उत्तर :

$2 \leq 3 x-4 \leq 5$

$\Rightarrow 2+4 \leq 3 x-4+4 \leq 5+4$

$\Rightarrow 6 \leq 3 x \leq 9$

$\Rightarrow 2 \leq x \leq 3$

इस प्रकार, दी गई असमिका के समाधान वाले सभी वास्तविक संख्याएँ, $x$, जो $2$ के बराबर या उससे अधिक हों लेकिन $3$ के बराबर या उससे कम हों, हैं। दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $[2,3]$ है।

उत्तर :

$6 \leq -3(2 x-4) < 12$

$\Rightarrow 2 \leq -(2 x-4) < 4$

$\Rightarrow-2 \geq 2 x-4 > -4$

$\Rightarrow 4 - 2 \geq 2 x > 4 - 4$

$\Rightarrow 2 \geq 2 x > 0$

$\Rightarrow 1 \geq x > 0$

इस प्रकार, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $(0,1]$ है।

उत्तर :

$-3 \leq 4-\dfrac{7 x}{2} \leq 18$

$\Rightarrow-3-4 \leq-\dfrac{7 x}{2} \leq 18-4$

$\Rightarrow-7 \leq-\dfrac{7 x}{2} \leq 14$

$\Rightarrow 7 \geq \dfrac{7 x}{2} \geq-14$

$\Rightarrow 1 \geq \dfrac{x}{2} \geq-2$

$\Rightarrow 2 \geq x \geq-4$

इस प्रकार, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $[-4, 2]$ है।

उत्तर :

$-15 < \dfrac{3(x-2)}{5} \leq 0$

$\Rightarrow - 75 < 3(x - 2) \leq 0$

$\Rightarrow - 25 < x - ~ 2 \leq 0$

$\Rightarrow - 25+2 < x \leq 2$

$\Rightarrow -23 < x \leq 2$

इस प्रकार, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $(-23, 2]$ है।

उत्तर :

$-12 < 4-\dfrac{3 x}{-5} \leq 2$

$\Rightarrow-12-4 < \dfrac{-3 x}{-5} \leq 2-4$

$\Rightarrow-16 < \dfrac{3 x}{5} \leq-2$

$\Rightarrow-80 < 3 x \leq-10$

$\Rightarrow \dfrac{-80}{3} < x \leq \dfrac{-10}{3}$

इसलिए, दिए गए असमिका के समाधान समुच्चय है $\bigg(\dfrac{-80}{3}, \dfrac{-10}{3}\bigg]$।

Answer :

$7 \leq \dfrac{(3 x+11)}{2} \leq 11$

$\Rightarrow 14 \leq 3 x+11 \leq 22$

$\Rightarrow 14-11 \leq 3 x \leq 22-11$

$\Rightarrow 3 \leq 3 x \leq 11$

$\Rightarrow 1 \leq x \leq \dfrac{11}{3}$

इसलिए, दिए गए असमिका के समाधान समुच्चय है $\bigg[1, \dfrac{11}{3}\bigg]$।

Answer :

$5 x+1 > -24$

$\Rightarrow 5 x > -25$

$\Rightarrow x > -5$

$5 x-1 < 24\qquad …(1) $

$\Rightarrow 5 x < 25$

$\Rightarrow x < 5\qquad …(2) $

(1) और (2) से, यह निष्कर्ष निकलता है कि दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान समुच्चय $(-5,5)$ है। दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान को संख्या रेखा पर इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है

Answer :

$2(x-1) < x+5$

$\Rightarrow 2 x-2 < x+5$

$\Rightarrow 2 x-x < 5+2$

$\Rightarrow x < 7 \qquad \ldots$ $(1)$

$3(x+2) > 2-x$

$\Rightarrow 3 x+6 > 2-x$

$\Rightarrow 3 x+x > 2-6$

$\Rightarrow 4 x > -4$

$\Rightarrow x > -1 \qquad\ldots$ $(2)$

(1) और (2) से, यह निष्कर्ष निकलता है कि दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान समुच्चय $(-1, 7).$ दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान को संख्या रेखा पर इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है

उत्तर :

$3 x - 7 > 2 (x - 6 ) $

$\Rightarrow 3 x - 7 > 2 x - 12$

$\Rightarrow 3 x - 2 x > - 12+7$

$\Rightarrow x > - 5\qquad … $ $(1)$

$\Rightarrow 6 - x > 11 - 2 x$

$\Rightarrow - x+2 x > 11- 6$

$\Rightarrow x > 5 \qquad …$ $(2)$

$(1)$ और $(2)$ से, दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान समुच्चय $(5, \infty)$ है। दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान को संख्या रेखा पर निम्नलिखित तरह से प्रस्तुत किया जा सकता है

उत्तर :

$5(2 x-7)-3(2 x+3) \leq 0$

$\Rightarrow 10 x-35-6 x-9 \leq 0$

$\Rightarrow 4 x-44 \leq 0$

$\Rightarrow 4 x \leq 44$

$\Rightarrow x \leq 11 \qquad\ldots$ $(1)$

$\Rightarrow 2 x+19 \leq 6 x+47$

$\Rightarrow 19-47$ $\leq x-2 x$

$\Rightarrow-28 \leq x $

$\Rightarrow-7 \leq x\qquad …$ $(2)$

$(1)$ और $(2)$ से, दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान समुच्चय $[-7, 11].$ दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान को संख्या रेखा पर निम्नलिखित तरह से प्रस्तुत किया जा सकता है

