अध्याय 1 संबंध एवं फलन अभ्यास 1.2
अभ्यास 1.2
1. सिद्ध कीजिए कि फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ जो $f(x)=\frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित होता है, एकैक एवं आच्छादक होता है, जहाँ $\mathbf{R}$ सभी शून्येतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि डोमेन $\mathbf{R}$ को $\mathbf{N}$ से बदल दिया जाए तो परिणाम सही रहेगा अगर को-डोमेन बराबर $\mathbf{R}$ हो ?
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दिया गया है कि $f: \mathbf{R} * \to \mathbf{R} *$ जो $f(x)=\frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित होता है।
एकैक (One-one):
$ \begin{aligned} & f(x)=f(y) \\ & \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y} \\ & \Rightarrow x=y \end{aligned} $
$\therefore f$ एकैक है।
आच्छादक (Onto):
स्पष्ट रूप से $y \in \mathbf{R} _{*}$ के लिए $x=\frac{1}{y} \in \mathbf{R}$ है। (मौजूद है क्योंकि $.y \neq 0)$ जैसे कि
$ f(x)=\frac{1}{(\frac{1}{y})}=y . $
$\therefore f$ आच्छादक है।
इसलिए, दिया गया फलन $(f)$ एकैक एवं आच्छादक है।
अब, फलन $g: \mathbf{N} \to \mathbf{R} *$ जो
$ g(x)=\frac{1}{x} $
द्वारा परिभाषित है।
हम देखते हैं कि,
$ g(x_1)=g(x_2) \Rightarrow \frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2} \Rightarrow x_1=x_2 $
$\therefore g$ एकैक है।
इसके अतिरिक्त, स्पष्ट रूप से $g$ आच्छादक नहीं है क्योंकि $1.2 \in \mathbf{R} *$ के लिए कोई भी $x$ ऐसा नहीं है जैसे कि
$g(x)=\frac{1}{1.2}$।
इसलिए, फलन $g$ एकैक है लेकिन आच्छादक नहीं है।
2. निम्नलिखित फलनों की प्रतिचित्रता एवं आच्छादकता की जांच कीजिए:
(i) $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ जो $f(x)=x^{2}$ द्वारा परिभाषित होता है
(ii) $f: \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z}$ जो $f(x)=x^{2}$ द्वारा परिभाषित होता है
(iii) $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ जो $f(x)=x^{2}$ द्वारा परिभाषित होता है
(iv) $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ जो $f(x)=x^{3}$ द्वारा परिभाषित होता है
(v) $f: \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z}$ जो $f(x)=x^{3}$ द्वारा परिभाषित होता है
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(i) $f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ द्वारा दिया गया है,
$f(x)=x^{2}$
देखा जाता है कि $x, y \in \mathbf{N}, f(x)=f(y) \Rightarrow x^{2}=y^{2} \Rightarrow x=y$।
$\therefore f$ प्रतिचित्र है।
अब, $2 \in \mathbf{N}$। लेकिन, कोई भी $x$ ऐसा नहीं है जैसे कि $f(x)=x^{2}=2$।
$\therefore f$ सरलता से असंगत है।
इसलिए, फलन $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।
(ii) $f: \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}$ द्वारा दिया गया है,
$f(x)=x^{2}$
देखा जाता है कि $f(-1)=f(1)=1$, लेकिन $-1 \neq 1$।
$\therefore f$ एकैकी नहीं है।
अब, $-2 \in \mathbf{Z}$. लेकिन, कोई भी तत्व $x \in \mathbf{Z}$ ऐसा नहीं मिलता है जैसे कि $f(x)=x^{2}=-2$।
$\therefore f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए, फलन $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों नहीं है।
(iii) $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ द्वारा दिया गया है,
$f(x)=x^{2}$
देखा जाता है कि $f(-1)=f(1)=1$, लेकिन $-1 \neq 1$।
$\therefore f$ एकैकी नहीं है।
अब, $-2 \in \mathbf{R}$. लेकिन, कोई भी तत्व $x \in \mathbf{R}$ ऐसा नहीं मिलता है जैसे कि $f(x)=x^{2}=-2$. $\therefore f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए, फलन $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों नहीं है।
(iv) $f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ द्वारा दिया गया है,
$f(x)=x^{3}$
