हल

दिए गए सदिश हैं:

$ \begin{aligned} \vec{a} & =\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} ; \quad \vec{b}=2 \hat{i}-7 \hat{j}-3 \hat{k} ; \quad \vec{c}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \hat{k} \\ |\vec{a}| & =\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{3} \\ |\vec{b}| & =\sqrt{(2)^{2}+(-7)^{2}+(-3)^{2}} \\ & =\sqrt{4+49+9} \\ & =\sqrt{62} \\ |\vec{c}| & =\sqrt{(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}+(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}+(-\dfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}} \\ & =\sqrt{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}=1 \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $\vec{a}=(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})$ और $\vec{b}=(2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k})$।

यह देखा जा सकता है कि $|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$ और $|\vec{b}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$।

अतः, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो अलग-अलग सदिश हैं जो समान परिमाण रखते हैं। इन सदिशों के अलग-अलग दिशा होने के कारण वे अलग-अलग हैं।

हल

मान लीजिए $\vec{p}=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और $\vec{q}=(2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})$।

$\vec{p}$ के दिशा कोसाइन निम्नलिखित हैं,

$l=\dfrac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, m=\dfrac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, और $n=\dfrac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$।

$\vec{q}$ के दिशा कोसाइन निम्नलिखित हैं

$l=\dfrac{2}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}}=\dfrac{2}{2 \sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, m=\dfrac{2}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}}=\dfrac{2}{2 \sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$,

और $n=\dfrac{2}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}}=\dfrac{2}{2 \sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

$\vec{p}$ और $\vec{q}$ के दिशा कोसाइन समान हैं। इसलिए, दोनों सदिश एक ही दिशा में हैं।

हल

$2 \hat{i}+3 \hat{j}$ और $x \hat{i}+y \hat{j}$ बराबर होंगे यदि उनके संगत घटक बराबर हों।

इसलिए, $x$ और $y$ के आवश्यक मान क्रमशः 2 और 3 हैं।

हल

आरंभिक बिंदु $P(2,1)$ और समापन बिंदु $Q(-5,7)$ वाले सदिश को, $\overrightarrow{{}PQ}=(-5-2) \hat{i}+(7-1) \hat{j}$ द्वारा दिया जा सकता है।

$\Rightarrow \overrightarrow{{}PQ}=-7 \hat{i}+6 \hat{j}$

इसलिए, आवश्यक अदिश घटक -7 और 6 हैं जबकि सदिश घटक $-7 \hat{i}$ और $6 \hat{j}$ हैं।

हल

दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=-2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-6 \hat{j}-7 \hat{k}$ हैं।

$ \begin{aligned} \therefore \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} & =(1-2+1) \hat{i}+(-2+4-6) \hat{j}+(1+5-7) \hat{k} \\ & =0 \cdot \hat{i}-4 \hat{j}-1 \cdot \hat{k} \\ & =-4 \hat{j}-\hat{k} \end{aligned} $

हल

सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ की दिशा में एक एकक सदिश $\hat{a}$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है: $\hat{a}=\dfrac{\vec{a}}{|a|}$।

$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$

$\therefore \hat{a}=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\dfrac{\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}} \hat{i}+\dfrac{1}{\sqrt{6}} \hat{j}+\dfrac{2}{\sqrt{6}} \hat{k}$

हल

दिए गए बिंदु $P(1,2,3)$ और $Q(4,5,6)$ हैं।

$ \begin{aligned} & \therefore \overrightarrow{{}PQ}=(4-1) \hat{i}+(5-2) \hat{j}+(6-3) \hat{k}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k} \\ & |\overrightarrow{{}PQ}|=\sqrt{3^{2}+3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=3 \sqrt{3} \end{aligned} $

इसलिए, $\overrightarrow{{}PQ}$ की दिशा में एक एकक सदिश है

$ \dfrac{\overrightarrow{{}PQ}}{|\overrightarrow{{}PQ}|}=\dfrac{3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}}{3 \sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \hat{k} $

हल

दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।

$\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$

$\vec{b}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$

$\therefore \vec{a}+\vec{b}=(2-1) \hat{i}+(-1+1) \hat{j}+(2-1) \hat{k}=1 \hat{i}+0 \hat{j}+1 \hat{k}=\hat{i}+\hat{k}$

$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

इसलिए, $(\vec{a}+\vec{b})$ की दिशा में एक एकक सदिश है

$\dfrac{(\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{a}+\vec{b}|}=\dfrac{\hat{i}+\hat{k}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$

हल

मान लीजिए $\vec{a}=5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$।

$\therefore|\vec{a}|=\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{25+1+4}=\sqrt{30}$

$\therefore \hat{a}=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\dfrac{5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{30}}$

