हल

दो रेखाओं के निर्देश अनुपात $l_1, m_1, n_1$ और $l_2, m_2, n_2$ एक दूसरे के लंब होते हैं, यदि $l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2=0$

(i) निर्देश अनुपात $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ और $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ वाली रेखाओं के लिए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2 & =\frac{12}{13} \times \frac{4}{13}+(\frac{-3}{13}) \times \frac{12}{13}+(\frac{-4}{13}) \times \frac{3}{13} \\ & =\frac{48}{169}-\frac{36}{169}-\frac{12}{169} \\ & =0 \end{aligned} $

इसलिए, रेखाएँ लंब हैं।

(ii) निर्देश अनुपात $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ और $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ वाली रेखाओं के लिए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2 & =\frac{4}{13} \times \frac{3}{13}+\frac{12}{13} \times(\frac{-4}{13})+\frac{3}{13} \times \frac{12}{13} \\ & =\frac{12}{169}-\frac{48}{169}+\frac{36}{169} \\ & =0 \end{aligned} $

इसलिए, रेखाएँ लंब हैं।

(iii) निर्देश अनुपात $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ और $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ वाली रेखाओं के लिए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2 & =(\frac{3}{13}) \times(\frac{12}{13})+(\frac{-4}{13}) \times(\frac{-3}{13})+(\frac{12}{13}) \times(\frac{-4}{13}) \\ & =\frac{36}{169}+\frac{12}{169}-\frac{48}{169} \\ & =0 \end{aligned} $

इसलिए, रेखाएँ लंब हैं।

इसलिए, सभी रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

हल

मान लीजिए $AB$ बिंदुओं $(1,-1,2)$ और $(3,4,-2)$ को मिलाने वाली रेखा है, और $CD$ बिंदुओं $(0,3,2)$ और $(3,5,6)$ को मिलाने वाली रेखा है।

$AB$ के दिशा अनुपात, $a_1, b_1, c_1$, $(3-1),(4-(-1))$, और $(-2-2)$ अर्थात 2, 5, और -4 हैं।

$CD$ के दिशा अनुपात, $a_2, b_2, c_2$, $(3-0),(5-3)$, और $(6-2)$ अर्थात 3, 2, और 4 हैं।

$AB$ और $CD$ एक दूसरे के लंब होंगे, यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$

$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 2 \times 3 + 5 \times 2 + (-4) \times 4$

$= 6 + 10 - 16$

$= 0$

इसलिए, $AB$ और $CD$ एक दूसरे के लंब हैं।

हल

मान लीजिए $AB$ बिंदुओं $(4,7,8)$ और $(2,3,4)$ से गुजरने वाली रेखा है, और $CD$ बिंदुओं $(-1,-2,1)$ और $(1,2,5)$ से गुजरने वाली रेखा है।

$AB$ के दिशा अनुपात, $a_1, b_1, c_1$, $(2-4),(3-7)$, और $(4-8)$ अर्थात $-2,-4$, और -4 हैं।

$CD$ के दिशा अनुपात, $a_2, b_2, c_2$, $(1-(-1)),(2-(-2))$, और (5 - 1) अर्थात 2, 4, और 4 हैं। $AB$ और $CD$ समांतर होंगे, यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{2} = -1$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{4} = -1$

$\therefore \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

इसलिए, $AB$ और $CD$ समांतर हैं।

हल

दिया गया है कि रेखा बिंदु $A(1,2,3)$ से गुजरती है। इसलिए, बिंदु A के स्थिति सदिश $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ है।

$\vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$

ज्ञात है कि बिंदु A से गुजरने वाली रेखा जो $\vec{b}$ के समांतर है, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$, जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है।

$\Rightarrow \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})$

यह रेखा के आवश्यक समीकरण है।

हल

दिया गया है कि रेखा अवस्थिति सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}$ वाले बिंदु से गुजरती है

