हल

(a) समतल का समीकरण $z=2$ या $0 x+0 y+z=2 \ldots$ (1)

अभिलम्ब के दिशा अनुपात 0, 0 और 1 हैं।

$\therefore \sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}=1$

समीकरण (1) के दोनों ओर 1 से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$0 . x+0 . y+1 . z=2$

यह $I x+m y+n z=d$ के रूप में है, जहाँ $l, m, n$ समतल के अभिलम्ब के दिशा कोसाइन हैं और $d$ मूल बिंदु से अभिलम्ब की दूरी है।

इसलिए, दिशा कोसाइन 0, 0 और 1 हैं और समतल मूल बिंदु से 2 इकाई की दूरी पर है।

(b) $x+y+z=1 \ldots$ (1)

अभिलम्ब के दिशा अनुपात 1, 1 और 1 हैं।

$\therefore \sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{3}$

समीकरण (1) के दोनों ओर $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\frac{1}{\sqrt{3}} x+\frac{1}{\sqrt{3}} y+\frac{1}{\sqrt{3}} z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

इस समीकरण के रूप $l x+m y+n z=d$ है, जहाँ $l, m, n$ समतल के अभिलम्ब के दिशा कोसाइन हैं और $d$ मूल बिंदु से अभिलम्ब की दूरी है।

इसलिए, अभिलम्ब के दिशा कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं और अभिलम्ब मूल बिंदु से $\frac{1}{\sqrt{3}}$ इकाई की दूरी पर है।

(c) $2 x+3 y-z=5$

अभिलम्ब के दिशा अनुपात 2, 3 और -1 हैं।

$\therefore \sqrt{(2)^{2}+(3)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{14}$

समीकरण (1) के दोनों ओर $\sqrt{14}$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\frac{2}{\sqrt{14}} x+\frac{3}{\sqrt{14}} y-\frac{1}{\sqrt{14}} z=\frac{5}{\sqrt{14}}$

इस समीकरण के रूप $l x+m y+n z=d$ है, जहाँ $l, m, n$ समतल के अभिलम्ब के दिशा कोसाइन हैं और $d$ मूल बिंदु से अभिलम्ब की दूरी है।

इसलिए, समतल के अभिलम्ब के दिशा कोसाइन $\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ और $\frac{-1}{\sqrt{14}}$ हैं और

दूरी सामान्य बिंदु से मूल बिंदु के बराबर है $\frac{5}{\sqrt{14}}$ इकाई।

(d) $5 y+8=0$

$\Rightarrow 0 x-5 y+0 z=8$

सामान्य के दिशा अनुपात $0,-5$, और 0 हैं।

$\therefore \sqrt{0+(-5)^{2}+0}=5$

समीकरण (1) के दोनों ओर 5 से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$-y=\frac{8}{5}$

इस समीकरण के रूप में $l x+m y+n z=d$ है, जहाँ $l, m, n$ समतल के सामान्य के दिशा अनुपात हैं और $d$ सामान्य की मूल बिंदु से दूरी है।

इसलिए, समतल के सामान्य के दिशा अनुपात $0,-1$, और 0 हैं और सामान्य की मूल बिंदु से दूरी $\frac{8}{5}$ इकाई है।

हल

सामान्य सदिश है, $\vec{n}=3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}$

$\therefore \hat{n}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{(3)^{2}+(5)^{2}+(6)^{2}}}=\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{70}}$

ज्ञात है कि सदिश स्थिति सदिश $\vec{r}$ के साथ समतल के समीकरण के रूप में दिया गया है, $\vec{r} \cdot \hat{n}=d$

$\Rightarrow \hat{r} \cdot(\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{70}})=7$

यह आवश्यक समतल के सदिश समीकरण है।

हल

(a) दिया गया है कि समतल का समीकरण है

$\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2$

किसी भी अस्थायी बिंदु $P(x, y, z)$ पर समतल पर, स्थिति सदिश $\vec{r}$ द्वारा दिया गया है, $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}-z \hat{k}$

समीकरण (1) में $\vec{r}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$(x \hat{i}+y \hat{j}-z \hat{k}) \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2$

$\Rightarrow x+y-z=2$

यह समतल का कार्तीय समीकरण है।

(b) $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1$

किसी भी असंगत बिंदु $P(x, y, z)$ के लिए तल पर, स्थिति सदिश $\vec{r}$ निम्नलिखित है,

