अध्याय 12 रैखिक प्रोग्रामिंग अभ्यास 12.1
अभ्यास 12.1
निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को आलेखीय विधि से हल कीजिए:
1. $Z=3 x+4 y$ को अधिकतम कीजिए
प्रतिबंधों के अंतरगत : $x+y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$.
उत्तर दिखाएं
हल
प्रतिबंधों $x+y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ द्वारा निर्धारित संभाव्य क्षेत्र निम्नलिखित है।
संभाव्य क्षेत्र के कोने बिंदु $O(0,0), A(4,0)$, और $B(0,4)$ हैं। इन बिंदुओं पर $Z$ के मान निम्नलिखित हैं।
| कोने बिंदु | $\mathbf{Z}=\mathbf{3 x}+\mathbf{4} \boldsymbol{{}y}$ | |
|---|---|---|
| $O(0,0)$ | 0 | |
| $A(4,0)$ | 12 | |
| $B(0,4)$ | 16 | $arrow$ अधिकतम |
इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान 16 बिंदु $B(0,4)$ पर है।
2. $Z=-3 x+4 y$ को न्यूनतम कीजिए
प्रतिबंधों के अंतरगत : $x+2 y \leq 8,3 x+2 y \leq 12, x \geq 0, y \geq 0$.
उत्तर दिखाएं
हल
प्रतिबंधों के तंत्र $x+2 y \leq 8,3 x+2 y \leq 12, x \geq$ 0 , और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित संभाव्य क्षेत्र निम्नलिखित है।
संभाव्य क्षेत्र के कोने बिंदु $O(0,0), A(4,0), B(2,3)$, और $C(0,4)$ हैं। इन कोने बिंदुओं पर $Z$ के मान निम्नलिखित हैं।
| कोने बिंदु | $\mathbf{Z}=\mathbf{- 3 x + 4 y}$ | |
|---|---|---|
| $0(0,0)$ | 0 | |
| $A(4,0)$ | -12 | $arrow$ न्यूनतम |
| $B(2,3)$ | 6 | |
| $C(0,4)$ | 16 |
इसलिए, $Z$ का न्यूनतम मान -12 बिंदु $(4,0)$ पर है।
3. $Z=5 x+3 y$ को अधिकतम करें
जो कि $3 x+5 y \leq 15,5 x+2 y \leq 10, x \geq 0, y \geq 0$ के अंतर्गत हो।
उत्तर दिखाएं
हल
संरचना के तहत निर्धारित क्षेत्र, $3 x+5 y \leq 15$, $5 x+2 y \leq 10, x \geq 0$, और $y \geq 0$ के निम्नलिखित हैं।
संभाव्य क्षेत्र के कोने बिंदु $O(0,0), A(2,0), B(0,3)$, और $C(\frac{20}{19}, \frac{45}{19})$ हैं। इन कोने बिंदुओं पर $Z$ के मान निम्नलिखित हैं।
| कोने बिंदु | $\mathbf{Z}=\mathbf{5} \boldsymbol{{}x}+\mathbf{3} \boldsymbol{{}y}$ | |
|---|---|---|
| $O(0,0)$ | 0 | |
| $A(2,0)$ | 10 | |
| $B(0,3)$ | 9 | |
| $C(\frac{20}{19}, \frac{45}{19})$ | $\frac{235}{19}$ | $arrow$ अधिकतम |
4. $Z=3 x+5 y$ को न्यूनतम करें
जो कि $x+3 y \geq 3, x+y \geq 2, x, y \geq 0$ के अंतर्गत हो।
उत्तर दिखाएं
हल
संरचना के तहत निर्धारित क्षेत्र, $x+3 y \geq 3, x+y \geq 2$, और $x$, $y \geq 0$ के निम्नलिखित हैं।
यह देखा जा सकता है कि संभाव्य क्षेत्र असीमित है।
संभाव्य क्षेत्र के कोने बिंदु $A(3,0), B(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$, और $C(0,2)$ हैं।
