हल

यदि $\vec{r}$ $X Y$-तल में एक एकक सदिश है, तो $\vec{r}=\cos \theta \hat{i}+\sin \theta \hat{j}$।

यहाँ, $\theta$ एकक सदिश के $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ बनाये गए कोण है।

इसलिए, $\theta=30^{\circ}$ के लिए:

$\vec{r}=\cos 30^{\circ} \hat{i}+\sin 30^{\circ} \hat{j}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \hat{i}+\dfrac{1}{2} \hat{j}$

अतः, आवश्यक एकक सदिश $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \hat{i}+\dfrac{1}{2} \hat{j}$ है।

हल

बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले सदिश को इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है, $\overrightarrow{{}PQ}=$ $Q$ का स्थिति सदिश - $P$ का स्थिति सदिश

$ =(x_2-x_1) \hat{i}+(y_2-y_1) \hat{j}+(z_2-z_1) \hat{k} $

$ |\overrightarrow{{}PQ}|=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

अतः, दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश के अदिश घटक और उसके परिमाण क्रमशः ${(x_2-x_1),(y_2-y_1),(z_2-z_1)}$ और $\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$ हैं।

हल

मान लीजिए $O$ और $B$ क्रमशः लड़की के प्रारंभिक और अंतिम स्थिति हैं। तब, लड़की की स्थिति इस प्रकार दर्शाई जा सकती है:

अब, हमारे पास है:

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{{}OA} & =-4 \hat{i} \\ \overrightarrow{{}AB} & =\hat{i}|\overrightarrow{{}AB}| \cos 60^{\circ}+\hat{j}|\overrightarrow{{}AB}| \sin 60^{\circ} \\ & =\hat{i} 3 \times \dfrac{1}{2}+\hat{j} 3 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & =\dfrac{3}{2} \hat{i}+\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j} \end{aligned} $$

त्रिभुज के वेक्टर जोड़ के नियम के अनुसार, हमारे पास है:

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{{}OB} & =\overrightarrow{{}OA}+\overrightarrow{{}AB} \\ & =(-4 \hat{i})+(\dfrac{3}{2} \hat{i}+\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}) \\ & =(-4+\dfrac{3}{2}) \hat{i}+\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j} \\ & =(\dfrac{-8+3}{2}) \hat{i}+\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j} \\ & =\dfrac{-5}{2} \hat{i}+\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j} \end{aligned} $$

इसलिए, लड़की के अपने प्रारंभिक बिंदु से विस्थापन है

$$ \dfrac{-5}{2} \hat{i}+\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j} $$

हल

$\triangle ABC$ में, मान लीजिए $\overrightarrow{{}CB}=\vec{a}, \overrightarrow{{}CA}=\vec{b}$, और $\overrightarrow{{}AB}=\vec{c}$ (जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है)।

अब, वेक्टर जोड़ के त्रिभुज नियम के अनुसार, हमारे पास $\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$ है।

यह स्पष्ट रूप से ज्ञात है कि $|\vec{a}|,|\vec{b}|$, और $|\vec{c}|$ $\triangle ABC$ के तीनों भुजाओं को प्रदर्शित करते हैं।

इसके अतिरिक्त, यह ज्ञात है कि त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है।

$\therefore|\vec{a}|<|\vec{b}|+|\vec{c}|$

मान लीजिए $\vec a = 2\hat i +2\hat j+2\hat k, \vec b= -\hat i+\hat j+ 0 \hat k, \vec c=3\hat i +\hat j+2\hat k$

$\vec b+ \vec c = 2\hat i +2\hat j+2\hat k=\vec a$

$\Rightarrow \vec a = \vec b + \vec c$

अब

$|\vec a|= \sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}$

$|\vec b |= \sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

$|\vec c|= \sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$

$|\vec b|+|\vec c|=\sqrt{2}+\sqrt{14} $

$|\vec a|=\sqrt{12}$

$\therefore \sqrt{12}\neq \sqrt{2}+ \sqrt{14}$

इसलिए, $|\vec{a}|=|\vec{b}|+|\vec{c}|$ के लिए यह सत्य नहीं है।

हल

यदि $x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ एक इकाई सदिश है तो $|x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})|=1$ होगा।

अब,

$|x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})|=1$

$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+x^{2}+x^{2}}=1$

$\Rightarrow \sqrt{3 x^{2}}=1$

$\Rightarrow \sqrt{3} x=1$

$\Rightarrow x= \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

इसलिए, $x$ के अभीष्ट मान के लिए $x= \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ है।

