उत्तर :

दिया गया $G.P.$ है $\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{4}, \dfrac{5}{8}, \ldots$

यहाँ, $a=$ पहला पद $=\dfrac{5}{2}$

$r=\text{ सार्व अनुपात }=\dfrac{\dfrac{5}{4}}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{1}{2} $

$a _ {20}=a r^{20-1}=\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{19}=\dfrac{5}{\left(2\right)\left(2\right)^{19}}=\dfrac{5}{\left(2\right)^{20}} $

$a_n=a r^{n-1}=\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{5}{\left(2\right)\left(2\right)^{n-1}}=\dfrac{5}{\left(2\right)^{n}}$

उत्तर :

सार्व अनुपात, $r=2$

मान लीजिए $a$ एक $G.P.$ का पहला पद है।

$ \begin{aligned} & a r^{8.1} \ \Rightarrow a r^{7}=192 \\ \\ & a\left(2\right)^{7}=192 \\ \\ & a\left(2\right)^{7}=\left(2\right)^{6}\left(3\right) \\ \\ & \Rightarrow a=\dfrac{\left(2\right)^{6} \times 3}{\left(2\right)^{7}}=\dfrac{3}{2} \\ \\ & \therefore \ \ a _ {12}=a r^{12-1}=\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(2\right)^{11}=\left(3\right)\left(2\right)^{10}=3072 \end{aligned} $

उत्तर :

मान लीजिए $a$ एक $G.P.$ का पहला पद और $r$ इसका सार्व अनुपात है।

दिए गए शर्त के अनुसार,

$a_5=a r^{5 - 1}=a r^{4}=p\qquad \ldots(1)$

$a_8=a r^{8 - 1}=a r^{7}=q \qquad \ldots(2)$

$a_{11}=a r^{11 -1}=a r^{10}=s \qquad \ldots(3)$

समीकरण $\left(2\right)$ को समीकरण $\left(1\right)$ से विभाजित करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{a r^{7}}{a r^{4}}=\dfrac{q}{p}$

$r^{3}=\dfrac{q}{p}\qquad \ldots(4)$

समीकरण $\left(3\right)$ को $\left(2\right)$ से विभाजित करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{a r^{10}}{a r^{7}}=\dfrac{s}{q}$

$\Rightarrow r^{3}=\dfrac{s}{q}\qquad \ldots(5)$

$\left(4\right)$ और $\left(5\right)$ में प्राप्त $r^{3}$ के मान की तुलना करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{q}{p}=\dfrac{s}{q}$

$\Rightarrow q^{2}=p s$

इस प्रकार, दिया गया परिणाम सिद्ध हो गया।

Answer :

मान लीजिए $a$ एक $G.P.$ का पहला पद और $r$ उसका सार्व अनुपात है।

$\therefore \ \ a=-3$

ज्ञात है कि, $a_n=a r^{n-1}$

$\therefore \ \ a_4=a r^{3}=\left(-3\right) r^{3}$

$\quad \ \ a_2=a r^{1}=\left(-3\right) r$

दिए गए शर्त के अनुसार,

$\left(-3\right) r^{3}=[\left(-3\right) r]^{2}$

$\Rightarrow-3 r^{3}=9 r^{2}$

$\Rightarrow r=-3$

अब, श्रेणी का $7^{\text{th }}$ पद है

$a r^{7-1}=a r^{6}=\left(-3\right)\left(-3\right)^{6}=-\left(3\right)^{7}=-2187$

इस प्रकार, $G.P.$ का सातवाँ पद $-2187$ है।

Answer :

$\left(a\right) \ $ दी गई श्रेणी $2,2 \sqrt{2}, 4, \ldots$ है।

यहाँ, $a=2$ और $r=\dfrac{2 \sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

मान लीजिए दी गई श्रेणी का $n^{\text{th }}$ पद $128$ है।

$a_n=a r^{n-1}$

$\Rightarrow\left(2\right)\left(\sqrt{2}\right)^{n-1}=128$

$\Rightarrow\left(2\right)\left(2\right)^{\frac{n-1}{2}}=\left(2\right)^{7}$

$\Rightarrow\left(2\right)^{\frac{n-1}{2}+1}=\left(2\right)^{7}$

दोनों ओर की तुलना करने पर।

$\therefore \ \ \dfrac{n-1}{2}+1=7$

$\Rightarrow \dfrac{n-1}{2}=6$

$\Rightarrow n-1=12$

$\Rightarrow n=13$

इस प्रकार, दी गई श्रेणी का $13^{\text{th }}$ पद $128$ है।

$\left(b\right) \ $ दी गई अनुक्रम $\sqrt{3}, 3,3 \sqrt{3}, \ldots$ है।

यहाँ,

$ a=\sqrt{3} \text{ और } r=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} $

मान लीजिए दिए गए अनुक्रम के $n^{\text{th }}$ पद $729$ है।

$\qquad a_n=a r^{n-1}$

$\therefore \ \ a r^{n-1}=729$

$\Rightarrow\left(\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}\right)^{n-1}=729$