$\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}-z \hat{k}$

समीकरण (1) में $\vec{r}$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं

$(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1$

$\Rightarrow 2 x+3 y-4 z=1$

यह तल का कार्तीय समीकरण है।

(c) $\vec{r} \cdot[(s-2 t) \hat{i}+(3-t) \hat{j}+(2 s+t) \hat{k}]=15$

किसी भी असंगत बिंदु $P(x, y, z)$ के लिए तल पर, स्थिति सदिश $\vec{r}$ निम्नलिखित है, $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}-z \hat{k}$

समीकरण (1) में $\vec{r}$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं

$(x \hat{i}+y \hat{j}-z \hat{k}) \cdot[(s-2 t) \hat{i}+(3-t) \hat{j}+(2 s+t) \hat{k}]=15$

$\Rightarrow(s-2 t) x+(3-t) y+(2 s+t) z=15$

यह दिए गए तल का कार्तीय समीकरण है।

हल

(a) मान लीजिए मूल बिंदु से लंब खींचे गए आधार $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हैं। $2 x+3 y+4 z-12=0$

$\Rightarrow 2 x+3 y+4 z=12$

सामान्य के दिशा अनुपात 2, 3 और 4 हैं।

$\therefore \sqrt{(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{29}$

समीकरण (1) के दोनों ओर $\sqrt{29}$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\frac{2}{\sqrt{29}} x+\frac{3}{\sqrt{29}} y+\frac{4}{\sqrt{29}} z=\frac{12}{\sqrt{29}}$

इस समीकरण के रूप $l x+m y+n z=d$ है, जहाँ $l, m, n$ तल के सामान्य के दिशा अनुपात हैं और $d$ मूल बिंदु से सामान्य की दूरी है।

लंब के आधार के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

( $l d, m d, n d)$।

इसलिए, लंब के आधार के निर्देशांक हैं

$(\frac{2}{\sqrt{29}} \cdot \frac{12}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}} \cdot \frac{12}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}} \cdot \frac{12}{\sqrt{29}})$ अर्थात, $(\frac{24}{29}, \frac{36}{49}, \frac{48}{29})$।

(b) मूल बिंदु से तल पर लंब के पाद के निर्देशांक $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हों।

$3 y+4 z-6=0$

$\Rightarrow 0 x+3 y+4 z=6$

लम्ब के दिशा अनुपात 0, 3 और 4 हैं।

$\therefore \sqrt{0+3^{2}+4^{2}}=5$

समीकरण (1) के दोनों ओर 5 से विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$0 x+\frac{3}{5} y+\frac{4}{5} z=\frac{6}{5}$

इस समीकरण के रूप $l x+m y+n z=d$ है, जहाँ $l, m, n$ तल के लम्ब के दिशा अनुपात हैं और $d$ मूल बिंदु से लम्ब की दूरी है।

लम्ब के पाद के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

$(l d, m d, n d)$.

इसलिए, लम्ब के पाद के निर्देशांक हैं

$(0, \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ अर्थात, $(0, \frac{18}{25}, \frac{24}{25})$.

(c) मूल बिंदु से तल पर लंब के पाद के निर्देशांक $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हों।

$x+y+z=1$

लम्ब के दिशा अनुपात 1, 1 और 1 हैं।

$\therefore \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$

समीकरण (1) के दोनों ओर $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$\frac{1}{\sqrt{3}} x+\frac{1}{\sqrt{3}} y+\frac{1}{\sqrt{3}} z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

इस समीकरण के रूप $l x+m y+n z=d$ है, जहाँ $l, m, n$ तल के लम्ब के दिशा अनुपात हैं और $d$ मूल बिंदु से लम्ब की दूरी है।

लम्ब के पाद के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

$(l d, m d, n d)$.

इसलिए, लम्ब के पाद के निर्देशांक हैं

$\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ अर्थात, $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$.

(d) मूल बिंदु से तल पर लंब के पाद के निर्देशांक $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हों।

$5 y+8=0$

$\Rightarrow 0 x-5 y+0 z=8$

लम्ब के दिशा अनुपात $0, -5$ और 0 हैं।

$\therefore \sqrt{0+(-5)^{2}+0}=5$

समीकरण (1) के दोनों ओर 5 से विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$-y=\frac{8}{5}$

इस समीकरण के रूप $l x+m y+n z=d$ है, जहाँ $l, m, n$ तल के लम्ब के दिशा अनुपात हैं और $d$ मूल बिंदु से लम्ब की दूरी है।

The coordinates of the foot of the perpendicular are given by

(Id, $m d, n d)$.

