उत्तर :

मान लीजिए $ABCD$ दिए गए चतुर्भुज के शीर्ष हैं, जहाँ $A(-4, 5)$, $B(0,7)$, $C(5, -5)$ और $D(-4, -2)$ हैं।

तब, $A, B, C$ और $D$ को कार्तीय तल पर आलेखित करके $AB$, $BC$, $CD$ और $DA$ को मिलाकर दिया गया चतुर्भुज खींचा जा सकता है।

चतुर्भुज $ABCD$ के क्षेत्रफल के लिए हम एक विकर्ण, मान लीजिए $AC$ खींचते हैं।

इस प्रकार, क्षेत्रफल $(ABCD)=क्षेत्रफल(\triangle ABC)+क्षेत्रफल(\triangle ACD)$

हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर इसका क्षेत्रफल होता है

$\dfrac{1}{2}\bigg|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\bigg|$

इसलिए, $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}\bigg|-4(7+5)+0(-5-5)+5(5-7)\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{3.6cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|-4(12)+5(-2)\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{3.6cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|-48-10\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{3.6cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|-58\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{3.6cm}=\dfrac{1}{2} \times 58$ वर्ग इकाई

$\hspace{3.6cm}=29$ वर्ग इकाई

$\triangle ACD$ का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}\bigg|-4(-5+2)+5(-2-5)+(-4)(5+5)\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{2.2cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|-4(-3)+5(-7)-4(10)\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{2.2cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|12-35-40\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{2.2cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|-63\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{2.2cm}=\dfrac{63}{2}$ वर्ग इकाई

इसलिए, क्षेत्रफल (ABCD) $=\left(29+\dfrac{63}{2}\right) \text{ इकाई }^{2}=\dfrac{58+63}{2} \text{ इकाई }^{2}=\dfrac{121}{2} \text{ इकाई }^{2}$

उत्तर :

मान लीजिए $ABC$ दिया गया समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $2a$ है।

इसलिए, $AB = BC = CA = 2a$

मान लीजिए आधार $BC$ $y$-अक्ष के अनुदिश है ताकि $BC$ का मध्य बिंदु मूल बिंदु पर है।

अर्थात, $BO = OC = a$, जहाँ $O$ मूल बिंदु है।

अब, स्पष्ट है कि बिंदु $C$ के निर्देशांक $(0, a)$ हैं, जबकि बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0, -a)$ हैं।

ज्ञात है कि समबाहु त्रिभुज के एक शीर्ष बिंदु और विपरीत भुजा के मध्य बिंदु को जोड़ने वाली रेखा लंब होती है।

इसलिए, शीर्ष $A$ $y$-अक्ष पर है।

$\triangle AOC$ पर पिथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \quad \ (AC)^{2} =(OA)^{2}+(OC)^{2} \\ \\ & \Rightarrow(2 a)^{2}=(OA)^{2}+a^{2} \\ \\ & \Rightarrow 4 a^{2} - a^{2}=(OA)^{2} \\ \\ & \Rightarrow(OA)^{2}=3 a^{2} \\ \\ & \Rightarrow OA=\sqrt{3} a \end{aligned} $

$\therefore \ \ $ बिंदु $A$ के निर्देशांक $( \pm \sqrt{3} a, 0)$ हैं।

इसलिए, दिए गए समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $(0, a),(0, -{ } a)$, और $(\sqrt{3} a, 0)$ या $(0, a),(0, - a)$, और $(-\sqrt{3} a, 0)$ हैं।

उत्तर :

दिए गए बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ हैं।

(i) जब PQ, $y$-अक्ष के समानांतर है, तो $x_1 = x_2$ होता है।

इस स्थिति में, $P$ और $Q$ के बीच दूरी $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$\hspace{5.2cm} = \sqrt{(y_2 - y_1)^2} = |y_2 - y_1|$

(ii) जब PQ, $x$-अक्ष के समानांतर है, तो $y_1 = y_2$ होता है।

इस स्थिति में, $P$ और $Q$ के बीच दूरी $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$\hspace{5.2cm} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2} = |x_2 - x_1|$

