अध्याय 1 संबंध एवं फलन अभ्यास 1.1
अभ्यास 1.1
1. निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक संबंध को आत्मसम बताएं, सममिति बताएं और संक्रमण बताएं:
(i) समुच्चय $A=\{1,2,3, \ldots, 13,14\}$ में संबंध $R$ जो निम्न प्रकार परिभाषित है:
$$ R=\{(x, y): 3 x-y=0\} $$
(ii) प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $\mathbf{N}$ में संबंध $R$ जो निम्न प्रकार परिभाषित है: $R=\{(x, y): y=x+5 \text { और } x<4\} $
(iii) समुच्चय $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ में संबंध $R$ जो निम्न प्रकार परिभाषित है: $R=\{(x, y): y \text { द्वारा } x \text { विभाज्य है }\}$
(iv) सभी पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbf{Z}$ में संबंध $R$ जो निम्न प्रकार परिभाषित है: $R=\{(x, y): x-y \text { एक पूर्णांक है }\}$
(v) एक शहर में एक विशिष्ट समय पर मानव समुच्चय $A$ में संबंध $R$ निम्न प्रकार परिभाषित है:
(a) $R=\{(x, y): x \text { और } y \text { एक ही जगह पर काम करते हैं } \}$
(b) $R=\{(x, y): x \text{ और } y \text{ एक ही स्थान पर रहते हैं } \}$
(c) $R=\{(x, y): x$ तथा $y$ के बीच 7 सेमी का अंतर है\}$
(d) $R=\{(x, y): x$ के बाला है $y\}$
(e) $R=\{(x, y): x$ के बाला है $y\}$
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(i) $A=\{1,2,3 \ldots 13,14\}$
$R=\{(x, y): 3 x-y=0\}$
$\therefore R=\{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)\}$
$R$ आत्मसम नहीं है क्योंकि $(1,1),(2,2) \ldots(14,14) \notin R$।
इसके अतिरिक्त, $R$ सममिति नहीं है क्योंकि $(1,3) \in R$, लेकिन $(3,1) \notin R$। $[3(3)-1 \neq 0$ ]
इसके अतिरिक्त, $R$ संक्रमण नहीं है क्योंकि $(1,3),(3,9) \in R$, लेकिन $(1,9) \notin R$।
$[3(1)-9 \neq 0]$
अतः, $R$ आत्मसम, सममिति और संक्रमण नहीं है।
(ii) $R=\{(x, y): y=x+5 \quad \text{और} \quad x<4\}=\{(1,6),(2,7),(3,8)\}$
देखा जाता है कि $(1,1) \notin R$।
$\therefore R$ आत्मसम नहीं है।
$(1,6) \in R$
लेकिन, $(1,6) \notin R$।
$\therefore R$ सममिति नहीं है।
अब, $R$ में कोई ऐसा युग्म नहीं है जो $(x, y)$ और $(y, z) \in R$ हो, इसलिए हमें $R$ में क्रमित युग्म $(x, z)$ की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है।
$\therefore R$ संक्रमण है।
अतः, $R$ आत्मसम और सममिति नहीं है, लेकिन संक्रमण है।
(iii) $A=\{1,2,3,4,5,6\}$
$R=\{(x, y): y \quad \text{द्वारा } x \text{ विभाज्य है }\}$
हम जानते हैं कि कोई भी संख्या $(x)$ अपने आपस में विभाज्य होती है।
$\Rightarrow(x, x) \in R$
$\therefore R$ स्वतुल्य है।
अब,
$(2,4) \in R$ [क्योंकि 4, 2 से विभाज्य है ]
लेकिन,
$(4,2) \notin R$. [क्योंकि 2, 4 से विभाज्य नहीं है ]
$\therefore R$ सममिति नहीं है।
मान लीजिए $(x, y),(y, z) \in R$. तब, $y$ अपने आपस में $x$ से विभाज्य है और $z$ अपने आपस में $y$ से विभाज्य है।
$\therefore z$ अपने आपस में $x$ से विभाज्य है।
$\Rightarrow(x, z) \in R$
$\therefore R$ संक्रमणीय है।
इसलिए, $R$ स्वतुल्य और संक्रमणीय है लेकिन सममिति नहीं है।
(iv) $R=\{(x, y): x-y \quad \text{एक पूर्णांक है} \}$
अब, प्रत्येक $x \in \mathbf{Z},(x, x) \in R$ क्योंकि $x-x=0$ एक पूर्णांक है।
$\therefore R$ स्वतुल्य है।
अब, प्रत्येक $x, y \in \mathbf{Z}$ यदि $(x, y) \in \mathbf{R}$, तो $x-y$ एक पूर्णांक है।
$\Rightarrow-(x-y)$ एक पूर्णांक भी है।
$\Rightarrow(y-x)$ एक पूर्णांक है।
$\therefore(y, x) \in R$
$\therefore R$ सममिति है।
अब,
मान लीजिए $(x, y)$ और $(y, z) \in R$, जहाँ $x, y, z \in \mathbf{Z}$ हैं।
$\Rightarrow(x-y)$ और $(y-z)$ पूर्णांक हैं।
$\Rightarrow x-z=(x-y)+(y-z)$ एक पूर्णांक है। $\therefore(x, z) \in R$
$\therefore R$ संक्रमणीय है।
इसलिए, $R$ स्वतुल्य, सममिति और संक्रमणीय है।
(v) (a) $R=\{(x, y): x \quad \text{और y एक ही जगह पर काम करते हैं} \}$
$\Rightarrow(x, x) \in R$
$\therefore R$ स्वतुल्य है।
यदि $(x, y) \in R$, तो $x$ और $y$ एक ही जगह पर काम करते हैं।
$\Rightarrow y$ और $x$ एक ही जगह पर काम करते हैं।
$\Rightarrow(y, x) \in R$.
