उत्तर :

दी गई असमिका $24 x < 100$ है।

$24 x < 100$

$\Rightarrow \dfrac{24 x}{24} < \dfrac{100}{24} \quad$ [दोनों ओर एक ही धनात्मक संख्या से विभाजित करने पर]

$\Rightarrow x < \dfrac{25}{6}$

(i) स्पष्ट है कि $1,2,3$, और $4$ ही वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो $\dfrac{25}{6}$ से कम हैं।

अतः, जब $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, तो दी गई असमिका के हल $1,2,3$, और 4 हैं।

इस स्थिति में, हल समुच्चय $ \lbrace 1,2,3,4 \rbrace $ है।

(ii) $\dfrac{25}{6}$ से कम पूर्णांक $…-3, -2, -1,$ $0,1,2,3,4$ हैं।

अतः, जब $x$ एक पूर्णांक है, तो दी गई असमिका के हल

$…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.$

इस स्थिति में, हल समुच्चय $ \lbrace \ldots - 3 , - 2 , -1, 0,1,2,3,4 \rbrace $ है।

उत्तर :

दी गई असमिका - $12 x > 30$ है।

$\Rightarrow \dfrac{-12 x}{-12} < \dfrac{30}{-12} \quad$ [दोनों ओर एक ही नकारात्मक संख्या से विभाजित करने पर]

$\Rightarrow x < -\dfrac{5}{2}$

(i) $\left (-\dfrac{5}{2} \right )$ से कम कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है

अतः, जब $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, तो दी गई असमिका के कोई हल नहीं है।

(ii) $\left (-\dfrac{5}{2} \right )$ से कम पूर्णांक $…, -5, -4, -3.$ हैं।

अतः, जब $x$ एक पूर्णांक है, तो दी गई असमिका के हल

$…, -5, -4, -3.$

इस स्थिति में, हल समुच्चय $ \lbrace {-5, -4, -3} \rbrace $ है।

उत्तर :

दी गई असमिका $5 x - 3 < 7$ है।

$5 x-3 < 7$

$\Rightarrow 5 x-3+3 < 7+3$

$\Rightarrow 5 x < 10$

$\Rightarrow \dfrac{5 x}{5} < \dfrac{10}{5}$

$\Rightarrow x < 2$

(i) 2 से कम पूर्णांक $…, -4, -3, -2, -1, 0,1 .$ हैं।

इसलिए, जब x एक पूर्णांक हो, तो दिए गए असमिका के समाधान हैं

$…, -4, -3, -2, -1, 0, 1.$

इसलिए, इस मामले में, समाधान समुच्चय $…, \lbrace -4, - 3 , - 2, - 1,0,1 \rbrace $ है।

(ii) जब $x$ एक वास्तविक संख्या हो, तो दिए गए असमिका के समाधान $x < 2$ हैं, अर्थात सभी वास्तविक संख्याएं $x$ जो 2 से कम हों।

इसलिए, दिए गए असमिका के समाधान समुच्चय $x \in\left (- \infty, 2 \right )$ है।

Answer :

दी गई असमिका $3 x+8 > 2$ है।

$3 x+8 > 2$

$\Rightarrow 3 x+8-8 > 2-8$

$\Rightarrow 3 x > -6$

$\Rightarrow \dfrac{3 x}{3} > \dfrac{-6}{3}$

$\Rightarrow x > -2$

(i) $-2$ से बड़े पूर्णांक $-1, 0, 1, 2, ..$ हैं।

इसलिए, जब x एक पूर्णांक हो, तो दिए गए असमिका के समाधान हैं

$-1, 0,1,2 \ldots$

इसलिए, इस मामले में, समाधान समुच्चय $ \lbrace - 1,0,1,2, \ldots \rbrace $ है।

(ii) जब $x$ एक वास्तविक संख्या हो, तो दिए गए असमिका के समाधान सभी वास्तविक संख्याएं हैं जो $- 2$ से बड़ी हों।