देखा जाता है कि $x, y \in \mathbf{N}, f(x)=f(y) \Rightarrow x^{3}=y^{3} \Rightarrow x=y$।
$\therefore f$ एकैकी है।
अब, $2 \in \mathbf{N}$. लेकिन, कोई भी तत्व $x$ डोमेन $\mathbf{N}$ में ऐसा नहीं मिलता है जैसे कि $f(x)=x^{3}=$
$\therefore f$ आच्छादक नहीं है
इसलिए, फलन $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।
(v) $f: \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}$ द्वारा दिया गया है,
$f(x)=x^{3}$
देखा जाता है कि $x, y \in \mathbf{Z}, f(x)=f(y) \Rightarrow x^{3}=y^{3} \Rightarrow x=y$।
$\therefore f$ एकैकी है।
अब, $2 \in \mathbf{Z}$. लेकिन, कोई भी तत्व $x$ डोमेन $\mathbf{Z}$ में ऐसा नहीं मिलता है जैसे कि $f(x)=x^{3}=2$।
$\therefore f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए, फलन $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।
3. सिद्ध कीजिए कि सबसे बड़ा पूर्णांक फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, जो $f(x)=[x]$ द्वारा दिया गया है, एकैकी और आच्छादक दोनों नहीं है, जहां $[x]$ वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो $x$ से कम या बराबर है।
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$f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ द्वारा दिया गया है,
$f(x)=[x]$
देखा जाता है कि $f(1.2)=[1.2]=1, f(1.9)=[1.9]=1$।
$\therefore f(1.2)=f(1.9)$, लेकिन $1.2 \neq 1.9$।
$\therefore f$ एक-एक नहीं है।
अब, $0.7 \in \mathbf{R}$ को विचार करें।
यह ज्ञात है कि $f(x)=[x]$ हमेशा एक पूर्णांक होता है। इसलिए, कोई भी तत्व $x$ $\in \mathbf{R}$ ऐसा नहीं हो सकता जो $f(x)=0.7$ को संतुष्ट करे।
$\therefore f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए, सबसे बड़ा पूर्णांक फलन एक-एक और आच्छादक दोनों नहीं है।
4. दिखाइए कि परिमाण फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, जो $f(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित होता है, एक-एक और आच्छादक दोनों नहीं है, जहाँ $|x|$ वह होता है, यदि $x$ धनात्मक या शून्य हो और $|x|$ वह होता है, यदि $x$ नकारात्मक हो तो $-x$ होता है।
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$f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ द्वारा दिया गया है,
$f(x)=|x|=\begin{cases} x, \text{ यदि } x \geq 0 \\ -x, \text{ यदि } x<0 \end{cases} .$
यह देखा जाता है कि $f(-1)=|-1|=1, f(1)=|1|=1$।
$\therefore f(-1)=f(1)$, लेकिन $-1 \neq 1$।
$\therefore f$ एक-एक नहीं है।
अब, $-1 \in \mathbf{R}$ को विचार करें।
यह ज्ञात है कि $f(x)=|x|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। इसलिए, कोई भी तत्व $x$ डोमेन $\mathbf{R}$ में ऐसा नहीं हो सकता जो $f(x)=|x|=-1$ को संतुष्ट करे।
$\therefore f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए, परिमाण फलन एक-एक और आच्छादक दोनों नहीं है।
5. दिखाइए कि चिह्न फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, जो
$$ \begin{array}{r} 1, \text { यदि } x>0 \\ f(x)=0, \text { यदि } x=0 \\ 1, \text { यदि } x<0 \end{array} $$
एक-एक और आच्छादक दोनों नहीं है।
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$f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ द्वारा दिया गया है,
$$ f(x)=\begin{matrix} 1, \text{ यदि } x>0 \\ 0, \text{ यदि } x=0 \\ -1, \text{ यदि } x<0 \end{matrix} $$
यह देखा जाता है कि $f(1)=f(2)=1$, लेकिन $1 \neq 2$।
$\therefore f$ एक-एक नहीं है।
अब, जैसे कि $f(x)$ डोमेन $\mathbf{R}$ में तत्व -2 के लिए केवल 3 मान $(1,0$, या -1 ) ले सकता है, इसलिए कोई भी तत्व $x$ डोमेन $\mathbf{R}$ में ऐसा नहीं हो सकता जो $f(x)=-2$ को संतुष्ट करे।
$\therefore f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए, चिह्न फलन एक-एक और आच्छादक दोनों नहीं है।