Therefore, the coordinates of the foot of the perpendicular are

$ (0,-1(\frac{8}{5}), 0) \text{ i.e., }(0,-\frac{8}{5}, 0) \text{. } $

Solution

(a) The position vector of point $(1,0,-2)$ is $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{k}$

The normal vector $\vec{N}$ perpendicular to the plane is $\vec{N}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$

The vector equation of the plane is given by, $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{N}=0$

$\Rightarrow[\vec{r}-(\hat{i}-2 \hat{k})] \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=0$

$\vec{r}$ is the position vector of any point $P(x, y, z)$ in the plane.

$\therefore \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$

Therefore, equation (1) becomes

$ \begin{aligned} & {[(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k})-(\hat{i}-2 \hat{k})] \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=0} \\ & \Rightarrow[(x-1) \hat{i}+y \hat{j}+(z+2) \hat{k}] \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=0 \\ & \Rightarrow(x-1)+y-(z+2)=0 \\ & \Rightarrow x+y-z-3=0 \\ & \Rightarrow x+y-z=3 \end{aligned} $

This is the Cartesian equation of the required plane.

(b) The position vector of the point $(1,4,6)$ is $\vec{a}=\hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}$

The normal vector $\vec{N}$ perpendicular to the plane is $\vec{N}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$

The vector equation of the plane is given by, $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{N}=0$

$\Rightarrow[\vec{r}-(\hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k})] \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})=0$

$\vec{r}$ is the position vector of any point $P(x, y, z)$ in the plane.

$\therefore \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$

Therefore, equation (1) becomes

$ \begin{aligned} & {[(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k})-(\hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k})] \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})=0} \\

& \Rightarrow[(x-1) \hat{i}+(y-4) \hat{j}+(z-6) \hat{k}] \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})=0 \\ & \Rightarrow(x-1)-2(y-4)+(z-6)=0 \\ & \Rightarrow x-2 y+z+1=0 \end{aligned} $

इसका कार्तीय समीकरण आवश्यक समतल का है।

हल

(a) दिए गए बिंदु $A(1,1,-1), B(6,4,-5)$, और $C(-4,-2,3)$ हैं।

$ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 6 & 4 & -5 \\ -4 & -2 & 3 \end{vmatrix} & =(12-10)-(18-20)-(-12+16) \\ & =2+2-4 \\ & =0 \end{aligned} $

क्योंकि A, B, C संरेख बिंदु हैं, इसलिए दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले समतल की संख्या अपरिमित होगी।

(b) दिए गए बिंदु A $(1,1,0), B(1,2,1)$, और $C(-2,2,-1)$ हैं।

$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{vmatrix} =(-2-2)-(2+2)=-8 \neq 0 $

इसलिए, बिंदुओं $A, B$, और $C$ से गुजरने वाला एक समतल होगा।

यह ज्ञात है कि बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1),(x_2, y_2, z_2)$, और

$ \begin{aligned} & (x_3, y_3, z_3), \text{ से गुजरने वाले समतल का समीकरण निम्नलिखित है } \\ & \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} =0 \\ & \Rightarrow \begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} =0 \\ & \Rightarrow(-2)(x-1)-3(y-1)+3 z=0 \\ & \Rightarrow-2 x-3 y+3 z+2+3=0 \\ & \Rightarrow-2 x-3 y+3 z=-5 \\ & \Rightarrow 2 x+3 y-3 z=5 \end{aligned} $

इसका कार्तीय समीकरण आवश्यक समतल का है।

हल

$2 x+y-z=5$

समीकरण (1) के दोनों ओर 5 से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\begin{aligned} & \frac{2}{5} x+\frac{y}{5}-\frac{z}{5}=1 \\ & \Rightarrow \frac{x}{\frac{5}{2}}+\frac{y}{5}+\frac{z}{-5}=1 \quad …(2)\end{aligned} $

यह ज्ञात है कि अक्षों के अपवाह द्वारा एक समतल का समीकरण $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ होता है, जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y$ और $z$ अक्षों पर काटे गए अपवाह हैं।

इसलिए, दिए गए समीकरण के लिए,

$a=\frac{5}{2}, b=5$, और $c=-5$

इसलिए, समतल द्वारा काटे गए अक्षों के अंतर्गत $\frac{5}{2}, 5$, और -5 हैं।

हल

ZOX समतल का समीकरण है

$y=0$

इसके समानांतर कोई भी समतल निम्न रूप में होता है, $y=a$

क्योंकि समतल का $y$-अपवार्ति 3 है,

$\therefore a=3$

इसलिए, आवश्यक समतल का समीकरण $y=3$ है।

हल

समतलों $3 x-y+2 z-4=0$ और $x+y+z-2=0$ के प्रतिच्छेदन के माध्यम से कोई भी समतल का समीकरण है,

