हल

हम जानते हैं,

$ \begin{aligned} & \vec{a}=\hat{i}-7 \hat{j}+7 \hat{k} \text{ और } \vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k} \\ & \begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} & = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -7 & 7 \\ 3 & -2 & 2 \end{vmatrix} \\ & =\hat{i}(-14+14)-\hat{j}(2-21)+\hat{k}(-2+21)=19 \hat{j}+19 \hat{k} \end{aligned} \\ & \therefore|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{(19)^{2}+(19)^{2}}=\sqrt{2 \times(19)^{2}}=19 \sqrt{2} \end{aligned} $

हल

हम जानते हैं,

$ \begin{aligned} & \vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k} \text{ और } \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k} \\ & \therefore \vec{a}+\vec{b}=4 \hat{i}+4 \hat{j}, \vec{a}-\vec{b}=2 \hat{i}+4 \hat{k} \\ & (\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} =\hat{i}(16)-\hat{j}(16)+\hat{k}(-8)=16 \hat{i}-16 \hat{j}-8 \hat{k} \\ & \therefore|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})|=\sqrt{16^{2}+(-16)^{2}+(-8)^{2}} \\ & =\sqrt{2^{2} \times 8^{2}+2^{2} \times 8^{2}+8^{2}} \\ & =8 \sqrt{2^{2}+2^{2}+1}=8 \sqrt{9}=8 \times 3=24 \end{aligned} $

इसलिए, सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ के लंब एक एकक सदिश निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$= \pm \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})}{|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})|}= \pm \frac{16 \hat{i}-16 \hat{j}-8 \hat{k}}{24}$

$= \pm \frac{2 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}}{3}= \pm \frac{2}{3} \hat{i} \mp \frac{2}{3} \hat{j} \mp \frac{1}{3} \hat{k}$

हल

मान लीजिए इकाई सदिश $\vec{a}$ के घटक $( a_1, a_2, a_3)$ हैं।

$ \vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} $

क्योंकि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है, इसलिए $|\vec{a}|=1$।

इसके अतिरिक्त, दिया गया है कि $\vec{a}$, $\hat{i}$ से $\frac{\pi}{3}$, $\hat{j}$ से $\frac{\pi}{4}$ और $\hat{k}$ से एक न्यून कोण $\theta$ बनाता है। तब हमें निम्नलिखित मिलता है:

$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{a_1}{|\vec{a}|}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}=a_1 \quad[|\vec{a}|=1]$

$\cos \frac{\pi}{4}=\frac{a_2}{|\vec{a}|}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=a_2 \quad[|\vec{a}|=1]$

इसके अतिरिक्त, $\cos \theta=\frac{a_3}{|\vec{a}|}$।

$\Rightarrow a_3=\cos \theta$

अब,

$|a|=1$

$\Rightarrow \sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}=1$

$\Rightarrow(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+\cos ^{2} \theta=1$

$\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\cos ^{2} \theta=1$

$\Rightarrow \frac{3}{4}+\cos ^{2} \theta=1$

$\Rightarrow \cos ^{2} \theta=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}$

$\therefore a_3=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$

इसलिए, $\theta=\frac{\pi}{3}$ और $\vec{a}$ के घटक $(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ हैं।

हल

$(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})$

$=(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{a}+(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b} \quad$ [सदिश गुणन के योग पर वितरण के गुण का उपयोग करते हुए]

$=\vec{a} \times \vec{a}-\vec{b} \times \vec{a}+\vec{a} \times \vec{b}-\vec{b} \times \vec{b} \quad$ [फिर भी सदिश गुणन के योग पर वितरण के गुण का उपयोग करते हुए]

$=\overrightarrow{{}0}+\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{b}-\overrightarrow{{}0}$

$=2 (\vec{a} \times \vec{b})$

हल

$(2 \hat{i}+6 \hat{j}+27 \hat{k}) \times(\hat{i}+\lambda \hat{j}+\mu \hat{k})=\overrightarrow{{}0}$

$\Rightarrow \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 6 & 27 \\ 1 & \lambda & \mu\end{vmatrix} =0 \hat{i}+0 \hat{j}+0 \hat{k}$