$\therefore R$ सममिति है।
अब, मान लीजिए $(x, y),(y, z) \in R$
$\Rightarrow x$ और $y$ एक ही जगह पर काम करते हैं और $y$ और $z$ एक ही जगह पर काम करते हैं।
$\Rightarrow x$ और $z$ एक ही जगह पर काम करते हैं।
$\Rightarrow(x, z) \in R$
$\therefore R$ संक्रमणीय है।
इसलिए, $R$ स्वतुल्य, सममिति और संक्रमणीय है।
(b) $R=\{(x, y): x \quad \text{और y एक ही आवासीय क्षेत्र में रहते हैं} \}$
स्पष्ट रूप से $(x, x) \in R$ क्योंकि $x$ और $x$ एक ही व्यक्ति हैं।
$\therefore R$ स्वतुल्य है।
यदि $(x, y) \in R$, तो $x$ और $y$ एक ही आवासीय क्षेत्र में रहते हैं।
$\Rightarrow y$ और $x$ एक ही आवासीय क्षेत्र में रहते हैं।
$\Rightarrow(y, x) \in R$
$\therefore R$ सममिति है।
अब, बराबर $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ हो।
$\Rightarrow x$ और $y$ एक ही स्थान पर रहते हैं और $y$ और $z$ एक ही स्थान पर रहते हैं।
$\Rightarrow x$ और $z$ एक ही स्थान पर रहते हैं।
$\Rightarrow(x, z) \in R$
$\therefore R$ संक्रमणीय है।
इसलिए, $R$ स्व-संबंधी, सममिति और संक्रमणीय है।
(c) $R=\{(x, y): x$ ठीक $7 cm$ लंबा है $y\}$
अब,
$(x, x) \notin R$
क्योंकि मनुष्य $x$ अपने से लंबा नहीं हो सकता। $\therefore R$ स्व-संबंधी नहीं है।
अब, बराबर $(x, y) \in R$ हो।
$\Rightarrow x$ ठीक $7 cm$ लंबा है $y$ के तुलना में।
तब, $y$ $x$ से लंबा नहीं हो सकता। $\therefore(y, x) \notin R$
वास्तव में, यदि $x$ ठीक $7 cm$ लंबा है $y$ के तुलना में, तो $y$ ठीक $7 cm$ छोटा है $x$ के तुलना में। $\therefore R$ सममिति नहीं है।
अब,
मान लीजिए $(x, y),(y, z) \in R$ हो।
$\Rightarrow x$ ठीक $7 cm$ लंबा है $y$ के तुलना में और $y$ ठीक $7 cm$ लंबा है $z$ के तुलना में।
$\Rightarrow x$ ठीक $14 cm$ लंबा है $z$ के तुलना में। $\therefore(x, z) \notin R$
$\therefore R$ संक्रमणीय नहीं है।
इसलिए, $R$ न तो स्व-संबंधी, न ही सममिति, न ही संक्रमणीय है।
(d) $R=\{(x, y): x$ $y$ की पत्नी है\}$
अब,
$(x, x) \notin R$
क्योंकि $x$ अपनी खुद की पत्नी नहीं हो सकती। $\therefore R$ स्व-संबंधी नहीं है।
अब, मान लीजिए $(x, y) \in R$ हो।
$\Rightarrow x$ $y$ की पत्नी है।
स्पष्ट रूप से $y$ $x$ की पत्नी नहीं हो सकती। $\therefore(y, x) \notin R$
वास्तव में, यदि $x$ $y$ की पत्नी है, तो $y$ $x$ का पति है। $\therefore R$ संक्रमणीय नहीं है।
मान लीजिए $(x, y),(y, z) \in R$ हो।
$\Rightarrow x$ $y$ की पत्नी है और $y$ $z$ की पत्नी है।
इस स्थिति के लिए संभव नहीं है। इसका अर्थ भी यह नहीं होता कि $x$ $z$ की पत्नी है। $\therefore(x, z) \notin R$
$\therefore R$ संक्रमणीय नहीं है।
इसलिए, $R$ न तो स्व-संबंधी, न ही सममिति, न ही संक्रमणीय है।
(e) $R=\{(x, y): x$ $y$ का पिता है\}$
$(x, x) \notin R$
क्योंकि $x$ अपने से पिता नहीं हो सकता। $\therefore R$ स्व-संबंधी नहीं है।
अब, मान लीजिए $(x, y) \in R$ हो।
$\Rightarrow x$ $y$ का पिता है।
$\Rightarrow y$ $y$ का पिता नहीं हो सकता।
वास्तव में, $y$ $y$ का पुत्र या पुत्री है।
$\therefore(y, x) \notin R$
$\therefore R$ सममिति नहीं है।
अब, यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है।
$\Rightarrow x$ $y$ का पिता है और $y$ $z$ का पिता है।
$\Rightarrow x$ $z$ का पिता नहीं है।