$(3 x-y+2 z-4)+\alpha(x+y+z-2)=0$, जहाँ $\alpha \in R$

इस समतल के बिंदु $(2,2,1)$ से गुजरता है। इसलिए, यह बिंदु समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा।

$\therefore(3 \times 2-2+2 \times 1-4)+\alpha(2+2+1-2)=0$

$\Rightarrow 2+3 \alpha=0$

$\Rightarrow \alpha=-\frac{2}{3}$

समीकरण (1) में $\alpha=-\frac{2}{3}$ को समायोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$(3 x-y+2 z-4)-\frac{2}{3}(x+y+z-2)=0$

$\Rightarrow 3(3 x-y+2 z-4)-2(x+y+z-2)=0$

$\Rightarrow(9 x-3 y+6 z-12)-2(x+y+z-2)=0$

$\Rightarrow 7 x-5 y+4 z-8=0$

यह आवश्यक समतल का समीकरण है।

हल

समतलों के समीकरण हैं $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=7$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})=9$

$\Rightarrow \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})-7=0$

$\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})-9=0$

समीकरण (1) और (2) में दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन के माध्यम से कोई भी समतल का समीकरण निम्न रूप में होता है,

$$ \vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\right)-7+\alpha\left[\vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}\right)-9\right]=0 $$

जहाँ $\alpha$ एक वास्तविक संख्या है।

इस समतल के बिंदु $(2,1,3)$ से गुजरता है। इसलिए, यह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेगा।

$$ \vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\right)-7+\alpha\left[\vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}\right)-9\right]=0 $$

$$ \Rightarrow \left[(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot (2,1,3)\right] -7 + \alpha\left[(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot (2,1,3)\right] -9\alpha = 0 $$

$$ \Rightarrow (4 + 2 - 9) -7 + \alpha(4 + 5 + 9) -9\alpha = 0 $$

$$ \Rightarrow (-3) -7 + \alpha(18) -9\alpha = 0 $$

$$ \Rightarrow -10 + 9\alpha = 0 $$

$$ \Rightarrow \alpha = \frac{10}{9} $$

$\alpha = \frac{10}{9}$ को समीकरण में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\right)-7+\frac{10}{9}\left[\vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}\right)-9\right]=0 $$

$$ \Rightarrow \vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\right)-7+\frac{10}{9}\vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}\right)-10=0 $$

$$ \Rightarrow \vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}+\frac{10}{9}(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})\right) -17 = 0 $$

$$ \Rightarrow \vec{r} \cdot\left(2 + \frac{20}{9}, 2 + \frac{50}{9}, -3 + \frac{30}{9}\right) -17 = 0 $$

$$ \Rightarrow \vec{r} \cdot\left(\frac{38}{9}, \frac{68}{9}, \frac{0}{9}\right) -17 = 0 $$

$$ \Rightarrow \vec{r} \cdot\left(\frac{38}{9}, \frac{68}{9}, 0\right) = 17 $$

यह आवश्यक समतल का सदिश समीकरण है।

$[\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})-7]+\lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})-9]=0$, जहाँ $\lambda \in R$

$$ \begin{align*} & \vec{r} \cdot[(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})]=9 \lambda+7 \\ & \vec{r} \cdot[(2+2 \lambda) \hat{i}+(2+5 \lambda) \hat{j}+(3 \lambda-3) \hat{k}]=9 \lambda+7 \tag{3} \end{align*} $$

समतल बिंदु $(2,1,3)$ से गुजरता है। इसलिए, इसका स्थिति सदिश निम्नलिखित है, $\vec{r}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$

समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & (2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}) \cdot[(2+2 \lambda) \hat{i}+(2+5 \lambda) \hat{j}+(3 \lambda-3) \hat{k}]=9 \lambda+7 \\ & \Rightarrow(2+2 \lambda)+(2+5 \lambda)+(3 \lambda-3)=9 \lambda+7 \\ & \Rightarrow 18 \lambda-3=9 \lambda+7 \\ & \Rightarrow 9 \lambda=10 \\ & \Rightarrow \lambda=\frac{10}{9} \end{aligned} $

