अध्याय 6 क्रमचय एवं संचयन EXERCISE 6.1
EXERCISE 6.1
1. 1, 2, 3, 4 और 5 अंकों से कितनी 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, मान लीजिए कि
(i) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है?
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?
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उत्तर :
(i) तीन खाली स्थानों को दिए गए पांच अंकों द्वारा क्रमानुसार भरे जाने के तरीकों की संख्या तीन अंकीय संख्याओं के बनाने के तरीकों की संख्या होगी।
$\LARGE{\square \square \square}$
इस मामले में, अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है। इसलिए, इकाई के स्थान को दिए गए पांच अंकों में से कोई भी अंक द्वारा भरा जा सकता है। इसी तरह, दहाई और सैकड़ा के स्थान भी दिए गए पांच अंकों में से कोई भी अंक द्वारा भरा जा सकता है।
इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार, दिए गए अंकों से तीन अंकीय संख्याओं के बनाने के तरीकों की संख्या $5 \times 5 \times 5=125$ है।
(ii) इस मामले में, अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। यहाँ, यदि इकाई के स्थान को पहले भरा जाता है, तो इसे दिए गए पांच अंकों में से कोई भी अंक द्वारा भरा जा सकता है। इसलिए, तीन अंकीय संख्या के इकाई के स्थान को भरने के तरीकों की संख्या $5$ है।
फिर, दहाई के स्थान को शेष चार अंकों में से कोई भी अंक द्वारा भरा जा सकता है और सैकड़ा के स्थान को शेष तीन अंकों में से कोई भी अंक द्वारा भरा जा सकता है।
इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार, दिए गए अंकों के बिना पुनरावृत्ति के तीन अंकीय संख्याओं के बनाने के तरीकों की संख्या $5 \times 4 \times 3=60$ है।
2. 1, 2, 3, 4, 5, 6 अंकों से कितनी 3-अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है?
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उत्तर :
तीन खाली स्थानों को दिए गए छह अंकों द्वारा क्रमानुसार भरे जाने के तरीकों की संख्या तीन अंकीय संख्याओं के बनाने के तरीकों की संख्या होगी।
$\LARGE{\square \square \square}$ इस मामले में, इकाई के स्थान को केवल 2 या 4 या 6 द्वारा भरा जा सकता है, अर्थात इकाई के स्थान को 3 तरीकों से भरा जा सकता है। दहाई के स्थान को दिए गए छह अंकों में से कोई भी अंक 6 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है और सैकड़ा के स्थान को भी दिए गए छह अंकों में से कोई भी अंक 6 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है, क्योंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है।
इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार, आवश्यक तीन अंकीय सम संख्याओं की संख्या $3 \times 6 \times 6=108$ है
3. पहले 10 अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग करके कितने 4-अक्षरी कोड बनाए जा सकते हैं, यदि कोई अक्षर दोहराया नहीं जा सकता?
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इतने कोड होते हैं जितने तरीके होते हैं 4 खाली स्थान $\LARGE{\square \square \square\square}$ क्रमागत रूप से पहले 10 अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों द्वारा भरे जा सकते हैं, ध्यान रखे बिना कि अक्षरों की दोहराना अनुमति नहीं है।
पहला स्थान कोई भी पहले 10 अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों द्वारा 10 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है। इसके बाद, दूसरा स्थान बचे हुए अक्षरों में से कोई भी 9 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है। तीसरा स्थान बचे हुए 8 अक्षरों में से कोई भी 8 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है और चौथा स्थान बचे हुए 7 अक्षरों में से कोई भी 7 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है।
इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार, 4 खाली स्थानों को भरने के आवश्यक तरीकों की संख्या $10 \times 9 \times 8 \times 7=5040$ है
इसलिए, पहले 10 अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग करके, यदि कोई अक्षर दोहराया नहीं जाता, तो 5040 चार-अक्षरी कोड बनाए जा सकते हैं।
4. 0 से 9 तक के अंकों का उपयोग करके कितने 5-अंकीय फोन नंबर बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक नंबर 67 से शुरू होता है और कोई अंक एक से अधिक बार नहीं आता है?
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उत्तर :
दिया गया है कि 5-अंकीय फोन नंबर हमेशा 67 से शुरू होते हैं।
इसलिए, ऐतने फोन नंबर होते हैं जितने तरीके होते हैं 3 खाली स्थान
$\LARGE{\square \square\square}$
के द्वारा 0-9 अंकों द्वारा भरे जा सकते हैं, ध्यान रखे बिना कि अंक दोहराए नहीं जा सकते।
इकाई के स्थान को 0-9 के अंकों में से 6 और 7 के अलावा कोई भी अंक द्वारा 8 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है। इसके बाद, दहाई के स्थान को बचे हुए 7 अंकों में से कोई भी 7 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है, और सैकड़ा के स्थान को बचे हुए 6 अंकों में से कोई भी 6 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है।
इसलिए, गुणन सिद्धांत के अनुसार, $5$-डिजिट टेलीफोन संख्याओं के बनाने के आवश्यक तरीकों की संख्या $8 \times 7 \times 6=336$ है
5. एक सिक्का 3 बार उछाला जाता है और परिणाम नोट किए जाते हैं। संभावित परिणामों की संख्या कितनी है?
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Answer :
जब एक सिक्का एक बार उछाला जाता है, तो परिणामों की संख्या $2$ (शीर्ष और पैर) होती है, अर्थात् प्रत्येक उछाल में एक अलग तरफ दिखाने के तरीकों की संख्या $2$ होती है।
इसलिए, गुणन सिद्धांत के अनुसार, आवश्यक संभावित परिणामों की संख्या $2 \times 2 \times 2=8$ है
6. 5 अलग-अलग रंग के झंडों के दिए गए हैं, यदि प्रत्येक संकेत के लिए 2 झंडों का उपयोग करना आवश्यक है, एक दूसरे के नीचे, तो कितने अलग-अलग संकेत बनाए जा सकते हैं?
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Answer :
प्रत्येक संकेत के लिए 2 झंडों का उपयोग करना आवश्यक है।
दो खाली स्थानों $\LARGE\square\square$ को दिए गए 5 अलग-अलग रंग के झंडों द्वारा भरे जाने के तरीकों की संख्या तक झंडों की संख्या होगी।
ऊपर के खाली स्थान को 5 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है, जिसमें कोई एक झंडा लेकर उपयोग किया जाता है, जिसके बाद नीचे के खाली स्थान को बचे हुए 4 अलग-अलग झंडों में से कोई एक लेकर 4 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है।
इसलिए, गुणन सिद्धांत के अनुसार, बनाए जा सकने वाले अलग-अलग संकेतों की संख्या $5 \times 4=20$ है
बीटा