इसलिए, सदिश $5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ की दिशा में जो 8 इकाई के माप का हो वह निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

हल

मान लीजिए $\vec{a}=5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$।

$\therefore|\vec{a}|=\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{25+1+4}=\sqrt{30}$

$\therefore \hat{a}=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\dfrac{5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{30}}$

इसलिए, सदिश $5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ की दिशा में जो 8 इकाई के माप का हो वह निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

8 \hat{a} = 8 \times \dfrac{5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{30}} = \dfrac{8}{\sqrt{30}} (5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})

$8 \hat{a}=8(\dfrac{5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{30}})$

$ \begin{aligned} & =8(\dfrac{5 \vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k}}{\sqrt{30}}) \\ & =\dfrac{40}{\sqrt{30}} \vec{i}-\dfrac{8}{\sqrt{30}} \vec{j}+\dfrac{16}{\sqrt{30}} \vec{k} \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $\vec{b}=-4 \hat{i}+6 \hat{j}-8 \hat{k}$।

यह देखा जा सकता है कि $\vec{b}=-4 \hat{i}+6 \hat{j}-8 \hat{k}=-2(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=-2 \vec{a}$

$\therefore \vec{b}=\lambda \vec{a}$

जहाँ,

$\lambda=-2$

अतः, दिए गए सदिश संरेख हैं।

हल

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$।

दिशा अनुपात :

$a=1, b=2, c=3$

$\therefore|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$

दिशा कोसाइन :

$(\dfrac{a}{|\vec a|},\dfrac{b}{|\vec a|},\dfrac{c}{|\vec a|} )=(\dfrac{1}{\sqrt{14}}, \dfrac{2}{\sqrt{14}}, \dfrac{3}{\sqrt{14}})$

अतः, $\vec{a}$ के दिशा कोसाइन $(\dfrac{1}{\sqrt{14}}, \dfrac{2}{\sqrt{14}}, \dfrac{3}{\sqrt{14}})$ हैं।

हल

दिए गए बिंदु $A(1,2,-3)$ और $B(-1,-2,1)$ हैं।

$\therefore \overrightarrow{{}AB}=(-1-1) \hat{i}+(-2-2) \hat{j}+{1-(-3)} \hat{k}$

$\Rightarrow \overrightarrow{{}AB}=-2 \hat{i}-4 \hat{j}+4 \hat{k}$

$\therefore|\overrightarrow{{}AB}|=\sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6$

अतः, $\overrightarrow{{}AB}$ के दिशा कोसाइन $(-\dfrac{2}{6},-\dfrac{4}{6}, \dfrac{4}{6})=(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3})$ हैं।

हल

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$।

तब,

$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$

इसलिए, $\vec{a}$ के दिशा अनुपात $(\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}})$ हैं।

अब, मान लीजिए $a, \beta$, और $y$ वह कोण हैं जो $\vec{a}$ द्वारा $x, y$, और $z$ अक्षों के धनात्मक दिशा से बनते हैं।

तब, हमें $\cos \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \cos \beta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \cos \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ मिलता है।

इसलिए, दिया गया सदिश OX, OY, और OZ अक्षों से समान ढलान पर झुका हुआ है।

हल

दो बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच रेखा के बिंदु $R$ का स्थिति सदिश जो अनुपात $m: n$ में विभाजित करता है, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

i. आंतरिक रूप से: $\dfrac{m \vec{b}+n \vec{a}}{m+n}$

ii. बाहरी रूप से:

$\dfrac{m \vec{b}-n \vec{a}}{m-n}$

$P$ और $Q$ के स्थिति सदिश निम्नलिखित हैं:

$\overrightarrow{{}OP}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{{}OQ}=-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$

(i) दो बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच रेखा के बिंदु $R$ का स्थिति सदिश जो $2: 1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$ \begin{aligned} \overrightarrow{{}OR} & =\dfrac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2+1}=\dfrac{(-2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})+(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{3} \\ & =\dfrac{-\hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}}{3}=-\dfrac{1}{3} \hat{i}+\dfrac{4}{3} \hat{j}+\dfrac{1}{3} \hat{k} \end{aligned} $

(ii) दो बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच रेखा के बिंदु $R$ का स्थिति सदिश जो $2: 1$ के अनुपात में बाहरी रूप से विभाजित करता है, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$ \begin{aligned} \overrightarrow{{}OR} & =\dfrac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2-1}=(-2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})-(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) \\

& =-3 \hat{i}+3 \hat{k} \end{aligned} $

हल

$P(2,3,4)$ और $Q(4,1$, 2) के बिंदुओं को मिलाने वाले वेक्टर के मध्य बिंदु $R$ का स्थिति सदिश निम्नलिखित द्वारा दिया गया है,