इसलिए, इस मामले में, समाधान समुच्चय $\left (- 2, \infty \right ).$ है।

Answer :

$4 x+3 < 5 x+7$

$\Rightarrow 4 x+3-7 < 5 x+7-7$

$\Rightarrow 4 x-4 < 5 x$

$\Rightarrow 4 x-4-4 x < 5 x-4 x$

$\Rightarrow-4 < x$

इसलिए, सभी वास्तविक संख्याएं $x$, जो $-4$ से बड़ी हों, दिए गए असमिका के समाधान हैं।

इसलिए, दिए गए असमिका के समाधान समुच्चय $\left (-4, \infty \right )$ है।

Answer :

$ \Rightarrow 3 x-7+7 > 5 x - 1+7$

$\Rightarrow 3 x > 5 x+6$

$\Rightarrow 3 x - 5 x > 5 x+6$- $5 x$

$\Rightarrow - 2 x > 6$

$\Rightarrow \dfrac{-2 x}{-2} < \dfrac{6}{-2}$

$\Rightarrow x < -3$

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $- 3$ से कम हों।

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (-\infty, - 3 \right )$ है।

Answer :

$3\left (x-1 \right ) \leq 2\left (x-3 \right )$

$\Rightarrow 3 x-3 \leq 2 x-6$

$\Rightarrow 3 x-3+3 \leq 2 x-6+3$

$\Rightarrow 3 x \leq 2 x-3$

$\Rightarrow 3 x-2 x \leq 2 x-3$ - $2 x$

$\Rightarrow x \leq -3$

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $-3$ से कम या बराबर हों।

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (-\infty,-3\right]$ है।

Answer :

$3\left (2-x \right ) \geq 2\left (1-x \right )$

$\Rightarrow 6-3 x \geq 2-2 x$

$\Rightarrow 6-3 x+2 x \ \geq 2-2 x+2 x$

$\Rightarrow 6-x \geq 2$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow 6-x-6 \geq 2-6 \\ \\ & \Rightarrow-x \geq-4 \\ \\ & \Rightarrow x \leq 4 \end{aligned} $

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो 4 से कम या बराबर हों।

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (-\infty,4\right]$ है।

Answer :

$ \begin{aligned} & x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3} < 11 \\ \\ & \Rightarrow x\left (1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \right ) < 11 \\ \\ & \Rightarrow x\left (\dfrac{6+3+2}{6} \right ) < 11 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{11 x}{6} < 11 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{11 x}{6 \times 11} < \dfrac{11}{11} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{x}{6} < 1 \\ \\ & \Rightarrow x < 6 \end{aligned} $

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $6$ से कम हों।

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (-\infty, 6 \right )$ है।

Answer :

$\dfrac{x}{3} > \dfrac{x}{2}+1$

$\Rightarrow \dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{2} > 1$

$\Rightarrow \dfrac{2 x-3 x}{6} > 1$

$\Rightarrow-\dfrac{x}{6} > 1$

$\Rightarrow-x > 6$

$\Rightarrow x < -6$

अतः, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$, जो $- 6$ से कम हों, दी गई असमिका के समाधान हैं।

अतः, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय है $\left (-\infty, -6 \right ).$

Answer :

$\dfrac{3\left (x-2 \right )}{5} \leq \dfrac{5\left (2-x \right )}{3}$

$\Rightarrow 9\left (x-2 \right ) \leq 25\left (2-x \right )$

$\Rightarrow 9 x-18 \leq 50-25 x$

$\Rightarrow 9 x-18+25 x \leq 50$

$\Rightarrow 34 x-18 \leq 50$

$\Rightarrow 34 x \leq 50+18$

$\Rightarrow 34 x \leq 68$

$\Rightarrow \dfrac{34 x}{34} \leq \dfrac{68}{34}$

$\Rightarrow x \leq 2$

अतः, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$, जो $2$ से कम या बराबर हों, दी गई असमिका के समाधान हैं।

अतः, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय है $ ~ \left ( - \infty, 2\right ].$