$\lambda=\frac{10}{9}$ को समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\vec{r} \cdot(\frac{38}{9} \hat{i}+\frac{68}{9} \hat{j}+\frac{3}{9} \hat{k})=17$

$\Rightarrow \vec{r} \cdot(38 \hat{i}+68 \hat{j}+3 \hat{k})=153$

यह अभीष्ट समतल का सदिश समीकरण है।

हल

समतलों $x+y+z=1$ और

$$ \begin{align*} & 2 x+3 y+4 z=5, \text{ है } \\ & (x+y+z-1)+\lambda(2 x+3 y+4 z-5)=0 \\ & \Rightarrow(2 \lambda+1) x+(3 \lambda+1) y+(4 \lambda+1) z-(5 \lambda+1)=0 \tag{1} \end{align*} $$

इस समतल के दिशा अनुपात, $a_1, b_1, c_1$, हैं $(2 \lambda+1),(3 \lambda+1)$, और $(4 \lambda+1)$।

समीकरण (1) के समतल के लंबवत समतल $x-y+z=0$ है।

इसके दिशा अनुपात, $a_2, b_2, c_2$, हैं $1,-1$, और 1 ।

क्योंकि समतल लंबवत हैं,

$a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0$

$\Rightarrow(2 \lambda+1)-(3 \lambda+1)+(4 \lambda+1)=0$

$\Rightarrow 3 \lambda+1=0$

$\Rightarrow \lambda=-\frac{1}{3}$

$\lambda=-\frac{1}{3}$ को समीकरण (1) में बदलते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$\frac{1}{3} x-\frac{1}{3} z+\frac{2}{3}=0$

$\Rightarrow x-z+2=0$

यह तल का अभीष्ट समीकरण है।

हल

दिए गए तलों के समीकरण $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3$ हैं।

ज्ञात है कि यदि $ \vec{n} _1$ और $ \vec{n} _2$ तलों के अभिलम्ब हैं, $\vec{r} \cdot \vec{n} _1=d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n} _2=d_2$, तो उनके बीच कोण, $Q$, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$\cos Q=|\frac{ \vec{n} _1 \cdot \vec{n} _2}{| \vec{n} _1|| \vec{n} _2|}|$

यहाँ, $ \vec{n} _1=2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ और $ \vec{n} _2=3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$

$\therefore \vec{n} _1 \cdot \vec{n} _2=(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=2.3+2 \cdot(-3)+(-3) \cdot 5=-15$

$| \vec{n} _1|=\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{17}$

$| \vec{n} _2|=\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{43}$

$\vec{n} \cdot \vec{n} _2,| \vec{n} _1|$ और $| \vec{n} _2|$ के मान को समीकरण (1) में बदलते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$\cos Q=|\frac{-15}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{43}}|$

$\Rightarrow \cos Q=\frac{15}{\sqrt{731}}$

$\Rightarrow \cos Q^{-1}=(\frac{15}{\sqrt{731}})$

हल

तल, $L_1: a_1 x+b_1 y+c_1 z=0$ के अभिलम्ब के दिशा अनुपात $a_1, b_1, c_1$ हैं और $L_2: a_1 x+b_2 y+c_2 z=0$ के अभिलम्ब के दिशा अनुपात $a_2, b_2, c_2$ हैं।

$L_1 | L_2$, यदि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

$L_1 \perp L_2$, यदि $a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0$

$ L_1 $ और $ L_2 $ के बीच कोण द्वारा दिया गया है,

$Q=\cos ^{-1}|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2} \cdot \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}}|$

(a) तलों के समीकरण $7 x+5 y+6 z+30=0$ और

$3 x-y-10 z+4=0$ हैं

यहाँ, $a_1=7, b_1=5, c_1=6$ $a_2=3, b_2=-1, c_2=-10$

$a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=7 \times 3+5 \times(-1)+6 \times(-10)=-44 \neq 0$

इसलिए, दिए गए तल एक दूसरे के लंब नहीं हैं।

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{7}{3}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{-1}=-5, \frac{c_1}{c_2}=\frac{6}{-10}=\frac{-3}{5}$

देखा जा सकता है कि, $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \neq, \frac{c_1}{c_2}$

