उत्तर :

$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होता है।

इसलिए, $x$-अक्ष का समीकरण $y=0$ है।

$y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का $x$-निर्देशांक $0$ होता है।

इसलिए, $y$-अक्ष का समीकरण $x=0$ है।

उत्तर :

हम जानते हैं कि बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरती हुई रेखा जिसका ढाल $m$ है, का समीकरण $(y-y_0)=m(x-x_0)$ होता है।

इसलिए, बिंदु $( -4,3)$ से गुजरती हुई रेखा जिसका ढाल $\dfrac{1}{2}$ है, का समीकरण है

$ \begin{aligned} & (y-3)=\dfrac{1}{2}(x+4) \\ \\ & 2(y-3)=x+4 \\ \\ & 2 y-6=x+4 \\ \\ & \text{ अर्थात, } x-2 y+10=0 \end{aligned} $

उत्तर :

हम जानते हैं कि बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरती हुई रेखा जिसका ढाल $m$ है, का समीकरण $(y-y _0)=m(x-x _0)$ होता है।

इसलिए, बिंदु $(0,0)$ से गुजरती हुई रेखा जिसका ढाल $m$ है, का समीकरण है

$( y - 0)=m(x - 0 )$

अर्थात, $y=m x$

उत्तर :

जो रेखा $x$-अक्ष के साथ $75^{\circ}$ का कोण बनाती है, उसका ढाल है

$m=\tan 75^{\circ}$

$\Rightarrow m=\tan (45^{\circ}+30^{\circ})=\dfrac{\tan 45^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1-1 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

हम जानते हैं कि बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरती हुई रेखा जिसका ढाल $m$ है, का समीकरण $(y-y_0)=m(x-x_0)$ होता है

इसलिए, यदि एक रेखा $(2,2 \sqrt{3})$ से गुजरती है और $x$-अक्ष के साथ $75^{\circ}$ के कोण पर झुकती है, तो रेखा का समीकरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{aligned} & (y-2 \sqrt{3})=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}(x-2) \\ \\ & (y-2 \sqrt{3})(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3}+1)(x-2) \\ \\ & y(\sqrt{3}-1)-2 \sqrt{3}(\sqrt{3}-1)=x(\sqrt{3}+1)-2(\sqrt{3}+1) \\ \\ & (\sqrt{3}+1) x-(\sqrt{3}-1) y=2 \sqrt{3}+2-6+2 \sqrt{3} \\ \\ & (\sqrt{3}+1) x-(\sqrt{3}-1) y=4 \sqrt{3}-4 \\ \\ & \text{ अर्थात, }(\sqrt{3}+1) x-(\sqrt{3}-1) y=4(\sqrt{3}-1) \end{aligned} $$

उत्तर :

यह ज्ञात है कि यदि एक रेखा का ढलान $m$ है और इसका $x$-अक्ष का अंतः खंड $d$ है, तो रेखा का समीकरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $ ~ y=m(x-d)$

उस रेखा के लिए जो मूल बिंदु के बाईं ओर 3 इकाई की दूरी पर $x$-अक्ष को काटती है, $d=-3$ है।

रेखा का ढलान दिया गया है $m=-2$

इसलिए, दी गई रेखा का आवश्यक समीकरण निम्नलिखित है

$y=-2[x-(-3)]$

$y=-2 x-6$

अर्थात, $ ~ 2 x+y+6=0$

उत्तर :

यह ज्ञात है कि यदि एक रेखा का ढलान $m$ है और इसका $y$-अक्ष का अंतः खंड $c$ है, तो रेखा का समीकरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$y=m x+c$

यहाँ, $c=2$ और $m=\tan 30^{\circ}$ $ =\dfrac{1}{\sqrt{3}} $

इसलिए, दी गई रेखा का आवश्यक समीकरण निम्नलिखित है

$$ \begin{aligned} & y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x+2 \\ \\ & y=\dfrac{x+2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ \\ & \sqrt{3} y=x+2 \sqrt{3} \\ \\ & \text{ अर्थात, } x-\sqrt{3} y+2 \sqrt{3}=0 \end{aligned} $$