6. मान लीजिए $A=\{1,2,3\}, B=\{4,5,6,7\}$ और $f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}$ एक फलन है $A$ से $B$ में। दिखाइए कि $f$ एक-एक है।
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दिया गया है $A={1,2,3}, B={4,5,6,7}$।
$f: A \to B$ इस प्रकार परिभाषित है $f={(1,4),(2,5),(3,6)}$।
$\therefore f(1)=4, f(2)=5, f(3)=6$
देखा जाता है कि $A$ के भिन्न तत्वों के प्रतिबिम्ब $f$ के अंतर्गत भिन्न हैं।
अतः फलन $f$ एकैकी है।
7. निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति में फलन के एकैकी, आच्छादक या आच्छादक एवं एकैकी होने की दशा में बताइए और अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए।
(i) $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ इस प्रकार परिभाषित है $f(x)=3-4 x$
(ii) $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ इस प्रकार परिभाषित है $f(x)=1+x^{2}$
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(i) $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ इस प्रकार परिभाषित है $f(x)=3-4 x$।
मान लीजिए $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ इस प्रकार कि $f(x_1)=f(x_2)$।
$\Rightarrow 3-4 x_1=3-4 x_2$
$\Rightarrow-4 x_1=-4 x_2$
$\Rightarrow x_1=x_2$
$\therefore f$ एकैकी है।
कोई भी वास्तविक संख्या $(y)$ जो $\mathbf{R}$ में है, ऐसा अस्तित्व में है $\frac{3-y}{4}$ जो $\mathbf{R}$ में है ताकि
$f(\frac{3-y}{4})=3-4(\frac{3-y}{4})=y$।
$\therefore f$ आच्छादक है।
अतः $f$ आच्छादक एवं एकैकी है, अतः यह आच्छादक एवं एकैकी फलन है।
(ii) $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ इस प्रकार परिभाषित है
$ f(x)=1+x^{2} . $
मान लीजिए $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ इस प्रकार कि $f(x_1)=f(x_2)$।
$\Rightarrow 1+x_1^{2}=1+x_2^{2}$
$\Rightarrow x_1^{2}=x_2^{2}$
$\Rightarrow x_1= \pm x_2$
$\therefore f(x_1)=f(x_2)$ यह बताता नहीं है कि $x_1=x_2$।
उदाहरण के लिए,
$ f(1)=f(-1)=2 $
$\therefore f$ एकैकी नहीं है।
एक तत्व -2 को दांत या रेखा में लें जो $\mathbf{R}$ में है।
देखा जाता है कि $f(x)=1+x^{2}$ सभी $x \in \mathbf{R}$ के लिए धनात्मक है।
अतः कोई भी $x$ जो डोमेन $\mathbf{R}$ में है ऐसा नहीं है जो $f(x)=-2$ करे।
$\therefore f$ आच्छादक नहीं है।
अतः $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
8. मान लीजिए $A$ और $B$ समुच्चय हैं। दिखाइए कि $f: A \times B \rightarrow B \times A$ जो $f(a, b)=(b, a)$ है एक आच्छादक एवं एकैकी फलन है।
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$f: A \times B \to B \times A$ इस प्रकार परिभाषित है $f(a, b)=(b, a)$।
मान लीजिए $(a_1, b_1),(a_2, b_2) \in A \times B$ इस प्रकार कि $f(a_1, b_1)=f(a_2, b_2)$
$\Rightarrow(b_1, a_1)=(b_2, a_2)$
$\Rightarrow b_1=b_2$ और $a_1=a_2$
$\Rightarrow(a_1, b_1)=(a_2, b_2)$
$\therefore f$ एकैकी है।
अब, मान लीजिए $(b, a) \in B \times A$ कोई भी तत्व है।
तब, $A \times B$ में कोई तत्व $(a, b)$ ऐसा है कि $f(a, b)=(b, a)$. [फलन $f$ के परिभाषा के अनुसार] $\therefore f$ आच्छादक है।
इसलिए, $f$ आच्छादक एवं एकैकी दोनों है, अतः $f$ बिंदु-एकैकी है।
9. मान लीजिए $f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(n)=\begin{cases} \frac{n+1}{2}, & \text{ यदि } n \text{ विषम } \\ \frac{n}{2}, & \text{ यदि } n \text{ सम } \end{cases} .$ सभी $n \in \mathbf{N}$ के लिए।
फलन $f$ बिंदु-एकैकी है या नहीं? अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए।
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$ f(n)=\begin{matrix} \frac{n+1}{2}, & \text{ यदि } n \text{ विषम } \\ \frac{n}{2}, & \text{ यदि } n \text{ सम }\\ \end{matrix} \text{ सभी } n \in \mathbf{N} \text{ के लिए}. $
इसको देखा जा सकता है कि:
$f(1)=\frac{1+1}{2}=1$ और $f(2)=\frac{2}{2}=1 \quad[$ फलन $f$ के परिभाषा के अनुसार]$
$\therefore f(1)=f(2)$, जहाँ $1 \neq 2$।
$\therefore f$ एकैकी नहीं है।
एक प्राकृतिक संख्या $(n)$ को दृष्टि क्षेत्र $\mathbf{N}$ में लें।
केस I: $n$ विषम है
$\therefore n=2 r+1$ कुछ $r \in \mathbf{N}$ के लिए। तब, $4 r+1 \in \mathbf{N}$ ऐसा है कि
$ f(4 r+1)=\frac{4 r+1+1}{2}=2 r+1 $
केस II: $n$ सम है
$\therefore n=2 r$ कुछ $r \in \mathbf{N}$ के लिए। तब, $4 r \in \mathbf{N}$ ऐसा है कि $f(4 r)=\frac{4 r}{2}=2 r$।
$\therefore f$ आच्छादक है।
इसलिए, $f$ बिंदु-एकैकी फलन नहीं है।
10. मान लीजिए $A=\mathbf{R}-{3}$ और $B=\mathbf{R}-{1}$। फलन $f: A \rightarrow B$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x)=(\frac{x-2}{x-3})$। $f$ एकैकी और आच्छादक है? अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए।
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$A=\mathbf{R}-{3}, B=\mathbf{R}-{1}$
$f: A \to B$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x)=(\frac{x-2}{x-3})$।
मान लीजिए $x, y \in$ A इस प्रकार कि $f(x)=f(y)$।
$\Rightarrow \frac{x-2}{x-3}=\frac{y-2}{y-3}$
$\Rightarrow(x-2)(y-3)=(y-2)(x-3)$
$\Rightarrow x y-3 x-2 y+6=x y-3 y-2 x+6$
$\Rightarrow-3 x-2 y=-3 y-2 x$
$\Rightarrow 3 x-2 x=3 y-2 y$
$\Rightarrow x=y$
$\therefore f$ एकैक फलन है।
मान लीजिए $y \in B=\mathbf{R}-{1}$. तब, $y \neq 1$ है।
फलन $f$ आच्छादक होगा यदि कोई $x \in A$ ऐसा मौजूद हो कि $f(x)=y$ हो।
अब,
$ \begin{aligned} & f(x)=y \\ & \Rightarrow \frac{x-2}{x-3}=y \\ & \Rightarrow x-2=x y-3 y \\ & \Rightarrow x(1-y)=-3 y+2 \\ & \Rightarrow x=\frac{2-3 y}{1-y} \in A \quad[y \neq 1] \end{aligned} $
इसलिए, किसी भी $y \in B$ के लिए, $\frac{2-3 y}{1-y} \in A$ ऐसा मौजूद है कि $f(\frac{2-3 y}{1-y})=\frac{(\frac{2-3 y}{1-y})-2}{(\frac{2-3 y}{1-y})-3}=\frac{2-3 y-2+2 y}{2-3 y-3+3 y}=\frac{-y}{-1}=y$।
$\therefore f$ आच्छादक है।
इसलिए, फलन $f$ एकैक और आच्छादक है।
11. मान लीजिए $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x)=x^{4}$. सही उत्तर का चयन करें।
(A) $f$ एकैक आच्छादक है
(B) $f$ अनेक-एक आच्छादक है
(C) $f$ एकैक है लेकिन आच्छादक नहीं है
(D) $f$ न तो एकैक और न ही आच्छादक है।
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$f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x)=x^{4}$।
मान लीजिए $x, y \in \mathbf{R}$ इस प्रकार कि $f(x)=f(y)$।
$\Rightarrow x^{4}=y^{4}$
$\Rightarrow x= \pm y$
$\therefore f(x_1)=f(x_2)$ के अर्थ में $x_1=x_2$ नहीं होता।
उदाहरण के लिए,
$ f(1)=f(-1)=1 $
$\therefore f$ एकैक नहीं है।
एक तत्व 2 को-डोमेन $\mathbf{R}$ में लें। स्पष्ट रूप से कोई भी $x$ डोमेन $\mathbf{R}$ में ऐसा नहीं है कि $f(x)=2$ हो।
$\therefore f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए, फलन $f$ न तो एकैक और न ही आच्छादक है।
सही उत्तर D है।
12. मान लीजिए $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x)=3 x$. सही उत्तर का चयन करें।
(A) $f$ एकैक आच्छादक है
(B) $f$ अनेक-एक आच्छादक है
(C) $f$ एकैक है लेकिन आच्छादक नहीं है
(D) $f$ न तो एकैक और न ही आच्छादक है।
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$f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x)=3 x$।
मान लीजिए $x, y \in \mathbf{R}$ इस प्रकार कि $f(x)=f(y)$।
$\Rightarrow 3 x=3 y$
$\Rightarrow x=y$
$\therefore f$ एकैक है।
साथ ही, को-डोमेन $\mathbf{R}$ में कोई भी वास्तविक संख्या $(y)$ हो, तो डोमेन $\mathbf{R}$ में $\frac{y}{3}$ ऐसा मौजूद होता है कि $f(\frac{y}{3})=3(\frac{y}{3})=y$।
$\therefore f$ एक-एक और आव्यूही है।
इसलिए, फ़ंक्शन $f$ एक-एक और आव्यूही है।
सही उत्तर A है।
बीटा