वास्तव में $x$ $z$ का दादा है।
$\therefore(x, z) \notin R$
$\therefore R$ संक्रमणीय नहीं है।
इसलिए, $R$ आत्म-संबंधी, सममिति या संक्रमणीय नहीं है।
2. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\mathbf{R}$ के वास्तविक संख्याओं में एक संबंध $R$ जो $R=\{(a, b): a \leq b^{2}\}$ के रूप में परिभाषित है, आत्म-संबंधी, सममिति या संक्रमणीय नहीं है।
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$R=\{(a, b): a \leq b^{2}\}$
यह देखा जा सकता है कि $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin \mathbf{R}$, क्योंकि $\frac{1}{2}>(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$।
$\therefore R$ आत्म-संबंधी नहीं है।
अब, $(1,4) \in R$ क्योंकि $1<4^{2}$
लेकिन, 4 $1^{2}$ से कम नहीं है।
$\therefore(4,1) \notin R$
$\therefore R$ सममिति नहीं है।
अब,
$(3,2),(2,1.5) \in R$
(क्योंकि $3<2^{2}=4$ और $2<(1.5)^{2}=2.25$ )
लेकिन, $3>(1.5)^{2}=2.25$ $\therefore(3,1.5) \notin R$
$\therefore R$ संक्रमणीय नहीं है।
इसलिए, $R$ आत्म-संबंधी, सममिति या संक्रमणीय नहीं है।
3. समुच्चय $\{1,2,3,4,5,6\}$ में परिभाषित संबंध $R=\{(a, b): b=a+1\}$ आत्म-संबंधी, सममिति या संक्रमणीय है या नहीं जांचें।
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मान लीजिए $A=\{1,2,3,4,5,6\}$।
एक संबंध $R$ समुच्चय $A$ पर परिभाषित है:
$R=\{(a, b): b=a+1\}$
$\therefore R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$
हम देख सकते हैं कि $(a, a) \notin R$, जहाँ $a \in A$।
उदाहरण के लिए,
$(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) \notin R$
$\therefore R$ आत्म-संबंधी नहीं है।
यह देखा जा सकता है कि $(1,2) \in R$ लेकिन $(2,1) \notin R$।
$\therefore R$ सममिति नहीं है।
अब, $(1,2),(2,3) \in \mathbf{R}$
लेकिन,
$(1,3) \notin R$
$\therefore R$ संक्रमणीय नहीं है
इसलिए, $R$ आत्म-संबंधी, सममिति या संक्रमणीय नहीं है।
4. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\mathbf{R}$ में एक संबंध $R$ जो $R=\{(a, b): a \leq b\}$ के रूप में परिभाषित है, आत्म-संबंधी और संक्रमणीय है लेकिन सममिति नहीं है।
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$R=\{(a, b) ; a \leq b\}$
स्पष्ट रूप से $(a, a) \in R$ क्योंकि $a=a$।
$\therefore R$ स्व-संबंधी है।
अब,
$(2,4) \in R$ (क्योंकि $2<4)$
लेकिन, $(4,2) \notin R$ क्योंकि 4, 2 से बड़ा है।
$\therefore R$ सममिति नहीं है।
अब, मान लीजिए $(a, b),(b, c) \in R$।
तब,
$a \leq b$ और $b \leq c$
$\Rightarrow a \leq c$
$\Rightarrow(a, c) \in R$
$\therefore R$ संक्रमणी है।
इसलिए, $R$ स्व-संबंधी और संक्रमणी है लेकिन सममिति नहीं है।
5. $\mathbf{R}$ में संबंध $R$ की जांच करें जो $\mathbf{R}$ में परिभाषित है और $R=\{(a, b): a \leq b^{3}\}$ है, क्या यह स्व-संबंधी, सममिति या संक्रमणी है।
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$R=\{(a, b): a \leq b^{3}\}$
यह देखा गया है कि $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R$ क्योंकि $\frac{1}{2}>(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$।
$\therefore R$ स्व-संबंधी नहीं है।
अब,
$(1,2) \in R$ (क्योंकि $1<2^{3}=8)$
लेकिन,
$(2,1) \notin R$ (क्योंकि $2^{3}>1)$
