अध्याय 6 क्रमचय एवं संचयन EXERCISE 6.3
EXERCISE 6.3
1. 1 से 9 तक के अंकों का उपयोग करके कितने 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई अंक दोहराया नहीं जाता?
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उत्तर :
1 से 9 तक के अंकों का उपयोग करके 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जानी चाहिए।
यहाँ, अंकों के क्रम में अंतर होता है।
इसलिए, 9 अलग-अलग अंकों में से 3 अंकों के क्रमचय के बराबर 3-अंकीय संख्याएँ होंगी।
इसलिए, आवश्यक 3-अंकीय संख्याओं की संख्या $={ }^{9} P_3=\dfrac{9 !}{(9-3) !}=\dfrac{9 !}{6 !}=\dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 !}=9 \times 8 \times 7=504$
2. कोई अंक दोहराए बिना कितनी 4-अंकीय संख्याएँ हो सकती हैं?
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उत्तर :
एक 4-अंकीय संख्या में अंकों के चार स्थान होते हैं: हजार, सैकड़ा, दहाई और इकाई। हम इन स्थानों को एक द्वारा एक भर सकते हैं जो इन सीमाओं के अनुसार हैं:
1. हजार स्थान: अंक शून नहीं हो सकता, क्योंकि तब संख्या 3-अंकीय हो जाएगी। इसलिए, हजार स्थान के लिए 9 विकल्प होते हैं $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$।
2. सैकड़ा स्थान: कोई अंक दोहराया नहीं जा सकता, इसलिए सैकड़ा स्थान के लिए 9 अंक बचते हैं।
3. दहाई स्थान: हजार और सैकड़ा स्थान भर देने के बाद, दहाई स्थान के लिए 8 अंक बचते हैं।
4. इकाई स्थान: अंत में, इकाई स्थान के लिए 7 अंक बचते हैं।
मूलभूत गणना सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक स्थान पर विकल्पों की संख्या के गुणनफल के बराबर अद्वितीय 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या होती है:
कुल संख्याएँ $=$ हजार के विकल्प $\times$ सैकड़ा के विकल्प $\times$ दहाई के विकल्प $\times$ इकाई के विकल्प $= 9 × 9 × 8 × 7$
इसलिए, कोई अंक दोहराए बिना 9 × 504 = 4536 अलग-अलग 4-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।
3. 1, 2, 3, 4, 6, 7 के अंकों का उपयोग करके कितने 3-अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई अंक दोहराया नहीं जाता?
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उत्तर :
$3$-अंकीय सम संख्याएँ बनानी हैं जिनके लिए दिए गए छह अंक $1, 2, 3, 4, 6,$ और $7$ का उपयोग किया जाएगा बिना अंकों की दोहराने के।
तब, इकाई के स्थान पर कोई भी अंक $2, 4, \ या \ 6$ से भरा जा सकता है, जिससे इकाई के स्थान पर $3$ तरीके से भरा जा सकता है।
चूंकि $3$-अंकीय संख्याओं में अंकों की दोहराना नहीं हो सकता है और इकाई के स्थान पर एक अंक (जो सम है) जा चुका है, तो सैकड़ों और दहाई के स्थान को शेष $5$ अंकों से भरा जाएगा।
इसलिए, सैकड़ों और दहाई के स्थान को शेष $5$ अंकों से भरने के तरीकों की संख्या $5$ अलग-अलग अंकों के $2$ अंक लेने के प्रतिस्थापन के बराबर होगी।
सैकड़ों और दहाई के स्थान को भरने के तरीकों की संख्या $={ }^{5} P_2=\dfrac{5 !}{(5-2) !}=\dfrac{5 !}{3 !}=\dfrac{5 \times 4 \times 3 !}{3 !}=20$
इसलिए, गुणन सिद्धांत के अनुसार, आवश्यक $3$-अंकीय संख्याओं की संख्या $3 \times 20=60$ होगी।
4. $1,2,3,4, 5$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए जबकि कोई अंक दोहराया नहीं जाए। इनमें से कितनी सम संख्याएँ होंगी?
