उत्तर :

यह ज्ञात है कि, ${ }^{n} C_a={ }^{n} C_b \Rightarrow a=b$ या $n=a+b$

इसलिए,

$ \begin{aligned} & { }^{n} C_8={ }^{n} C_2 \Rightarrow n=8+2=10 \\ \\ & \therefore \ \ \ { }^{n} C_2={ }^{10} C_2=\dfrac{10 !}{2 !(10-2) !}=\dfrac{10 !}{2 ! 8 !}=\dfrac{10 \times 9 \times 8 !}{2 \times 1 \times 8 !}=45 \end{aligned} $

उत्तर :

$ \begin{aligned} & \text{(i)} \quad \dfrac{{ }^{2 n} C_3}{{ }^{n} C_3}=\dfrac{12}{1} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{(2 n) !}{3 !(2 n-3) !} \times \dfrac{3 !(n-3) !}{n !}=\dfrac{12}{1} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) !}{(2 n-3) !} \times \dfrac{(n-3) !}{n(n-1)(n-2)(n-3) !}=12 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{2(2 n-1)(2 n-2)}{(n-1)(n-2)}=12 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{4(2 n-1)(n-1)}{(n-1)(n-2)}=12 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{(2 n-1)}{(n-2)}=3 \\ \\ & \Rightarrow 2 n-1=3(n-2) \\ \\ & \Rightarrow 2 n-1=3 n-6 \\ \\ & \Rightarrow 3 n-2 n=-1+6 \\ \\ & \Rightarrow n=5 \end{aligned} $

$\text{(ii)} \quad \dfrac{{ }^{2 n} C_3}{{ }^{n} C_3}=\dfrac{11}{1}$

$\Rightarrow \dfrac{(2 n) !}{3 !(2 n-3) !} \times \dfrac{3 !(n-3) !}{n !}=11$

$\Rightarrow \dfrac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) !}{(2 n-3) !} \times \dfrac{(n-3) !}{n(n-1)(n-2)(n-3) !}=11$

$\Rightarrow \dfrac{2(2 n-1)(2 n-2)}{(n-1)(n-2)}=11$

$\Rightarrow \dfrac{4(2 n-1)(n-1)}{(n-1)(n-2)}=11$

$\Rightarrow \dfrac{4(2 n-1)}{n-2}=11$

$\Rightarrow 4(2 n-1)=11(n-2)$

$\Rightarrow 8 n-4=11n -22$

$\Rightarrow 11n -8 n=-4+22$

$\Rightarrow 3 n=18$

$\Rightarrow n=6$

उत्तर :

एक वृत्त पर एक जीवा खींचने के लिए केवल $2$ बिंदुओं की आवश्यकता होती है।

दिए गए $21$ बिंदुओं के माध्यम से कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं, इसके लिए संयोजनों की संख्या गिनी जानी होती है।

इसलिए, $21$ बिंदुओं में से $2$ बिंदुओं के संयोजनों की संख्या जितनी जीवाएँ होंगी।

इसलिए, आवश्यक जीवाओं की संख्या $={ }^{21} C_2=\dfrac{21 !}{2 !(21-2) !}=\dfrac{21 !}{2 ! 19 !}=\dfrac{21 \times 20}{2}=210$

उत्तर :

$5$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से $3$ लड़के और $3$ लड़कियों की एक टीम चुनी जानी है।

$5$ लड़कों में से $3$ लड़के $ { }^{5} C_3 $ तरीकों से चुने जा सकते हैं।

$4$ लड़कियों में से $3$ लड़कियाँ $ { }^{4} C_3 $ तरीकों से चुनी जा सकती हैं।

इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार, $3$ लड़के और $3$ लड़कियों की एक टीम के चुनने के तरीकों की संख्या

$ ={ }^{5} C_3 \times{ }^{4} C_3=\dfrac{5 !}{3 ! 2 !} \times \dfrac{4 !}{3 ! 1 !} $

$=\dfrac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2} \times \dfrac{4 \times 3 !}{3 !}$

$=10 \times 4=40$

उत्तर :

