अध्याय 6 परमेटरेशन और कॉम्बिनेशन अतिरिक्त अभ्यास
अध्याय 6 पर अतिरिक्त अभ्यास
1. शब्द DAUGHTER के अक्षरों से, जिनमें से प्रत्येक के 2 अक्षर स्वर और 3 अक्षर व्यंजन हों, कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?
उत्तर दिखाएं
उत्तर :
शब्द DAUGHTER में 3 स्वर हैं, अर्थात, A, U और E, और 5 व्यंजन हैं, अर्थात, D, G, H, T और R।
3 स्वर में से 2 स्वर के चयन के तरीके $={ }^{3} C_2=3$
5 व्यंजन में से 3 व्यंजन के चयन के तरीके $={ }^{5} C_3=10$
इसलिए, 2 स्वर और 3 व्यंजन के संयोजन की संख्या $=3 \times 10=30$
इन 30 संयोजन में से प्रत्येक 2 स्वर और 3 व्यंजन को अपने-अपने में 5! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए, आवश्यक अलग-अलग शब्दों की संख्या $=30 \times 5 !=3600$
2. शब्द EQUATION के सभी अक्षरों का उपयोग करके, जिनमें से प्रत्येक शब्द के स्वर और व्यंजन एक साथ हों, कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?
उत्तर दिखाएं
उत्तर :
शब्द EQUATION में 5 स्वर हैं, अर्थात, A, E, I, O और U, और 3 व्यंजन हैं, अर्थात, Q, T और N। चूंकि सभी स्वर और व्यंजन एक साथ होने चाहिए, (AEIOU) और (QTN) को एक अकेले वस्तु के रूप में माना जा सकता है।
तब, इन 2 वस्तुओं के सभी समय पर संयोजन की गणना की जाती है। इस संख्या के लिए ${ }^{2} P_2=2 !$ होगा। इन संयोजनों के प्रत्येक के लिए, पांच स्वर के सभी समय पर 5! संयोजन होते हैं और तीन व्यंजन के सभी समय पर 3! संयोजन होते हैं।
इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार, आवश्यक शब्दों की संख्या $=2 ! \times 5 ! \times 3 !$ $=1440$
3. 9 लड़कों और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है। जब समिति में:
(i) तथ्यतः 3 लड़कियां हों?
(ii) कम से कम $ 3 $ लड़कियाँ ?
(iii) अधिकतम $ 3 $ लड़कियाँ ?
उत्तर दिखाएँ
उत्तर :
एक $ 7 $ सदस्यों की आम बॉर्ड के गठन के लिए $ 9 $ लड़कों और $ 4 $ लड़कियों से चुनाव करना है।
(i). क्योंकि प्रत्येक आम बॉर्ड में ठीक $ 3 $ लड़कियाँ होनी चाहिए, तो प्रत्येक आम बॉर्ड में केवल $(7-3)$ लड़कों के संयोजन होगा।
इस स्थिति में, आवश्यक संख्या के तरीके $={ }^{4} C_3 \times{ }^{9} C_4=\dfrac{4 !}{3 ! 1 !} \times \dfrac{9 !}{4 ! 5 !}=4 \times \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 !}=504$
(ii) क्योंकि प्रत्येक आम बॉर्ड में कम से कम $ 3 $ लड़कियाँ होनी चाहिए, तो आम बॉर्ड में शामिल हो सकते हैं
(a) $ 3 $ लड़कियाँ और $ 4 $ लड़के या (b) $ 4 $ लड़कियाँ और $ 3 $ लड़के
$3$ लड़कियाँ और 4 लड़के के चयन के तरीके ${ }^{4} C_3 \times{ }^{9} C_4$ हैं।
$4$ लड़कियाँ और $ 3 $ लड़के के चयन के तरीके ${ }^{4} C_4 \times{ }^{9} C_3$ हैं।
इस स्थिति में, आवश्यक संख्या के तरीके $={ }^{4} C_3 \times{ }^{9} C_4+{ }^{4} C_4 \times{ }^{9} C_3$ $=504+84=588$