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उत्तर :
$4$-अंकीय संख्याएँ बनानी हैं जिनके लिए अंक $1, 2, 3, 4,$ और $5$ का उपयोग किया जाएगा।
इतनी $4$-अंकीय संख्याएँ होंगी जितने $5$ अलग-अलग अंकों के $4$ अंक लेने के प्रतिस्थापन होते हैं।
इसलिए, आवश्यक $4$ अंकीय संख्याओं की संख्या $={ }^{5} P_4=\dfrac{5 !}{(5-4) !}=\dfrac{5 !}{1 !}=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$
दिए गए अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ का उपयोग करके बनाई गई $4$-अंकीय संख्याओं में सम संख्याएँ $2$ या $4$ से समापन करती हैं।
इकाई के स्थान पर अंकों को भरने के तरीकों की संख्या $2$ है।
चूंकि अंक दोहराए जा रहे नहीं हैं और इकाई के स्थान पर एक अंक (जो सम है) जा चुका है, तो शेष स्थान शेष $4$ अंकों से भरे जाएंगे।
इसलिए, शेष स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $4$ अलग-अलग अंकों के $3$ अंक लेने के प्रतिस्थापन के बराबर होगी।
शेष स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $={ }^{4} P_3=\dfrac{4 !}{(4-3) !}=\dfrac{4 !}{1 !}=4 \times 3 \times 2 \times 1=24$
तो, गुणन प्रमेय के अनुसार, आवश्यक समान अंकों की संख्या $24 \times 2=48$ है
5. 8 व्यक्तियों के एक समिति से, एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष के चुनाव कितने तरीकों से किया जा सकता है, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद नहीं रख सकता?
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उत्तर :
8 व्यक्तियों के एक समिति से, एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष के चुनाव किए जाने हैं जिसके लिए एक व्यक्ति एक से अधिक पद नहीं रख सकता।
यहाँ, एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष के चुनाव के तरीकों की संख्या 8 अलग-अलग वस्तुओं के 2 वस्तुओं के प्रतिस्थापन बिना व्यवस्था की संख्या है।
इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या $ ={ }^{8} P_2=\dfrac{8 !}{(8-2) !}=\dfrac{8 !}{6 !}=\dfrac{8 \times 7 \times 6 !}{6 !}=8 \times 7=56 $
6. यदि ${ }^{n-1} P_3:{ }^{n} P_4=1: 9$ तो $n$ ज्ञात कीजिए।
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उत्तर :
$ \begin{aligned} & { }^{n-1} P_3:{ }^{n} P_4=1: 9 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{{ }^{n-1} P_3}{{ }^{n} P_4}=\dfrac{1}{9} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{\left[\dfrac{(n-1) !}{(n-1-3) !}\right]}{\left[\dfrac{n !}{(n-4) !}\right]}=\dfrac{1}{9} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{(n-1) !}{(n-4) !} \times \dfrac{(n-4) !}{n !}=\dfrac{1}{9} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{(n-1) !}{n \times(n-1) !}=\dfrac{1}{9} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{9} \\ \\ & \therefore \ \ n=9 \end{aligned} $
7. $r$ ज्ञात कीजिए यदि (i) ${ }^{5} P_r=2{ }^{6} P _{r-1}$ (ii) ${ }^{5} P_r={ }^{6} P _{r-1}$.