$\therefore R$ सममिति नहीं है।
हम देखते हैं कि $(3, \frac{3}{2}),(\frac{3}{2}, \frac{6}{5}) \in R$ क्योंकि $3<(\frac{3}{2})^{3}$ और $\frac{3}{2}<(\frac{6}{5})^{3}$।
लेकिन $(3, \frac{6}{5}) \notin R$ क्योंकि $3>(\frac{6}{5})^{3}$।
$\therefore R$ संक्रमणी नहीं है।
इसलिए, $R$ न तो स्व-संबंधी, न सममिति, न संक्रमणी है।
6. समुच्चय $\{1,2,3\}$ में संबंध $R$ को दिखाएँ जो $R=\{(1,2),(2,1)\}$ है और यह सममिति है लेकिन न तो स्व-संबंधी और न ही संक्रमणी है।
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मान लीजिए $A=\{1,2,3\}$।
एक संबंध $R$ पर $A$ पर परिभाषित है जो $R=\{(1,2),(2,1)\}$ है।
यह देखा गया है कि $(1,1),(2,2),(3,3) \notin R$।
$\therefore R$ स्व-संबंधी नहीं है।
अब, जैसे $(1,2) \in R$ और $(2,1) \in R$, तो $R$ सममिति है।
अब, $(1,2)$ और $(2,1) \in R$
हालांकि,
$(1,1) \notin R$
$\therefore R$ संक्रमणी नहीं है।
इसलिए, $R$ सममिति है लेकिन न तो स्व-संबंधी और न ही संक्रमणी है।
7. संग्रहालय के सभी किताबों के समुच्चय $A$ में संबंध $R$ को दिखाएँ जो $R=\{(x, y): x \text{ और } y \text{ के पृष्ठ संख्या समान है } \}$ है और यह एक तुलनात्मक संबंध है।
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समुच्चय $A$ कोllege की पुस्तकालय में सभी पुस्तकों का समुच्चय है।
$R=\{x, y): x$ और $y$ के पृष्ठों की संख्या समान है $\}$
अब, $R$ स्वतुल्य है क्योंकि $(x, x) \in R$ क्योंकि $x$ और $x$ के पृष्ठों की संख्या समान है।
मान लीजिए $(x, y) \in R \Rightarrow x$ और $y$ के पृष्ठों की संख्या समान है।
$\Rightarrow y$ और $x$ के पृष ठों की संख्या समान है।
$\Rightarrow(y, x) \in R$
$\therefore R$ सममित है।
अब, मान लीजिए $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$।
$\Rightarrow x$ और $y$ के पृष्ठों की संख्या समान है और $y$ और $z$ के पृष्ठों की संख्या समान है।
$\Rightarrow x$ और $z$ के पृष्ठों की संख्या समान है।
$\Rightarrow(x, z) \in R$
$\therefore R$ संक्रमणीय है।
इसलिए, $R$ एक समतुल्य संबंध है।
8. समुच्चय $A=\{1,2,3,4,5\}$ में संबंध $R=\{(a, b):|a-b|$ सम है $\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ कि यह एक समतुल्य संबंध है दिखाइए। दिखाइए कि सभी तत्व $\{1,3,5\}$ एक दूसरे से संबंधित हैं और सभी तत्व $\{2,4\}$ एक दूसरे से संबंधित हैं। लेकिन $\{1,3,5\}$ के कोई भी तत्व $\{2,4\}$ के कोई भी तत्व से संबंधित नहीं है।
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$A=\{1,2,3,4,5\}$
$R=\{(a, b):|a-b|$ सम है $\}$
स्पष्ट रूप से, किसी भी तत्व $a \in A$ के लिए, हमें $|a-a|=0$ (जो सम है) मिलता है।
$\therefore R$ स्वतुल्य है।
मान लीजिए $(a, b) \in R$।
$\Rightarrow|a-b|$ सम है।
$\Rightarrow|-(a-b)|=|b-a|$ भी सम है।
$\Rightarrow(b, a) \in R$
$\therefore R$ सममित है।
अब, मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$।
$\Rightarrow|a-b|$ सम है और $|b-c|$ सम है।
$\Rightarrow(a-b)$ सम है और $(b-c)$ सम है।
$\Rightarrow(a-c)=(a-b)+(b-c)$ सम है। [दो सम पूर्ण संख्याओं के योग सम होता है]
$\Rightarrow|a-c|$ सम है।
$\Rightarrow(a, c) \in R$
$\therefore R$ संक्रमणीय है।
इसलिए, $R$ एक समतुल्य संबंध है।