$\Rightarrow \hat{i}(6 \mu-27 \lambda)-\hat{j}(2 \mu-27)+\hat{k}(2 \lambda-6)=0 \hat{i}+0 \hat{j}+0 \hat{k}$

संगत घटकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$6 \mu-27 \lambda=0$

$2 \mu-27=0$

$2 \lambda-6=0$

अब,

$2 \lambda-6=0 \Rightarrow \lambda=3$

$2 \mu-27=0 \Rightarrow \mu=\frac{27}{2}$

अतः, $\lambda=3$ और $\mu=\frac{27}{2}$।

हल

$\vec{a} \cdot \vec{b}=0$

तो,

(i) या तो $|\vec{a}|=0$ है या $|\vec{b}|=0$ है, या $\vec{a} \perp \vec{b}$ (जब $\vec{a}$ और $\vec{b}$ शून्य नहीं हों)

$\vec{a} \times \vec{b}=0$

(ii) या तो $|\vec{a}|=0$ है या $|\vec{b}|=0$ है, या $\vec{a} | \vec{b}$ (जब $\vec{a}$ और $\vec{b}$ शून्य नहीं हों)

लेकिन, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक साथ लंब और समान्तर नहीं हो सकते।

अतः, $|\vec{a}|=0$ या $|\vec{b}|=0$ है।

हल

हमें दिया गया है,

$\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}, \vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}, \vec{c}=c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k}$

$(\vec{b}+\vec{c})=(b_1+c_1) \hat{i}+(b_2+c_2) \hat{j}+(b_3+c_3) \hat{k}$

अब, $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c}) \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1+c_1 & b_2+c_2 & b_3+c_3\end{vmatrix} $

$=\hat{i}[a_2(b_3+c_3)-a_3(b_2+c_2)]-\hat{j}[a_1(b_3+c_3)-a_3(b_1+c_1)]+\hat{k}[a_1(b_2+c_2)-a_2(b_1+c_1)]$

$$=\hat{i}[a_2 b_3+a_2 c_3-a_3 b_2-a_3 c_2]+\hat{j}[-a_1 b_3-a_1 c_3+a_3 b_1+a_3 c_1]+\hat{k}[a_1 b_2+a_1 c_2-a_2 b_1-a_2 c_1] \tag{1}$$

$\vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix} $

$$=\hat{i}[a_2 b_3-a_3 b_2]+\hat{j}[b_1 a_3-a_1 b_3]+\hat{k}[a_1 b_2-a_2 b_1] \tag{2}$$

$\vec{a} \times \vec{c}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix} $

$$ \begin{equation*} =\hat{i}[a_2 c_3-a_3 c_2]+\hat{j}[a_3 c_1-a_1 c_3]+\hat{k}[a_1 c_2-a_2 c_1] \tag{3} \end{equation*} $$

(2) और (3) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:

$$(\vec{a} \times \vec{b})+(\vec{a} \times \vec{c})=\hat{i}[a_2 b_3+a_2 c_3-a_3 b_2-a_3 c_2]+\hat{j}[b_1 a_3+a_3 c_1-a_1 b_3-a_1 c_3] +\hat{k}[a_1 b_2+a_1 c_2-a_2 b_1-a_2 c_1] \tag{4}$$

अब, (1) और (4) से हमें प्राप्त होता है:

$\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}$

इसलिए, दिए गए परिणाम की सत्यता सिद्ध हो गई है।

Solution

कोई भी समान्तर गैर-शून्य वेक्टर ले लीजिए ताकि $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{{}0}$ हो।

मान लीजिए $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}, \vec{b}=4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k}$।

तब,

$\vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8\end{vmatrix} =\hat{i}(24-24)-\hat{j}(16-16)+\hat{k}(12-12)=0 \hat{i}+0 \hat{j}+0 \hat{k}=\overrightarrow{{}0}$

अब यह देखा जा सकता है कि:

$|\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+4^{2}}=\sqrt{29}$

$\therefore \vec{a} \neq \overrightarrow{{}0}$

$|\vec{b}|=\sqrt{4^{2}+6^{2}+8^{2}}=\sqrt{116}$

$\therefore \vec{b} \neq \overrightarrow{{}0}$

इसलिए, दिए गए कथन के विलोम के लिए आवश्यक नहीं है कि यह सत्य हो।

हल

त्रिभुज $A B C$ के शीर्ष $A(1,1,2), B(2,3,5)$ और $C(1,5,5)$ दिए गए हैं।

त्रिभुज $ABC$ के समीपस्थ भुजाओं $\overrightarrow{{}AB}$ और $\overrightarrow{{}BC}$ निम्नलिखित हैं:

$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}AB}=(2-1) \hat{i}+(3-1) \hat{j}+(5-2) \hat{k}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ & \overrightarrow{{}BC}=(1-2) \hat{i}+(5-3) \hat{j}+(5-5) \hat{k}=-\hat{i}+2 \hat{j} \end{aligned} $

त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}|\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}BC}|$

$\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}BC}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 0\end{vmatrix} =\hat{i}(-6)-\hat{j}(3)+\hat{k}(2+2)=-6 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$

$\therefore|\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}BC}|=\sqrt{(-6)^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{36+9+16}=\sqrt{61}$

अतः, त्रिभुज $A B C$ का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{61}}{2}$ वर्ग इकाई है।

हल

सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निर्धारित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$ होता है।

समीपस्थ भुजाएँ निम्नलिखित हैं:

$\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}-7 \hat{j}+\hat{k}$

$\therefore \vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1\end{vmatrix} =\hat{i}(-1+21)-\hat{j}(1-6)+\hat{k}(-7+2)=20 \hat{i}+5 \hat{j}-5 \hat{k}$

$|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{20^{2}+5^{2}+5^{2}}=\sqrt{400+25+25}=15 \sqrt{2}$

अतः, दिए गए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $15 \sqrt{2}$ वर्ग इकाई है।

हल

दिया गया है $|\vec{a}|=3$ और $|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}$।

हम जानते हैं कि $\vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \hat{n}$, जहाँ $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है और $\theta$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।

अब, $\vec{a} \times \vec{b}$ एक इकाई सदिश होगा यदि $|\vec{a} \times \vec{b}|=1$।

$|\vec{a} \times \vec{b}|=1$

$\Rightarrow|| \vec{a}|| \vec{b}|\sin \theta \hat{n}|=1$

$\Rightarrow|\vec{a}||\vec{b}||\sin \theta|=1$

$\Rightarrow 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin \theta=1$

$\Rightarrow \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}$

अतः, $\vec{a} \times \vec{b}$ एक इकाई सदिश होगा यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ हो।

सही उत्तर है $B$।

हल

आयत $ABCD$ के शीर्ष $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश निम्नलिखित हैं:

$\overrightarrow{{}OA}=-\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \overrightarrow{{}OB}=\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \overrightarrow{{}OC}=\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \overrightarrow{{}OD}=-\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}$

दिए गए आयत के आसन्न भुजाएँ $\overrightarrow{{}AB}$ और $\overrightarrow{{}BC}$ निम्नलिखित हैं:

$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}AB}=\overrightarrow{{}OB}-\overrightarrow{{}OA} =(1+1) \hat{i}+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}) \hat{j}+(4-4) \hat{k}=2 \hat{i} \\ & \overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}OC}-\overrightarrow{{}OB}=(1-1) \hat{i}+(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}) \hat{j}+(4-4) \hat{k}=-\hat{j} \\

& \therefore \overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}BC}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} =\hat{k}(-2)=-2 \hat{k} \\ & |\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}AC}|=\sqrt{(-2)^{2}}=2 \end{aligned} $

अब, यह ज्ञात है कि एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए, जिसकी आसन्न भुजाएँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हों, वह $|\vec{a} \times \vec{b}|$ होता है।

इसलिए, दिए गए आयत का क्षेत्रफल $|\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}BC}|=2$ वर्ग इकाई है। सही उत्तर $C$ है।