उत्तर :

यह ज्ञात है कि बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरती रेखा का समीकरण $(y-y_1)=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ होता है

इसलिए, बिंदुओं $(-1,1)$ और $(2, - 4 )$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

$(y-1)=\left(\dfrac{-4-1}{2+1}\right)(x+1)$

$(y-1)=\dfrac{-5}{3}(x+1)$

$3(y-1)=-5(x+1)$

$3 y-3=-5 x-5$

अर्थात, $5 x+3 y+2=0$

Answer :

दिया गया है कि $\triangle P Q R$ के शीर्ष $P(2,1), Q (-2,3),$ और $R(4,5)$ हैं।

मान लीजिए $RL$ शीर्ष $R$ से जाने वाली माध्यिका है।

इसलिए, $L$ $PQ$ का मध्य बिंदु है।

मध्य बिंदु सूत्र के अनुसार, बिंदु $L$ के निर्देशांक निम्नलिखित हैं $\left(\dfrac{2-2}{2}, \dfrac{1+3}{2}\right)=(0,2)$

ज्ञात है कि बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

$(y-y_1)=\left(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)(x-x_1)$

इसलिए, रेखा $RL$ का समीकरण निर्धारित करने के लिए $(x_1, y_1)=(4,5)$ और $(x_2, y_2)=(0,2)$ को समीकरण में समानुपाती करेंगे।

इसलिए,

$y-5=\left(\dfrac{2-5}{0-4}\right)(x-4)$

$\Rightarrow y-5=\left(\dfrac{-3}{-4}\right)(x-4)$

$\Rightarrow 4(y-5)=3(x-4)$

$\Rightarrow 4 y-20=3 x-12$

$\Rightarrow 3 x-4 y+8=0$

इसलिए, शीर्ष $R$ से जाने वाली माध्यिका का अभीष्ट समीकरण $3 x-4 y+8=0$ है।

Answer :

बिंदुओं $(2,5)$ और $(-3,6)$ को जोड़ने वाली रेखा की प्रतिशत दर है $ m=\left(\dfrac{6-5}{-3-2}\right)=\dfrac{1}{-5} $

हम जानते हैं कि दो अनुपाती रेखाएं एक दूसरे के लंबवत होती हैं यदि और केवल यदि उनकी प्रतिशत दर एक दूसरे के ऋणात्मक प्रतिलोम होती हैं।

इसलिए, बिंदुओं $(2,5)$ और $(-3,6 )$ से गुजरने वाली रेखा के लंबवत रेखा की प्रतिशत दर $ =-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{(\frac{-1}{5})}=5 `

$

अब, बिंदु $( - 3,5 ),$ से गुजरने वाली रेखा की समीकरण, जिसका ढलान $5 ,$ है, है

$ \begin{aligned} & (y-5)=5(x+3) \\ \\ & y-5=5 x+15 \\ \\ & \text{ अर्थात, } 5 x-y+20=0 \end{aligned} $

Answer :

अनुपात के अनुसार बिंदु $(1,0)$ और $(2,3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड के बिंदु के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

$ \left(\dfrac{n(1)+1(2)}{1+n}, \dfrac{n(0)+1(3)}{1+n}\right)=\left(\dfrac{n+2}{n+1}, \dfrac{3}{n+1}\right) $

बिंदु $(1,0)$ और $(2,3)$ को मिलाने वाली रेखा का ढलान $m=\left(\dfrac{3-0}{2-1}\right)=3$ है

हम जानते हैं कि दो अनुप्रस्थ रेखाएँ एक दूसरे के ऋणात्मक प्रतिलोम होती हैं।

इसलिए, बिंदु $(1,0)$ और $(2,3)$ को मिलाने वाली रेखा के लंब रेखा का ढलान $m = 3$ होता है $ =-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{3} $

अब, बिंदु $\left(\dfrac{n+2}{n+1}, \dfrac{3}{n+1}\right)$ से गुजरने वाली रेखा की समीकरण निम्नलिखित है