$\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$

ज्ञात है कि एक बिंदु $\vec{a}$ से गुजरती और $\vec{b}$ के समानांतर रेखा के समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है

$\Rightarrow \vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})$

यह रेखा के आवश्यक वेक्टर रूप का समीकरण है।

$\vec{r}=x \hat{i}-y \hat{j}+z \hat{k}$

$\Rightarrow x \hat{i}-y \hat{j}+z \hat{k}=(\lambda+2) \hat{i}+(2 \lambda-1) \hat{j}+(-\lambda+4) \hat{k}$

$\lambda$ को बरकरार रखते हुए, हम कार्तीय रूप के समीकरण को प्राप्त करते हैं

$\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{-1}$

यह दी गई रेखा के आवश्यक कार्तीय रूप का समीकरण है।

हल

दिया गया है कि रेखा बिंदु $(-2,4,-5)$ से गुजरती है और $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ के समानांतर है

रेखा $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ के दिशा अनुपात 3, 5 और 6 हैं।

अतः आवश्यक रेखा $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ के समानांतर है

इसलिए, इसके दिशा अनुपात $3 k, 5 k$ और $6 k$ हैं, जहां $k \neq 0$

ज्ञात है कि बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरती और दिशा अनुपात $a, b, c$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ द्वारा दिया जाता है

इसलिए आवश्यक रेखा का समीकरण है

$\frac{x+2}{3 k}=\frac{y-4}{5 k}=\frac{z+5}{6 k}$

$\Rightarrow \frac{x+2}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+5}{6}=k$

हल

रेखा का कार्तीय समीकरण है

$\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}$

दी गई रेखा बिंदु $(5,-4,6)$ से गुजरती है। इस बिंदु का स्थिति सदिश है

$\vec{a}=5 \hat{i}-4 \hat{j}+6 \hat{k}$

इसके अतिरिक्त, दी गई रेखा के दिशा अनुपात 3, 7 और 2 हैं।

इसका अर्थ है कि रेखा सदिश $\vec{b}=3 \hat{i}+7 \hat{j}+2 \hat{k}$ की दिशा में है।

ज्ञात है कि स्थिति सदिश $\vec{a}$ वाले बिंदु से गुजरती और $\vec{b}$ की दिशा में जाने वाली रेखा का समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}, \lambda \in R$ होता है।

$\Rightarrow \vec{r}=(5 \hat{i}-4 \hat{j}+6 \hat{k})+\lambda(3 \hat{i}+7 \hat{j}+2 \hat{k})$

इस प्रकार दी गई रेखा का अभीष्ट सदिश रूप का समीकरण है।

हल

(i) मान लीजिए $Q$ दी गई रेखाओं के बीच कोण है।

दी गई रेखा युग्म के बीच कोण द्वारा दिया गया है, $\cos Q=|\frac{ \vec{b} _1 \cdot \vec{b} _2}{| \vec{b} _1|| \vec{b} _2|}|$

दी गई रेखाएँ क्रमशः सदिशों $ \vec{b} _1=3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ और $ \vec{b} _2=\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ के समानुपाती हैं।

$ \begin{aligned} \therefore| \vec{b} _1| & =\sqrt{3^{2}+2^{2}+6^{2}}=7 \\ | \vec{b} _2| & =\sqrt{(1)^{2}+(2)^{2}+(2)^{2}}=3 \\ \vec{b} _1 \cdot \vec{b} _2 & =(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) \\ & =3 \times 1+2 \times 2+6 \times 2 \\ & =3+4+12 \\ & =19

\end{aligned} $

$\Rightarrow \cos Q=\frac{19}{7 \times 3}$

$\Rightarrow Q=\cos ^{-1}(\frac{19}{21})$

(ii) दिए गए रेखाएँ क्रमशः सदिशों $ \vec{b} _1=\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ और $ \vec{b} _2=3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k}$ के समानांतर हैं।