उत्तर :

क्योंकि विलयन को $68^{\circ} F$ और $77^{\circ} F$ के बीच रखा जाना है,

$68 < F < 77$

$F=\dfrac{9}{5} C+32$ को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$68 < \dfrac{9}{5} C+32 < 77$

$\Rightarrow 68-32 < \dfrac{9}{5} C < 77-32$

$\Rightarrow 36 < \dfrac{9}{5} C < 45$

$\Rightarrow 36 \times \dfrac{5}{9} < C < 45 \times \dfrac{5}{9}$

$\Rightarrow 20 < C < 25$

इसलिए, डिग्री सेल्सियस में तापमान की आवश्यक श्रेणी $20^{\circ} C$ और $25^{\circ} C$ के बीच होगी।

Answer :

मान लीजिए $x$ लीटर के 2% बोरिक एसिड के घोल को मिश्रित करना होगा।

तब, कुल मिश्रण $=(x+640)$ लीटर होगा।

इस नतीजा मिश्रण में बोरिक एसिड की मात्रा 4% से अधिक लेकिन 6% से कम होनी चाहिए।

$\therefore \ \ 2 % x + 8 %$ के 640 > 4% के $(x+640)$

और, $2 % x + 8 %$ के 640 < 6% के $(x+640)$

$2 % x + 8 %$ के 640 > 4% के $(x+640)$

$\Rightarrow \dfrac{2}{100} x+\dfrac{8}{100}(640) > \dfrac{4}{100}(x+640)$

$\Rightarrow 2 x+5120 > 4 x+2560$

$\Rightarrow 5120 - 2560 > 4 x - 2 x$

$\Rightarrow 5120 - 2560 > 2 x$

$\Rightarrow 2560 > 2 x$

$\Rightarrow 1280 > x$

$2 % \ x + 8 %$ के 640 < 6% के $(x+640)$

$\dfrac{2}{100} x+\dfrac{8}{100}(640) < \dfrac{6}{100}(x+640)$

$\Rightarrow 2 x+5120 < 6 x+3840$

$\Rightarrow 5120 - 3840 < 6 x - 2 x$

$\Rightarrow 1280 < 4 x$

$\Rightarrow 320 < x$

$\therefore \ \ 320 < x < 1280$

इसलिए, 2% बोरिक एसिड के घोल के लीटर की संख्या जो मिश्रित करनी होगी, 320 लीटर से अधिक लेकिन 1280 लीटर से कम होगी।

Answer :

मान लीजिए $x$ लीटर पानी को मिलाना होगा।

तब, कुल मिश्रण $=(x+1125)$ लीटर होगा।

स्पष्ट रूप से, परिणामी मिश्रण में एसिड की मात्रा 1125 लीटर के 45% होगी।

इस परिणामी मिश्रण में $25 \%$ से अधिक लेकिन $30 \%$ से कम अम्लीय सामग्री होगी।

$\therefore \ \ 30 \%$ of $(1125+x) > 45 \%$ of 1125

और, $25 \%$ of $(1125+x) < 45 \%$ of 1125

$30 \%$ of $(1125+x) > 45 \%$ of 1125

$\Rightarrow \dfrac{30}{100}(1125+x) > \dfrac{45}{100} \times 1125$

$\Rightarrow 30(1125+x) > 45 \times 1125$

$\Rightarrow 30 \times 1125+30 x > 45 \times 1125$

$\Rightarrow 30 x > 45 \times 1125-30 \times 1125$

$\Rightarrow 30 x > (45-30) \times 1125$

$\Rightarrow x > \dfrac{15 \times 1125}{30}=562.5$

$25 \%$ of $(1125+x) < 45 \%$ of $1125$

$\Rightarrow \dfrac{25}{100}(1125+x) < \dfrac{45}{100} \times 1125$

$\Rightarrow 25(1125+x) > 45 \times 1125$

$\Rightarrow 25 \times 1125+25 x > 45 \times 1125$

$\Rightarrow 25 x > 45 \times 1125-25 \times 1125$

$\Rightarrow 25 x > (45-25) \times 1125$

$\Rightarrow x > \dfrac{20 \times 1125}{25}=900$

$\therefore \ \ 562.5 < x < 900$

इसलिए, जो जल जोड़ा जाना है उसकी आवश्यक संख्या $562.5$ से अधिक लेकिन $900$ से कम होगी।

Answer :

दिया गया है कि 12 वर्ष के बच्चों के एक समूह के लिए $80 \leq IQ \leq 140 \ldots (i)$

12 वर्ष के बच्चों के एक समूह के लिए, $CA=12$ वर्ष

$ IQ=\dfrac{MA}{12} \times 100 $

इस बुद्धिलब्धि के मान को (i) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & 80 \leq \dfrac{MA}{12} \times 100 \leq 140 \\ \\ & \Rightarrow 80 \times \dfrac{12}{100} \leq MA \leq 140 \times \dfrac{12}{100} \\ \\ & \Rightarrow 9.6 \leq MA \leq 16.8 \end{aligned} $

इसलिए, 12 वर्ष के बच्चों के समूह की बुद्धिमत्ता आयु की सीमा $9.6 \leq MA \leq 16.8$ है।