(iii) क्योंकि प्रत्येक आम बॉर्ड में अधिकतम $ 3 $ लड़कियाँ होनी चाहिए, तो आम बॉर्ड में शामिल हो सकते हैं
(a) $ 3 $ लड़कियाँ और $ 4 $ लड़के (b) $ 2 $ लड़कियाँ और $ 5 $ लड़के
(c) $ 1 $ लड़कियाँ और $ 6 $ लड़के (d) कोई लड़कियाँ और $ 7 $ लड़के
$3$ लड़कियाँ और $ 4 $ लड़के के चयन के तरीके ${ }^{4} C_3 \times{ }^{9} C_4$ हैं।
$2$ लड़कियाँ और $ 5 $ लड़के के चयन के तरीके ${ }^{4} C_2 \times{ }^{9} C_5$ हैं।
$1$ लड़कियाँ और $ 6 $ लड़के के चयन के तरीके ${ }^{4} C_1 \times{ }^{9} C_6$ हैं।
कोई लड़कियाँ और $ 7 $ लड़के के चयन के तरीके ${ }^{4} C_0 \times{ }^{9} C_7$ हैं।
इस स्थिति में, आवश्यक संख्या के तरीके
$={ }^{4} C_3 \times{ }^{9} C_4+{ }^{4} C_2 \times{ }^{9} C_5+{ }^{4} C_1 \times{ }^{9} C_6+{ }^{4} C_0 \times{ }^{9} C_7$
$=\dfrac{4 !}{3 ! 1 !} \times \dfrac{9 !}{4 ! 5 !}+\dfrac{4 !}{2 ! 2 !} \times \dfrac{9 !}{5 ! 4 !}+\dfrac{4 !}{1 ! 3 !} \times \dfrac{9 !}{6 ! 3 !}+\dfrac{4 !}{0 ! 4 !} \times \dfrac{9 !}{7 ! 2 !}$
$=504+756+336+36$
$=1632$
4. यदि शब्द EXAMINATION के सभी अक्षरों के विभिन्न परमूत्थियों को एक अक्षरकोश में सूचीबद्ध किया जाता है, तो इस सूची में पहले शब्द जो $E$ से शुरू होता है के पहले कितने शब्द होंगे?
उत्तर दिखाएं
Answer :
दिए गए शब्द EXAMINATION में $ 11 $ अक्षर हैं, जिनमें से $A, I$, और $N$ दो बार आते हैं और अन्य सभी अक्षर केवल एक बार आते हैं।
एक अक्षरकोश में $E$ से शुरू होने वाले शब्दों के पहले शब्द वे होंगे जो केवल $A$ से शुरू होते हैं।
इसलिए, $A$ से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या प्राप्त करने के लिए, अक्षर A को बाएं छोर पर निश्चित कर दिया जाता है, और फिर बचे हुए $ 10 $ अक्षरों को एक साथ व्यवस्थित कर दिया जाता है।
चूंकि बचे हुए $ 10 $ अक्षरों में $ 2 I$ और $2 N$ हैं,
$A$ से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या $=\dfrac{10 !}{2 ! 2 !}=907200$
इसलिए, आवश्यक शब्दों की संख्या $907200$ है।
5. 0,1,3,5,7 और 9 अंकों से कितने 6-अंक के संख्या बनाई जा सकती हैं जो 10 से विभाज्य हों और कोई अंक दोहराया नहीं जाए?
उत्तर दिखाएं
Answer :
एक संख्या 10 से विभाज्य होती है यदि उसका इकाई अंक 0 होता है।
इसलिए, 0 को इकाई के स्थान पर निश्चित कर दिया जाता है।
इसलिए, 5 खाली स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या उतनी ही होगी जितनी शेष 5 अंकों (अर्थात $ 1,$ $ 3,$ $ 5,$ $7$ और $9$) द्वारा भरे जाने के तरीकों की संख्या होगी।
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & 0 \\ \hline \end{array}$
5 खाली स्थान भरे जा सकते हैं $5 !$ तरीकों से।
इसलिए, आवश्यक 6-अंक की संख्या $=5 !=120$
6. अंग्रेजी वर्णमाला में $ 5 $ अक्षर और $ 21 $ व्यंजन हैं। वर्णमाला से दो अलग-अलग अकार और $ 2 $ अलग-अलग व्यंजन वाले कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?
