उत्तर :

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक $\left(1- 2 x\right)^{5}$ को विस्तारित कर सकते हैं

$\left(1-2 x\right)^{5}$ $={ }^{5} C_0\left(1\right)^{5}-{ }^{5} C_1\left(1\right)^{4}\left(2 x\right)+{ }^{5} C_2\left(1\right)^{3}\left(2 x\right)^{2}-{ }^{5} C_3\left(1\right)^{2}\left(2 x\right)^{3}+{ }^{5} C_4\left(1\right)^{1}\left(2 x\right)^{4}-{ }^{5} C_5\left(2 x\right)^{5}$

$\qquad \ \qquad=1-5\left(2 x\right)+10\left(4 x^{2}\right)-10\left(8 x^{3}\right)+5\left(16 x^{4}\right)-\left(32 x^{5}\right)$

$\qquad \ \qquad=1-10 x+40 x^{2}-80 x^{3}+80 x^{4}-32 x^{5}$

उत्तर :

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक $\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2}\right)^{5}$ को विस्तारित कर सकते हैं

$ \begin{aligned} \left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2}\right)^{5} \ = \ & { }^{5} C_0\left(\dfrac{2}{x}\right)^{5}-{ }^{5} C_1\left(\dfrac{2}{x}\right)^{4}\left(\dfrac{x}{2}\right)+{ }^{5} C_2\left(\dfrac{2}{x}\right)^{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2} -{ }^{5} C_3\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{3}+{ }^{5} C_4\left(\dfrac{2}{x}\right)\left(\dfrac{x}{2}\right)^{4}-{ }^{5} C_5\left(\dfrac{x}{2}\right)^{5} \\ \\ \ = \ & \dfrac{32}{x^{5}}-5\left(\dfrac{16}{x^{4}}\right)\left(\dfrac{x}{2}\right)+10\left(\dfrac{8}{x^{3}}\right)\left(\dfrac{x^{2}}{4}\right)-10\left(\dfrac{4}{x^{2}}\right)\left(\dfrac{x^{3}}{8}\right)+5\left(\dfrac{2}{x}\right)\left(\dfrac{x^{4}}{16}\right)-\dfrac{x^{5}}{32} \\ \\ \ = \ & \dfrac{32}{x^{5}}-\dfrac{40}{x^{3}}+\dfrac{20}{x}-5 x+\dfrac{5}{8} x^{3}-\dfrac{x^{5}}{32} \end{aligned} $

उत्तर :

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक $\left(2x- 3\right)^{6}$ को विस्तारित कर सकते हैं

$ \begin{aligned} \left(2 x-3\right)^{6} \ = \ & { }^{6} C_0\left(2 x\right)^{6}-{ }^{6} C_1\left(2 x\right)^{5}\left(3\right)+{ }^{6} C_2\left(2 x\right)^{4}\left(3\right)^{2}-{ }^{6} C_3\left(2 x\right)^{3}\left(3\right)^{3} +{ }^{6} C_4\left(2 x\right)^{2}\left(3\right)^{4}-{ }^{6} C_5\left(2 x\right)\left(3\right)^{5}+{ }^{6} C_6\left(3\right)^{6} \\ \\ \ = \ & 64 x^{6}-6\left(32 x^{5}\right)\left(3\right)+15\left(16 x^{4}\right)\left(9\right)-20\left(8 x^{3}\right)\left(27\right) +15\left(4 x^{2}\right)\left(81\right)-6\left(2 x\right)\left(243\right)+729 \\ \\ \ = \ & 64 x^{6}-576 x^{5}+2160 x^{4}-4320 x^{3}+4860 x^{2}-2916 x+729 \end{aligned} $

उत्तर :

बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक $\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{x}\right)^{5}$ को विस्तारित कर सकते हैं