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उत्तर:
$ \begin{aligned} & \text{(i)}\quad { }^{5} P_r=2^{6} P _{r-1} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{5 !}{(5-r) !}=2 \times \dfrac{6 !}{(6-r+1) !} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{5 !}{(5-r) !}=\dfrac{2 \times 6 !}{(7-r) !} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{5 !}{(5-r) !}=\dfrac{2 \times 6 \times 5 !}{(7-r)(6-r)(5-r) !} \\ \\ & \Rightarrow 1=\dfrac{2 \times 6}{(7-r)(6-r)} \\ \\ & \Rightarrow(7-r)(6-r)=12 \end{aligned} $
$ \begin{aligned} & \Rightarrow 42-6 r-7 r+r^{2}=12 \\ \\ & \Rightarrow r^{2}-13 r+30=0 \\ \\
& \Rightarrow r^{2}-3 r-10 r+30=0 \\ \\ & \Rightarrow r(r-3)-10(r-3)=0 \\ \\ & \Rightarrow(r-3)(r-10)=0 \\ \\ & \Rightarrow(r-3)=0 \text{ या }(r-10)=0 \\ \\ & \Rightarrow r=3 \text{ या } r=10 \end{aligned} $
ज्ञात है कि,
$ { }^{n} P_r=\dfrac{n !}{(n-r) !} \text{, जहाँ } 0 \leq r \leq n $
$\therefore \ \ 0 \leq r \leq 5$
अतः, $r \neq 10$
$\therefore \ \ r=3$
$ \begin{aligned} & \text{(ii)}\quad { }^{5} P_r={ }^{6} P _{r-1} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{5 !}{(5-r) !}=\dfrac{6 !}{(6-r+1) !} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{5 !}{(5-r) !}=\dfrac{6 \times 5 !}{(7-r) !} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{(5-r) !}=\dfrac{6}{(7-r)(6-r)(5-r) !} \\ \\ & \Rightarrow 1=\dfrac{6}{(7-r)(6-r)} \\ \\ & \Rightarrow(7-r)(6-r)=6 \\ \\ & \Rightarrow 42-7 r-6 r+r^{2}-6=0 \\ \\ & \Rightarrow r^{2}-13 r+36=0 \\ \\ & \Rightarrow r^{2}-4 r-9 r+36=0 \\ \\ & \Rightarrow r(r-4)-9(r-4)=0 \\ \\ & \Rightarrow(r-4)(r-9)=0 \\ \\ & \Rightarrow(r-4)=0 \text{ या }(r-9)=0 \\ \\ & \Rightarrow r=4 \text{ या } r=9 \end{aligned} $
ज्ञात है कि,
$ { }^{n} P_r=\dfrac{n !}{(n-r) !} \text{, जहाँ } 0 \leq r \leq n $
अतः, $r \neq 9$
$\therefore \ \ r=4$
8. शब्द EQUATION के सभी अक्षरों का उपयोग करके, जिन शब्दों के अर्थ हो या न हो, कितने शब्द बनाए जा सकते हैं, जबकि प्रत्येक अक्षर केवल एक बार उपयोग किया जाए?
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शब्द EQUATION में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं।
अतः, शब्द EQUATION के सभी अक्षरों का उपयोग करके, जिन शब्दों के अर्थ हो या न हो, बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या $8$ अलग-अलग वस्तुओं के $8$ बार लेने के व्यवस्थाओं की संख्या होगी, जो ${ }^{8} P_8=8$ ! होती है।
अतः, बनाए जा सकने वाले शब्दों की आवश्यक संख्या $=8 !=40320$
9. शब्द MONDAY के अक्षरों का उपयोग करके, जिन शब्दों के अर्थ हो या न हो, कितने शब्द बनाए जा सकते हैं, जबकि कोई अक्षर दोहराए बिना उपयोग किया जाए, यदि
(i) $4$ अक्षरों का उपयोग किया जाए,
(ii) सभी अक्षरों का उपयोग किया जाए,
(iii) सभी अक्षरों का उपयोग किया जाए लेकिन पहला अक्षर एक अकार हो?
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उत्तर :
शब्द MONDAY में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं।
(i) शब्द MONDAY के अक्षरों से $4$-अक्षर वाले शब्दों की संख्या, $6$ अलग-अलग वस्तुओं के $4$ अक्षर लेकर बनाए गए प्रतिस्थापन बिना लेने वाले व्यवस्थाओं की संख्या होती है, जो ${ }^{6} P_4$ होती है।
इसलिए, $4$ अक्षर लेकर बनाए गए शब्दों की आवश्यक संख्या है
$ { }^{6} P_4=\dfrac{6 !}{(6-4) !}=\dfrac{6 !}{2 !}=\dfrac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{2 !}=6 \times 5 \times 4 \times 3=360 $
(ii) शब्द MONDAY के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए शब्दों की संख्या, $6$ अलग-अलग वस्तुओं के $6$ अक्षर लेकर बनाए गए प्रतिस्थापन बिना लेने वाले व्यवस्थाओं की संख्या होती है, जो ${ }^{6} P_6=6 !$ होती है।
इसलिए, सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए शब्दों की आवश्यक संख्या है $6 !=6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1= 720$
(iii) दिए गए शब्द में, $2$ अलग-अलग वृद्धि अक्षर हैं, जो बनाए गए शब्दों के दाहिने स्थान पर आना चाहिए। इसे केवल $2$ तरीकों से किया जा सकता है।
क्योंकि अक्षर दोहराए नहीं जा सकते और दाहिने स्थान पहले से ही एक अक्षर (जो एक वृद्धि है) से भर लिया गया है, तो बचे हुए पांच स्थान बचे हुए $5$ अक्षरों से भरे जा सकते हैं। इसे $5 !$ तरीकों से किया जा सकता है।
इसलिए, इस स्थिति में बनाए गए शब्दों की आवश्यक संख्या $5 ! \times 2=120 \times 2=240$ है
10. शब्द MISSISSIPPI के अक्षरों के विभिन्न प्रतिस्थापन में, चार I कैसे एक साथ नहीं आएंगे?