उत्तर दिखाएं
Answer :
दो अलग-अलग अकार और $ 2 $ अलग-अलग व्यंजन अंग्रेजी वर्णमाला से चुने जाने हैं।
अंग्रेजी वर्णमाला में $ 5 $ अकार हैं, अतः वर्णमाला से $ 2 $ अलग-अलग अकार के चयन के तरीकों की संख्या
$ ={ }^{5} C_2=\dfrac{5 !}{2 ! 3 !}=10 $
अंग्रेजी वर्णमाला में $ 21 $ व्यंजन होते हैं, इसलिए $ 2 $ अलग-अलग व्यंजन के चयन के तरीके
$ ={ }^{21} C_2=\dfrac{21 !}{2 ! 19 !}=210 $
इसलिए, $ 2 $ अलग-अलग वोवल और $ 2 $ अलग-अलग व्यंजन के संयोजन की संख्या $=10 \times 210=2100$
इन $ 2100 $ संयोजन में से प्रत्येक में $ 4 $ अक्षर होते हैं, जो अपने-अपने में $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं।
इसलिए, आवश्यक शब्दों की संख्या $=2100 \times 4 !=50400$
7. परीक्षा में, एक प्रश्न पत्र में $ 12 $ प्रश्न होते हैं जो दो भागों में विभाजित होते हैं, अर्थात भाग I और भाग II, जिनमें क्रमशः $ 5 $ और $ 7 $ प्रश्न होते हैं। एक छात्र को सभी में $ 8 $ प्रश्न हल करने होते हैं, जिसमें प्रत्येक भाग से कम से कम $ 3 $ प्रश्न चुनने होते हैं। छात्र के प्रश्न चुनने के कितने तरीके हो सकते हैं?
उत्तर दिखाएं
Answer :
दिया गया है कि प्रश्न पत्र में $ 12 $ प्रश्न होते हैं जो दो भागों में विभाजित होते हैं भाग I और भाग II, जिनमें क्रमशः $ 5 $ और $ 7 $ प्रश्न होते हैं।
एक छात्र को $ 8 $ प्रश्न हल करने होते हैं, जिसमें प्रत्येक भाग से कम से कम $ 3 $ प्रश्न चुनने होते हैं।
इसे निम्न प्रकार से किया जा सकता है।
(a) $ 3 $ प्रश्न भाग I से और $ 5 $ प्रश्न भाग II से
(b) $ 4 $ प्रश्न भाग I से और $ 4 $ प्रश्न भाग II से
(c) $ 5 $ प्रश्न भाग I से और $ 3 $ प्रश्न भाग II से
$3$ प्रश्न भाग I से और $ 5 $ प्रश्न भाग II से चुने जा सकते हैं ${ }^{5} C_3 \times{ }^{7} C_5$ तरीकों से।
$4$ प्रश्न भाग I से और $ 4 $ प्रश्न भाग II से चुने जा सकते हैं ${ }^{5} C_4 \times{ }^{7} C_4$ तरीकों से।
$5$ प्रश्न भाग I से और $ 3 $ प्रश्न भाग II से चुने जा सकते हैं ${ }^{5} C_5 \times{ }^{7} C_3$ तरीकों से।
इसलिए, प्रश्न चुनने के आवश्यक तरीकों की संख्या
$ \begin{aligned} & ={ }^{5} C_3 \times{ }^{7} C_5+{ }^{5} C_4 \times{ }^{7} C_4+{ }^{5} C_5 \times{ }^{7} C_3 \\ \\ & =\dfrac{5 !}{2 ! 3 !} \times \dfrac{7 !}{2 ! 5 !}+\dfrac{5 !}{4 ! 1 !} \times \dfrac{7 !}{4 ! 3 !}+\dfrac{5 !}{5 ! 0 !} \times \dfrac{7 !}{3 ! 4 !} \\ \\
& =210+175+35=420 \end{aligned} $
8. एक 52 कार्ड के डेक से 5 कार्ड के संयोजनों की संख्या ज्ञात कीजिए जबकि प्रत्येक 5 कार्ड के चयन में ठीक एक राजकुमार हो।
उत्तर दिखाएं
उत्तर :
52 कार्ड के डेक से 5 कार्ड के संयोजन इस तरह बनाए जाने हैं कि प्रत्येक 5 कार्ड के चयन में ठीक एक राजकुमार हो।
52 कार्ड के डेक में 4 राजकुमार होते हैं।
4 राजकुमारों में से 1 राजकुमार का चयन ${ }^{4} C_1$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष 48 कार्डों में से 4 कार्ड का चयन ${ }^{48} C_4$ तरीकों से किया जा सकता है।
इसलिए, आवश्यक 5 कार्ड के संयोजन की संख्या ${ }^{4} C_1 \times{ }^{48} C_4$ है।
9. 5 पुरुष और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में बैठाने की आवश्यकता है ताकि महिलाएं सम स्थानों पर बैठे। कितने ऐसे व्यवस्थाक्रम संभव हैं?
