हल

दिया गया है,

$|\vec{a}|=\sqrt{3},|\vec{b}|=2$ और, $\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{6}$

अब, हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$।

$\therefore \sqrt{6}=\sqrt{3} \times 2 \times \cos \theta$

$\Rightarrow \cos \theta=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} \times 2}$

$\Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}$

अतः, दिए गए सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच कोण $\frac{\pi}{4}$ है।

हल

दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।

$ \begin{aligned} & |\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14} \\ & |\vec{b}|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14} \end{aligned} $

अब, $\vec{a} \cdot \vec{b}=(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})$

$ \begin{aligned} & =1.3+(-2)(-2)+3.1 \\ & =3+4+3 \\ & =10 \end{aligned} $

इसके अतिरिक्त, हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$

$\therefore 10=\sqrt{14} \sqrt{14} \cos \theta$

$\Rightarrow \cos \theta=\frac{10}{14}$

$\Rightarrow \theta=\cos ^{-1}(\frac{5}{7})$

हल

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}$ और $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}$ हैं।

अब, सदिश $\vec{a}$ के सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप निम्नलिखित द्वारा दिया गया है,

$\frac{1}{|\vec{b}|}(\vec{a} \cdot \vec{b})=\frac{1}{\sqrt{1+1}}(1.1+(-1)(1))=\frac{1}{\sqrt{2}}(1-1)=0$

अतः, सदिश $\vec{a}$ के सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप 0 है।

हल

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}$ और $\vec{b}=7 \hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}$।

अब, सदिश $\vec{a}$ के सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्शन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$\frac{1}{|\vec{b}|}(\vec{a} \cdot \vec{b})=\frac{1}{\sqrt{7^{2}+(-1)^{2}+8^{2}}}(1(7)+3(-1)+7(8))=\frac{7-3+56}{\sqrt{49+1+64}}=\frac{60}{\sqrt{114}}$

हल

मान लीजिए $\vec{a}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})=\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}$,

$\vec{b}=\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k})=\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}$,

$\vec{c}=\frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=\frac{6}{7} \hat{i}+\frac{2}{7} \hat{j}-\frac{3}{7} \hat{k}$।

$|\vec{a}|=\sqrt{(\frac{2}{7})^{2}+(\frac{3}{7})^{2}+(\frac{6}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{4}{49}+\frac{9}{49}+\frac{36}{49}}=1$

$|\vec{b}|=\sqrt{(\frac{3}{7})^{2}+(-\frac{6}{7})^{2}+(\frac{2}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{9}{49}+\frac{36}{49}+\frac{4}{49}}=1$

$|\vec{c}|=\sqrt{(\frac{6}{7})^{2}+(\frac{2}{7})^{2}+(-\frac{3}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{36}{49}+\frac{4}{49}+\frac{9}{49}}=1$

इस प्रकार, दिए गए तीन सदिशों में से प्रत्येक एक इकाई सदिश है।

$\vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{2}{7} \times \frac{3}{7}+\frac{3}{7} \times(\frac{-6}{7})+\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}=\frac{6}{49}-\frac{18}{49}+\frac{12}{49}=0$

$\vec{b} \cdot \vec{c}=\frac{3}{7} \times \frac{6}{7}+(\frac{-6}{7}) \times \frac{2}{7}+\frac{2}{7} \times(\frac{-3}{7})=\frac{18}{49}-\frac{12}{49}-\frac{6}{49}=0$

$\vec{c} \cdot \vec{a}=\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}+\frac{2}{7} \times \frac{3}{7}+(\frac{-3}{7}) \times \frac{6}{7}=\frac{12}{49}+\frac{6}{49}-\frac{18}{49}=0$

इसलिए, दिए गए तीन वेक्टर एक दूसरे के साथ परस्पर लम्ब हैं।

हल

$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8$

$\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{b}=8$

$\Rightarrow|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}=8$

$\Rightarrow(8|\vec{b}|)^{2}-|\vec{b}|^{2}=8 \quad[|\vec{a}|=8|\vec{b}|]$

$\Rightarrow 64|\vec{b}|^{2}-|\vec{b}|^{2}=8$

$\Rightarrow 63|\vec{b}|^{2}=8$

$\Rightarrow|\vec{b}|^{2}=\frac{8}{63}$

$\Rightarrow|\vec{b}|=\sqrt{\frac{8}{63}} \quad$ [वेक्टर के परिमाण धनात्मक नहीं हो सकते]

$\Rightarrow|\vec{b}|=\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}$

$|\vec{a}|=8|\vec{b}|=\frac{8 \times 2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}=\frac{16 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}$