कुल $6$ लाल गेंद, $5$ सफेद गेंद और $5$ नीली गेंद हैं।

$9$ गेंद चुनी जानी है ताकि प्रत्येक चयन में प्रत्येक रंग के $3$ गेंद हों।

यहाँ,

$6$ लाल गेंद में से $3$ गेंद $ { }^{6} C_3 $ तरीकों से चुनी जा सकती हैं।

$5$ सफेद गेंद में से $3$ गेंद $ { }^{5} C_3 $ तरीकों से चुनी जा सकती हैं।

$5$ नीली गेंद में से $3$ गेंद $ { }^{5} C_3 $ तरीकों से चुनी जा सकती हैं।

इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार, $9$ गेंद चुनने के आवश्यक तरीकों की संख्या

$ \begin{aligned} & ={ }^{6} C_3 \times{ }^{5} C_3 \times{ }^{5} C_3=\dfrac{6 !}{3 ! 3 !} \times \dfrac{5 !}{3 ! 2 !} \times \dfrac{5 !}{3 ! 2 !} \\ \\ & =\dfrac{6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 3 \times 2} \times \dfrac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2 \times 1} \times \dfrac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2 \times 1} \\ \\

& =20 \times 10 \times 10=2000 \end{aligned} $

उत्तर :

एक 52 कार्ड के डेक में 4 एस होते हैं। एक 5 कार्ड के संयोजन को इस तरह बनाना है कि इसमें ठीक एक एस हो।

तब, एक एस को ${ }^{4} C_1$ तरीकों से चुना जा सकता है और शेष 4 कार्ड को 48 कार्ड में से ${ }^{48} C_4$ तरीकों से चुना जा सकता है।

$ \begin{aligned} & ={ }^{48} C_4 \times{ }^{4} C_1=\dfrac{48 !}{4 ! 44 !} \times \dfrac{4 !}{1 ! 3 !} \\ \\ & =\dfrac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 4 \end{aligned} $

इस प्रकार, गुणन के सिद्धांत के अनुसार, आवश्यक 5 कार्ड के संयोजन की संख्या $=778320$

उत्तर :

17 खिलाड़ियों में से 5 खिलाड़ियों के गेंदबाज होते हैं।

एक 11 खिलाड़ियों की क्रिकेट टीम को इस तरह चुनना है कि इसमें ठीक 4 गेंदबाज हो।

4 गेंदबाज को ${ }^{5} C_4$ तरीकों से चुना जा सकता है और शेष 7 खिलाड़ियों को 12 खिलाड़ियों में से ${ }^{12} C_7$ तरीकों से चुना जा सकता है।

इस प्रकार, गुणन के सिद्धांत के अनुसार, क्रिकेट टीम के चुनने के आवश्यक तरीकों की संख्या

$ ={ }^{5} C_4 \times{ }^{12} C_7=\dfrac{5 !}{4 ! 1 !} \times \dfrac{12 !}{7 ! 5 !}=5 \times \dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}=3960 $

उत्तर :

बैग में 5 काले और 6 लाल गेंद हैं।

2 काले गेंद को 5 काले गेंद में से ${ }^{5} C_2$ तरीकों से चुना जा सकता है और 3 लाल गेंद को 6 लाल गेंद में से ${ }^{6} C_3$ तरीकों से चुना जा सकता है।

इस प्रकार, गुणन प्रमेय के अनुसार, $2$ काले और $3$ लाल गेंद के चुनने के आवश्यक संख्या के तरीके $={ }^{5} C_2 \times{ }^{6} C_3=\dfrac{5 !}{2 ! 3 !} \times \dfrac{6 !}{3 ! 3 !}=\dfrac{5 \times 4}{2} \times \dfrac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}=10 \times 20=200$

Answer :

$9$ कोर्स उपलब्ध हैं जिनमें से, प्रत्येक छात्र के लिए $2$ विशिष्ट कोर्स अनिवार्य हैं।

इसलिए, प्रत्येक छात्र को बचे हुए $7$ कोर्स में से $3$ कोर्स चुनना होता है। इसे ${ }^{7} C_3$ तरीके से चुना जा सकता है। इसलिए, प्रोग्राम के चुनने के आवश्यक संख्या के तरीके

$ ={ }^{7} C_3=\dfrac{7 !}{3 ! 4 !}=\dfrac{7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{3 \times 2 \times 1 \times 4 !}=35 $