$ \begin{aligned} \left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{x}\right)^{5} \ = \ & { }^{5} C_0\left(\dfrac{x}{3}\right)^{5}+{ }^{5} C_1\left(\dfrac{x}{3}\right)^{4}\left(\dfrac{1}{x}\right)+{ }^{5} C_2\left(\dfrac{x}{3}\right)^{3}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2} +{ }^{5} C_3\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{3}+{ }^{5} C_4\left(\dfrac{x}{3}\right)\left(\dfrac{1}{x}\right)^{4}+{ }^{5} C_5\left(\dfrac{1}{x}\right)^{5} \\ \\ \ = \ & \dfrac{x^{5}}{243}+5\left(\dfrac{x^{4}}{81}\right)\left(\dfrac{1}{x}\right)+10\left(\dfrac{x^{3}}{27}\right)\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)+10\left(\dfrac{x^{2}}{9}\right)\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)+5\left(\dfrac{x}{3}\right)\left(\dfrac{1}{x^{4}}\right)+\dfrac{1}{x^{5}} \\ \\ \ = \ & \dfrac{x^{5}}{243}+\dfrac{5 x^{3}}{81}+\dfrac{10 x}{27}+\dfrac{10}{9 x}+\dfrac{5}{3 x^{3}}+\dfrac{1}{x^{5}} \end{aligned} $

उत्तर :

बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{6}$ को विस्तारित कर सकते हैं

$ \begin{aligned} \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{6} \ = \ & { }^{6} C_0\left(x\right)^{6}+{ }^{6} C_1\left(x\right)^{5}\left(\dfrac{1}{x}\right)+{ }^{6} C_2\left(x\right)^{4}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2} +{ }^{6} C_3\left(x\right)^{3}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{3}+{ }^{6} C_4\left(x\right)^{2}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{4}+{ }^{6} C_5\left(x\right)\left(\dfrac{1}{x}\right)^{5}+{ }^{6} C_6\left(\dfrac{1}{x}\right)^{6} \\ \\

\ = \ & x^{6}+6\left(x\right)^{5}\left(\dfrac{1}{x}\right)+15\left(x\right)^{4}\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)+20\left(x\right)^{3}\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)+15\left(x\right)^{2}\left(\dfrac{1}{x^{4}}\right)+6\left(x\right)\left(\dfrac{1}{x^{5}}\right)+\dfrac{1}{x^{6}} \\ \\ \ = \ & x^{6}+6 x^{4}+15 x^{2}+20+\dfrac{15}{x^{2}}+\dfrac{6}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{6}} \end{aligned} $

बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का मूल्यांकन करें:

Answer :

96 को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनके घातों को आसानी से गणना किया जा सकता है और फिर, बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।

इसे लिखा जा सकता है, $96=100- 4$

$ \begin{aligned} \therefore \ \ \left(96\right)^{3} & =\left(100-4\right)^{3} \\ \\ & ={ }^{3} C_0\left(100\right)^{3}-{ }^{3} C_1\left(100\right)^{2}\left(4\right)+{ }^{3} C_2\left(100\right)\left(4\right)^{2}-{ }^{3} C_3\left(4\right)^{3} \\ \\ & =\left(100\right)^{3}-3\left(100\right)^{2}\left(4\right)+3\left(100\right)\left(4\right)^{2}-\left(4\right)^{3} \\ \\ & =1000000-120000+4800-64 \\ \\ & =884736 \end{aligned} $

Answer :

$102$ को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनके घातों को आसानी से गणना किया जा सकता है और फिर, बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।

इसे लिखा जा सकता है, $102=100+2$

$ \begin{aligned} \therefore \ \ \left(102\right)^{5} \ = \ & \left(100+2\right)^{5} \\ \\ \ = \ & { }^{5} C_0\left(100\right)^{5}+{ }^{5} C_1\left(100\right)^{4}\left(2\right)+{ }^{5} C_2\left(100\right)^{3}\left(2\right)^{2}+{ }^{5} C_3\left(100\right)^{2}\left(2\right)^{3} +{ }^{5} C_4\left(100\right)\left(2\right)^{4}+{ }^{5} C_5\left(2\right)^{5} \\ \\ \ = \ & \left(100\right)^{5}+5\left(100\right)^{4}\left(2\right)+10\left(100\right)^{3}\left(2\right)^{2}+10\left(100\right)^{2}\left(2\right)^{3}+5\left(100\right)\left(2\right)^{4}+\left(2\right)^{5} \\ \\