$ \begin{aligned} & \left(y-\dfrac{3}{n+1}\right)=\dfrac{-1}{3}\left(x-\dfrac{n+2}{n+1}\right) \\ \\ & \Rightarrow 3[(n+1) y-3]=-[x(n+1)-(n+2)] \\ \\ & \Rightarrow 3(n+1) y-9=-(n+1) x+n+2 \\ \\ & \Rightarrow(1+n) x+3(1+n) y=n+11 \end{aligned} $

Answer :

अक्षीय रूप में एक रेखा की समीकरण है

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}=1 \qquad \ …{(i)}$

यहाँ, $a$ और $b$ क्रमशः $x$ और $y$ अक्षों पर अक्षीय प्रतिच्छेद हैं।

दिया गया है कि रेखा दोनों अक्षों पर समान अक्षीय प्रतिच्छेद बनाती है। इसका अर्थ है कि $a=b$।

इसलिए, समीकरण $(i)$ निम्नलिखित रूप में घटती है

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a}=1 $

$ \Rightarrow x+y=a\qquad \ldots(ii)$

क्योंकि दी गई रेखा बिंदु $(2,3)$ से गुजरती है, समीकरण (ii) निम्नलिखित रूप में घटता है

$2+3=a \Rightarrow a=5$

समीकरण (ii) में $a$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$x+y=5$, जो रेखा की आवश्यक समीकरण है

उत्तर :

अक्षों पर अंतराल के रूप में एक रेखा की समीकरण है

$ \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}=1 \qquad \ …{(i)} $

यहाँ, $a$ और $b$ क्रमशः $x$ और $y$ अक्षों पर अंतराल हैं।

दिया गया है कि $a + b = 9 \Rightarrow b = 9 - a \qquad \ldots$ $(ii)$

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

$ \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{9-a}=1 \qquad \ …{(iii)} $

दिया गया है कि रेखा बिंदु $(2,2)$ से गुजरती है।

इसलिए, समीकरण (iii) निम्नलिखित रूप में घटता है

$ \begin{aligned} & \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{9-a}=1 \\ \\ & \Rightarrow 2\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{9-a} \right)=1 \\ \\ & \Rightarrow 2\left(\dfrac{9-a+a}{a(9-a )}\right)=1 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{18}{9 a-a^{2}}=1 \\ \\ & \Rightarrow 18=9 a-a^{2} \\ \\ & \Rightarrow a^{2}-9 a+18=0 \\ \\ & \Rightarrow a^{2}-6 a-3 a+18=0 \\ \\ & \Rightarrow a(a-6)-3(a-6)=0 \\ \\ & \Rightarrow(a-6)(a-3)=0 \\ \\ & \Rightarrow a=6 \text{ या } a=3 \end{aligned} $

यदि $a=6$ और $b=9 - 6=3$, तो रेखा की समीकरण है

$\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}=1 $

$\Rightarrow x+2 y-6=0$

यदि $a=3$ और $b=9 - 3=6$, तो रेखा की समीकरण है

$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}=1$

$ \Rightarrow 2 x+y-6=0$

उत्तर :

धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\dfrac{2 \pi}{3}$ का कोण बनाने वाली रेखा की ढलान है $\quad m=\tan \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=-\sqrt{3}$

अब, बिंदु $(0,2)$ से गुजरती और ढलान $-\sqrt{3}$ वाली रेखा का समीकरण है

$(y-2)=-\sqrt{3}(x-0)$

$y-2=-\sqrt{3} x$

अर्थात, $\sqrt{3} x+y-2=0$

रेखा $\sqrt{3} x+y-2=0$ के समांतर रेखा का ढलान $-\sqrt{3}$ है

दिया गया है कि रेखा $\sqrt{3} x+y-2=0$ के समांतर रेखा $y$-अक्ष के 2 इकाई नीचे मूल बिंदु से गुजरती है अर्थात, यह बिंदु $( 0, - 2 )$ से गुजरती है

