हल

दिया गया है $P(E)=0.6, P(F)=0.3$, और $P(E \cap F)=0.2$

$\Rightarrow P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{0.2}{0.3}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow P(F \mid E)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(E)}=\dfrac{0.2}{0.6}=\dfrac{1}{3}$

हल

दिया गया है $P(B)=0.5$ और $P(A \cap B)=0.32$

$\Rightarrow P(\dfrac{A}{B})=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{0.32}{0.5}=\dfrac{16}{25}$

हल

दिया गया है $P(A)=0.8, P(B)=0.5$, और $P(B \mid A)=0.4$

(i) $P(B \mid A)=0.4$

$\therefore \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}=0.4$

$\Rightarrow \dfrac{P(A \cap B)}{0.8}=0.4$

$\Rightarrow P(A \cap B)=0.32$

(ii) $P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

$\Rightarrow P(A \mid B)=\dfrac{0.32}{0.5}=0.64$

(iii) $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$\Rightarrow P(A \cup B)=0.8+0.5-0.32=0.98$

हल

दिया गया है, $2 P(A)=P(B)=\dfrac{5}{13}$

$\Rightarrow P(A)=\dfrac{5}{26}$ और $P(B)=\dfrac{5}{13}$

$P(A \mid B)=\dfrac{2}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{2}{5}$

$\Rightarrow P(A \cap B)=\dfrac{2}{5} \times P(B)=\dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{13}=\dfrac{2}{13}$

ज्ञात है कि, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ $\Rightarrow P(A \cup B)=\dfrac{5}{26}+\dfrac{5}{13}-\dfrac{2}{13}$

$\Rightarrow P(A \cup B)=\dfrac{5+10-4}{26}$

$\Rightarrow P(A \cup B)=\dfrac{11}{26}$

हल

दिया गया है $P(A)=\dfrac{6}{11}, P(B)=\dfrac{5}{11}$, और $P(A \cup B)=\dfrac{7}{11}$

(i) $P(A \cup B)=\dfrac{7}{11}$

$\therefore P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\dfrac{7}{11}$

$\Rightarrow \dfrac{6}{11}+\dfrac{5}{11}-P(A \cap B)=\dfrac{7}{11}$

$\Rightarrow P(A \cap B)=\dfrac{11}{11}-\dfrac{7}{11}=\dfrac{4}{11}$

(ii) यह ज्ञात है कि, $P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

$\Rightarrow P(A \mid B)=\dfrac{\dfrac{4}{11}}{\dfrac{5}{11}}=\dfrac{4}{5}$

(iii) यह ज्ञात है कि, $P(B \mid A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$ \Rightarrow P(B \mid A)=\dfrac{\dfrac{4}{11}}{\dfrac{6}{11}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $

हल

एक सिक्का तीन बार उछाले जाने पर, नमूना अंतरिक्ष $S$ है

$S={H H H, H H T, H T H, H T T, T H H, T H T, T T H, ~ T T T}$

स्पष्ट रूप से, नमूना अंतरिक्ष में 8 तत्व हैं।

(i) $E={HHH, HTH, THH, TTH}$

$F={HHH, HHT}$

$\therefore E \cap F={HHH}$

$P(F)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$ और $P(E \cap F)=\dfrac{1}{8}$

$P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

(ii) $E={HHH, HHT, HTH, THH}$

$F={H H T, H T H, H T T, T H H, T H T, T T H, T T T}$

$\therefore E \cap F={HHT, HTH, THH}$

स्पष्ट रूप से, $P(E \cap F)=\dfrac{3}{8}$ और $P(F)=\dfrac{7}{8}$

$P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\dfrac{3}{8}}{\dfrac{7}{8}}=\dfrac{3}{7}$

(iii) $E={HHH, HHT, HTT, HTH, THH, THT, TTH}$

$F={HHT, HTT, HTH, THH, THT, TTH, TTT}$ $\therefore E \cap F={HHT, HTT, HTH, THH, THT, TTH}$

$P(F)=\dfrac{7}{8}$ और $P(E \cap F)=\dfrac{6}{8}$

इसलिए, $P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\dfrac{6}{7}}{\dfrac{7}{8}}=\dfrac{6}{7}$

Solution

यदि दो सिक्कों को एक बार उछाला जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष $S$ होता है

$S={HH, HT, TH, TT}$

(i) $E={HT, TH}$

$F={HT, TH}$

$\therefore E \cap F={HT, TH}$

$P(F)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$

$P(E \cap F)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$

$\therefore P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{4}}=1$

(ii) $E={HH}$

$F={TT}$

$\therefore E \cap F=\Phi$

$P(F)=1$ और $P(E \cap F)=0$

$\therefore P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{0}{1}=0$

Solution

यदि एक पासे को तीन बार उछाला जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष में तत्वों की संख्या 6 $\times 6 \times 6=216$ होती है