$\Rightarrow\left(3\right)^{\frac{1}{2}}\left(3\right)^{\frac{n-1}{2}}=\left(3\right)^{6}$

$\Rightarrow\left(3\right)^{\frac{1}{2}+\frac{n-1}{2}}=\left(3\right)^{6}$

दोनों ओर की तुलना करें।

$\therefore \ \ \dfrac{1}{2}+\dfrac{n-1}{2}=6$

$\Rightarrow \dfrac{1+n-1}{2}=6$

$\Rightarrow n=12$

इस प्रकार, दिए गए अनुक्रम का $12^{\text{th }}$ पद $729$ है।

$\left(c\right) \ $ दी गई अनुक्रम $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{27}, \ldots$ है।

यहाँ, $\quad a=\dfrac{1}{3}$ और $r=\dfrac{1}{9} \div \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

मान लीजिए दिए गए अनुक्रम के $n^{\text{th }}$ पद $\dfrac{1}{19683}$ है।

$a_n=a r^{n-1}$

$\therefore \ \ a r^{n-1}=\dfrac{1}{19683}$

$\Rightarrow\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{19683}$

$\Rightarrow\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{9}$

दोनों ओर की तुलना करें।

$\Rightarrow n=9$

इस प्रकार, दिए गए अनुक्रम का $9^{\text{th }}$ पद $\dfrac{1}{19683}$ है।

उत्तर :

दी गई संख्याएँ $\dfrac{-2}{7}, x, \dfrac{-7}{2}$ हैं।

$ \text { सामान्य अनुपात }=\dfrac{x}{-2 / 7}=\dfrac{-7 x}{2} $

$ \text { भी, सामान्य अनुपात }=\dfrac{-7 / 2}{x}=\dfrac{-7}{2 x} $

$ \begin{aligned} & \therefore \ \ \dfrac{-7 x}{2}=\dfrac{-7}{2 x} \\ & \Rightarrow x^2=\dfrac{-2 \times 7}{-2 \times 7}=1 \\ & \Rightarrow x=\sqrt{1} \\ & \Rightarrow x= \pm 1 \end{aligned} $

इस प्रकार, $x= \pm 1$ के लिए दी गई संख्याएँ G.P. में होंगी।

उत्तर :

दिया गया $G.P.$ है $0.15,0.015,0.00015, \ldots$

यहाँ, $a=0.15$ और

$ r=\dfrac{0.015}{0.15}=0.1 $

$S_n=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\therefore \ \ S _ {20}=\dfrac{0.15[1-\left(0.1\right)^{20}]}{1-0.1}$

$ \qquad\quad=\dfrac{0.15}{0.9}[1-\left(0.1\right)^{20}] $

$ \qquad\quad=\dfrac{15}{90}[1-\left(0.1\right)^{20}] $

$\qquad\quad=\dfrac{1}{6}[1-\left(0.1\right)^{20}]$

उत्तर :

दिया गया G.P. है $\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots$

यहाँ, $a=\sqrt{7}$

$ \ r=\dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}}=\sqrt{3}$

$S _ {n}=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\therefore \ \ S_n=\dfrac{\sqrt{7}[1-\left(\sqrt{3}\right)^{n}]}{1-\sqrt{3}}$

$\qquad \quad =\dfrac{\sqrt{7}[1-\left(\sqrt{3}\right)^{n}]}{1-\sqrt{3}} \times \dfrac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

$($ परिशोधन करके $)$

$\qquad \quad =\dfrac{\sqrt{7}\left(1+\sqrt{3}\right)[1-\left(\sqrt{3}\right)^{n}]}{1-3}$

$\qquad \quad =\dfrac{-\sqrt{7}\left(1+\sqrt{3}\right)}{2}\big[1-\left(3\right)^{\frac{n}{2}}\big]$

$\qquad \quad =\dfrac{\sqrt{7}\left(1+\sqrt{3}\right)}{2}\big[\left(3\right)^{\frac{n}{2}}-1\big]$

उत्तर :

दिया गया $G.P.$ है $1,-a, a^{2},-a^{3}, \ldots n$ पद

यहाँ, पहला पद $=a_1=1$

सामान्य अनुपात $=r=- a$

$ \begin{aligned} & S_n=\dfrac{a_1\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \\ \\ & \therefore \ \ S_n=\dfrac{1[1-\left(-a\right)^{n}]}{1-\left(-a\right)}=\dfrac{[1-\left(-a\right)^{n}]}{1+a} \end{aligned} $

उत्तर :

दिया गया $G.P.$ है $x^{3}, x^{5}, x^{7}, \ldots$

यहाँ,

$a=x^{3}$ और $r=x^{2}$

$S_n=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}=\dfrac{x^{3}[1-\left(x^{2}\right)^{n}]}{1-x^{2}}=\dfrac{x^{3}\left(1-x^{2 n}\right)}{1-x^{2}}$

