हल

दिशा अनुपात $a, b, c$ और $b-c, c-a, a-b$ वाली रेखाओं के बीच कोण $Q$ द्वारा दिया गया है,

$\cos Q=|\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sqrt{(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}}}|$

$\Rightarrow \cos Q=0$

$\Rightarrow Q=\cos ^{-1} 0$

$\Rightarrow Q=90^{\circ}$

इसलिए, रेखाओं के बीच कोण $90^{\circ}$ है।

हल

मूल बिंदु से गुजरती और $x$-अक्ष के समानांतर रेखा $x$-अक्ष ही है।

मान लीजिए $A$ एक बिंदु है जो $x$-अक्ष पर स्थित है। इसलिए, $A$ के निर्देशांक $(a, 0, 0)$ हैं, जहां

$a \in R$।

$OA$ के दिशा अनुपात $(a-0)=a, 0, 0$ हैं।

$OA$ का समीकरण निम्नलिखित है,

$\frac{x-0}{a}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{0}$

$\Rightarrow \frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}=a$

इसलिए, मूल बिंदु से गुजरती और $x$-अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}$ है।

हल

रेखाओं $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}$ के दिशा अनुपात क्रमशः -3, $2 k, 2$ और $3 k, 1, -5$ हैं।

ज्ञात है कि दिशा अनुपात $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ वाली दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$

$\therefore -3(3 k) + 2 k \times 1 + 2(-5) = 0$

$\Rightarrow -9 k + 2 k - 10 = 0$

$\Rightarrow 7 k = -10$

$\Rightarrow k = \frac{-10}{7}$

इसलिए, $k = -\frac{10}{7}$ के लिए दी गई रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।

हल

दी गई रेखाएँ हैं

$\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$

$\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$

ज्ञात है कि दो रेखाओं $\vec{r}= \vec{a} _1+\lambda \vec{b} _1$ और $\vec{r}= \vec{a} _2+\lambda \vec{b} _2$ के बीच सबसे छोटी दूरी द्वारा दी जाती है

$d=|\frac{( \vec{b} _1 \times \vec{b} _2) \cdot( \vec{a} _2- \vec{a} _1)}{| \vec{b} _1 \times \vec{b} _2|}|$

समीकरण (1) और (2) के साथ $\vec{r}= \vec{a} _1+\lambda \vec{b} _1$ और $\vec{r}= \vec{a} _2+\lambda \vec{b} _2$ की तुलना करके हम प्राप्त करते हैं

$ \vec{a} _1=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$

$ \vec{b} _1=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$

$ \vec{a} _2=-4 \hat{i}-\hat{k}$

$ \vec{b} _2=3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$

$\Rightarrow \vec{a} _2- \vec{a} _1=(-4 \hat{i}-\hat{k})-(6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})=-10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \vec{b} _1 \times \vec{b} _2= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} =(4+4) \hat{i}-(-2-6) \hat{j}+(-2+6) \hat{k}=8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k} \\ & \therefore| \vec{b} _1 \times \vec{b} _2|=\sqrt{(8)^{2}+(8)^{2}+(4)^{2}}=12 \end{aligned} $

$ ( \vec{b} _1 \times \vec{b} _2) \cdot( \vec{a} _2- \vec{a} _1)=(8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}) \cdot(-10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k})=-80-16-12=-108 $

समीकरण (1) में सभी मान रखने पर हम प्राप्त करते हैं

$d=|\frac{-108}{12}|=9$

इसलिए, दी गई दो रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी 9 इकाई है।

हल

आवश्यक रेखा को सदिश $\vec{b}$ के समांतर मान लें, जो दिया गया है,

$\vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$

बिंदु $(1,2,3)$ का स्थिति सदिश $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ है

$(1,2,3)$ से गुजरती और $\vec{b}$ के समांतर रेखा का समीकरण निम्नलिखित है,

$$ \begin{align*} & \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \\ & \Rightarrow \vec{r}(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}) \tag{1} \end{align*} $$

दिए गए समतलों के समीकरण हैं $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})=5$

$\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$

समीकरण (1) की रेखा और समीकरण (2) के समतल समांतर हैं। अतः समीकरण (2) के समतल के अभिलम्ब और दिए गए रेखा लम्ब हैं।

$\Rightarrow(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) \cdot \lambda(b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k})=0$

$\Rightarrow \lambda(b_1-b_2+2 b_3)=0$

$\Rightarrow b_1-b_2+2 b_3=0$

इसी तरह, $(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot \lambda(b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k})=0$

$\Rightarrow \lambda(3 b_1+b_2+b_3)=0$

$\Rightarrow 3 b_1+b_2+b_3=0$

समीकरण (4) और (5) से हम प्राप्त करते हैं

$\frac{b_1}{(-1) \times 1-1 \times 2}=\frac{b_2}{2 \times 3-1 \times 1}=\frac{b_3}{1 \times 1-3(-1)}$

$\Rightarrow \frac{b_1}{-3}=\frac{b_2}{5}=\frac{b_3}{4}$

अतः $\vec{b}$ के दिशा अनुपात $-3,5$ और 4 हैं।

$\therefore \vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}=-3 \hat{i}+5 \hat{j}+4 \hat{k}$

समीकरण (1) में $\vec{b}$ के मान को रखने पर हम प्राप्त करते हैं

$\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(-3 \hat{i}+5 \hat{j}+4 \hat{k})$

यह आवश्यक रेखा का समीकरण है।