अध्याय 1 संबंध एवं फलन अतिरिक्त अभ्यास
अध्याय 1 पर अतिरिक्त अभ्यास
1. सिद्ध कीजिए कि फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow\{x \in \mathbf{R}:-1<x<1\}$ जो $f(x)=\frac{x}{1+|x|}$, $x \in \mathbf{R}$ द्वारा परिभाषित है, एकैक एवं आच्छादक फलन है।
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दिया गया है कि $f: \mathbf{R} \to{x \in \mathbf{R}:-1<x<1}$ जो $f(x)=\frac{x}{1+|x|}, x \in \mathbf{R}$ द्वारा परिभाषित है।
मान लीजिए $f(x)=f(y)$, जहाँ $x, y \in \mathbf{R}$।
$ \Rightarrow \frac{x}{1+|x|}=\frac{y}{1+|y|} $
यह देखा जा सकता है कि यदि $x$ धनात्मक और $y$ ऋणात्मक है, तो हमें निम्न प्राप्त होता है:
$ \frac{x}{1+x}=\frac{y}{1-y} \Rightarrow 2 x y=x-y $
क्योंकि $x$ धनात्मक और $y$ ऋणात्मक है:
$x>y \Rightarrow x-y>0$
लेकिन, $2 x y$ ऋणात्मक है।
अतः, $2 x y \neq x-y$।
इसलिए, $x$ धनात्मक और $y$ ऋणात्मक होने का मामला असंभव है।
समान तरह के तर्क से, $x$ ऋणात्मक और $y$ धनात्मक होने का मामला भी असंभव है $\therefore x$ और $y$ दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक होना चाहिए।
जब $x$ और $y$ दोनों धनात्मक हों, तो हमें प्राप्त होता है:
$ f(x)=f(y) \Rightarrow \frac{x}{1+x}=\frac{y}{1+y} \Rightarrow x+x y=y+x y \Rightarrow x=y $
जब $x$ और $y$ दोनों ऋणात्मक हों, तो हमें प्राप्त होता है:
$ f(x)=f(y) \Rightarrow \frac{x}{1-x}=\frac{y}{1-y} \Rightarrow x-x y=y-y x \Rightarrow x=y $
$\therefore f$ एकैक है।
अब, मान लीजिए $y \in \mathbf{R}$ जैसे कि $-1<y<1$।
यदि $y$ ऋणात्मक है, तो एक $x=\frac{y}{1+v} \in \mathbf{R}$ ऐसा मौजूद है जैसे कि
$f(x)=f(\frac{y}{1+y})=\frac{(\frac{y}{1+y})}{1+|\frac{y}{1+y}|}=\frac{\frac{y}{1+y}}{1+(\frac{-y}{1+y})}=\frac{y}{1+y-y}=y$।
यदि $y$ धनात्मक है, तो एक $x=\frac{y}{1-y} \in \mathbf{R}$ ऐसा मौजूद है जैसे कि
$ f(x)=f(\frac{y}{1-y})=\frac{(\frac{y}{1-y})}{1+|(\frac{y}{1-y})|}=\frac{\frac{y}{1-y}}{1+\frac{y}{1-y}}=\frac{y}{1-y+y}=y . $
$\therefore f$ आच्छादक है।
अतः, $f$ एकैक एवं आच्छादक है।
2. सिद्ध कीजिए कि फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ जो $f(x)=x^{3}$ द्वारा परिभाषित है, प्रतिचित्रण है।
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$f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ दिया गया है $f(x)=x^{3}$.
मान लीजिए $f(x)=f(y)$, जहाँ $x, y \in \mathbf{R}$.
$\Rightarrow x^{3}=y^{3}$
अब, हम दिखाना चाहते हैं कि $x=y$.