हल

$ \begin{aligned} & (3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+7 \vec{b}) \\ & =3 \vec{a} \cdot 2 \vec{a}+3 \vec{a} \cdot 7 \vec{b}-5 \vec{b} \cdot 2 \vec{a}-5 \vec{b} \cdot 7 \vec{b}, \quad (\because \vec a \cdot \vec b= \vec b \cdot \vec a) \\ & =6 \vec{a} \cdot \vec{a}+21 \vec{a} \cdot \vec{b}-10 \vec{a} \cdot \vec{b}-35 \vec{b} \cdot \vec{b} \\ & =6|\vec{a}|^{2}+11 \vec{a} \cdot \vec{b}-35|\vec{b}|^{2} \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $\theta$ वेक्टर $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।

दिया गया है कि $|\vec{a}|=|\vec{b}|, \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$, और $\theta=60^{\circ}$।

हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$

$\therefore \frac{1}{2}=|\vec{a}||\vec{a}| \cos 60^{\circ}$

[उपयोग (1)]

$\Rightarrow \frac{1}{2}=|\vec{a}|^{2} \times \frac{1}{2}$

$\Rightarrow|\vec{a}|^{2}=1$

$\Rightarrow|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$

हल

$(\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})=12$

$\Rightarrow \vec{x} \cdot \vec{x}+\vec{x} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{x}-\bar{{}a} \cdot \vec{a}=12, \quad (\because \vec a \cdot \vec b= \vec b \cdot \vec a)$

$\Rightarrow|\vec{x}|^{2}-|\vec{a}|^{2}=12$

$\Rightarrow|\vec{x}|^{2}-1=12 \quad[|\vec{a}|=1$ क्योंकि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है $]$

$\Rightarrow|\vec{x}|^{2}=13$

$\therefore|\vec{x}|=\sqrt{13}$

हल

दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$, और $\vec{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ हैं।

अब,

$\vec{a}+\lambda \vec{b}=(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})=(2-\lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(3+\lambda) \hat{k}$

यदि $(\vec{a}+\lambda \vec{b})$ $\vec{c}$ के लंबवत हो, तो

$(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c}=0$.

$\Rightarrow[(2-\lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(3+\lambda) \hat{k}] \cdot(3 \hat{i}+\hat{j})=0$

$\Rightarrow(2-\lambda) 3+(2+2 \lambda) 1+(3+\lambda) 0=0$

$\Rightarrow 6-3 \lambda+2+2 \lambda=0$

$\Rightarrow-\lambda+8=0$

$\Rightarrow \lambda=8$

अतः, $\lambda$ का अभीष्ट मान 8 है।

हल

$(|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}) \cdot(|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a})$

$=|\vec{a}|^{2} \vec{b} \cdot \vec{b}-|\vec{a}||\vec{b}| \vec{b} \cdot \vec{a}+|\vec{b}||\vec{a}| \vec{a} \cdot \vec{b}-|\vec{b}|^{2} \vec{a} \cdot \vec{a}, \quad (\because \vec a \cdot \vec b= \vec b \cdot \vec a)$

$=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-|\vec{b}|^{2}|\vec{a}|^{2}$

$=0$

इसलिए, $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$ और $|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ एक दूसरे के लंब हैं।

हल

दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{a}=0$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$।

अब,

$\vec{a} \cdot \vec{a}=0 \Rightarrow|\vec{a}|^{2}=0 \Rightarrow|\vec{a}|=0$

$\therefore \vec{a}$ एक शून्य सदिश है।

इसलिए, $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ को संतुष्ट करने वाला सदिश $\vec{b}$ कोई भी सदिश हो सकता है।

हल

हमें दिया गया है $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{c}}|=1$

इसके अतिरिक्त $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$

वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है, $$ \begin{aligned} & |\overrightarrow{\mathrm{a}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{b}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{c}}|^2+2(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}})=0 \\ & \Rightarrow 1+1+1+2(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}})=0 \\ & \therefore \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}}=-\frac{3}{2} $$

\end{aligned} $$

हल

मान लीजिए $\vec{a}=2 \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ है।

तब,

$\vec{a} \cdot \vec{b}=2.3+4.3+3(-6)=6+12-18=0$

हम अब देखते हैं कि:

$|\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+4^{2}+3^{2}}=\sqrt{29}$

$\therefore \vec{a} \neq \overrightarrow{{}0}$

$|\vec{b}|=\sqrt{3^{2}+3^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{54}$

$\therefore \vec{b} \neq \overrightarrow{{}0}$

अतः, दिए गए कथन के विलोम सत्य नहीं हो सकता है।

हल

$\triangle A B C$ के शीर्ष दिए गए हैं $A(1,2,3), B(-1,0,0)$ और $C(0,1,2)$।

इसके अतिरिक्त, दिया गया है कि $\angle ABC$ वेक्टर $\overrightarrow{{}BA}$ और $\overrightarrow{{}BC}$ के बीच का कोण है।