अब, समुच्चय $\{1,2,3\}$ के सभी तत्व एक दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि इस उपसमुच्चय के सभी तत्व विषम हैं। इसलिए, किसी भी दो तत्वों के अंतर के परिमाण सम होगा।
उतना ही, समुच्चय $\{2,4\}$ के सभी तत्व एक दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि इस उपसमुच्चय के सभी तत्व सम हैं।
इसके अलावा, उपसमुच्चय $\{1,3,5\}$ के कोई भी तत्व $\{2,4\}$ के किसी भी तत्व से संबंधित नहीं हो सकते क्योंकि $\{1,3,5\}$ के सभी तत्व विषम हैं और $\{2,4\}$ के सभी तत्व सम हैं। इसलिए, इन दो उपसमुच्चयों के दो तत्वों के बीच अंतर के परिमाण विषम नहीं होगा।
9. सिद्ध करें कि समुच्चय $A=\{x \in \mathbf{Z}: 0 \leq x \leq 12\}$ में दिए गए संबंध $R$ एक तुलनीय संबंध है।
(i) $R=\{(a, b):|a-b|$ $\text{4 का गुणज है} \}$
(ii) $R=\{(a, b): a=b \}$
प्रत्येक स्थिति में 1 के संबंधित सभी तत्वों के समुच्चय को ज्ञात करें।
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$ A=\{x \in \mathbf{Z}: 0 \leq x \leq 12\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} $
(i) $R=\{(a, b):|a-b|$ $\text{4 का गुणज है} \}$
किसी भी तत्व $a \in A$ के लिए, हमें $(a, a) \in R$ मिलता है क्योंकि $|a-a|=0$ 4 का गुणज है।
$\therefore R$ स्व-संबंधी है।
अब, मान लीजिए $(a, b) \in R \Rightarrow |a-b|$ 4 का गुणज है।
$\Rightarrow |-(a-b)|=|b-a|$ 4 का गुणज है।
$\Rightarrow (b, a) \in R$
$\therefore R$ सममित है।
अब, मान लीजिए $(a, b),(b, c) \in R$।
$\Rightarrow |a-b|$ 4 का गुणज है और $|b-c|$ 4 का गुणज है।
$\Rightarrow (a-b)$ 4 का गुणज है और $(b-c)$ 4 का गुणज है।
$\Rightarrow (a-c)=(a-b)+(b-c)$ 4 का गुणज है।
$\Rightarrow |a-c|$ 4 का गुणज है।
$\Rightarrow (a, c) \in R$
$\therefore R$ संक्रमणी है।
इसलिए, $R$ एक तुलनीय संबंध है।
1 के संबंधित तत्वों का समुच्चय $\{1,5,9\}$ है क्योंकि $|1-1|=0$ 4 का गुणज है,
$|5-1|=4$ 4 का गुणज है, और
$|9-1|=8$ 4 का गुणज है।
(ii) $R=\{(a, b): a=b\}$
किसी भी तत्व $a \in A$ के लिए, हमें $(a, a) \in R$ मिलता है क्योंकि $a=a$।
$\therefore R$ स्व-संबंधी है।
अब, मान लीजिए $(a, b) \in R$।
$\Rightarrow a=b$
$\Rightarrow b=a$
$\Rightarrow (b, a) \in R$
$\therefore R$ सममित है।
अब, मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$।
$\Rightarrow a=b$ और $b=c$
$\Rightarrow a=c$
$\Rightarrow(a, c) \in R$
$\therefore R$ ट्रांजिटिव है।
इसलिए, $R$ एक तुलनीय संबंध है।
$R$ में 1 से संबंधित तत्व वे तत्व होंगे जो समुच्चय $A$ में 1 के बराबर होंगे।
इसलिए, 1 से संबंधित तत्वों के समुच्चय $\{1\}$ है।
10. एक संबंध का उदाहरण दीजिए जो
(i) सममित हो लेकिन आच्छादक और ट्रांजिटिव नहीं हो।
(ii) ट्रांजिटिव हो लेकिन आच्छादक और सममित नहीं हो।
(iii) आच्छादक और सममित हो लेकिन ट्रांजिटिव नहीं हो।
(iv) आच्छादक और ट्रांजिटिव हो लेकिन सममित नहीं हो।
(v) सममित और ट्रांजिटिव हो लेकिन आच्छादक नहीं हो।
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(i) मान लीजिए $A=\{5,6,7\}$।
समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ को इस प्रकार परिभाषित करें: $R=\{(5,6),(6,5)\}$।
संबंध $R$ आच्छादक नहीं है क्योंकि $(5,5),(6,6),(7,7) \notin R$।
अब, $(5,6) \in R$ और भी $(6,5) \in R$, इसलिए $R$ सममित है।