उत्तर :

$\sum _ {k=1}^{11}\left(2+3^{k}\right)=\sum _ {k=1}^{11}\left(2\right)+\sum _ {k=1}^{11} 3^{k}=2\left(11\right)+\sum _ {k=1}^{11} 3^{k}=22+\sum _ {k=1}^{11} 3^{k}\qquad \ldots(1)$

$\sum _ {k=1}^{11} 3^{k}=3^{1}+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{11}$

इस अनुक्रम के पद $3,3^{2}, 3^{3}, \ldots$ एक $G.P.$ बनाते हैं।

$\quad S_n=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S _ {11}=\dfrac{3[\left(3\right)^{11}-1]}{3-1}$

$\Rightarrow S _ {11}=\dfrac{3}{2}\left(3^{11}-1\right)$

$\therefore \ \ \sum _ {k=1}^{11} 3^{k}=\dfrac{3}{2}\left(3^{11}-1\right)$

समीकरण $\left(1\right)$ में इस मान को रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\sum _ {k=1}^{11}\left(2+3^{k}\right)=22+\dfrac{3}{2}\left(3^{11}-1\right)$

उत्तर :

मान लीजिए $\dfrac{a}{r}, a, a r$ एक $G.P.$ के पहले तीन पद हैं।

$\dfrac{a}{r}+a+a r=\dfrac{39}{10}\qquad \ldots(1)$

$\left(\dfrac{a}{r}\right)\left(a\right)\left(a r\right)=1\qquad \ldots(2)$

समीकरण $\left(2\right)$ से,

हम प्राप्त करते हैं $a^{3}=1$

$\Rightarrow a=1$ (केवल वास्तविक मूलों को ध्यान में रखते हुए)

समीकरण $\left(1\right)$ में $a=1$ को रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{1}{r}+1+r=\dfrac{39}{10}$

$\Rightarrow 1+r+r^{2}=\dfrac{39}{10} r$

$\Rightarrow 10+10 r+10 r^{2}-39 r=0$

$\Rightarrow 10 r^{2}-29 r+10=0$

$\Rightarrow 10 r^{2}-25 r-4 r+10=0$

$\Rightarrow 5 r\left(2 r-5\right)-2\left(2 r-5\right)=0$

$\Rightarrow\left(5 r-2\right)\left(2 r-5\right)=0$

$\Rightarrow r=\dfrac{2}{5}$ या $\dfrac{5}{2}$

इस प्रकार, $G.P.$ के तीन पद $\dfrac{5}{2}, 1$, और $\dfrac{2}{5}$ हैं।

उत्तर :

दिया गया $G.P.$ $3,3^{2}, 3^{3}, \ldots$

$S_7=\dfrac{729\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}\right)}{1-\dfrac{2}{3}}$

$\Rightarrow S_7=\dfrac{729\left(1-\dfrac{128}{2187}\right)}{\dfrac{1}{3}}$

$\Rightarrow S_7=729 \times 3 \times \left(1-\dfrac{128}{2187}\right)$

$\Rightarrow S_7=2187 \times \left(\dfrac{2187-128}{2187}\right)$

$\Rightarrow S_7=2187 \times \dfrac{2059}{2187}$

$\Rightarrow S_7=2059$

Answer :

Here, $a=1$ and $r=\dfrac{1}{2}$

The sum of $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{1\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}{\dfrac{1}{2}}$

$\Rightarrow S_n=2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)$

Answer :

Here, $a=x$ and $r=x$

The sum of $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{x\left(x^{n}-1\right)}{x-1}$

Answer :

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r$.

Sum of $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}=120\qquad \ldots(1)$

Sum of $2n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{2n}-1\right)}{r-1}=60\qquad \ldots(2)$

Dividing equation $\left(2\right)$ by $\left(1\right)$, we obtain

$\dfrac{S_{2n}}{S_n}=\dfrac{\dfrac{a\left(r^{2n}-1\right)}{r-1}}{\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}}=\dfrac{r^{2n}-1}{r^{n}-1}=\dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{r^{2n}-1}{r^{n}-1}=\dfrac{1}{2}$

Let $r^{n}=y$, then the above equation becomes

$\dfrac{y^{2}-1}{y-1}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{(y-1)(y+1)}{y-1}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow y+1=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow r^{n}=-\dfrac{1}{2}$

Now, the sum of $3n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_{3n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}=\dfrac{a\left((r^{n})^{3}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}=\dfrac{a\left((- \dfrac{1}{2})^{3}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}=\dfrac{a\left(-\dfrac{1}{8}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}=\dfrac{a\left(-\dfrac{9}{8}\right)}{r-1}$

From equation $\left(1\right)$, we have

$\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}=120$

$\Rightarrow \dfrac{a\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)}{r-1}=120$

$\Rightarrow \dfrac{a\left(-\dfrac{3}{2}\right)}{r-1}=120$

$\Rightarrow \dfrac{a}{r-1}=-\dfrac{240}{3}=-80$

Substituting this value in the expression for $S_{3n}$, we get

$S_{3n}=-80 \times \left(-\dfrac{9}{8}\right)=90$

Thus, the sum of $3n$ terms is $90$.

