उत्तर :

$a_n=n(n+2)$

$ n=1,2,3,4 $ और $5$ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$a_1=1(1+2)=3$

$a_2=2(2+2)=8$

$a_3=3(3+2)=15$

$a_4=4(4+2)=24$

$a_5=5(5+2)=35$

इसलिए, आवश्यक पद $3,8,15,24,$ और $35$ हैं।

उत्तर :

$a_n=\dfrac{n}{n+1}$

$ n=1,2,3,4,5 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ a_1=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}, \ \ a_2=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}, \ \ a_3=\dfrac{3}{3+1}=\dfrac{3}{4}, \ \ a_4=\dfrac{4}{4+1}=\dfrac{4}{5}, \ \ a_5=\dfrac{5}{5+1}=\dfrac{5}{6}$

इसलिए, आवश्यक पद $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}$, और $\dfrac{5}{6}$ हैं।

उत्तर :

$a_n=2^{n}$

$ n=1,2,3,4,5 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$a_1=2^{1}=2$

$a_2=2^{2}=4$

$a_3=2^{3}=8$

$a_4=2^{4}=16$

$a_5=2^{5}=32$

इसलिए, आवश्यक पद $2, 4, 8, 16,$ और $32$ हैं।

उत्तर :

$ n=1,2,3,4,5 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$a_1=\dfrac{2 \times 1-3}{6}=\dfrac{-1}{6}$

$a_2=\dfrac{2 \times 2-3}{6}=\dfrac{1}{6}$

$a_3=\dfrac{2 \times 3-3}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

$a_4=\dfrac{2 \times 4-3}{6}=\dfrac{5}{6}$

$a_5=\dfrac{2 \times 5-3}{6}=\dfrac{7}{6}$

इसलिए, आवश्यक पद $\dfrac{-1}{6}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{6}$, और $\dfrac{7}{6}$ हैं।

उत्तर :

$ n=1,2,3,4,5 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$a_1=(-1)^{1-1} 5^{1+1}=5^{2}=25$

$a_2=(-1)^{2-1} 5^{2+1}=-5^{3}=-125$

$a_3=(-1)^{3-1} 5^{3+1}=5^{4}=625$

$a_4=(-1)^{4-1} 5^{4+1}=-5^{5}=-3125$

$a^{5}=(-1)^{5-1} 5^{5+1}=5^{6}=15625$

इसलिए, आवश्यक पद $25, -125, 625, -3125,$ और $15625$ हैं।

Answer :

$ n=1,2,3,4,5 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & a_1=1 \cdot \dfrac{1^{2}+5}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} \\ \\ & a_2=2 \cdot \dfrac{2^{2}+5}{4}=2 \cdot \dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2} \\ \\ & a_3=3 \cdot \dfrac{3^{2}+5}{4}=3 \cdot \dfrac{14}{4}=\dfrac{21}{2} \\ \\ & a_4=4 \cdot \dfrac{4^{2}+5}{4}=21 \\ \\ & a_5=5 \cdot \dfrac{5^{2}+5}{4}=5 \cdot \dfrac{30}{4}=\dfrac{75}{2} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक पद $ \dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{2}, \dfrac{21}{2}, 21 $, और $ \dfrac{75}{2} $ हैं।

Answer :

$ n=17 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a _{17}=4(17)-3=68-3=65$

$ n=24 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a _{24}=4(24)-3=96-3=93$

Answer :

$ n=7 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a_7=\dfrac{7^{2}}{2^7}=\dfrac{49}{128}$

Answer :

$ n=9 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a_9=(-1)^{9-1}(9)^{3}=(9)^{3}=729$

Answer :

$ n=20 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a _{20}=\dfrac{20(20-2)}{20+3}=\dfrac{20(18)}{23}=\dfrac{360}{23}$

Answer :

$a_1=3, a_n=3 a _{n-1}+2$ सभी $n>1$ के लिए

$ a_2=3 a_1+2=3(3)+2=11$

$a_3=3 a_2+2=3(11)+2=35$

$a_4=3 a_3+2=3(35)+2=107$

$a_5=3 a_4+2=3(107)+2=323$

अतः, अनुक्रम के पहले पांच पद $3,11,35,107$, और $323$ हैं।

संगत श्रेणी $3+11+35+107+323+\ldots$ है।

Answer :

$a_1=-1, a_n=\dfrac{a _{n-1}}{n}, n \geq 2$

$a_2=\dfrac{a_1}{2}=\dfrac{-1}{2}$

$a_3=\dfrac{a_2}{3}=\dfrac{-1}{6}$

$a_4=\dfrac{a_3}{4}=\dfrac{-1}{24}$

$a_5=\dfrac{a_4}{4}=\dfrac{-1}{120}$

अतः, अनुक्रम के पहले पांच पद $-1, \dfrac{-1}{2}, \dfrac{-1}{6}, \dfrac{-1}{24} \text{, और } \dfrac{-1}{120}$ हैं

संगत श्रेणी $\left(-1\right)+\left(\dfrac{-1}{2}\right)+\left(\dfrac{-1}{6}\right)+\left(\dfrac{-1}{24}\right)+\left(\dfrac{-1}{120}\right)+\ldots$ है।

Answer :

$a_1=a_2=2, a_n=a _{n-1}-1, n>2$

$ a_3=a_2-1=2-1=1$

$a_4=a_3-1=1-1=0$

$a_5=a_4-1=0-1=-1$

अतः, अनुक्रम के पहले पांच पद $2, 2, 1, 0 ,$ और $-1.$ हैं

संगत श्रेणी $(2+2+1+0- 1)+\ldots$ है।

Answer :

$1=a_1=a_2$

$a_n=a _{n-1}+a _{n-2}, n>2$

$\therefore \ \ a_3=a_2+a_1=1+1=2$

$a_4=a_3+a_2=2+1=3$

$a_5=a_4+a_3=3+2=5$

$a_6=a_5+a_4=5+3=8$

$\therefore \ \ $ $n=1$ के लिए $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{1}{1}=1$

$n=2$ के लिए $\dfrac{a _ {n+1}}{a_n}=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{2}{1}=2$

$n=3$ के लिए $\dfrac{a _ {n+1}}{a_n}=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{3}{2}$

$n=4$ के लिए $\dfrac{a _ {n+1}}{a_n}=\dfrac{a_5}{a_4}=\dfrac{5}{3}$

$n=5$ के लिए $\dfrac{a _ {n+1}}{a_n}=\dfrac{a_6}{a_5}=\dfrac{8}{5}$