$\Rightarrow(5,6),(6,5) \in R$, लेकिन $(5,5) \notin R$
$\therefore R$ ट्रांजिटिव नहीं है।
इसलिए, संबंध $R$ सममित है लेकिन आच्छादक या ट्रांजिटिव नहीं है।
(ii) एक संबंध $\mathbf{R}$ को $\mathbf{R}$ में इस प्रकार परिभाषित करें:
$R=\{(a, b): a<b\}$
किसी भी $a \in R$ के लिए, हमें $(a, a) \notin R$ मिलता है क्योंकि $a$ स्वयं के साथ सख्ती से कम नहीं हो सकता। वास्तव में, $a=$ a।
$\therefore R$ आच्छादक नहीं है।
अब,
$(1,2) \in R$ (क्योंकि $1<2$)
लेकिन, 2, 1 से कम नहीं है।
$\therefore(2,1) \notin R$
$\therefore R$ सममित नहीं है।
अब, $(a, b),(b, c) \in R$।
$\Rightarrow a<b$ और $b<c$
$\Rightarrow a<c$
$\Rightarrow(a, c) \in R$
$\therefore R$ ट्रांजिटिव है।
इसलिए, संबंध $R$ ट्रांजिटिव है लेकिन आच्छादक और सममित नहीं है।
(iii) मान लीजिए $A=\{4,6,8\}$।
समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$A=\{(4,4),(6,6),(8,8),(4,6),(6,4),(6,8),(8,6)\}$
संबंध $R$ आच्छादक है क्योंकि समुच्चय $A$ के प्रत्येक $a$ के लिए, $(a, a) \in R$ अर्थात, $(4,4),(6,6),(8,8) \in R$।
संबंध $R$ सममित है क्योंकि $(a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$ सभी $a, b \in R$ के लिए।
संबंध $R$ ट्रांजिटिव नहीं है क्योंकि $(4,6),(6,8) \in R$, लेकिन $(4,8) \notin R$।
इसलिए, संबंध $R$ आच्छादक और सममित है लेकिन ट्रांजिटिव नहीं है।
(iv) $\mathbf{R}$ में एक संबंध $R$ परिभाषित करें:
$.R=\{a, b): a^{3} \geq b^{3}\}$
स्पष्ट रूप से $(a, a) \in R$ क्योंकि $a^{3}=a^{3}$।
$\therefore R$ स्व-संबंधी है।
अब,
$(2,1) \in R(.$ क्योंकि $.2^{3} \geq 1^{3})$
लेकिन,
$(1,2) \notin R(.$ क्योंकि $.1^{3}<2^{3})$
$\therefore R$ सममिति नहीं है।
अब,
मान लीजिए $(a, b),(b, c) \in R$।
$\Rightarrow a^{3} \geq b^{3}$ और $b^{3} \geq c^{3}$
$\Rightarrow a^{3} \geq c^{3}$
$\Rightarrow(a, c) \in R$
$\therefore R$ संक्रमणी है।
इसलिए, संबंध $R$ स्व-संबंधी और संक्रमणी है लेकिन सममिति नहीं है।
(v) मान लीजिए $A=\{-5,-6\}$।
$A$ पर एक संबंध $R$ परिभाषित करें:
$R=\{(-5,-6),(-6,-5),(-5,-5)\}$
संबंध $R$ स्व-संबंधी नहीं है क्योंकि $(-6,-6) \notin R$।
संबंध $R$ सममिति है क्योंकि $(-5,-6) \in R$ और $(-6,-5) \in R$।
देखा जाता है कि $(-5,-6),(-6,-5) \in R$। अतः, $(-5,-5) \in R$।
$\therefore$ संबंध $R$ संक्रमणी है।
इसलिए, संबंध $R$ सममिति और संक्रमणी है लेकिन स्व-संबंधी नहीं है।
11. समतल में बिंदुओं के समुच्चय $A$ में एक संबंध $R$ दिया गया है, जो $R = \{(P, Q)$ : बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी के बराबर है $\}$ है, दिखाइए कि यह एक समतुल्यता संबंध है। इसके अतिरिक्त, दिखाइए कि बिंदु $P \neq(0,0)$ के संबंधित सभी बिंदुओं के समुच्चय में मूल बिंदु केंद्र वाला वृत्त होता है जो $P$ से गुजरता है।
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Solution
$R=\{(P, Q):$ बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी के बराबर है \}
स्पष्ट रूप से $(P, P) \in R$ क्योंकि बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी हमेशा बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी के बराबर होती है।
$\therefore R$ स्व-संबंधी है।
अब,