\ = \ & 10000000000+1000000000+40000000+800000+8000+32 \\ \\ \ = \ & 11040808032 \end{aligned} $

Answer :

$101$ को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में लिखा जा सकता है, जिनके घातों की गणना आसान होती है और फिर, द्विपद प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।

इसे लिखा जा सकता है, $101=100+1$

$ \begin{aligned} \therefore \ \ \left(101\right)^{4} & =\left(100+1\right)^{4} \\ \\ & ={ }^{4} C_0\left(100\right)^{4}+{ }^{4} C_1\left(100\right)^{3}\left(1\right)+{ }^{4} C_2\left(100\right)^{2}\left(1\right)^{2}+{ }^{4} C_3\left(100\right)\left(1\right)^{3}+{ }^{4} C_4\left(1\right)^{4} \\ \\ & =\left(100\right)^{4}+4\left(100\right)^{3}+6\left(100\right)^{2}+4\left(100\right)+\left(1\right)^{4} \\ \\ & =100000000+4000000+60000+400+1 \\ \\ & =104060401 \end{aligned} $

Answer :

99 को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में लिखा जा सकता है, जिनके घातों की गणना आसान होती है और फिर, द्विपद प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।

इसे लिखा जा सकता है, $99=100- 1$

$ \begin{aligned} \therefore \ \ \left(99\right)^{5} \ = \ & \left(100-1\right)^{5} \\ \\ \ = \ & { }^{5} C_0\left(100\right)^{5}-{ }^{5} C_1\left(100\right)^{4}\left(1\right)+{ }^{5} C_2\left(100\right)^{3}\left(1\right)^{2}-{ }^{5} C_3\left(100\right)^{2}\left(1\right)^{3} +{ }^{5} C_4\left(100\right)\left(1\right)^{4}-{ }^{5} C_5\left(1\right)^{5} \\ \\ \ = \ & \left(100\right)^{5}-5\left(100\right)^{4}+10\left(100\right)^{3}-10\left(100\right)^{2}+5\left(100\right)-1 \\ \\ \ = \ & 10000000000-500000000+10000000-100000+500-1 \\ \\ \ = \ & 10010000500-500100001 \\ \\ \ = \ & 9509900499 \end{aligned} $

Answer :

$1.1$ को विभाजित करके फिर द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, $\left(1.1\right)^{10000}$ के पहले कुछ पद निम्नलिखित रूप में प्राप्त किए जा सकते हैं

$ \begin{aligned} \left(1.1\right)^{10000} & =\left(1+0.1\right)^{10000} \\ \\ & ={ }^{10000} C_0+{ }^{10000} C_1\left(1.1\right)+\text{ Other positive terms } \\ \\ & =1+10000 \times 1.1+\text{ Other positive terms } \\ \\ & =1+11000+\text{ Other positive terms } \ >1000 \end{aligned} $

अतः, $\left(1.1\right)^{10000}>1000$

Answer :

बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए, व्यंजक, $\left(a+b\right)^{4}$ और $\left(a-b\right)^{4}$, निम्नलिखित रूप में विस्तारित किए जा सकते हैं

$ \begin{aligned} & \left(a+b\right)^{4}={ }^{4} C_0 a^{4}+{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}+{ }^{4} C_3 ab^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4} \\ \\ & \left(a-b\right)^{4}={ }^{4} C_0 a^{4}-{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}-{ }^{4} C_3 a b^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4} \\ \\ & \begin{aligned} \therefore \ \ \left(a+b\right)^{4}-\left(a-b\right)^{4} \ = \ & { }^{4} C_0 a^{4}+{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}+{ }^{4} C_3 a b^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4} -\big[{ }^{4} C_0 a^{4}-{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}-{ }^{4} C_3 a b^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4}\big] \\ \\ \ = \ & 2\left({ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_3 a b^{3}\right)=2\left(4 a^{3} b+4 a b^{3}\right) \\ \\ \ = \ & 8 ab\left(a^{2}+b^{2}\right) \end{aligned} \end{aligned} $