इसलिए, दिए गए तल एक दूसरे के समांतर नहीं हैं।

उनके बीच कोण द्वारा दिया गया है,

$ \begin{aligned} Q & =\cos ^{-1}|\frac{7 \times 3+5 \times(-1)+6 \times(-10)}{\sqrt{(7)^{2}+(5)^{2}+(6)^{2}} \times \sqrt{(3)^{2}+(-1)^{2}+(-10)^{2}}}| \\ & =\cos ^{-1}|\frac{21-5-60}{\sqrt{110} \times \sqrt{110}}| \\ & =\cos ^{-1} \frac{44}{110} \\ & =\cos ^{-1} \frac{2}{5} \end{aligned} $

(b) तलों के समीकरण $2 x+y+3 z-2=0$ और $x-2 y+5=0$ हैं

यहाँ, $a_1=2, b_1=1, c_1=3$ और $a_2=1, b_2=-2, c_2=0$

$\therefore a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=2 \times 1+1 \times(-2)+3 \times 0=0$

इसलिए, दिए गए तल एक दूसरे के लंब हैं।

(c) दिए गए तलों के समीकरण $2 x-2 y+4 z+5=0$ और $3 x-3 y+6 z-1=0$ हैं

यहाँ, $a_1=2, b_1-2, c_1=4$ और

$a_2=3, b_2=-3, c_2=6 \quad a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=2 \times 3+(-2)(-3)+4 \times 6=6+6+24=36 \neq 0$

इसलिए, दिए गए तल एक दूसरे के लंब नहीं हैं।

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$ और $\frac{c_1}{c_2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

इसलिए, दिए गए तल एक दूसरे के समांतर हैं।

(d) तलों के समीकरण $2 x-y+3 z-1=0$ और $2 x-y+3 z+3=0$ हैं

यहाँ, $a_1=2, b_1=-1, c_1=3$ और $a_2=2, b_2=-1, c_2=3$

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{2}=1, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-1}=1$ और $\frac{c_1}{c_2}=\frac{3}{3}=1$

$\therefore \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

इसलिए, दिए गए रेखाएँ एक दूसरे के समांतर हैं।

(e) दिए गए समतलों के समीकरण $4 x+8 y+z-8=0$ और $y+z-4=0$ हैं

यहाँ, $a_1=4, b_1=8, c_1=1$ और $a_2=0, b_2=1, c_2=1$

$a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=4 \times 0+8 \times 1+1=9 \neq 0$

इसलिए, दिए गए रेखाएँ एक दूसरे के लंब नहीं हैं।

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{0}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{8}{1}=8, \frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{1}=1$

$\therefore \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \neq, \frac{c_1}{c_2}$

इसलिए, दिए गए रेखाएँ एक दूसरे के समांतर नहीं हैं।

समतलों के बीच कोण द्वारा दिया गया है,

$Q=\cos ^{-1}|\frac{4 \times 0+8 \times 1+1 \times 1}{\sqrt{4^{2}+8^{2}+1^{2}} \times \sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}}|=\cos ^{-1}|\frac{9}{9 \times \sqrt{2}}|=\cos ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=45^{\circ}$

हल

ज्ञात है कि बिंदु $p(x_1, y_1, z_1)$ और समतल $A x+B y+C z=$ $D$ के बीच की दूरी द्वारा दी गई है,

$d=|\frac{A x_1+B y_1+C z_1-D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}|$

(a) दिया गया बिंदु $(0,0,0)$ और समतल $3 x-4 y+12 z=3$ है

$\therefore d=|\frac{3 \times 0-4 \times 0+12 \times 0-3}{\sqrt{(3)^{2}+(-4)^{2}+(12)^{2}}}|=\frac{3}{\sqrt{169}}=\frac{3}{13}$

(b) दिया गया बिंदु $(3,-2,1)$ और समतल $2 x-y+2 z+3=0$ है

$\therefore=|\frac{2 \times 3-(-2)+2 \times 1+3}{\sqrt{(2)^{2}+(-1)^{2}+(2)^{2}}}|=|\frac{13}{3}|=\frac{13}{3}$

(c) दिया गया बिंदु $(2,3,-5)$ और समतल $x+2 y-2 z=9$ है

$\therefore d=|\frac{2+2 \times 3-2(-5)-9}{\sqrt{(1)^{2}+(2)^{2}+(-2)^{2}}}|=\frac{9}{3}=3$

(d) दिया गया बिंदु $(-6,0,0)$ और समतल $2 x-3 y+6 z-2=0$ है

$ d=|\frac{2(-6)-3 \times 0+6 \times 0-2}{\sqrt{(2)^{2}+(-3)^{2}+(6)^{2}}}|=|\frac{-14}{\sqrt{49}}|=\frac{14}{7}=2 $