मान लीजिए $(P, Q) \in R$। $\Rightarrow$ बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी के बराबर है।
$\Rightarrow$ बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी के बराबर है।
$\Rightarrow(Q, P) \in R$
$\therefore R$ सममिति है।
अब,
मान लीजिए $(P, Q),(Q, S) \in R$।
$\Rightarrow$ बिंदु $P$ और $Q$ की मूल बिंदु से दूरी बराबर है और बिंदु $Q$ और $S$ की मूल बिंदु से दूरी भी बराबर है।
$\Rightarrow$ बिंदुओं $P$ और $S$ की मूल बिंदु से दूरी समान है।
$\Rightarrow(P, S) \in R$
$\therefore R$ अनुवर्ती है।
इसलिए, $R$ एक तुलनात्मक संबंध है।
$P \neq(0,0)$ के बिंदु $P$ से संबंधित सभी बिंदुओं के समूह वे बिंदु हैं जिनकी मूल बिंदु से दूरी बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है।
दूसरे शब्दों में, यदि $O(0,0)$ मूल बिंदु है और $OP=k$, तो बिंदु $P$ से संबंधित सभी बिंदुओं की मूल बिंदु से दूरी $k$ है।
इसलिए, इन बिंदुओं के समूह मूल बिंदु केंद्र वाले एक वृत्त के रूप में है और यह वृत्त बिंदु $P$ से गुजरता है।
12. सिद्ध करें कि सभी त्रिभुजों के समुच्चय $A$ में परिभाषित संबंध $R = {(T_{1}, T_{2}): T_{1}$ त्रिभुज $T_{2}$ के समान है $}$, एक तुलनात्मक संबंध है। तीन समकोण त्रिभुज $T_{1}$, $T_{2}$ और $T_{3}$ लें जिनकी भुजाएँ क्रमशः $3,4,5$, $5,12,13$ और $6,8,10$ हैं। $T_{1}, T_{2}$ और $T_{3}$ में से कौन से त्रिभुज एक दूसरे से संबंधित हैं?
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$R = {(T_1, T_2): T_1$ त्रिभुज $T_2$ के समान है $}$
$R$ स्वयं संबंधी है क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज अपने से समान होता है।
इसके अतिरिक्त, यदि $(T_1, T_2) \in R$, तो $T_1$ त्रिभुज $T_2$ के समान है।
$\Rightarrow T_2$ त्रिभुज $T_1$ के समान है
$\Rightarrow (T_2, T_1) \in R$
$\therefore R$ सममित है।
अब,
मान लीजिए $(T_1, T_2), (T_2, T_3) \in R$.
$\Rightarrow T_1$ त्रिभुज $T_2$ के समान है और $T_2$ त्रिभुज $T_3$ के समान है।
$\Rightarrow T_1$ त्रिभुज $T_3$ के समान है
$\Rightarrow (T_1, T_3) \in R$
$\therefore R$ अनुवर्ती है।
इसलिए, $R$ एक तुलनात्मक संबंध है।
अब, हम देख सकते हैं कि:
$ \frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}(=\frac{1}{2}) $
$\therefore$ त्रिभुज $T_1$ और $T_3$ की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं।
इसलिए, त्रिभुज $T_1$ त्रिभुज $T_3$ के समान है।
इसलिए, $T_1$ त्रिभुज $T_3$ से संबंधित है।
13. सिद्ध करें कि सभी बहुभुजों के समुच्चय $A$ में परिभाषित संबंध $R = {(P_{1}, P_{2})$ : $P_{1}$ और $P_{2}$ की भुजाओं की संख्या समान है $}$, एक तुलनात्मक संबंध है। त्रिकोणमितीय त्रिभुज $T$ जिसकी भुजाएँ 3, 4 और 5 हैं, के संबंधित सभी तत्वों के समूह क्या है?
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$R=\{(P_1, P_2): P_1.$ और $P_2$ के समान भुजाओं की संख्या $\}$
$R$ स्वतुल्य है क्योंकि $(P_1, P_1) \in R$ क्योंकि समान बहुभुज के समान भुजाओं की संख्या होती है।
मान लीजिए $(P_1, P_2) \in R$.
$\Rightarrow P_1$ और $P_2$ के समान भुजाओं की संख्या है।
$\Rightarrow P_2$ और $P_1$ के समान भुजाओं की संख्या है।
$\Rightarrow(P_2, P_1) \in R$
$\therefore R$ सममित है।
अब,
मान लीजिए $(P_1, P_2),(P_2, P_3) \in R$.