हल

हम जानते हैं,

$\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$

मान लीजिए $\vec{c}$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के परिणामी है।

तब,

$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=(2+1) \hat{i}+(3-2) \hat{j}+(-1+1) \hat{k}=3 \hat{i}+\hat{j}$

$\therefore|\vec{c}|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

$\therefore \hat{c}=\dfrac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=\dfrac{(3 \hat{i}+\hat{j})}{\sqrt{10}}$

इसलिए, सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के परिणामी के समान्तर एक सदिश जिसका परिमाण 5 इकाई हो इसका मान है

$ 5 \cdot \hat{c}= 5 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{j})= \dfrac{3 \sqrt{10} }{2}\hat{i} + \dfrac{\sqrt{10}}{2} \hat{j}$.

हल

हम जानते हैं,

$ \begin{aligned} & \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k} \text{ और } \vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} \\

$$ \begin{aligned} 2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c} & =2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})+3(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}) \\ & =2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}-2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}+3 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k} \\ & =3 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k} \end{aligned} \\ & \begin{aligned} |2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}| & =\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+9+4}=\sqrt{22} \end{aligned} \end{aligned} $$

अतः, $2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}$ के अनुदिश एक इकाई सदिश है

$$ \dfrac{2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}}{|2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}|}=\dfrac{3 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{22}}=\dfrac{3}{\sqrt{22}} \hat{i}-\dfrac{3}{\sqrt{22}} \hat{j}+\dfrac{2}{\sqrt{22}} \hat{k} $$

हल

दिए गए बिंदु $A(1,-2,-8), B(5,0,-2)$ और $C(11,3,7)$ हैं।

$\therefore \overrightarrow{{}AB}=(5-1) \hat{i}+(0+2) \hat{j}+(-2+8) \hat{k}=4 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$

$$ \overrightarrow{{}BC}=(11-5) \hat{i}+(3-0) \hat{j}+(7+2) \hat{k}=6 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k} $$

$\overrightarrow{{}AC}=(11-1) \hat{i}+(3+2) \hat{j}+(7+8) \hat{k}=10 \hat{i}+5 \hat{j}+15 \hat{k}$

$|\overrightarrow{{}AB}|=\sqrt{4^{2}+2^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+4+36}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14}$

$|\overrightarrow{{}BC}|=\sqrt{6^{2}+3^{2}+9^{2}}=\sqrt{36+9+81}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14}$

$|\overrightarrow{{}AC}|=\sqrt{10^{2}+5^{2}+15^{2}}=\sqrt{100+25+225}=\sqrt{350}=5 \sqrt{14}$

$\therefore|\overrightarrow{{}AC}|=|\overrightarrow{{}AB}|+|\overrightarrow{{}BC}|$

अतः, दिए गए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।

अब, मान लीजिए बिंदु $B$ बिंदु $AC$ को $\lambda: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। तब हमें निम्न प्राप्त होता है:

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}OB}=\dfrac{\lambda \overrightarrow{{}OC}+\overrightarrow{{}OA}}{(\lambda+1)} \\ & \Rightarrow 5 \hat{i}-2 \hat{k}=\dfrac{\lambda(11 \hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k})+(\hat{i}-2 \hat{j}-8 \hat{k})}{\lambda+1} \\ & \Rightarrow(\lambda+1)(5 \hat{i}-2 \hat{k})=11 \lambda \hat{i}+3 \lambda \hat{j}+7 \lambda \hat{k}+\hat{i}-2 \hat{j}-8 \hat{k} \\ $$

$$ \Rightarrow 5(\lambda+1) \hat{i}-2(\lambda+1) \hat{k}=(11 \lambda+1) \hat{i}+(3 \lambda-2) \hat{j}+(7 \lambda-8) \hat{k} $$ $$ \end{aligned} $$

$$ $ $$

संगत घटकों के तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$5(\lambda+1)=11 \lambda+1$$

$$ \Rightarrow 5 \lambda+5=11 \lambda+1 $$

$$ \Rightarrow 6 \lambda=4 $$

$$ \Rightarrow \lambda=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $$

इसलिए, बिंदु $B$ बिंदुओं $A$ और $C$ को $2: 3$ के अनुपात में विभाजित करता है।

हल

दिया गया है कि $\overrightarrow{{}OP}=2 \vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{{}OQ}=\vec{a}-3 \vec{b}$।