Answer :

$\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{3 x}{5}+4 \right ) \geq \dfrac{1}{3}\left (x-6 \right )$

$\Rightarrow 3\left (\dfrac{3 x}{5}+4 \right ) \geq 2\left (x-6 \right )$

$\Rightarrow \dfrac{9 x}{5}+12 \geq 2 x-12$

$\Rightarrow 12+12 \geq 2 x-\dfrac{9 x}{5}$

$\Rightarrow 24 \geq \dfrac{10 x-9 x}{5}$

$\Rightarrow 24 \geq \dfrac{x}{5}$

$\Rightarrow 120 \geq x$

अतः, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$, जो $120$ से कम या बराबर हों, दी गई असमिका के समाधान हैं। अतः, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय है $120$

Answer :

$ \begin{aligned} & 2\left (2 x+3 \right )-10 < 6\left (x-2 \right ) \\ \\ & \Rightarrow 4 x+6-10 < 6 x-12 \\ \\ & \Rightarrow 4 x-4 < 6 x-12 \\ \\ & \Rightarrow-4+12 < 6 x-4 x \\ \\ & \Rightarrow 8 < 2 x \\ \\ & \Rightarrow 4 < x \end{aligned} $

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $4$ से बड़ी या बराबर हों। इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (4, \infty \right )$ है।

Answer :

$37-\left (3 x+5 \right ) \geq 9 x-8\left (x-3 \right )$

$\Rightarrow 37-3 x-5 \geq 9 x-8 x+24$

$\Rightarrow 32-3 x \geq x+24$

$\Rightarrow 32-24 \geq x+3 x$

$\Rightarrow 8 \geq 4 x$

$\Rightarrow 2 \geq x$

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $2$ से छोटी या बराबर हों।

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (- \infty, 2\right]$ है।

Answer :

$\dfrac{x}{4} < \dfrac{\left (5 x-2 \right )}{3}-\dfrac{\left (7 x-3 \right )}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{4} < \dfrac{5\left (5 x-2 \right )-3\left (7 x-3 \right )}{15}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{4} < \dfrac{25 x-10-21 x+9}{15}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{4} < \dfrac{4 x-1}{15}$

$\Rightarrow 15 x < 4\left (4 x-1 \right )$

$\Rightarrow 15 x < 16 x-4$

$\Rightarrow 4 < 16 x-15 x$

$\Rightarrow 4 < x$

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $4$ से बड़ी हों।

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (4, \infty \right )$ है।

Answer :

$\dfrac{\left (2 x-1 \right )}{3} \geq \dfrac{\left (3 x-2 \right )}{4}-\dfrac{\left (2-x \right )}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{\left (2 x-1 \right )}{3} \geq \dfrac{5\left (3 x-2 \right )-4\left (2-x \right )}{20}$

$\Rightarrow \dfrac{\left (2 x-1 \right )}{3} \geq \dfrac{15 x-10-8+4 x}{20}$

$\Rightarrow \dfrac{\left (2 x-1 \right )}{3} \geq \dfrac{19 x-18}{20}$

$\Rightarrow 20\left (2 x-1 \right ) \geq 3\left (19 x-18 \right )$

$\Rightarrow 40 x-20 \geq 57 x-54$

$\Rightarrow-20+54 \geq 57 x-40 x$

$\Rightarrow 34 \geq 17 x$

$\Rightarrow 2 \geq x$

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के हैं, जो $2$ के बराबर या कम हों।

इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $2$ है।

उत्तर :

$3 x-2 < 2 x+1$

$\Rightarrow 3 x-2 x < 1+2$

$\Rightarrow x < 3$

दी गई असमिका के समाधान के आरेख निम्नलिखित हैं।

उत्तर :

$3\left (1-x \right ) < 2\left (x+4 \right )$

$\Rightarrow 3-3 x < 2 x+8$

$\Rightarrow 3-8 < 2 x+3 x$

$\Rightarrow-5 < 5 x$

$\Rightarrow \dfrac{-5}{5} < \dfrac{5 x}{5}$

$\Rightarrow-1 < x$

दी गई असमिका के समाधान के आरेख निम्नलिखित हैं।

उत्तर :