$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}BA}={1-(-1)} \hat{i}+(2-0) \hat{j}+(3-0) \hat{k}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ & \overrightarrow{{}BC}={0-(-1)} \hat{i}+(1-0) \hat{j}+(2-0) \hat{k}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} \\ & \therefore \overrightarrow{{}BA} \cdot \overrightarrow{{}BC}=(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})=2 \times 1+2 \times 1+3 \times 2=2+2+6=10 \\ & \mid \overrightarrow{{}BA} \mid=\sqrt{2^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17} \\ & \mid \overrightarrow{{}BC} \mid=\sqrt{1+1+2^{2}}=\sqrt{6} \end{aligned} $

अब, यह ज्ञात है कि:

$\overrightarrow{{}BA} \cdot \overrightarrow{{}BC}=|\overrightarrow{{}BA}||\overrightarrow{{}BC}| \cos (\angle ABC)$

$\therefore 10=\sqrt{17} \times \sqrt{6} \cos (\angle ABC)$

$\Rightarrow \cos (\angle ABC)=\frac{10}{\sqrt{17} \times \sqrt{6}}$

$\Rightarrow \angle ABC=\cos ^{-1}(\frac{10}{\sqrt{102}})$

हल

दिए गए बिंदु $A(1,2,7), B(2,6,3)$ और $C(3,10,-1)$ हैं।

$\therefore \overrightarrow{{}AB}=(2-1) \hat{i}+(6-2) \hat{j}+(3-7) \hat{k}=\hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k}$

$ \overrightarrow{{}BC}=(3-2) \hat{i}+(10-6) \hat{j}+(-1-3) \hat{k}=\hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k} $

$\overrightarrow{{}AC}=(3-1) \hat{i}+(10-2) \hat{j}+(-1-7) \hat{k}=2 \hat{i}+8 \hat{j}-8 \hat{k}$

$|\overrightarrow{{}AB}|=\sqrt{1^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{1+16+16}=\sqrt{33}$

$|\overrightarrow{{}BC}|=\sqrt{1^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{1+16+16}=\sqrt{33}$

$|\overrightarrow{{}AC}|=\sqrt{2^{2}+8^{2}+8^{2}}=\sqrt{4+64+64}=\sqrt{132}=2 \sqrt{33}$

$\therefore|\overrightarrow{{}AC}|=|\overrightarrow{{}AB}|+|\overrightarrow{{}BC}|; & |\overrightarrow{{}AC}|=2|\overrightarrow{{}BC}|, |\overrightarrow{{}AC}|=2|\overrightarrow{{}AB}|$

अतः, दिए गए बिंदु A, B और C सरल रेखा पर स्थित हैं।

हल

मान लीजिए सदिश $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ बिंदुओं $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश हैं।

अर्थात, $\overrightarrow{{}OA}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{{}OB}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\overrightarrow{{}OC}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$

अब, सदिश $\overrightarrow{{}AB}, \overrightarrow{{}BC}$ और $\overrightarrow{{}AC}$ त्रिभुज $\triangle ABC$ की भुजाओं को प्रदर्शित करते हैं।

अर्थात, $\overrightarrow{{}OA}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{{}OB}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\overrightarrow{{}OC}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$

$\therefore \overrightarrow{{}AB}=(1-2) \hat{i}+(-3+1) \hat{j}+(-5-1) \hat{k}=-\hat{i}-2 \hat{j}-6 \hat{k}$

$\overrightarrow{{}BC}=(3-1) \hat{i}+(-4+3) \hat{j}+(-4+5) \hat{k}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

$\overrightarrow{{}AC}=(3-2) \hat{i}+(-4+1) \hat{j}+(-1-4) \hat{k}=+\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$

$|\overrightarrow{{}AB}|=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{1+4+36}=\sqrt{41}$

$|\overrightarrow{{}BC}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$

$|\overrightarrow{{}AC}|=\sqrt{(+1)^{2}+{(-3)^{2}}+(-5)^{2}}=\sqrt{1+9+25}=\sqrt{35}$

$\therefore|\overrightarrow{{}BC}|^{2}+|\overrightarrow{{}AC}|^{2}=6+35=41=|\overrightarrow{{}AB}|^{2}$

इसलिए, $\triangle A B C$ एक समकोण त्रिभुज है।

हल

सदिश $\lambda \vec{a}$ एक इकाई सदिश होगा यदि $|\lambda \vec{a}|=1$।

अब,

$|\lambda \vec{a}|=1$

$\Rightarrow|\lambda||\vec{a}|=1$

$\Rightarrow|\vec{a}|=\frac{1}{|\lambda|}$

$[\lambda \neq 0]$

$\Rightarrow a=\frac{1}{|\lambda|}$

$[|\vec{a}|=a]$

इसलिए, सदिश $\lambda \vec{a}$ एक इकाई सदिश होगा यदि $a=\frac{1}{|\lambda|}$। सही उत्तर $D$ है।