उत्तर दिखाएं
उत्तर :
कुल लोगों की संख्या 9 है।
महिलाएं केवल सम स्थानों पर बैठ सकती हैं, महिलाएं केवल चार सम स्थानों पर बैठ सकती हैं
$ \begin{aligned} & \mathrm{M} \underline{W} \mathrm{M} \underline{W} \mathrm{M} \underline{W} \mathrm{M} \underline{W} \mathrm{M} \\ \\ & 4 \text { महिलाएं } 4 \text { स्थानों पर बैठ सकती हैं } \\ \\ & \therefore \quad \text { कुल तरीकों की संख्या }={}^4P_4 = \frac{4!}{(4-4)!} =24 \text { तरीके } \\ \\ & 5 \text { पुरुष } 5 \text { स्थानों पर बैठ सकते हैं } \\ \\ & \therefore \quad \text { कुल तरीकों की संख्या }= {}^5P_5 =\frac{5!}{(5-5)!} \\ \\ & \therefore \quad \text { कुल व्यवस्थाक्रमों की संख्या }=24 \times 120 =2880 \text { तरीके } \end{aligned} $
10. 25 छात्रों की कक्षा से 10 छात्रों को एक एक्सकरुअन पार्टी के लिए चुना जाना है। 3 छात्र ऐसा निर्णय लेते हैं कि या तो वे सभी शामिल होंगे या न शामिल होंगे। एक्सकरुअन पार्टी को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?
उत्तर : 25 छात्रों की कक्षा से 10 छात्रों को एक एक्सकरुअन पार्टी के लिए चुना जाना है। क्योंकि 3 छात्र ऐसा निर्णय लेते हैं कि या तो वे सभी शामिल होंगे या न शामिल होंगे, इसलिए दो मामले हैं। केस I: तीनों छात्र शामिल हो जाते हैं। तब, बचे हुए $ 7 $ छात्रों को बचे हुए $ 22 $ छात्रों में से ${ }^{22} C_7$ तरीकों से चुना जा सकता है। केस II: तीनों छात्र में से कोई भी शामिल नहीं होता। तब, $ 10 $ छात्रों को बचे हुए $ 22 $ छात्रों में से ${ }^{22} C _{10}$ तरीकों से चुना जा सकता है। इस प्रकार, यात्रा पार्टी के चुने जाने के आवश्यक तरीकों की संख्या ${ }^{22} C_7+{ }^{22} C _{10}$ है।उत्तर दिखाएं
11. शब्द ASSASSINATION के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि सभी S एक साथ हों?
उत्तर दिखाएं
उत्तर :
दिए गए शब्द ASSASSINATION में, अक्षर A 3 बार, S 4 बार, I 2 बार, N 2 बार आता है, और अन्य सभी अक्षर केवल एक बार आते हैं।
क्योंकि सभी अक्षरों को इस तरह व्यवस्थित करना है कि सभी S एक साथ हों, इसलिए SSSS को एक वस्तु के रूप में ले लिया जाता है। इस एक वस्तु के साथ बचे हुए 9 वस्तुओं के लिए कुल 10 वस्तुएं होती हैं।
इन 10 वस्तुओं में 3 A, 2 I और 2 N होते हैं, जिन्हें $\dfrac{10 !}{3 ! 2 ! 2 !}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इस प्रकार, दिए गए शब्द के अक्षरों के व्यवस्थित करने के आवश्यक तरीकों की संख्या $=\dfrac{10 !}{3 ! 2 ! 2 !}=151200$ है।
बीटा