अतः, बिंदु $( 0, - 2 )$ से गुजरती और ढलान $-\sqrt{3}$ वाली रेखा का समीकरण है

$y-(-2)=-\sqrt{3}(x-0)$

$y+2=-\sqrt{3} x$

$\sqrt{3} x+y+2=0$

Answer :

मूल बिंदु $(0,0)$ और बिंदु $(-2,9)$ को जोड़ने वाली रेखा का ढलान $m_1=\left(\dfrac{9-0}{-2-0}\right)=-\dfrac{9}{2}$ है

अतः, मूल बिंदु और बिंदु $(- 2,9 )$ को जोड़ने वाली रेखा के लंब रेखा का ढलान है

$m_2=-\dfrac{1}{m_1}=-\dfrac{1}{(-\frac{9}{2})}=\dfrac{2}{9}$

अब, बिंदु $( - 2,9)$ से गुजरती और ढलान $m_2$ वाली रेखा का समीकरण है

$ \begin{aligned} & (y-9)=\dfrac{2}{9}(x+2) \\ \\ & 9 y-81=2 x+4 \\ \\ & \text{ i.e., } 2 x-9 y+85=0 \end{aligned} $

Answer :

दिया गया है कि जब $C=20$, तो $L$ का मान $124.942$ है, जबकि जब $C=110$, तो $L$ का मान $125.134$ है

अतः, बिंदु $(20,124.942)$ और $(110,125.134)$ $L$ और $C$ के रैखिक संबंध को संतुष्ट करते हैं।

अब, मान लीजिए $C$ को $x$-अक्ष पर और $L$ को $y$-अक्ष पर ले लिया जाए, तो हमें दो बिंदु अर्थात, $(20,124.942)$ और $(110,125.134)$ $X Y$ तल में मिलते हैं।

अतः, $L$ और $C$ के बीच रैखिक संबंध $L$ और $C$ के बीच रेखा के समीकरण के बराबर है, जो बिंदु $(20,124.942)$ और $(110,125.134)$ से गुजरती है

$(L - 124.942)=\left(\dfrac{125.134-124.942}{110-20}\right)(C-20)$

$(L-124.942)=\left(\dfrac{0.192}{90}\right)(C-20)$

अर्थात, $L=\left(\dfrac{0.192}{90}\right)(C-20)+124.942$, जो आवश्यक रेखीय संबंध है

Answer :

बिक्री मूल्य और मांग के बीच संबंध रेखीय है।

मान लीजिए बिक्री मूल्य प्रति लीटर को $x$-अक्ष पर और मांग को $y$-अक्ष पर लिया गया है, तो हमें दो बिंदु जो बिक्री मूल्य और मांग के बीच रेखीय संबंध को संतुष्ट करते हैं, अर्थात, $(14,980)$ और $(16,1220)$ जो एक द्विविमीय तल में स्थित हैं।

इसलिए, बिक्री मूल्य प्रति लीटर और मांग के बीच रेखीय संबंध बिंदुओं $(14,980)$ और $(16,1220)$ से गुजरने वाली रेखा के समीकरण है।

$ \begin{aligned} & y-980=\dfrac{1220-980}{16-14}(x-14) \\ \\ & y-980=\dfrac{240}{2}(x-14) \\ \\ & y-980=120(x-14) \\ \\ & \text{ अर्थात, } y=120(x-14)+980 \end{aligned} $

जब $x=$ 17 रुपये प्रति लीटर,

$ \begin{aligned} & y=120(17-14)+980 \\ \\ & \Rightarrow y=120 \times 3+980=360+980=1340 \end{aligned} $

इसलिए, दूध के दुकान के मालिक को प्रति सप्ताह 17 रुपये प्रति लीटर की कीमत पर 1340 लीटर दूध बेच सकता है।

Answer :

मान लीजिए $AB$ अक्षों के बीच एक रेखा खंड है और $P(a, b)$ इसका मध्य बिंदु है।

मान लीजिए $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(0, y)$ और $(x, 0)$ हैं,