Answer :

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r$.

Sum of $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

Sum of $2n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{2n}-1\right)}{r-1}$

Sum of $3n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_{3n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-1\right)}{r-1}$

Now, $S_{2n}-S_n=\dfrac{a\left(r^{2n}-1\right)}{r-1}-\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{2n}-S_n=\dfrac{a\left(r^{2n}-1-r^{n}+1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{2n}-S_n=\dfrac{a\left(r^{2n}-r^{n}\right)}{r-1}$

Similarly, $S_{3n}-S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-1\right)}{r-1}-\dfrac{a\left(r^{2n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}-S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-1-r^{2n}+1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}-S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-r^{2n}\right)}{r-1}$

Now, $S_{2n}-S_n=\dfrac{a\left(r^{2n}-r^{n}\right)}{r-1}$ and $S_{3n}-S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-r^{2n}\right)}{r-1}$

Let us factor out $r^{n}$ from both expressions:

$S_{2n}-S_n=\dfrac{a r^{n}\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

$S_{3n}-S_{2n}=\dfrac{a r^{2n}\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

Now, we can see that $S_{2n}-S_n$ is a multiple of $r^{n}$ and $S_{3n}-S_{2n}$ is a multiple of $r^{2n}$. Since $r^{2n}=r^{n} \cdot r^{n}$, we can write:

$S_{3n}-S_{2n}=r^{n} \cdot \left(S_{2n}-S_n\right)$

Thus, $S_{2n}-S_n=S_{3n}-S_{2n}$ is not generally true. However, if we consider the case where $r=1$, then the $G.P.$ becomes an arithmetic progression with common difference $0$, and the sum of $n$ terms is $n \cdot a$. In this case, $S_{2n}-S_n=n \cdot a$ and $S_{3n}-S_{2n}=n \cdot a$, so $S_{2n}-S_n=S_{3n}-S_{2n}$ is true.

Therefore, the given statement is not generally true, but it is true when $r=1$.

Answer :

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r$.

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n-1}$

This is a geometric series with first term $a$ and common ratio $r$. The sum of a geometric series is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

where $r \ne 1$.

Thus, the sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is $S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$, where $r \ne 1$.

Answer :

Here, $a=1$ and $r=2$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{1\left(1-2^{n}\right)}{1-2}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{1-2^{n}}{-1}$

$\Rightarrow S_n = 2^{n} - 1$

Answer :

Here, $a=1$ and $r=\dfrac{1}{2}$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{1\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}{\dfrac{1}{2}}$

$\Rightarrow S_n = 2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)$

Answer :

Here, $a=x$ and $r=x$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{x\left(1-x^{n}\right)}{1-x}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{,n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Final Answer:

$$ \boxed{S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}} $$

This is the general formula for the sum of the first $ n $ terms of a geometric progression.

\therefore \ \ S_7 & =\dfrac{729\bigg[1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}\bigg]}{1-\dfrac{2}{3}} \\ \\ & =3 \times 729\bigg[1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}\bigg] \\ \\ & =\left(3\right)^{7}\bigg[\dfrac{\left(3\right)^{7}-\left(2\right)^{7}}{\left(3\right)^{7}}\bigg] \\ \\ & =\left(3\right)^{7}-\left(2\right)^{7} \\ \\ & =2187-128 \\ \\ & =2059 \end{aligned} $

उत्तर :

तो $G.P.$ है $a, a r, a r^2,\ldots$

दिया गया है, $T_1+T_2=-4\qquad \ldots(1)$

और $T_5=4 T_3\qquad \ldots(2)$

अब, $(1)$ से,

$ a+a r=-4 \Rightarrow a(1+r)=-4\qquad \ldots(3) $

और $(2)$ से,

$ \begin{aligned} & a r^4=4 a r^2 \\ \\ & \Rightarrow r^4-4 r^2=0 \qquad [\because \ \ a \neq 0] \\ & \Rightarrow r^2\left(r^2-4\right)=0 \\ \\ & \Rightarrow r^2=4 \qquad [\because \ \ r \neq 0] \\ & \Rightarrow r= \pm 2 \Rightarrow r=2 \text { या } r=-2 \end{aligned} $

$ r=2 $ को (3) में सब्स्टिट्यूट करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ a(1+2)=-4 \Rightarrow a=\frac{-4}{3} $

$ r=-2 $ को (3) में सब्स्टिट्यूट करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ a(1-2)=-4 \Rightarrow a=4 $

केस (i): यदि $a=-\frac{4}{3}, r=2$, तो आवश्यक $G.P.$ है

$ \begin{aligned} & \frac{-4}{3}, \frac{-4}{3} \times 2, \frac{-4}{3} \times 2^{2}, \ldots \\ & \text { अर्थात } \frac{-4}{3}, \frac{-8}{3}, \frac{-16}{3}, \cdots \end{aligned} $