$ \begin{aligned} & \therefore| \vec{b} _1|=\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{6} \\ & | \vec{b} _2|=\sqrt{(3)^{2}+(-5)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} \\ & \vec{b} _1 \cdot \vec{b} _2=(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k}) \\ & =1 \cdot 3-1(-5)-2(-4) \\ & =3+5+8 \\ & =16 \\ & \cos Q=|\frac{ \vec{b} _1 \cdot \vec{b} _2}{| \vec{b} _1|| \vec{b} _2|}| \\ & \Rightarrow \cos Q=\frac{16}{\sqrt{6} \cdot 5 \sqrt{2}}=\frac{16}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 5 \sqrt{2}}=\frac{16}{10 \sqrt{3}} \\ & \Rightarrow \cos Q=\frac{8}{5 \sqrt{3}} \\ & \Rightarrow Q=\cos ^{-1}(\frac{8}{5 \sqrt{3}}) \end{aligned} $

Solution

मान लीजिए $ \vec{b} _1$ और $ \vec{b} _2$ दिए गए रेखा युग्म के समानांतर सदिश हैं,

$ \begin{aligned} & \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3} \text{ और } \frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4} \text{ क्रमशः } \\ & \therefore \vec{b} _1=2 \hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k} \text{ और } \vec{b} _2=-\hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k} \\ & | \vec{b} _1|=\sqrt{(2)^{2}+(5)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{38} \\ & | \vec{b} _2|=\sqrt{(-1)^{2}+(8)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{81}=9 \\ & \vec{b} _1 \cdot \vec{b} _2=(2 \hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot(-\hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}) \\ & =2(-1)+5 \times 8+(-3) \cdot 4 \\ & =-2+40-12 \\ & =26 \end{aligned} $

दिए गए रेखा युग्म के बीच कोण $Q$, निम्न संबंध द्वारा दिया गया है,

$ \begin{aligned} & \cos Q=|\frac{ \vec{b} _1 \cdot \vec{b} _2}{| \vec{b} _1|| \vec{b} _2|}| \\

& \Rightarrow \cos Q=\frac{26}{9 \sqrt{38}} \\ & \Rightarrow Q=\cos ^{-1}(\frac{26}{9 \sqrt{38}}) \end{aligned} $

(ii) मान लीजिए $ \vec{b} _1, \vec{b} _2$ दिए गए दो रेखाओं के समान्तर वेक्टर हैं, $\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ और $\frac{x-5}{4}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-3}{8}$ क्रमशः।

$ \begin{aligned} & \vec{b} _1=2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k} \\ & \vec{b} _2=4 \hat{i}+\hat{j}+8 \hat{k} \\ & \therefore| \vec{b} _1|=\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{9}=3 \\ & | \vec{b} _2|=\sqrt{4^{2}+1^{2}+8^{2}}=\sqrt{81}=9 \\ & \vec{b} _1 \cdot \vec{b} _2=(2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) \cdot(4 \hat{i}+\hat{j}+8 \hat{k}) \\ & \quad=2 \times 4+2 \times 1+1 \times 8 \\ & \quad=8+2+8 \\ & \quad=18 \end{aligned} $

यदि $Q$ दिए गए दो रेखाओं के बीच कोण है, तो $\cos Q=|\frac{ \vec{b} _1 \cdot \vec{b} _2}{| \vec{b} _1|| \vec{b} _2|}|$

$\Rightarrow \cos Q=\frac{18}{3 \times 9}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow Q=\cos ^{-1}(\frac{2}{3})$

हल

दी गई समीकरणों को मानक रूप में लिखा जा सकता है:

$ \frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{\frac{2 p}{7}}=\frac{z-3}{2} \text{ और } \frac{x-1}{\frac{-3 p}{7}}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5} $

रेखाओं के दिशा अनुपात क्रमशः $-3, \frac{2 p}{7}, 2$ और $\frac{-3 p}{7}, 1,-5$ हैं।