इन कोने बिंदुओं पर $Z$ के मान निम्नलिखित हैं।
| कोने बिंदु | $\mathbf{Z}=\mathbf{3} \boldsymbol{{}x}+\mathbf{5} \boldsymbol{{}y}$ | |
|---|---|---|
| $A(3,0)$ | 9 | |
| $B(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ | 7 | $arrow$ न्यूनतम |
| $C(0,2)$ | 10 |
क्योंकि संभव क्षेत्र असीमित है, इसलिए, 7 $Z$ का न्यूनतम मान हो सकता है या नहीं।
इसके लिए, हम असमिका $3 x+5 y<7$ के ग्राफ को खींचते हैं और जाँच करते हैं कि परिणामी अर्ध-तल संभव क्षेत्र के साथ कोई बिंदु आम नहीं है या नहीं।
देखा जा सकता है कि संभव क्षेत्र $3 x+5 y<7$ के कोई आम बिंदु नहीं है। इसलिए,
$Z$ का न्यूनतम मान 7 है बिंदु $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ पर।
5. $Z=3 x+2 y$ को अधिकतम करें
$ x+2 y \leq 10,3 x+y \leq 15, x, y \geq 0 $ के अंतर्गत।
उत्तर दिखाएं
हल
अंतर्गत शर्तों $x+2 y \leq 10,3 x+y \leq 15, x \geq 0$, और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित संभव क्षेत्र निम्नलिखित है।
संभव क्षेत्र के कोने बिंदु $A(5,0), B(4,3)$, और $C(0,5)$ हैं।
इन कोने बिंदुओं पर $Z$ के मान निम्नलिखित हैं।
| कोने बिंदु | $\mathbf{Z}=\mathbf{3 x}+\mathbf{2} \boldsymbol{{}y}$ | |
|---|---|---|
| $A(5,0)$ | 15 | |
| $B(4,3)$ | 18 | $arrow$ अधिकतम |
| $C(0,5)$ | 10 |
इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान 18 है बिंदु $(4,3)$ पर।
6. $Z=x+2 y$ को न्यूनतम करें
$2 x+y \geq 3, x+2 y \geq 6, x, y \geq 0$ के अंतर्गत।
दिखाएं कि $Z$ का न्यूनतम मान दो से अधिक बिंदुओं पर होता है।
उत्तर दिखाएं
हल
अंतर्गत शर्तों $2 x+y \geq 3, x+2 y \geq 6, x \geq 0$, और $y$ $\geq 0$ द्वारा निर्धारित संभव क्षेत्र निम्नलिखित है।
संभव क्षेत्र के कोने बिंदु $A(6,0)$ और $B(0,3)$ हैं।
$Z$ के मूल्य $ इन कोने बिंदुओं पर निम्नलिखित हैं।
| कोने बिंदु | $Z=x+2 y$ |
|---|---|
| $A(6,0)$ | 6 |
| $B(0,3)$ | 6 |
देखा जा सकता है कि बिंदुओं $A$ और $B$ पर $Z$ का मूल्य समान है। यदि हम किसी अन्य बिंदु जैसे $(2,2)$ पर रेखा $x+2 y=6$ पर जाएं, तो $Z=6$ होगा।
इसलिए, $Z$ का न्यूनतम मूल्य दो से अधिक बिंदुओं पर होता है।
इसलिए, रेखा $x+2 y=6$ पर किसी भी बिंदु पर $Z$ का मूल्य न्यूनतम होता है।
7. $Z=5 x+10 y$ को न्यूनतम और अधिकतम करें
$ x+2 y \leq 120, x+y \geq 60, x-2 y \geq 0, x, y \geq 0 $ के अंतर्गत।
उत्तर दिखाएं
हल
संरचनाओं $x+2 y \leq 120, x+y \geq 60, x-2 y \geq$ $0, x \geq 0$, और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित योग्य क्षेत्र निम्नलिखित है।
योग्य क्षेत्र के कोने बिंदु $A(60,0), B(120,0), C(60,30)$, और $D(40$, 20) हैं।