दिया गया है कि बिंदु $R$ बिंदुओं $P$ और $Q$ को $1: 2$ के अनुपात में बाहरी विभाजित करता है। तब, खंडन सूत्र का उपयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$$ \overrightarrow{{}OR}=\dfrac{2(2 \vec{a}+\vec{b})-(\vec{a}-3 \vec{b})}{2-1}=\dfrac{4 \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{a}+3 \vec{b}}{1}=3 \vec{a}+5 \vec{b} $$

इसलिए, बिंदु $R$ का स्थिति सदिश $3 \vec{a}+5 \vec{b}$ है।

रेखाखंड $RQ$ के मध्य बिंदु का स्थिति सदिश:

$$ \dfrac{\overrightarrow{{}OQ}+\overrightarrow{{}OR}}{2} $$

$$ =\dfrac{(\vec{a}-3 \vec{b})+(3 \vec{a}+5 \vec{b})}{2} $$

$$ =2 \vec{a}+\vec{b} $$

$$ =\overrightarrow{{}OP} $$

इसलिए, $P$ रेखाखंड $RQ$ का मध्य बिंदु है।

हल

एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न भुजाएँ दी गई हैं: $\vec{a}=2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$

तब, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण को $\vec{a}+\vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।

$$ \vec{a}+\vec{b}=(2+1) \hat{i}+(-4-2) \hat{j}+(5-3) \hat{k}=3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k} $$

इसलिए, विकर्ण के समान्तर एक एकक सदिश है

$ \dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|}=\dfrac{3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+2^{2}}}=\dfrac{3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{9+36+4}}=\dfrac{3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}}{7}=\dfrac{3}{7} \hat{i}-\dfrac{6}{7} \hat{j}+\dfrac{2}{7} \hat{k} . $

$\therefore$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$

$ \begin{aligned} & \vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -4 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} \\ &=\hat{i}(12+10)-\hat{j}(-6-5)+\hat{k}(-4+4) \\ &=22 \hat{i}+11 \hat{j} \\ &=11(2 \hat{i}+\hat{j}) \\ & \therefore|\vec{a} \times \vec{b}|=11 \sqrt{2^{2}+1^{2}}=11 \sqrt{5} \end{aligned} $

इसलिए, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $11 \sqrt{5}$ वर्ग इकाई है।

हल

मान लीजिए एक सदिश $OX, OY$ और $OZ$ अक्षों के समान कोण $a$ पर झुके हुए है।

तब, सदिश के दिशा कोसाइन $\cos a, \cos a$ और $\cos a$ होते हैं।

अब,

$\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$

$\Rightarrow 3 \cos ^{2} \alpha=1$

$\Rightarrow \cos \alpha=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

इसलिए, अक्षों के समान झुके हुए वेक्टर के दिशा कोसाइन $\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ होते हैं।

हल

मान लीजिए $\vec{d}=d_1 \hat{i}+d_2 \hat{j}+d_3 \hat{k}$.

क्योंकि $\vec{d}$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है, हमें निम्न प्राप्त होता है:

$\vec{d} \cdot \vec{a}=0$

$\Rightarrow d_1+4 d_2+2 d_3=0$

और,

$\vec{d} \cdot \vec{b}=0$

$\Rightarrow 3 d_1-2 d_2+7 d_3=0$

इसके अतिरिक्त, दिया गया है:

$\vec{c} \cdot \vec{d}=15$

$\Rightarrow 2 d_1-d_2+4 d_3=15$

(1), (2) और (3) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$d_1=\dfrac{160}{3}, d_2=-\dfrac{5}{3}$ और $d_3=-\dfrac{70}{3}$

$\therefore \vec{d}=\dfrac{160}{3} \hat{i}-\dfrac{5}{3} \hat{j}-\dfrac{70}{3} \hat{k}=\dfrac{1}{3}(160 \hat{i}-5 \hat{j}-70 \hat{k})$

इसलिए, अभीष्ट सदिश $\dfrac{1}{3}(160 \hat{i}-5 \hat{j}-70 \hat{k})$ है।

हल

$(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})+(\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$

$=(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$

इसलिए, सदिश $(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})+(\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$ के अनुदिश एकक सदिश निम्नलिखित है:

$\dfrac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^{2}+6^{2}+(-2)^{2}}}=\dfrac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{4+4 \lambda+\lambda^{2}+36+4}}=\dfrac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}$

सदिश $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ के इस एकक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 है।

$\Rightarrow(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot \dfrac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}=1$

$\Rightarrow \dfrac{(2+\lambda)+6-2}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}=1$

$\Rightarrow \sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}=\lambda+6$

$\Rightarrow \lambda^{2}+4 \lambda+44=(\lambda+6)^{2}$

$\Rightarrow \lambda^{2}+4 \lambda+44=\lambda^{2}+12 \lambda+36$

$\Rightarrow 8 \lambda=8$

$\Rightarrow \lambda=1$

इसलिए, $\lambda$ का मान 1 है।

}

हल

चूंकि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ परस्पर लम्ब वेक्टर हैं, हम लिख सकते हैं:

$\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}=0$.