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उत्तर :
दिए गए शब्द MISSISSIPPI में, I 4 बार आता है, S 4 बार आता है, P 2 बार आता है, और M केवल एक बार आता है। इसलिए, दिए गए शब्द के अक्षरों के विभिन्न प्रतिस्थापन की संख्या
$ \begin{aligned} & =\dfrac{11 !}{4 ! 4 ! 2 !} \\ \\ & =\dfrac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} \\ \\ & =\dfrac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} \\ \\
& =34650 \end{aligned} $
दिए गए शब्द में $4$ I हैं। जब वे एक साथ आते हैं, तो उन्हें एक वस्तु के रूप में लेकर आगे बढ़ाया जाता है (IIII)। इस एक वस्तु के साथ शेष $7$ वस्तुओं के लिए कुल $8$ वस्तुएं होती हैं।
इन $8$ वस्तुओं में $4$ $S$ और $2$ $P$ होते हैं, जो $\dfrac{8 !}{4 ! 2 !}$ तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं, अर्थात $840$ तरीकों से।
सभी I एक साथ आए व्यवस्थाओं की संख्या $=840$
इसलिए, शब्द MISSISSIPPI के अक्षरों के भिन्न व्यवस्थाओं की संख्या जिनमें चार I एक साथ नहीं आए, $=34650$-$840=33810$
11. शब्द PERMUTATIONS के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है यदि वे
(i) शब्द $P$ से शुरू हो और $S$ से समाप्त हो,
(ii) सभी स्वर एक साथ हों,
(iii) $P$ और $S$ के बीच हमेशा $4$ अक्षर हों ?
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उत्तर :
शब्द PERMUTATIONS में $2 Ts$ हैं और अन्य सभी अक्षर केवल एक बार आते हैं।
(i) यदि $P$ और $S$ अंतिम सिरों पर निश्चित हों $(P$ बाईं ओर और $S$ दाईं ओर $),$ तो $10$ अक्षर बच जाते हैं।
इस स्थिति में, आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या $=\dfrac{10 !}{2 !}=1814400$
(ii) दिए गए शब्द में $5$ स्वर हैं, जो केवल एक बार आते हैं।
क्योंकि वे हमेशा एक साथ आने वाले हैं, इसलिए उन्हें एक वस्तु के रूप में लेकर आगे बढ़ाया जाता है। इस एक वस्तु के साथ शेष $7$ वस्तुओं के लिए कुल $8$ वस्तुएं होती हैं। इन $8$ वस्तुओं में $2$ $Ts$ होते हैं, जो $\dfrac{8 !}{2 !}$ तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं।
इन व्यवस्थाओं में प्रत्येक के लिए, $5$ अलग-अलग स्वर $5 !$ तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं।
इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार, इस स्थिति में आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या $=\dfrac{8 !}{2 !} \times 5 !=2419200$
(iii) अक्षरों को इस तरह व्यवस्थित किया जाना चाहिए कि $P$ और $S$ के बीच हमेशा $4$ अक्षर हों।
इसलिए, एक तरह से, $P$ और $S$ के स्थान निश्चित हो जाते हैं। शेष $10$ अक्षरों में $2 Ts$ होते हैं, जो $\dfrac{10 !}{2 !}$ तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं।
साथ ही, $P$ और $S$ के बीच $4$ अक्षर होने के लिए उन्हें $2 \times 7=14$ तरीकों से रखा जा सकता है।
इसलिए, गुणन सिद्धांत के अनुसार, इस मामले में आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या $ =\dfrac{10 !}{2 !} \times 14=25401600 $
बीटा