$\Rightarrow P_1$ और $P_2$ के समान भुजाओं की संख्या है। अतः, $P_2$ और $P_3$ के समान भुजाओं की संख्या है।
$\Rightarrow P_1$ और $P_3$ के समान भुजाओं की संख्या है।
$\Rightarrow(P_1, P_3) \in R$ $\therefore R$ संक्रमणीय है।
इसलिए, $R$ एक तुलनात्मक संबंध है।
समुच्चय $A$ में त्रिकोण $(T)$ के साथ संबंधित तत्व वे बहुभुज हैं जिनके 3 भुजाएँ हैं (क्योंकि $T$ एक 3 भुजाओं वाला बहुभुज है)।
इसलिए, त्रिकोण $T$ के साथ संबंधित समुच्चय $A$ के सभी तत्वों का समुच्चय त्रिकोणों का समुच्चय है।
14. मान लीजिए $L$ एक ऐसा समुच्चय है जो $XY$ तल में सभी रेखाओं को शामिल करता है और $R$ एक ऐसा संबंध है जो $L$ में परिभाषित है जो $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}$ $L_{2}$ के समानांतर है $\}$. दिखाइए कि $R$ एक तुलनात्मक संबंध है। रेखा $y=2 x+4$ के संबंधित सभी रेखाओं के समुच्चय को ज्ञात कीजिए।
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$R=\{(L_1, L_2): L_1.$ समानांतर है $.L_2\}$
$R$ स्वतुल्य है क्योंकि कोई भी रेखा $L_1$ अपने आपसे समानांतर है, अर्थात, $(L_1, L_1) \in R$।
अब,
मान लीजिए $(L_1, L_2) \in R$.
$\Rightarrow L_1$ $L_2$ के समानांतर है।
$\Rightarrow L_2$ $L_1$ के समानांतर है।
$\Rightarrow(L_2, L_1) \in R$
$\therefore R$ सममित है।
अब,
मान लीजिए $(L_1, L_2),(L_2, L_3) \in R$.
$\Rightarrow L_1$ $L_2$ के समानांतर है। अतः, $L_2$ $L_3$ के समानांतर है।
$\Rightarrow L_1$ $L_3$ के समानांतर है।
$\therefore R$ संक्रमणीय है।
इसलिए, $R$ एक तुलनात्मक संबंध है।
रेखा $y=2 x+4$ के संबंधित सभी रेखाओं का समुच्चय रेखा $y=2 x+4$ के समानांतर सभी रेखाओं का समुच्चय है।
रेखा $y=2 x+4$ की प्रतिशत ढलान $m=2$ है।
ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं के ढलान समान होते हैं।
दी गई रेखा के समानांतर रेखा के रूप में $y=2 x+c$ होती है, जहाँ $c \in \mathbf{R}$।
अतः, दी गई रेखा से संबंधित सभी रेखाओं के समुच्चय को $y=2 x+c$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $c \in \mathbf{R}$।
15. मान लीजिए $R$ समुच्चय $\{1,2,3,4\}$ में एक संबंध है जो $R=\{(1,2),(2,2),(1,1),(4,4)$, $(1,3),(3,3),(3,2)\}$ द्वारा दिया गया है। सही उत्तर का चयन करें।
(A) $R$ स्व-संबंधी और सममित है लेकिन प्रतिचक्रीय नहीं है।
(B) $R$ स्व-संबंधी और प्रतिचक्रीय है लेकिन सममित नहीं है।
(C) $R$ सममित और प्रतिचक्रीय है लेकिन स्व-संबंधी नहीं है।
(D) $R$ एक तुलनात्मक संबंध है।
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$R=\{(1,2),(2,2),(1,1),(4,4),(1,3),(3,3),(3,2)\}$
देखा जाता है कि $(a, a) \in \mathbf{R}$, प्रत्येक $a \in\{1,2,3,4\}$ के लिए।
$\therefore R$ स्व-संबंधी है।
देखा जाता है कि $(1,2) \in R$, लेकिन $(2,1) \notin R$।
$\therefore R$ सममित नहीं है।
इसके अतिरिक्त, देखा जाता है कि $(a, b),(b, c) \in R \Rightarrow(a, c) \in R$ सभी $a, b, c \in\{1,2,3,4\}$ के लिए।
$\therefore R$ प्रतिचक्रीय है।
अतः, $R$ स्व-संबंधी और प्रतिचक्रीय है लेकिन सममित नहीं है।
सही उत्तर $B$ है।
16. मान लीजिए $R$ समुच्चय $\mathbf{N}$ में एक संबंध है जो $R=\{(a, b): a=b-2, b>6\}$ द्वारा दिया गया है। सही उत्तर का चयन करें। (A) $(2,4) \in R$ (B) $(3,8) \in R$ (C) $(6,8) \in R$ (D) $(8,7) \in R$
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$R=\{(a, b): a=b-2, b>6\}$
अब, क्योंकि $b>6$, $(2,4) \notin R$
इसके अतिरिक्त, क्योंकि $3 \neq 8-2$, $(3,8) \notin R$
और, क्योंकि $8 \neq 7-2$
$\therefore(8,7) \notin R$
अब, $(6,8)$ की जांच करें।
हम जानते हैं कि $8>6$ और भी, $6=8-2$।
$\therefore(6,8) \in R$
सही उत्तर $C$ है।
बीटा