दिया गया है कि:

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$

मान लीजिए वेक्टर $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$, $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ क्रमशः कोण $\theta_1, \theta_2$ और $\theta_3$ पर झुका हुआ है।

तब, हम लिख सकते हैं:

$$ \begin{aligned} \cos \theta_1 & =\dfrac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|}=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|} \\ & =\dfrac{|\vec{a}|^{2}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|} \quad[\vec{b} \cdot \vec{a}=\vec{c} \cdot \vec{a}=0] \\ & =\dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|} \\ \cos \theta_2 & =\dfrac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{b}|}=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \cdot|\vec{b}|} \\ & =\dfrac{|\vec{b}|^{2}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \cdot|\vec{b}|} \quad[\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{c} \cdot \vec{b}=0] \\ & =\dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|} \\ \cos \theta_3 & =\dfrac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{c}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|} \\ & =\dfrac{|\vec{c}|^{2}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|} \\ & =\dfrac{|\vec{c}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|} \end{aligned} $$

अब, चूंकि $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|, \cos \theta_1=\cos \theta_2=\cos \theta_3$.

$\therefore \theta_1=\theta_2=\theta_3$

अतः, वेक्टर $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$, $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ के समान कोण पर झुका हुआ है।

हल

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2} \quad$ [अद्वितीयता के अंतर्गत अदिश गुणन के योग पर वितरण]

$\Leftrightarrow|\vec{a}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2} \quad[\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}$ (अदिश गुणन संवृत्त होता है)

$\Leftrightarrow 2 \vec{a} \cdot \vec{b}=0$

$\Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0$

$\therefore \vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं। $\quad[\vec{a} \neq \overrightarrow{{}0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{{}0}$ (दिया गया) $]$

हल

मान लीजिए $\theta$ दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच कोण है।

तब, बिना कोई नुकता के, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ गैर-शून्य सदिश हैं ताकि $|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ धनात्मक हैं।

यह ज्ञात है कि $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$।

$\therefore \vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$

$\Rightarrow|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \geq 0$

$\Rightarrow \cos \theta \geq 0 \quad[|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ धनात्मक हैं $]$

$\Rightarrow 0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$

अतः, $\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$ जब $0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ हो।

सही उत्तर है $B$।

हल

मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो एकक सदिश हैं और $\theta$ उनके बीच का कोण है।

तब, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ है।

अब, $\vec{a}+\vec{b}$ एक एकक सदिश होगा यदि $|\vec{a}+\vec{b}|=1$ है।

$ \begin{aligned} & |\vec{a}+\vec{b}|=1 \\ & \Rightarrow(\vec{a}+\vec{b})^{2}=1 \\ & \Rightarrow(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=1 \\ & \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}=1 \\ & \Rightarrow|\vec{a}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}=1 \\ & \Rightarrow 1^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta+1^{2}=1 \\ & \Rightarrow 1+2 \cdot 1 \cdot 1 \cos \theta+1=1 \\ & \Rightarrow \cos \theta=-\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow \theta=\dfrac{2 \pi}{3} \end{aligned} $

अतः, $\vec{a}+\vec{b}$ एक एकक सदिश होगा यदि $\theta=\dfrac{2 \pi}{3}$ है।

सही उत्तर D है।

हल

$ \begin{aligned} & \hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k})+\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{k} \cdot(\hat{i} \times \hat{j}) \\ & =\hat{i} \cdot \hat{i}+\hat{j} \cdot(-\hat{j})+\hat{k} \cdot \hat{k} \\ & =1-\hat{j} \cdot \hat{j}+1 \\ & =1-1+1 \\ & =1 \end{aligned} $

सही उत्तर C है।

हल

मान लीजिए $\theta$ दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।

तब, बिना कोई अपवाद के, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ गैर-शून्य सदिश हैं, इसलिए

$|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ धनात्मक हैं

$|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|$

$\Rightarrow|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta$

$\Rightarrow \cos \theta=\sin \theta \quad[|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ धनात्मक है $]$

$\Rightarrow \tan \theta=1$

$\Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{4}$

इसलिए, जब $\theta$ का मान $\dfrac{\pi}{4}$ होता है तब $|\vec{a} \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|$ होता है।

सही उत्तर $B$ है।