मान लीजिए $x \neq y$, तो उनके घन भी बराबर नहीं होंगे।
$\Rightarrow x^{3} \neq y^{3}$
लेकिन यह (1) के विरोधाभास होगा।
$\therefore x=y$
इसलिए, $f$ एकैकी है।
3. एक गैर-खाली समुच्चय $X$ दिया गया है, तो $P(X)$ वह समुच्चय है जो $X$ के सभी उपसमुच्चयों को शामिल करता है। $P(X)$ में एक संबंध $R$ परिभाषित करें जैसे कि:
सभी उपसमुच्चय $A, B$ के लिए $P(X)$ में $ARB$ यदि और केवल यदि $A \subset B$। $R$ $P(X)$ पर एक तुलनात्मक संबंध है? अपने उत्तर की व्याख्या करें।
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हर समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय होता है, इसलिए $A R A$ सभी $A \in P(X)$ के लिए।
$\therefore R$ स्व-संबंधी है।
मान लीजिए $A R B \Rightarrow A \subset B$।
इसे $B \subset A$ के रूप में नहीं बताया जा सकता।
उदाहरण के लिए, यदि $A={1,2}$ और $B={1,2,3}$, तो $B$ को $A$ से संबंधित होने के रूप में नहीं बताया जा सकता।
$\therefore R$ सममित है।
इसके अतिरिक्त, यदि $A R B$ और $B R C$, तो $A \subset B$ और $B \subset C$।
$\Rightarrow A \subset C$
$\Rightarrow A R C$
$\therefore R$ संक्रमणी है।
इसलिए, $R$ एक तुलनात्मक संबंध नहीं है क्योंकि यह सममित नहीं है।
4. समुच्चय ${1,2,3, \ldots \ldots, n}$ से अपने आप पर सभी आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
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समुच्चय ${1,2,3, \ldots, n}$ से अपने आप पर आच्छादक फलन बस $n$ चिह्नों $1,2, \ldots, n$ पर एक प्रतिस्थापन है।
इसलिए, ${1,2, \ldots, n}$ से अपने आप पर आच्छादक फलनों की कुल संख्या $n$ चिह्नों $1,2, \ldots, n$ पर प्रतिस्थापनों की कुल संख्या के बराबर होती है, जो $n$ होती है।
5. मान लीजिए $A=\{-1,0,1,2\}, B=\{-4,-2,0,2\}$ और $f, g: A \rightarrow B$ ऐसे फलन हैं जो $f(x)=x^{2}-x, x \in A$ और $g(x)=2|x-\frac{1}{2}|-1, x \in A$ द्वारा परिभाषित हैं। $f$ और $g$ समान हैं? अपने उत्तर की व्याख्या करें। (संकेत: एक फलन $f: A \rightarrow B$ और $g: A \rightarrow B$ जैसे कि $f(a)=g(a) \forall a \in A$ को समान फलन कहा जाता है।)
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दिया गया है $A={-1,0,1,2}, B={-4,-2,0,2}$।
इसके अतिरिक्त, यह दिया गया है कि $f, g: A \to B$ इस प्रकार परिभाषित हैं $f(x)=x^{2}-x, x \in A$ और
$ g(x)=2|x-\frac{1}{2}|-1, x \in A $
यह देखा जाता है कि:
$ \begin{aligned} & f(-1)=(-1)^{2}-(-1)=1+1=2 \\ & g(-1)=2|(-1)-\frac{1}{2}|-1=2(\frac{3}{2})-1=3-1=2 \\ & \Rightarrow f(-1)=g(-1) \\ & f(0)=(0)^{2}-0=0 \\ & g(0)=2|0-\frac{1}{2}|-1=2(\frac{1}{2})-1=1-1=0 \\ & \Rightarrow f(0)=g(0) \\ & f(1)=(1)^{2}-1=1-1=0 \\ & g(1)=2|1-\frac{1}{2}|-1=2(\frac{1}{2})-1=1-1=0 \\ & \Rightarrow f(1)=g(1) \\ & f(2)=(2)^{2}-2=4-2=2 \\ & g(2)=2|2-\frac{1}{2}|-1=2(\frac{3}{2})-1=3-1=2 \\ & \Rightarrow f(2)=g(2) \\ & \therefore f(a)=g(a) \forall a \in A \end{aligned} $
इसलिए, फलन $f$ और $g$ बराबर हैं।
6. मान लीजिए $A={1,2,3}$। तब ऐसे संबंधों की संख्या जो $(1,2)$ और $(1,3)$ को शामिल करते हैं और विवेकपूर्वक एवं सममित होते हैं लेकिन प्रतिबिंब नहीं होते हैं है:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
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दिया गया समुच्चय $A={1,2,3}$ है।
$(1,2)$ और $(1,3)$ को शामिल करते हुए विवेकपूर्वक एवं सममित होते हुए लेकिन प्रतिबिंब नहीं होते हुए सबसे छोटा संबंध इस प्रकार है: $R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}$
इसके कारण संबंध $R$ विवेकपूर्वक है क्योंकि $(1,1),(2,2),(3,3) \in R$ हैं।
संबंध $R$ सममित है क्योंकि $(1,2),(2,1) \in R$ और $(1,3),(3,1) \in R$ हैं।
लेकिन संबंध $R$ प्रतिबिंब नहीं है क्योंकि $(3,1),(1,2) \in R$ हैं, लेकिन $(3,2) \notin R$ है।
अब, यदि हम संबंध $R$ में कोई दो जोड़े $(3,2)$ और $(2,3)$ (या दोनों) जोड़ दें, तो संबंध $R$ प्रतिबिंब बन जाएगा।
इसलिए, अभीष्ट संबंधों की कुल संख्या एक है।
सही उत्तर A है।
7. मान लीजिए $A={1,2,3}$। तब $(1,2)$ को शामिल करते हुए तुलनीय संबंधों की संख्या है:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
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दिया गया है $A={1,2,3}$।
$(1,2)$ को शामिल करते हुए सबसे छोटा तुलनीय संबंध इस प्रकार है,
$R_1={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}$
अब, हमें केवल चार जोड़े बच गए हैं अर्थात $(2,3),(3,2),(1,3)$, और $(3,1)$।
अगर हम $R_1$ में कोई एक जोड़ा [मान लीजिए $(2,3)$] जोड़ दें, तो सममिति के कारण हमें $(3,2)$ भी जोड़ना पड़ेगा। अतिसममिति के कारण हमें $(1,3)$ और $(3,1)$ भी जोड़ना पड़ेगा।
इसलिए, $R_1$ से बड़ी एकमात्र समतुल्यता संबंध सार्वत्रिक संबंध है।
यह दिखाता है कि $(1,2)$ को समेक्षित करने वाली समतुल्यता संबंधों की कुल संख्या दो है।
सही उत्तर B है।
बीटा