केस (ii): यदि $a=4, r=-2$, तो आवश्यक $G.P. \ $ है $ \ 4,4 \times(-2), 4 \times(-2)^2, \cdots \cdots$

अर्थात, $4,-8,16, \cdots \cdots$

उत्तर :

मान लीजिए $a$ एक $G.P.$ का पहला पद और $r$ उसका सार्व अनुपात है।

दिए गए शर्त के अनुसार,

$a_4=a r^{3}=x\qquad \ldots(1)$

$a _ {10}=a r^{9}=y\qquad \ldots(2)$

$a _ {16}=a r^{15}=z\qquad \ldots(3)$

भाग $\left(2\right)$ को $\left(1\right)$ से विभाजित करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{y}{x}=\dfrac{a r^{9}}{a r^{3}} $

$\Rightarrow \dfrac{y}{x}=r^{6}$

भाग $\left(3\right)$ को $\left(2\right)$ से विभाजित करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{z}{y}=\dfrac{a r^{15}}{a r^{9}} $

$\Rightarrow \dfrac{z}{y}=r^{6}$

$\therefore \ \ \dfrac{y}{x}=\dfrac{z}{y}$

इसलिए, $x, y, z$ $G. P.$ में हैं।

Answer :

दिया गया अनुक्रम $8,88,888,8888 \ldots$ है।

इस अनुक्रम के गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) नहीं है। हालांकि, इसे गुणोत्तर श्रेणी में बदला जा सकता है द्वारा पदों को लिखा जा सकता है

$S_n=8+88+888+8888+$ लेकर $n$ पदों तक

$\quad \ =\dfrac{8}{9}\bigg[9+99+999+9999+….$ लेकर $n$ पदों तक $\bigg]$

$\quad \ =\dfrac{8}{9}\bigg[\left(10-1\right)+\left(10^{2}-1\right)+\left(10^{3}-1\right)+\left(10^{4}-1\right)+\ldots \ldots $ लेकर $n$ पदों तक $\bigg]$

$\quad \ =\dfrac{8}{9}\bigg[(10+10^{2}+\ldots . . n..$ पदों लेकर $)-(1+1+1+\ldots . n$ पदों लेकर $.)\bigg]$

$\quad \ =\dfrac{8}{9}\bigg[\dfrac{10\left(10^{n}-1\right)}{10-1}-n\bigg]$

$\quad \ =\dfrac{8}{9}\bigg[\dfrac{10\left(10^{n}-1\right)}{9}-n\bigg]$

$\quad \ =\dfrac{80}{81}\left(10^{n}-1\right)-\dfrac{8}{9} n$

Answer :

आवश्यक योग $=2 \times 128+4 \times 32+8 \times 8+16 \times 2+32 \times \dfrac{1}{2}$

$\hspace{1.9cm}=64\bigg[4+2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}\bigg]$

यहाँ, $4,2,1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2^{2}} \ $ एक $G.P.$ है।

पहला पद, $a=4$

सार्व अनुपात, $r=\dfrac{1}{2}$

ज्ञात है कि, $S_n=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\therefore \ \ S_5=\dfrac{4\bigg[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}\bigg]}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{4\bigg[1-\dfrac{1}{32}\bigg]}{\dfrac{1}{2}}=8\left(\dfrac{32-1}{32}\right)=\dfrac{31}{4}$

$\therefore \ \ $ आवश्यक योग $=$ $ 64\left(\dfrac{31}{4}\right)=\left(16\right)\left(31\right)=496 `

$

उत्तर :

सिद्ध करना है कि अनुक्रम, $a A, \ a r A R, \ a r^{2} A R^{2}, \ldots a r^{n -1} A R^{n - 1}$, एक $G.P.$ बनाता है।

$$ \begin{aligned} & \dfrac{\text{ दूसरा पद }}{\text{ पहला पद }}=\dfrac{a r A R}{a A}=r R \\ \\ & \dfrac{\text{ तीसरा पद }}{\text{ दूसरा पद }}=\dfrac{a r^{2} A R^{2}}{a r A R}=r R \end{aligned} $$

इस प्रकार, उपरोक्त अनुक्रम एक $G.P.$ बनाता है और सामान्य अनुपात $r R$ है।

उत्तर :

मान लीजिए $a$ पहला पद है और $r$ गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य अनुपात है।

$a_1=a, a_2=a r, a_3=a r^{2}, a_4=a r^{3}$

दिए गए शर्त के अनुसार,

$a_3=a_1+9$

$\Rightarrow a r^{2}=a+9\qquad \ldots(1)$

$a_2=a_4+18$

$\Rightarrow a r=a r^{3}+18\qquad \ldots(2)$

समीकरण (1) और (2) से,

हम प्राप्त करते हैं

$a\left(r^{2}- 1\right)=9\qquad \ldots(3)$

$ar\left(1-r^{2}\right)=18\qquad \ldots(4)$

समीकरण (4) को समीकरण (3) से विभाजित करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{a r\left(1-r^{2}\right)}{a\left(r^{2}-1\right)}=\dfrac{18}{9}$