दो रेखाओं के दिशा अनुपात $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ एक दूसरे के लम्ब होते हैं, यदि $a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0$ $\therefore(-3) \cdot(\frac{-3 p}{7})+(\frac{2 p}{7}) \cdot(1)+2 \cdot(-5)=0$

$\Rightarrow \frac{9 p}{7}+\frac{2 p}{7}=10$

$\Rightarrow 11 p=70$

$\Rightarrow p=\frac{70}{11}$

इस प्रकार, $p$ का मान $\frac{70}{11}$ है।

हल

दिए गए रेखाओं के समीकरण हैं $\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}$ और $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$

दिए गए रेखाओं के दिशा अनुपात क्रमशः $7,-5,1$ और $1,2,3$ हैं।

दो रेखाओं के दिशा अनुपात $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ हों, तो यदि वे एक दूसरे के लंब हों, तो $a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0$

$\therefore 7 \times 1+(-5) \times 2+1 \times 3$

$=7-10+3$

$=0$

इसलिए, दी गई रेखाएँ एक दूसरे के लंब हैं।

हल

दिए गए रेखाओं के समीकरण हैं

$\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$

$\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}+\mu(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$

ज्ञात है कि रेखाओं $\vec{r}= \vec{a} _1+\lambda \vec{b} _1$ और $\vec{r}= \vec{a} _2+\mu \vec{b} _2$ के बीच सबसे छोटी दूरी द्वारा दी गई है,

$d=|\frac{( \vec{b} _1 \times \vec{b} _2) \cdot( \vec{a} _2- \vec{a} _1)}{|\overrightarrow{{}b_1} \times \vec{b} _2|}|$

दिए गए समीकरणों की तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \vec{a} _1=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k} \\ & \vec{b} _1=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \\ & \vec{a} _2=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k} \\ & \vec{b} _2=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} \\ & \vec{a} _2- \vec{a} _1=(2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})=\hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k} \\ & \vec{b} _1 \times \vec{b} _2= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\ & \vec{b} _1 \times \vec{b} _2=(-2-1) \hat{i}-(2-2) \hat{j}+(1+2) \hat{k}=-3 \hat{i}+3 \hat{k} \\ & \Rightarrow| \vec{b} _1 \times \vec{b} _2|=\sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \end{aligned} $

समीकरण (1) में सभी मान रखने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & d=|\frac{(-3 \hat{i}+3 \hat{k}) \cdot(\hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k})}{3 \sqrt{2}}| \\ & \Rightarrow d=|\frac{-3.1+3(-2)}{3 \sqrt{2}}| \\ & \Rightarrow d=|\frac{-9}{3 \sqrt{2}}| \\ & \Rightarrow d=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2} \end{aligned} $

इसलिए, दो रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ इकाई है।

हल

दी गई रेखाएँ $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ हैं

ज्ञात है कि दो रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी,

$\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$, द्वारा दी गई है,

$d=\frac{ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2\end{vmatrix} }{\sqrt{(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}+(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}}}$

दी गई समीकरणों की तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & x_1=-1, y_1=-1, z_1=-1 \\ & a_1=7, \quad b_1=-6, c_1=1 \\ & x_2=3, \quad y_2=5, z_2=7 \\ & a_2=1, \quad b_2=-2, c_2=1 \\ & \text{ तब, } \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 6 & 8 \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \\ & =4(-6+2)-6(7-1)+8(-14+6) \\ & =-16-36-64 \\ & =-116 \\ & \Rightarrow \sqrt{(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}+(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}}=\sqrt{(-6+2)^{2}+(1+7)^{2}+(-14+6)^{2}} \\ & =\sqrt{16+36+64} \\ & =\sqrt{116} \\ & =2 \sqrt{29} \end{aligned} $

समीकरण (1) में सभी मानों को बदलकर हम प्राप्त करते हैं

$d=\frac{-116}{2 \sqrt{29}}=\frac{-58}{\sqrt{29}}=\frac{-2 \times 29}{\sqrt{29}}=-2 \sqrt{29}$