$E=\begin{bmatrix} (1,1,4),(1,2,4), \ldots(1,6,4) \\ (2,1,4),(2,2,4), \ldots(2,6,4) \\ (3,1,4),(3,2,4), \ldots(3,6,4) \\ (4,1,4),(4,2,4), \ldots(4,6,4) \\ (5,1,4),(5,2,4), \ldots(5,6,4) \\ (6,1,4),(6,2,4), \ldots(6,6,4) \end{bmatrix} $

$F={(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)}$

$\therefore E \cap F={(6,5,4)}$

$P(F)=\dfrac{6}{216}$ और $P(E \cap F)=\dfrac{1}{216}$

$\therefore P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\dfrac{1}{216}}{\dfrac{6}{216}}=\dfrac{1}{6}$

Solution

यदि माँ (M), पिता (F), और पुत्र (S) परिवार फोटो के लिए लाइन लगते हैं, तो नमूना अंतरिक्ष होता है

$S={M F S, M S F, F M S, F S M, S M F, S F M}$

$\Rightarrow E={MFS, FMS, SMF, SFM}$

$F={M F S, S F M}$

$\therefore E \cap F={MFS, SFM}$

$P(E \cap F)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

$P(F)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

$\therefore P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}}=1$

Solution

मान लीजिए पहला परिणाम काले पासे से आता है और दूसरा लाल पासे से।

जब दो पासे (एक काला और दूसरा लाल) फेंके जाते हैं, तो नमूना अंतरिक बराबर होता है $S$ के 6 × 6 = 36 तत्व होते हैं।

1. मान लीजिए

A: योग 9 से अधिक हो

$={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}$

B: काले पासे के परिणाम 5 है।

$={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}$

$\therefore A \cap B={(5,5),(5,6)}$

योग 9 से अधिक होने की संयोग दर, ज्ञात हो कि काले पासे के परिणाम 5 है, द्वारा $P(A \mid B)$ द्वारा दिया जाता है।

$\therefore P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{2}{36}}{\dfrac{6}{35}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

(b) E: परिणामों का योग 8 है।

$={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}$

$F$ : लाल पासे के परिणाम 4 से कम है।

$$=\begin{bmatrix}(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), \\ (3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3), \\ (5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3)\end{bmatrix}$$

$\begin{aligned} & \therefore E \cap F={(5,3),(6,2)} \\ & P(F)=\dfrac{18}{36} \text { और } P(E \cap F)=\dfrac{2}{36}\end{aligned}$

योग 8 होने की संयोग दर, ज्ञात हो कि लाल पासे के परिणाम 4 से कम है, द्वारा $P$ (E|F) द्वारा दिया जाता है।

इसलिए, $P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\dfrac{2}{36}}{\dfrac{18}{36}}=\dfrac{2}{18}=\dfrac{1}{9}$

हल

एक असममुख डायर को फेंकने पर, नमूना अंतरिक्ष $S$ होगा

$S={1,2,3,4,5,6}$

यह दिया गया है कि $E={1,3,5}, F={2,3}$, और $G={2,3,4,5}$

$\therefore P(E)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

$P(F)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

$P(G)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

(i) $E \cap F={3}$

$\therefore P(E \cap F)=\dfrac{1}{6}$

$\therefore P(E \mid F)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}$

$P(F \mid E)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(E)}=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}$

(ii) $E \cap G={3,5}$

$\therefore P(E \cap G)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

$\therefore P(E \mid G)=\dfrac{P(E \cap G)}{P(G)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}$

$P(G \mid E)=\dfrac{P(E \cap G)}{P(E)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$

(iii) $E \cup F={1,2,3,5}$

$(E \cup F) \cap G={1,2,3,5} \cap{2,3,4,5}={2,3,5}$

$E \cap F={3}$

$(E \cap F) \cap G={3} \cap{2,3,4,5}={3}$

$\therefore P(E \cup G)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

$P((E \cup F) \cap G)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

$P(E \cap F)=\dfrac{1}{6}$

$P((E \cap F) \cap G)=\dfrac{1}{6}$

$\therefore P((E \cup F) \mid G)=\dfrac{P((E \cup F) \cap G)}{P(G)}$

$=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}$

$P((E \cap F) \mid G)=\dfrac{P((E \cap G) \cap G)}{P(G)}$

$=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{4}$

हल

मान लीजिए $b$ और $g$ क्रमशः लड़का और लड़की के बच्चे को दर्शाते हैं। यदि एक परिवार में दो बच्चे हैं, तो नमूना अंतरिक्ष होगा

$S={(b, b),(b, g),(g, b),(g, g)}$

मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं।

$\therefore A={(g, g)}$

(i) मान लीजिए $B$ वह घटना है जिसमें सबसे छोटा बच्चा लड़की है।

$\therefore B=[(b, g),(g, g)]$

$\Rightarrow A \cap B={(g, g)}$

$\therefore P(B)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$

$P(A \cap B)=\dfrac{1}{4}$

दी गई घटना कि दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं, जबकि सबसे छोटा बच्चा लड़की है, की संयोग दर $P(A \mid B)$ द्वारा दी गई है।