उत्तर :

मान लीजिए $(a, 0)$ एक बिंदु है जो $x$ अक्ष पर स्थित है और बिंदुओं $(7,6)$ और $(3,4)$ से समान दूरी पर है।

इसलिए, $\sqrt{(7-a)^{2}+(6-0)^{2}}=\sqrt{(3-a)^{2}+(4-0)^{2}}$

$\Rightarrow\quad \sqrt{49+a^{2}-14 a+36}=\sqrt{9+a^{2}-6 a+16}$

$\Rightarrow\quad \sqrt{a^{2}-14 a+85}=\sqrt{a^{2}-6 a+25}$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं $a^{2} - 14 a+85=a^{2}- 6 a+25$

$\Rightarrow - 14 a+6 a=25 - 85$

$\Rightarrow - 8 a=- 60$

$\Rightarrow a=\dfrac{60}{8}=\dfrac{15}{2}$

इसलिए, $x$-अक्ष पर आवश्यक बिंदु $\left(\dfrac{15}{2}, 0\right)$ है

उत्तर :

बिंदुओं $P(0, - 4)$ और $B(8,0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक $\left(\dfrac{0+8}{2}, \dfrac{-4+0}{2}\right)=(4,-2)$ हैं।

ज्ञात है कि एक ऐसी रेखा की ढलान $(m)$ जो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरती है और ऊर्ध्वाधर नहीं है, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, x_2 \neq x_1$

इसलिए, बिंदुओं $(0,0)$ और $ ( 4,-2) $ से गुजरने वाली रेखा की ढलान $\dfrac{-2-0}{4-0}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}$ है।

इसलिए, आवश्यक रेखा की ढलान $-\dfrac{1}{2}$ है।

उत्तर :

दिए गए त्रिभुज के शीर्ष $A (4,4), B(3,5),$ और $C (-1, -1).$

ज्ञात है कि एक ऐसी रेखा की ढलान $(m)$ जो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरती है और ऊर्ध्वाधर नहीं है, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, x_2 \neq x_1$

$\therefore \ \ $ $AB$ की ढलान $(m_1)=\dfrac{5-4}{3-4}=-1$

$BC$ की ढलान $(m_2)=\dfrac{-1-5}{-1-3}=\dfrac{-6}{-4}=\dfrac{3}{2}$

$CA$ की ढलान $(m_3)=\dfrac{4+1}{4+1}=\dfrac{5}{5}=1$

यह देखा जा सकता है कि $m_1 m_3= - 1 $

यह दिखाता है कि रेखाखंड $A B$ और $C A$ एक दूसरे के लंब हैं, अर्थात दिया गया त्रिभुज $A(4,4)$ पर समकोण है।

इसलिए, बिंदु $(4,4),(3,5)$, और (1, 1 ) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

उत्तर :

यदि एक रेखा $y$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है और वृहदांतर दिशा में मापी जाती है, तो रेखा द्वारा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण वृहदांतर दिशा में $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ होता है।

इसलिए, दी गई रेखा की ढलान $\tan 120^{\circ}=\tan (180^{\circ} - 60^{\circ})=- \tan 60^{\circ}=-\sqrt{3}$ होती है।

उत्तर :

मान लीजिए बिंदु $( - 2, -1), (4,0),(3,3)$, और $( - 3,2 )$ क्रमशः $A, \ B, \ C,$ और $D$ द्वारा निरूपित होते हैं।

$A B$ की ढलान $=\dfrac{0+1}{4+2}=\dfrac{1}{6}$

$CD$ की ढलान $=\dfrac{2-3}{-3-3}=\dfrac{-1}{-6}=\dfrac{1}{6}$

$\Rightarrow$ $A B$ की ढलान $=$ $C D$ की ढलान

$\Rightarrow A B$ और $C D$ एक दूसरे के समांतर हैं।

अब, $BC$ की ढलान $=\dfrac{3-0}{3-4}=\dfrac{3}{-1}=-3$

$AD$ की ढलान $=\dfrac{2+1}{-3+2}=\dfrac{3}{-1}=-3$

$\Rightarrow$ $BC$ की ढलान $=$ $AD$ की ढलान

$\Rightarrow B C$ और $A D$ एक दूसरे के समांतर हैं।

इसलिए, चतुर्भुज $A B C D$ के दोनों जोड़े विपरीत भुजाएँ समांतर हैं। अतः $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है।