$ a=\sqrt{3} $ और $ b=\sqrt{2} $ के लिए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{4}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{4} & =8\left(\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}\right)\left\{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right\} \\ \\ & =8\left(\sqrt{6}\right)\{3+2\}=40 \sqrt{6} \end{aligned} $

Answer :

बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए, व्यंजक, $\left(x+1\right)^{6}$ और $\left(x - 1\right)^{6}$, निम्नलिखित रूप में विस्तारित किए जा सकते हैं

$ \begin{aligned} & \left(x+1\right)^{6}={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5}+{ }^{6} C_2 x^{4}+{ }^{6} C_3 x^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2}+{ }^{6} C_5 x+{ }^{6} C_6 \\ \\ & \left(x-1\right)^{6}={ }^{6} C_0 x^{6}-{ }^{6} C_1 x^{5}+{ }^{6} C_2 x^{4}-{ }^{6} C_3 x^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2}-{ }^{6} C_5 x+{ }^{6} C_6 \\ \\ & \therefore \ \ \left(x+1\right)^{6}+\left(x-1\right)^{6}=2\big[{ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_2 x^{4}+{ }^{6} C_4 x^{2}+{ }^{6} C_6\big] =2\big[x^{6}+15 x^{4}+15 x^{2}+1\big] \end{aligned} $

$ x = \sqrt{2} $ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \left(\sqrt{2}+1\right)^{6}+\left(\sqrt{2}-1\right)^{6} & =2\big[\left(\sqrt{2}\right)^{6}+15\left(\sqrt{2}\right)^{4}+15\left(\sqrt{2}\right)^{2}+1\big] \\ \\ & =2\left(8+15 \times 4+15 \times 2+1\right) \\ \\ & =2\left(8+60+30+1\right) \\ \\ & =2\left(99\right)=198 \end{aligned} $

Answer :

$9^{n+1}-8 n-9$ के $64$ से विभाज्य होने को सिद्ध करने के लिए, यह सिद्ध करना होगा कि,

$9^{n+1}-8 n-9=64 k$, जहाँ $k$ कोई धनात्मक पूर्णांक है

द्विपद प्रमेय के अनुसार,

$\left(1+a\right)^{m}={ }^{m} C_0+{ }^{m} C_1 a+{ }^{m} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{m} C_m a^{m}$

जब $a=8$ और $m=n+1$ हो, तो हम प्राप्त करते हैं

$\left(1+8\right)^{n+1}={ }^{n+1} C_0+{ }^{n+1} C_1\left(8\right)+{ }^{n+1} C_2\left(8\right)^{2}+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}\left(8\right)^{n+1}$

$\Rightarrow \quad 9^{n+1}=1+\left(n+1\right)\left(8\right)+8^{2}\big[{ }^{n+1} C_2+{ }^{n+1} C_3 \times 8+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}\left(8\right)^{n-1}\big]$

$\Rightarrow \quad 9^{n+1}=9+8 n+64\big[{ }^{n+1} C_2+{ }^{n+1} C_3 \times 8+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}\left(8\right)^{n-1}\big]$

$\Rightarrow \quad 9^{n+1}-8 n-9=64 k$, जहाँ $k={ }^{n+1} C_2+{ }^{n+1} C_3 \times 8+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}\left(8\right)^{n-1}$ एक धनात्मक पूर्णांक है

इसलिए, $9^{n+1}-8 n-9$ एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $64$ से विभाज्य होता है।

उत्तर :

बाइनोमियल प्रमेय के अनुसार,

$ \sum _{r=0}^{n}{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}=\left(a+b\right)^{n} $

उपरोक्त समीकरण में $b=3$ और $a=1$ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \sum _{r=0}^{n}{ }^{n} C_r\left(1\right)^{n-r}\left(3\right)^{r}=\left(1+3\right)^{n} \\ \\ & \Rightarrow \sum _{r=0}^{n} 3^{r}{ \ }^{n} C_r=4^{n} \end{aligned} $

अतः सिद्ध हुआ।