इन कोने बिंदुओं पर $Z$ के मूल्य निम्नलिखित हैं।
| कोने बिंदु | $\mathbf{Z}=\mathbf{5} \boldsymbol{{}x}+\mathbf{1 0} \boldsymbol{{}y}$ | |
|---|---|---|
| $A(60,0)$ | 300 | $arrow$ न्यूनतम |
| $B(120,0)$ | 600 | $arrow$ अधिकतम |
| $C(60,30)$ | 600 | $arrow$ अधिकतम |
| $D(40,20)$ | 400 |
$Z$ का न्यूनतम मूल्य $(60,0)$ पर 300 है और $Z$ का अधिकतम मूल्य $(120,0)$ और $(60,30)$ के बीच जुड़ी रेखा पर सभी बिंदुओं पर 600 है।
8. $Z=x+2 y$ को न्यूनतम और अधिकतम करें
$ x+2 y \geq 100,2 x-y \leq 0,2 x+y \leq$ $200, x \geq 0$, और $y \geq 0$ के अंतर्गत।
उत्तर दिखाएं
हल
संरचनाओं $x+2 y \geq 100,2 x-y \leq 0,2 x+y \leq$ $200, x \geq 0$, और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित योग्य क्षेत्र निम्नलिखित है।
कोड़े बिंदुओं के योग्य क्षेत्र के कोने बिंदु $A(0,50), B(20,40), C(50,100)$, और $D(0$, 200) हैं।
$Z$ के इन कोने बिंदुओं पर मान निम्नलिखित हैं।
| कोने बिंदु | $\mathbf{Z}=\boldsymbol{{}x}+\mathbf{2} \boldsymbol{{}y}$ | |
|---|---|---|
| $A(0,50)$ | 100 | $arrow$ न्यूनतम |
| $B(20,40)$ | 100 | $arrow$ न्यूनतम |
| $C(50,100)$ | 250 | |
| $D(0,200)$ | 400 | $arrow$ अधिकतम |
$Z$ का अधिकतम मान 400 है, जो $(0,200)$ पर है और $Z$ का न्यूनतम मान 100 है, जो बिंदुओं $(0,50)$ और $(20,40)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर सभी बिंदुओं पर है।
9. अधिकतम करें $Z=-x+2 y$, बाधा के अंतर्गत:
$$x \geq 3, x+y \geq 5, x+2 y \geq 6, y \geq 0$$
उत्तर दिखाएं
हल
बाधा द्वारा निर्धारित योग्य क्षेत्र, $x \geq 3, x+y \geq 5, x+2 y \geq 6$, और $y \geq 0$, निम्नलिखित है।
देखा जा सकता है कि योग्य क्षेत्र असीमित है।
कोने बिंदुओं $A(6,0), B(4,1)$, और $C(3,2)$ पर $Z$ के मान निम्नलिखित हैं।
| कोने बिंदु | $Z=-\boldsymbol{{}x}+\mathbf{2} \boldsymbol{{}y}$ |
|---|---|
| $A(6,0)$ | $Z=-6$ |
| $B(4,1)$ | $Z=-2$ |
| $C(3,2)$ | $Z=1$ |
क्योंकि योग्य क्षेत्र असीमित है, इसलिए $Z=1$ अधिकतम मान हो सकता है या नहीं।
इसके लिए हम असमिका, $-x+2 y>1$ को आलेखित करते हैं और जांच करते हैं कि निर्मित अर्ध-तल योग्य क्षेत्र के साथ कोई बिंदु आम नहीं है या नहीं।
निर्मित योग्य क्षेत्र योग्य क्षेत्र के साथ कोई बिंदु आम है।
इसलिए, $Z=1$ अधिकतम मान नहीं है। $Z$ का कोई अधिकतम मान नहीं है।
10. अधिकतम करें $Z=x+y$, बाधा के अंतर्गत $x-y \leq-1,-x+y \leq 0, x, y \geq 0$.
उत्तर दिखाएं
हल
बाधा द्वारा निर्धारित क्षेत्र, $x-y \leq-1,-x+y \leq 0, x, y \geq 0$, निम्नलिखित है।
कोई उपयोगी क्षेत्र नहीं है और इसलिए, $Z$ के कोई अधिकतम मान नहीं है।
बीटा