इसलिए, बिंदु (-2, -1), $(4,0),(3,3)$, और (-3,2) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

उत्तर :

बिंदुओं $(3,-1)$ और $(4,-2)$ को मिलाने वाली रेखा की प्रवृत्ति (slope) है

$ m=\dfrac{-2-(-1)}{4-3}=-2+1=-1 $

अब, बिंदुओं $(3, -1 )$ और $(4, -{ } 2)$ को मिलाने वाली रेखा की झुकाव $(\theta)$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है $\tan \theta=- 1$

$\Rightarrow \theta=(90^{\circ}+45^{\circ})=135^{\circ}$

अतः, $x$-अक्ष और बिंदुओं $(3, $ - 1 $)$ और ( $ 4, - $ 2 ) को मिलाने वाली रेखा के बीच कोण $ 135^{\circ} $ है।

उत्तर :

मान लीजिए $m_1$ और $m$ दो दी गई रेखाओं की प्रवृत्तियाँ हैं जैसे कि $m_1=2 m$।

हम जानते हैं कि यदि $\theta$ दो रेखाओं $l_1$ और $l_2$ के बीच कोण है जिनकी प्रवृत्तियाँ $m_1$ और $m_2$ हैं, तो

$ \tan \theta=\bigg|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}\bigg| $

दिया गया है कि दो रेखाओं के बीच कोण के तानजेंट का मान $\dfrac{1}{3}$ है।

$\therefore \ \ \dfrac{1}{3}=\bigg|\dfrac{m-2 m}{1+(2 m) \cdot m}\bigg|$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}=\bigg|\dfrac{-m}{1+2 m^{2}}\bigg|$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}=\dfrac{-m}{1+2 m^{2}}$ या $\dfrac{1}{3}=-\left(\dfrac{-m}{1+2 m^{2}}\right)=\dfrac{m}{1+2 m^{2}}$

यदि $m=$ $- 1 ,$ तो रेखाओं की प्रवृत्तियाँ $- 1$ और $- 2 $ हैं।

यदि $m=-\dfrac{1}{2}$, तो रेखाओं की प्रवृत्तियाँ $-\dfrac{1}{2}$ और $-1$ हैं।

$\text{केस} ~ \ \text{II}$

$\dfrac{1}{3}=\dfrac{m}{1+2 m^{2}}$

$\Rightarrow 2 m^{2}+1=3 m$

$\Rightarrow 2 m^{2}-3 m+1=0$

$\Rightarrow 2 m^{2}-2 m-m+1=0$

$\Rightarrow 2 m(m-1)-1(m-1)=0$

$\Rightarrow(m-1)(2 m-1)=0$

$\Rightarrow m=1$ या $m=\dfrac{1}{2}$

यदि $m=1$, तो रेखाओं की प्रवृत्तियाँ $1$ और $2$ हैं।

यदि $m=\dfrac{1}{2}$, तो रेखाओं की प्रवृत्तियाँ $\dfrac{1}{2}$ और $1$ हैं।

अतः, रेखाओं की प्रवृत्तियाँ $- 1$ और $- 2$ या $-\dfrac{1}{2}$ और - 1 या 1 और 2 या $\dfrac{1}{2}$ और $1$ हैं।

उत्तर :

$(x_1, y_1)$ और $(h, k)$ से गुजरने वाली रेखा का ढलान $\dfrac{k-y_1}{h-x_1}$ है

दिया गया है कि रेखा का ढलान $m$ है।

$\therefore \ \ \dfrac{k-y_1}{h-x_1}=m$

$\Rightarrow k-y_1=m(h-x_1)$

अतः, $k-y_1=m(h-x_1)$