$\Rightarrow-r=2$

$\Rightarrow r=-2$

समीकरण (1) में $r$ का मान रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $4 a=a+9$

$\Rightarrow 3 a=9$

$\therefore \ \ a=3$

इस प्रकार, गुणोत्तर श्रेणी के पहले चार पद $3,-6,12,-24$ हैं।

उत्तर :

मान लीजिए $A$ गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद है और $R$ इसका सामान्य अनुपात है।

दिए गए जानकारी के अनुसार,

Let $A$ be the first term and $R$ be the common ratio of the $G.P.$

According to the given information,

a = A \cdot R^{p-1}, \quad b = A \cdot R^{q-1}, \quad c = A \cdot R^{r-1}

Taking the logarithm of both sides of the equation $a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q}=1$, we get:

$$ (q - r) \log a + (r - p) \log b + (p - q) \log c = 0 $$

Substituting the values of $a, b,$ and $c$ in terms of $A$ and $R$, we get:

$$ (q - r) \log (A \cdot R^{p-1}) + (r - p) \log (A \cdot R^{q-1}) + (p - q) \log (A \cdot R^{r-1}) = 0 $$

Simplifying the logarithmic expressions:

$$ (q - r)(\log A + (p - 1)\log R) + (r - p)(\log A + (q - 1)\log R) + (p - q)(\log A + (r - 1)\log R) = 0 $$

Expanding and simplifying:

$$ (q - r)\log A + (q - r)(p - 1)\log R + (r - p)\log A + (r - p)(q - 1)\log R + (p - q)\log A + (p - q)(r - 1)\log R = 0 $$

Grouping the terms involving $\log A$ and $\log R$:

$$ [(q - r) + (r - p) + (p - q)]\log A + [(q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1)]\log R = 0 $$

Simplifying the coefficients:

$$ 0 \cdot \log A + [(q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1)]\log R = 0 $$

Since the coefficient of $\log A$ is zero, the equation reduces to:

$$ [(q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1)]\log R = 0 $$

This implies that the coefficient of $\log R$ must be zero:

$$ (q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1) = 0 $$

Expanding and simplifying:

$$ (q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1) = 0 $$

$$ (q - r)(p - 1) + (r - p)(q

$A R^{p-1}=a$

$A R^{q-1}=b$

$A R^{r-1}=c$

$a^{q-r} b^{r-p} C^{p-q}$ $=A^{q-r} \times R^{\left(p-1\right)\left(q-r\right)} \times A^{r-p} \times R^{\left(q-1\right)\left(r-p\right)} \times A^{p-q} \times R^{\left(r-1\right)\left(p-q\right)}$

$\hspace{2cm}=A ^{(q-r+r-p+p-q)} \times R^{\left( p q-p r-q+r\right)+\left(r q-r+p-p q\right)+\left(p r-p-q r+q\right)}$

$\hspace{2cm}=A^{0} \times R^{0}=1$

इसलिए, दिया गया परिणाम सिद्ध हो गया।

उत्तर :

G.P. का पहला पद $a$ है और अंतिम पद $b$ है।

इसलिए, G.P. है $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1}$, जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।

$b=ar^{n-1}$

$P=$ $n$ पदों का गुणनफल

$\quad=\left(a\right)\left(a r\right)\left(a r^{2}\right) \ldots\left(a r^{n-1}\right)$

$\quad=\left(a \times a \times \ldots a\right)\left(r \times r^{2} \times \ldots r^{{n-1}}\right)$

$\quad=a^{n} r^{1+2+3\ldots \left(n-1\right) }$

यहाँ, $1,2,\ldots\left(n-1\right)$ एक A.P. है।

$\therefore \ \ 1+2+\ldots \ldots \ldots+\left(n- 1\right)=\dfrac{n-1}{2}\big[2+\left(n-1-1\right) \times 1\big]=\dfrac{n-1}{2}\big[2+n-2\big]=\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}$

$\qquad P=a^{n} r^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}$

$\therefore \ \ P^{2}=a^{2 n} r^{n\left(n-1\right)}$

$\quad\qquad=\big[a^{2} r^{\left(n-1\right)}\big]^{n}$

$\quad\qquad=\big[a \times ar^{n-1}\big]^{n}$

$\quad\qquad=\left(ab\right)^{n}$

इसलिए, दिया गया परिणाम सिद्ध हो गया।

उत्तर :

पहले $n$ पदों के योग,

$ S_{\mathrm{n}}=\dfrac{\mathrm{a}\left(1-\mathrm{r}^{\mathrm{n}}\right)}{1-\mathrm{r}} $