$ \begin{aligned} \overrightarrow{{}OR} & =\dfrac{(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})+(4 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})}{2}=\dfrac{(2+4) \hat{i}+(3+1) \hat{j}+(4-2) \hat{k}}{2} \\ & =\dfrac{6 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}}{2}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k} \end{aligned} $

हल

बिंदु $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः निम्नलिखित द्वारा दिए गए हैं:

$\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$

$\therefore \overrightarrow{{}AB}=\vec{b}-\vec{a}=(2-3) \hat{i}+(-1+4) \hat{j}+(1+4) \hat{k}=-\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$

$\overrightarrow{{}BC}=\vec{c}-\vec{b}=(1-2) \hat{i}+(-3+1) \hat{j}+(-5-1) \hat{k}=-\hat{i}-2 \hat{j}-6 \hat{k}$

$\overrightarrow{{}CA}=\vec{a}-\vec{c}=(3-1) \hat{i}+(-4+3) \hat{j}+(-4+5) \hat{k}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

$\therefore|\overrightarrow{{}AB}|^{2}=(-1)^{2}+3^{2}+5^{2}=1+9+25=35$

$|\overrightarrow{{}BC}|^{2}=(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}=1+4+36=41$

$|\overrightarrow{{}CA}|^{2}=2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}=4+1+1=6$

$\therefore|\overrightarrow{{}AB}|^{2}+|\overrightarrow{{}CA}|^{2}=35+6=41=|\overrightarrow{{}BC}|^{2}$

अतः, $A B C$ एक समकोण त्रिभुज है।

}

हल

दिए गए त्रिभुज में योग के त्रिभुज नियम के अनुपालन करते हुए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} \tag{1}\\ & \Rightarrow \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=-\overrightarrow{{}CA} \\ & \Rightarrow \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}0} \tag{2} \end{align*} $$

$\therefore$ विकल्प $A$ में दी गई समीकरण सही है।

$\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}-\overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}0}$

$\therefore$ विकल्प $B$ में दी गई समीकरण सही है।

समीकरण (2) से, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$\overrightarrow{{}AB}-\overrightarrow{{}CB}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}0}$

$\therefore$ विकल्प $D$ में दी गई समीकरण सही है।

अब, विकल्प $C$ में दी गई समीकरण को ध्यान में रखते हैं:

$\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}-\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}CA}$

समीकरण (1) और (3) से, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}CA} $

$\Rightarrow \overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{{}AC}+\overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}0}$

$\Rightarrow 2 \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}0}$, जो सही नहीं है।

इसलिए, विकल्प $C$ में दी गई समीकरण गलत है।

सही उत्तर $\mathbf{C}$ है।

हल

(A) $b=λa,$ किसी भी अदिश λ के लिए:

इस कथन को सही माना जा सकता है। यदि दो वेक्टर समरेख होते हैं, तो एक दूसरे का अदिश गुणज हो सकता है।

(B) $ \vec a=± \vec b:$

इस कथन को गलत माना जा सकता है। समरेख वेक्टर आवश्यक रूप से एक दूसरे के विपरीत दिशा में नहीं होते हैं; वे केवल एक दूसरे के अदिश गुणज हो सकते हैं।

(C) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के संगत घटक समानुपाती नहीं हैं:

इस कथन को गलत माना जा सकता है। दो वेक्टर समरेख होने के लिए, उनके संगत घटक समानुपाती होना आवश्यक है।

यदि $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ और $\vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$, तो

$\vec{b}=\lambda \vec{a}$.

$\Rightarrow b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}=\lambda(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k})$

$\Rightarrow b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}=(\lambda a_1) \hat{i}+(\lambda a_2) \hat{j}+(\lambda a_3) \hat{k}$

$\Rightarrow b_1=\lambda a_1, b_2=\lambda a_2, b_3=\lambda a_3$

$\Rightarrow \dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{b_2}{a_2}=\dfrac{b_3}{a_3}=\lambda$

इसलिए, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के संगत घटक समानुपाती होते हैं।

(D) दोनों वेक्टर $\vec a$ और $\vec b$ एक ही दिशा में हैं, लेकिन अलग-अलग परिमाण रखते हैं:

इस कथन को गलत माना जा सकता है। यही बात है कि समरेख वेक्टर एक ही दिशा में हो सकते हैं, लेकिन आवश्यक रूप से ऐसा नहीं होना आवश्यक है। यदि एक वेक्टर दूसरे का ऋणात्मक अदिश गुणज होता है, तो वे विपरीत दिशा में हो सकते हैं।

इसलिए, कथन $(B)$,$(C)$ और $(D)$ गलत हैं।