$5 x-3 \geq 3 x-5$

$\Rightarrow 5 x-3 x \geq-5+3$

$\Rightarrow 2 x \geq-2$

$\Rightarrow \dfrac{2 x}{2} \geq \dfrac{-2}{2}$

$\Rightarrow x \geq-1$

दी गई असमिका के समाधान के आरेख निम्नलिखित हैं।

Answer :

$\dfrac{x}{2} \geq \dfrac{\left (5 x-2 \right )}{3}-\dfrac{\left (7 x-3 \right )}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{2} \geq \dfrac{5\left (5 x-2 \right )-3\left (7 x-3 \right )}{15}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{2} \geq \dfrac{25 x-10-21 x+9}{15}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{2} \geq \dfrac{4 x-1}{15}$

$\Rightarrow 15 x \geq 2\left (4 x-1 \right )$

$\Rightarrow 15 x \geq 8 x-2$

$\Rightarrow 15 x-8 x \geq 8 x-2-8 x$

$\Rightarrow 7 x \geq-2$

$\Rightarrow x \geq-\dfrac{2}{7}$

दिए गए असमानता के समाधान के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व निम्नलिखित है।

Answer :

मान लीजिए $x$ रावि द्वारा तीसरी इकाई परीक्षा में प्राप्त अंक हैं।

क्योंकि छात्र को कम से कम 60 अंक के औसत की आवश्यकता है,

$\dfrac{70+75+x}{3} \geq 60$

$\Rightarrow 145+x \geq 180$

$\Rightarrow x \geq 180-145$

$\Rightarrow x \geq 35$

इस प्रकार, छात्र को कम से कम 35 अंक प्राप्त करने होंगे ताकि औसत कम से कम 60 अंक हो जाए।

उत्तर :

मान लीजिए $x$ सुनीता के पांचवें परीक्षा में प्राप्त अंक हैं।

कोर्स में ग्रेड $\mathbf{A}$ प्राप्त करने के लिए, उसे पांच परीक्षाओं में औसत अंक $90$ या अधिक प्राप्त करने होंगे।

इसलिए,

$ \begin{aligned} & \dfrac{87+92+94+95+x}{5} \geq 90 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{368+x}{5} \geq 90 \\ \\ & \Rightarrow 368+x \geq 450 \\ \\ & \Rightarrow x \geq 450-368 \\ \\ & \Rightarrow x \geq 82 \end{aligned} $

इसलिए, सुनीता के पांचवें परीक्षा में $82$ या उससे अधिक अंक प्राप्त करने होंगे।

उत्तर :

मान लीजिए $x$ दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांकों में से छोटा पूर्णांक है। तब, दूसरा पूर्णांक $x+2$ होगा।

चूंकि दोनों पूर्णांक $10$ से छोटे हैं,

$x+2 < 10$

$\Rightarrow x < 10 - 2$

$\Rightarrow x < 8 \qquad\ldots \left (i \right )$

इसके अतिरिक्त, दोनों पूर्णांकों का योग $11$ से अधिक है।

$\therefore \ \ x+\left (x+2 \right ) > 11$

$\Rightarrow 2 x+2 > 11$

$\Rightarrow 2 x > 11 - 2$

$\Rightarrow 2 x > 9$

$\Rightarrow x > \dfrac{9}{2}$

$\Rightarrow x > 4.5\qquad … \left (ii \right )$

समीकरण \left (i \right ) और \left (ii \right ) से, हम प्राप्त करते हैं

क्योंकि $x$ एक विषम संख्या है, $x$ के मान $5$ और $7$ हो सकते हैं।

इसलिए, आवश्यक संभावित युग्म $(5,7)$ और $(7,9)$ हैं।

उत्तर

मान लीजिए $x$ छोटा सम पूर्णांक है। क्योंकि क्रमागत सम संख्या अगली क्रम में आती है, इसलिए दूसरी संख्या $x + 2$ होगी।

हम जानते हैं कि

दोनों संख्याएँ $5$ से बड़ी होंगी: $x > 5$ और $x > 3$

उनका योग $23$ से कम होगा: $x + \left (x + 2 \right ) < 23$ \left (इसमें $x$ और $x + 2$ को मिलाया गया है क्योंकि वे क्रमागत सम संख्याएँ हैं \right ).