Sum $n+1$ से $2n$ वें पद तक के पदों का योग है,

$ \begin{aligned} S_{2 n}-S_n & =\dfrac{a\left(1-r^{2 n}\right)}{1-r}-\dfrac{a\left(1-r^n\right)}{1-r} \\ \\ & =\dfrac{a\left(r^n-r^{2 n}\right)}{1-r} \end{aligned} $

अनुपात,

$\hspace{1.1cm} \begin{aligned} & =\dfrac{\dfrac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}}{\dfrac{a\left(r^n-r^{2 n}\right)}{1-r}} =\dfrac{1-r^n}{r^n-r^{2 n}} \\ \\ & =\dfrac{1-r^n}{r^n\left(1-r^n\right)} =\dfrac{1}{r^n} \end{aligned} $

इसलिए सिद्ध कर दिया गया है।

Answer :

$a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं।

इसलिए,

$b c=a d\qquad \ldots(1)$

$b^{2}=a c\qquad \ldots(2)$

$c^{2}=b d\qquad \ldots(3)$

इसको सिद्ध करना है, $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=\left(a b+b c \text{ - } c d\right)^{2}$

$\text{R.H.S.}=\left(a b+b c+c d\right)^{2}$

$\hspace{1.2cm}=\left(a b+a d+c d\right)^{2}\quad[$ उपयोग करते हुए $\left(1\right)]$

$\hspace{1.2cm}=[a b+d\left(a+c\right)]^{2}$

$\hspace{1cm} \begin{aligned} & =a^{2} b^{2}+2 a b d\left(a+c\right)+d^{2}\left(a+c\right)^{2} \\ \\ & =a^{2} b^{2}+2 a^{2} b d+2 a c b d+d^{2}\left(a^{2}+2 a c+c^{2}\right) \\ \\ & =a^{2} b^{2}+2 a^{2} c^{2}+2 b^{2} c^{2}+d^{2} a^{2}+2 d^{2} b^{2}+d^{2} c^{2}\quad[\text{ उपयोग करते हुए (1) और (2)}] \\ \\ & =a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}+d^{2} a^{2}+d^{2} b^{2}+d^{2} b^{2}+d^{2} c^{2} \\ \\ & =a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} \times b^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+c^{2} b^{2}+c^{2} \times c^{2}+c^{2} d^{2} \end{aligned} $

$[$ उपयोग करते हुए $\left(2\right)$ और $\left(3\right)$ और वर्गों को व्यवस्थित करते हुए $]$

$\hspace{1.1cm}=a^{2}\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)+b^{2}\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)+c^{2}\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)$

$\hspace{1.1cm}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)$

$\hspace{1.1cm}=\text{L.H.S.}$

$\therefore \ \ \text{L.H.S.} =\text{R.H.S.}$

$\therefore \ \ \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=\left(a b+b c+c d\right)^{2}$

Answer :

मान लीजिए $G_1$ और $G_2$ दो संख्याएँ हैं जो $3$ और $81$ के बीच हैं ताकि अनुक्रम $3, G_1, G_2, 81,$ एक $G.P.$ बने।

मान लीजिए $a$ अनुक्रम का पहला पद और $r$ सार्व अनुपात है।

$\therefore \ \ 81=\left(3\right)\left(r\right)^{3}$

$\Rightarrow r^{3}=27$

$\therefore \ \ r=3$ (केवल वास्तविक मूल को लेते हुए)

$ r=3 $ के लिए,

$G_1=a r=\left(3\right)\left(3\right)=9$

$G_2=a r^{2}=\left(3\right)\left(3\right)^{2}=27$

इसलिए, आवश्यक दो संख्याएँ $9$ और $27$ हैं।

Answer :

$a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{a b}$ होता है।

दिए गए शर्त के अनुसार, $\dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}=\sqrt{a b}$

दोनों ओर वर्ग करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $ \dfrac{\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)^{2}}{\left(a^{n}+b^{n}\right)^{2}}=a b $

$\Rightarrow a^{2 n+2}+2 a^{n+1} b^{n+1}+b^{2 n+2}=\left(a b\right)\left(a^{2 n}+2 a^{n} b^{n}+b^{2 n}\right)$

$\Rightarrow a^{2 n+2}+2 a^{n+1} b^{n+1}+b^{2 n+2}=a^{2 n+1} b+2 a^{n+1} b^{n+1}+a b^{2 n+1}$

$\Rightarrow a^{2 n+2}+b^{2 n+2}=a^{2 n+1} b+a b^{2 n+1}$

$\Rightarrow a^{2 n+2}-a^{2 n+1} b=a b^{2 n+1}-b^{2 n+2}$

$\Rightarrow a^{2 n+1}\left(a-b\right)=b^{2 n+1}\left(a-b\right)$

$\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b}\right)^{2 n+1}=1=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{0}$

दोनों ओर तुलना करने पर।

$\Rightarrow 2 n+1=0$

$\Rightarrow n=\dfrac{-1}{2}$

Answer :