$P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}$

इसलिए, अभीष्ट संयोग दर $\dfrac{1}{2}$ है।

(ii) मान लीजिए $C$ वह घटना है जिसमें कम से कम एक बच्चा लड़की है।

$\therefore C={(b, g),(g, b),(g, g)}$

$\Rightarrow A \cap C=(g, g)$

$\Rightarrow P(C)=\dfrac{3}{4}$

$P(A \cap C)=\dfrac{1}{4}$

दी गई घटना कि दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं, जबकि कम से कम एक बच्चा लड़की है, की संयोग दर $P(A \mid C)$ द्वारा दी गई है।

इसलिए, $P(A \mid C)=\dfrac{P(A \cap C)}{P(C)}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{3}$

हल

दिए गए डेटा को निम्नलिखित तालिका के रूप में सारांशित किया जा सकता है

मान लीजिए $E=$ आसान प्रश्न, $M=$ बहुविकल्पीय प्रश्न, $D=$ कठिन प्रश्न, और $T=$ सत्य/असत्य प्रश्न

कुल प्रश्नों की संख्या $=1400$

कुल बहुविकल्पीय प्रश्नों की संख्या $=900$

इसलिए, एक आसान बहुविकल्पीय प्रश्न के चुने जाने की संयोग दर है

$P(E \cap M)=\dfrac{500}{1400}=\dfrac{5}{14}$

एक बहुविकल्पीय प्रश्न के चुने जाने की संयोग दर, $P(M)$, है $\dfrac{900}{1400}=\dfrac{9}{14}$

$P(E \mid M)$ एक यादृच्छिक रूप से चुने गए प्रश्न के आसान प्रश्न होने की प्रायिकता को दर्शाता है, जो यह जानते हुए कि यह एक बहुविकल्पीय प्रश्न है।

$\therefore P(E \mid M)=\dfrac{P(E \cap M)}{P(M)}=\dfrac{\dfrac{5}{14}}{\dfrac{9}{14}}=\dfrac{5}{9}$

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता $\dfrac{5}{9}$ है।

हल

जब पासा फेंका जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष में अवलोकनों की संख्या $=6 \times 6=36$

मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें पासों पर संख्याओं का योग 4 है और $B$ वह घटना है जिसमें दो पासों को फेंकने पर आने वाली संख्याएँ अलग-अलग हैं।

$ \begin{aligned} & \therefore A={(1,3),(2,2),(3,1)} \\ & B=\left {\begin{matrix} (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) \\ (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) \\ (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) \\ (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) \\ (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) \\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right} \end{aligned} $

$A \cap B={(1,3),(3,1)}$

$\therefore P(B)=\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6}$ और $P(A \cap B)=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$

मान लीजिए $P(A \mid B)$ वह प्रायिकता है जिसमें पासों पर संख्याओं का योग 4 है, जो दो पासों को फेंकने पर आने वाली संख्याएँ अलग-अलग होने के दिए गए हैं।

$ \therefore P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{18}}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{1}{15} $

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता $\dfrac{1}{15}$ है।

हल

दिए गए प्रयोग के परिणामों को निम्नलिखित वृक्ष आरेख द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है।

प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष है,

$ S={\begin{matrix} (1, H),(1, T),(2, H),(2, T),(3,1)(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \\ (4, H),(4, T),(5, H),(5, T),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} } $

मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें सिक्का पैसा एक ताल दिखाता है और $B$ वह घटना है जिसमें कम से कम एक पासा 3 दिखाता है।

$ \begin{aligned} & \therefore A={(1, T),(2, T),(4, T),(5, T)} \\ & B={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(6,3)} \\ & \Rightarrow A \cap B=\phi \\ & \therefore P(A \cap B)=0 \end{aligned} $

फिर, $P(B)=P({3,1})+P({3,2})+P({3,3})+P({3,4})+P({3,5})+P({3,6})+P({6,3})$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36} \\ & =\dfrac{7}{36} \end{aligned} $

सिक्का एक ताल दिखाते हुए घटना की प्रायिकता, जबकि कम से कम एक पासा 3 दिखाता है, $P(A \mid B)$ द्वारा दी गई है।

इसलिए,

$ P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{0}{\dfrac{7}{36}}=0 $

हल

दिया गया है कि $P(A)=\dfrac{1}{2}$ और $P(B)=0$

$P(A \mid B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A \cap B)}{0}$

इसलिए, $P(A \mid B)$ अनिर्धारित है।

अतः, सही उत्तर है $C$।

हल

दिया गया है कि, $P(A \mid B)=P(B \mid A)$

$\Rightarrow \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$\Rightarrow P(A)=P(B)$

अतः, सही उत्तर है D।