क्योंकि $P(a, b)$ रेखा खंड $AB$ का मध्य बिंदु है,

$\left(\dfrac{0+x}{2}, \dfrac{y+0}{2}\right)=(a, b)$

$\Rightarrow\left(\dfrac{x}{2}, \dfrac{y}{2}\right)=(a, b)$

$\Rightarrow \dfrac{x}{2}=a$ और $\dfrac{y}{2}=b$

$\therefore x=2 a$ और $y=2 b$

इस प्रकार, बिंदु A और B के क्रमशः निर्देशांक $(0,2 b)$ और $(2 a, 0)$ हैं

बिंदुओं $(0,2 b)$ और $(2 a, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

$(y-2 b)=\left(\dfrac{0-2 b}{2 a-0}\right)(x-0)$

$y-2 b=\left(\dfrac{-2 b}{2 a}\right)x$

$a(y-2 b)=-b x$

$a y-2 a b=-b x$

अर्थात, $b x+a y=2 a b$

दोनों ओर $a b$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{b x}{a b}+\dfrac{a y}{a b}=\dfrac{2 a b}{a b}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=2$

इस प्रकार, रेखा का समीकरण $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=2$ है

Answer :

मान लीजिए $AB$ अक्षों के बीच एक रेखा खंड है जैसे कि बिंदु $R(h, k)$ रेखा खंड $AB$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है

मान लीजिए $A$ और $B$ के क्रमशः निर्देशांक $(x, 0)$ और $(0, y)$ हैं।

चूंकि बिंदु $R\left(h, k\right)$ रेखा खंड $AB$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है, अनुपात के सूत्र के अनुसार,

$\left(h, k\right)=\left(\dfrac{1 \times 0+2 \times x}{1+2}, \dfrac{1 \times y+2 \times 0}{1+2}\right)$

$\Rightarrow\left(h, k\right)=\left(\dfrac{2 x}{3}, \dfrac{y}{3}\right)$

$\Rightarrow h=\dfrac{2 x}{3}$ और $k=\dfrac{y}{3}$

$\Rightarrow x=\dfrac{3 h}{2}$ और $y=3 k$

इसलिए, बिंदु $A$ और $B$ के क्रमशः निर्देशांक $\left(\dfrac{3 h}{2}, 0\right)$ और $\left(0,3 k\right)$ हैं।

अब, बिंदुओं $\left(\dfrac{3 h}{2}, 0\right)$ और $\left(0,3 k\right)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण है

$\left(y-0\right)=\dfrac{3 k-0}{0-\frac{3 h}{2}}\left(x-\dfrac{3 h}{2}\right)$

$y=-\dfrac{2 k}{h}\left(x-\dfrac{3 h}{2}\right)$

$h y=-2 k x+3 h k$

अर्थात, $2 k x+h y=3 h k$

इसलिए, रेखा का अभीष्ट समीकरण $2 k x+h y=3 h k$ है

उत्तर :

बिंदुओं $(3,0)$, $(-2,-2)$ और $(8,2)$ के संरेख होने को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि बिंदुओं $(3,0)$ और $(-2,-2)$ से गुजरने वाली रेखा बिंदु $(8,2)$ से भी गुजरती हो।

बिंदुओं $(3,0)$ और $(-2,-2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित है

$ \begin{aligned} & (y-0)=\left(\dfrac{-2-0}{-2-3}\right)(x-3) \\ \\ & y=\left(\dfrac{-2}{-5}\right)(x-3) \\ \\ & 5 y=2 x-6 \\ \\ & \text{ अर्थात, } 2 x-5 y=6 \end{aligned} $

यह देखा जाता है कि जब $x=8$ और $y=2$ हों, तो

अपरिवर्तित ओर दायें हाथ के मूल्य (L.H.S.) $=2 \times 8 $ $ - 5 \times 2=16$ - $10=6=$ दायें हाथ के मूल्य (R.H.S.)

इसलिए, बिंदुओं $(3,0)$ और $(-2,-2)$ से गुजरने वाली रेखा बिंदु $(8,2)$ से भी गुजरती है।

इसलिए, बिंदु $(3, 0),$ $(-2, -2),$ और $(8, 2)$ संरेख हैं।