क्योंकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है, दी गई रेखाओं के बीच दूरी $2 \sqrt{29}$ इकाई है।

हल

दिए गए रेखाएँ $\vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})$ हैं

ज्ञात है कि रेखाओं $\vec{r}= \vec{a} _1+\lambda \vec{b} _1$ और $\vec{r}= \vec{a} _2+\mu \vec{b} _2$ के बीच सबसे छोटी दूरी द्वारा दी गई है, $d=|\frac{( \vec{b} _1 \times \vec{b} _2) \cdot( \vec{a} _2- \vec{a} _1)}{| \vec{b} _1 \times \vec{b} _2|}|$

दिए गए समीकरणों को $\vec{r}= \vec{a} _1+\lambda \vec{b} _1$ और $\vec{r}= \vec{a} _2+\mu \vec{b} _2$ के साथ तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \vec{a} _1=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ & \vec{b} _1=\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k} \\ & \vec{a} _2=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k} \\ & \vec{b} _2=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k} \\ & \vec{a} _2- \vec{a} _1=(4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})-(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k} \\ & \vec{b} _1 \times \vec{b} _2= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} =(-3-6) \hat{i}-(1-4) \hat{j}+(3+6) \hat{k}=-9 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k} \\ & \Rightarrow| \vec{b} _1 \times \vec{b} _2|=\sqrt{(-9)^{2}+(3)^{2}+(9)^{2}}=\sqrt{81+9+81}=\sqrt{171}=3 \sqrt{19} \\ & ( \vec{b} _1 \times \vec{b} _2) \cdot( \vec{a} _2- \vec{a} _1)=(-9 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}) \\ & =-9 \times 3+3 \times 3+9 \times 3 \\ & =9 \end{aligned} $

समीकरण (1) में सभी मान रखने पर हम प्राप्त करते हैं

$d=|\frac{9}{3 \sqrt{19}}|=\frac{3}{\sqrt{19}}$

इसलिए, दो दिए गए रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी $\frac{3}{\sqrt{19}}$ इकाई है।

हल

दिए गए रेखाएँ हैं $\vec{r}=(1-t) \hat{i}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k}$

$\Rightarrow \vec{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})+t(-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$

$\vec{r}=(s+1) \hat{i}+(2 s-1) \hat{j}-(2 s+1) \hat{k}$

$\Rightarrow \vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+s(\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})$

ज्ञात है कि दो रेखाओं $\vec{r}= \vec{a} _1+\lambda \vec{b} _1$ और $\vec{r}= \vec{a} _2+\mu \vec{b} _2$ के बीच न्यूनतम दूरी द्वारा दी गई है,

$d=|\frac{( \vec{b} _1 \times \vec{b} _2) \cdot( \vec{a} _2- \vec{a} _1)}{| \vec{b} _1 \times \vec{b} _2|}|$

दिए गए समीकरणों के लिए,

$ \vec{a} _1=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$

$ \vec{b} _1=-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$

$ \vec{a} _2=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$

$ \vec{b} _2=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$

$ \vec{a} _2- \vec{a} _1=(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})=\hat{j}-4 \hat{k}$

$ \vec{b} _1 \times \vec{b} _2= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2\end{vmatrix} =(-2+4) \hat{i}-(2+2) \hat{j}+(-2-1) \hat{k}=2 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}$

$\Rightarrow| \vec{b} _1 \times \vec{b} _2|=\sqrt{(2)^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}$

$\therefore( \vec{b} _1 \times \vec{b} _2) \cdot( \vec{a} _2- \vec{a} _1)=(2 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot(\hat{j}-4 \hat{k})=-4+12=8$

समीकरण (3) में सभी मान रखने पर हम प्राप्त करते हैं

$d=|\frac{8}{\sqrt{29}}|=\frac{8}{\sqrt{29}}$

इसलिए, रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी $\frac{8}{\sqrt{29}}$ इकाई है।