इसलिए, असमानता में समान पदों को जोड़ें

$2x + 2 < 23$ दोनों तरफ से $2$ घटाएं: $2x < 21$ दोनों तरफ से $2$ से विभाजित करें \left (क्योंकि हम एक सम संख्या के साथ काम कर रहे हैं \right ) $x < 10.5$

हम निर्धारित कर लेते हैं कि $x$ कम से कम $10.5$ से कम होना चाहिए। हालांकि, $x$ भी $5$ से अधिक होना चाहिए और एक पूर्णांक होना चाहिए \left (क्योंकि यह एक सम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है \right ). इसलिए, $x$ के वैध मान $6, 8,$ और $10$ हैं।

अब हम उन संगत सम संख्याओं को खोजते हैं

यदि $x = 6,$ तो अगली सम संख्या $x + 2 = 8$ है

यदि $x = 8,$ तो अगली सम संख्या $x + 2 = 10$ है

यदि $x = 10,$ तो अगली सम संख्या $x + 2 = 12$ है

इसलिए, वैध युग्मों के सम धनात्मक पूर्णांक हैं: $\left (6, 8 \right ), \left (8, 10 \right )$ और $\left (10,12 \right ).$

उत्तर :

मान लीजिए त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की लंबाई $x$ सेमी है।

तो, सबसे लंबी भुजा की लंबाई $=3 x$ सेमी

तीसरी भुजा की लंबाई $=\left (3 x - 2 \right )$ सेमी

क्योंकि त्रिभुज का परिमाप कम से कम $61$ सेमी है,

$x +3 x +\left (3 x-2 \right ) \geq 61 $

$\Rightarrow 7 x-2 \geq 61$

$\Rightarrow 7 x \geq 61+2$

$\Rightarrow 7 x \geq 63$

$\Rightarrow \dfrac{7 x}{7} \geq \dfrac{63}{7}$

$\Rightarrow x \geq 9$

इसलिए, सबसे छोटी भुजा की न्यूनतम लंबाई $9$ सेमी है।

उत्तर :

मान लीजिए सबसे छोटे टुकड़े की लंबाई $x cm$ है। तब, दूसरे और तीसरे टुकड़े की लंबाई क्रमशः $\left (x+3 \right ) cm$ और $2 x cm$ होगी।

क्योंकि तीनों लंबाइयों को एक ही बोर्ड के $91 cm$ लंबाई के टुकड़े से काटा जाना है,

$x +\left (x+3 \right ) +2 x \leq 91 $

$\Rightarrow 4 x+3 \leq 91$

$\Rightarrow 4 x \leq 91 - 3$

$\Rightarrow 4 x \leq 88$

$\Rightarrow \dfrac{4 x}{4} \leq \dfrac{88}{4}$

$\Rightarrow x \leq 22\qquad … \left (i \right ) $

इसके अतिरिक्त, तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम $5 cm$ लंबा होना चाहिए।

$\therefore \ \ 2 x \geq\left (x+3 \right )+5$

$\Rightarrow 2 x \geq x+8$

$\Rightarrow x \geq 8 \qquad\ldots\left (ii \right )$

समीकरण $\left (i \right )$ और $\left (ii \right )$ से हम प्राप्त करते हैं

$8 \leq x \leq 22$

इस प्रकार, सबसे छोटे बोर्ड की संभावित लंबाई $8 cm$ से अधिक या बराबर हो सकती है लेकिन $22 cm$ से कम या बराबर हो सकती है।