin{aligned} & P(A) \cdot P(B^{\prime})+P(B) \cdot P(A^{\prime}) \\ & =\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \\ & =\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \\ & =\frac{1}{2} \end{aligned} $

हल

(i) 52 कार्डों के डेक में, 13 कार्ड स्पेड हैं और 4 कार्ड ए एस हैं।

$\therefore P(E)=P($ खींचे गए कार्ड स्पेड है $)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$

$\therefore P(F)=P($ खींचे गए कार्ड ए एस है $)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

कार्ड के डेक में केवल 1 कार्ड स्पेड के ए एस है।

$ P(E \cap F)=P($ खींचे गए कार्ड स्पेड और ए एस है $)=\frac{1}{52}$

$P(E) \times P(F)=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{13}=\frac{1}{52}=P(E \cap F)$

$\Rightarrow P(E) \times P(F)= P(E \cap F)$

इसलिए, घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं।

(ii) 52 कार्डों के डेक में, 26 कार्ड काले हैं और 4 कार्ड राजा हैं।

$\therefore P(E)=P($ खींचे गए कार्ड काला है $)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$

$\therefore P(F)=P($ कार्ड खींचा गया है एक राजा $)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

52 कार्ड के पैक में, 2 कार्ड ब्लैक भी हैं और राजा हैं।

$\therefore P(E \cap F)=P($ खींचे गए कार्ड एक ब्लैक राजा है $)=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$ $P(E) \times P(F)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{13}=\frac{1}{26}= P(E \cap F)$

इसलिए, दिए गए घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं।

(iii) 52 कार्ड के डेक में, 4 कार्ड राजा हैं, 4 कार्ड राजकुमार हैं, और 4 कार्ड जैक हैं।

$\therefore P(E)=P($ खींचे गए कार्ड एक राजा या राजकुमार है $)=\frac{8}{52}=\frac{2}{13}$

$\therefore P(F)=P($ खींचे गए कार्ड एक राजकुमार या जैक है $)=\frac{8}{52}=\frac{2}{13}$

जो कार्ड राजा या राजकुमार हैं और राजकुमार या जैक हैं वे 4 कार्ड हैं।

$\therefore P(E \cap F)=P$ (खींचे गए कार्ड एक राजा या राजकुमार, या राजकुमार या जैक है)

$=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

$P(E) \times P(F)=\frac{2}{13} \cdot \frac{2}{13}=\frac{4}{169} \neq \frac{1}{13}$

$\Rightarrow P(E) \cdot P(F) \neq P(E \cap F)$

इसलिए, दिए गए घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र नहीं हैं।

हल

मान लीजिए $H$ वह छात्र है जो हिंदी अखबार पढ़ते हैं और $E$ वह छात्र है जो अंग्रेजी अखबार पढ़ते हैं।

दिया गया है कि,

$ \begin{aligned} & P(H)=60 %=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} \\ & P(E)=40 %=\frac{40}{100}=\frac{2}{5} \\ & P(H \cap E)=20 %=\frac{20}{100}=\frac{1}{5} \end{aligned} $

i. एक छात्र के हिंदी या अंग्रेजी अखबार पढ़ने की प्रायिकता है,

$ \begin{aligned} (H \cup E)^{\prime} & =1-P(H \cup E) \\ & =1-{P(H)+P(E)-P(H \cap E)} \\ & =1-(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}) \\

& =1-\frac{4}{5} \\ & =\frac{1}{5} \end{aligned} $

(ii) यदि एक विद्यार्थी एक यादृच्छिक चयन किया गया है, तो हिंदी अखबार के पाठक होने की प्रायिकता, यदि वह अंग्रेजी अखबार पढ़ती है, $P(E \mid H)$ द्वारा दी गई है।

$ \begin{aligned} P(E \mid H) & =\frac{P(E \cap H)}{P(H)} \\ & =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{5}} \\ & =\frac{1}{3} \end{aligned} $

(iii) यदि एक विद्यार्थी एक यादृच्छिक चयन किया गया है, तो अंग्रेजी अखबार के पाठक होने की प्रायिकता, यदि वह हिंदी अखबार पढ़ती है, $P(H \mid E)$ द्वारा दी गई है।

$ \begin{aligned} P(H \mid E) & =\frac{P(H \cap E)}{P(E)} \\ & =\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}} \\ & =\frac{1}{2} \end{aligned} $

अभ्यास 17 और 18 में सही उत्तर का चयन करें।

समाधान

जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो परिणामों की संख्या 36 होती है।

एकमात्र सम अभाज्य संख्या 2 है।

मान लीजिए $E$ वह घटना है जब दोनों पासों पर एक सम अभाज्य संख्या प्राप्त होती है।

$\therefore E={(2,2)}$

$\Rightarrow P(E)=\frac{1}{36}$

इसलिए, सही उत्तर D है।

समाधान

दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वायत्त कहलाती हैं, यदि $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$

विकल्प $\mathbf{B}$ में दिए गए परिणाम को ध्यान में रखें।

$P(A^{\prime} B^{\prime})=[1-P(A)][1-P(B)]$

$\Rightarrow P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=1-P(A)-P(B)+P(A) \cdot P(B)$

$\Rightarrow 1-P(A \cup B)=1-P(A)-P(B)+P(A) \cdot P(B)$

$\Rightarrow P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)$

$\Rightarrow P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)$

$\Rightarrow P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$

इससे यह स्पष्ट होता है कि $A$ और $B$ स्वायत्त होंगी, यदि $P(A^{\prime} B^{\prime})=[1-P(A)][1-P(B)]$

अपवाद विचार के लिए

A. मान लीजिए $P(A)=m, P(B)=n, 0<m, n<1$

$A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं।

$\therefore A \cap B=\phi$

$\Rightarrow P(A \cap B)=0$

हालांकि, $P(A) \cdot P(B)=m n \neq 0$

$\therefore P(A) \cdot P(B) \neq P(A \cap B)$

सी। A: पासे के एक फेंक में विषम संख्या के प्राप्त होने की घटना $={1,3,5}$

$\Rightarrow P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

B: पासे के एक फेंक में सम संख्या के प्राप्त होने की घटना $={2,4,6}$

$P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

यहाँ, $A \cap B=\phi$

$\therefore P(A \cap B)=0$

$P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{4} \neq 0$

$\Rightarrow P(A) \cdot P(B) \neq P(A \cap B)$

डी। उपरोक्त उदाहरण से यह देखा जा सकता है कि, $P(A)+P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

हालांकि, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $A$ और $B$ स्वायत्त हैं।

इसलिए, सही उत्तर $B$ है।