मान लीजिए दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।

G.M. $=\sqrt{a b}$

दिए गए शर्त के अनुसार,

$a+b=6 \sqrt{a b}\qquad \ldots(1)$

$\Rightarrow\left(a+b\right)^{2}=36\left(a b\right)$

भी,

$\left(a-b\right)^{2}=\left(a+b\right)^{2}-4 a b=36 a b-4 a b=32 a b$

$\Rightarrow a-b=\sqrt{32} \sqrt{a b}$

$\Rightarrow a-b=4 \sqrt{2} \sqrt{a b}\qquad \ldots(2)$

(1) और (2) को जोड़ने पर,

हम प्राप्त करते हैं $2 a=\left(6+4 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}$

$\Rightarrow a=\left(3+2 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}$

(1) में $a$ के मान को रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $b=6 \sqrt{a b}-\left(3+2 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}$

$\Rightarrow b=\left(3-2 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}$

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{\left(3+2 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}}{\left(3-2 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}}=\dfrac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}}$

इसलिए, अभीष्ट अनुपात $\left(3+2 \sqrt{2}\right):\left(3-2 \sqrt{2}\right)$ है।

Answer :

दिया गया है कि $A$ और $G$ दो धनात्मक संख्याओं के क्रमशः समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य हैं। मान लीजिए कि ये दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।

$\therefore \ \ AM=A=\dfrac{a+b}{2}\qquad \ldots(1)$

$GM=G=\sqrt{ab}\qquad \ldots(2)$

(1) और (2) से,

हम प्राप्त करते हैं $a+b=2 A\qquad \ldots(3)$

$a b=G^{2}\qquad \ldots(4)$

(3) और (4) से $a$ और $b$ के मान को पहचानते हुए सर्वसमिका $\left(a - b\right)^{2}=\left(a+b\right)^{2}- 4 a b$ में रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\left(a- b\right)^{2}=4 A^{2}- 4 G^{2}=4\left(A^{2} -G^{2}\right)$

$\left(a - b\right)^{2}=4\left(A+G\right)\left(A- G\right)$

$\left(a-b\right)=2 \sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)}\qquad \ldots(5)$

(3) और (5) से, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & 2 a=2 A+2 \sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)} \\ \\ & \Rightarrow a=A+\sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)} \end{aligned} $

(3) में $a$ के मान को रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $b=2 A-A-\sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)}=A-\sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)}$

इसलिए, दो संख्याएँ हैं $ A \pm \sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)} $

Answer :

दिया गया है कि बैक्टीरिया की संख्या प्रति घंटे दोगुनी हो जाती है।

इसलिए, प्रति घंटे बैक्टीरिया की संख्या एक $G.P.$ बनाएगी।

पहला पद $(a=30)$ और सार्व अनुपात $(r=2)$ है

$ \therefore \ a_3=a^2=(30)(2)^2=120 $

इसलिए, $2nd$ घंटे के अंत में बैक्टीरिया की संख्या $480 $ होगी।

$a_5=a r^4=(30)(2)^4=480 \ $ और $ \ a_{n+1}=a r^n=(30)(2)^n$

इसलिए, $n$th घंटे के अंत में बैक्टीरिया की संख्या $(30)(2)^n$ होगी।

Answer :

मूलधन रुपये है $500 $

इसलिए, इस मूलधन के लिए एक वर्ष के ब्याज $500\left(\dfrac{10}{100}\right)=50$ है।

इसलिए, दूसरे वर्ष के मूलधन $=$ पहले वर्ष के मूलधन + ब्याज

$ \hspace{4.6cm}=500+500\left(\dfrac{10}{100}\right)=500\left(1+\dfrac{10}{100}\right) $

अब, दूसरे वर्ष के ब्याज $=\left(500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\right)\left(1+\dfrac{10}{100}\right)$

इसलिए, तीसरे वर्ष के मूलधन $=500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)+500\left(1+\dfrac{10}{100}\right) \dfrac{10}{100}$

$ \hspace{4.4cm}=500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^2 $

इस तरह जारी रखते हुए हम देखते हैं कि $n^{\text {th }}$ वर्ष के मूलधन $ =500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^{\mathrm{n}-1} $

$(n-1)^{\text {th }}$ वर्ष के अंत में राशि $=$ $n^{\text {th }}$ वर्ष के मूलधन।

अतः, $\mathrm{n}^{\text {th }}$ वर्ष के अंत में खाता में राशि।

$ =500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^{\mathrm{n}-1} $ $=500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^{\mathrm{n}-1}\left(\dfrac{10}{100}\right) $ $=500\left(\dfrac{11}{10}\right)^{\mathrm{n}} $

$\mathrm{10^{\text {th }}}$ वर्ष के अंत में खाता में राशि

$ =\text { रु. } 500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^{10} $

$=\operatorname{रु.} 500\left(\dfrac{11}{10}\right)^{10} $

उत्तर :

मान लीजिए द्विघात समीकरण के मूल $a$ और $b$ हैं।

दिए गए शर्त के अनुसार,