उत्तर :

(i) $25^{\circ}$

हम जानते हैं कि $180^{\circ}=\pi$ रेडियन

$\therefore \ \ 25^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \times 25$ रेडियन $=\dfrac{5 \pi}{36}$ रेडियन

(ii) $-47^{\circ} 30^{\prime}$

$- 47^{\circ} 30^{\prime}={ }{-47 \dfrac{1}{2}}$ $\qquad[1^{\circ}=60^{\prime}]$

$\hspace{1.3cm}=\dfrac{-95}{2}$ डिग्री

क्योंकि $180^{\circ}=\pi$ रेडियन

$\dfrac{-95}{2}$ डिग्री $=\dfrac{\pi}{180} \times\left(\dfrac{-95}{2}\right)$ रेडियन

$\hspace{1.8cm}=\left(\dfrac{-19}{36 \times 2}\right) \pi$ रेडियन

$\hspace{1.8cm}=\dfrac{-19}{72} \pi$ रेडियन

$\therefore \ \ -47^{\circ} 30^{\prime}=\dfrac{-19}{72} \pi$ रेडियन

(iii) $240^{\circ}$

हम जानते हैं कि $180^{\circ}=\pi$ रेडियन

$\therefore \ \ 240^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \times 240$ रेडियन $=\dfrac{4}{3} \pi$ रेडियन

(iv) $520^{\circ}$

हम जानते हैं कि $180^{\circ}=\pi$ रेडियन

$\therefore \ \ 520^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \times 520$ रेडियन $=\dfrac{26 \pi}{9}$ रेडियन

उत्तर :

(i) $\dfrac{11}{16}$

हम जानते हैं कि $\pi$ रेडियन $=180^{\circ}$

$\therefore \ \ \dfrac{11}{16}$ रेडियन $=\dfrac{180}{\pi} \times \dfrac{11}{16}$ डिग्री

$\hspace{2cm}=\dfrac{45 \times 11}{\pi \times 4}$ डिग्री

$\hspace{2cm}=\dfrac{45 \times 11 \times 7}{22 \times 4}$ डिग्री $=\dfrac{315}{8}$ डिग्री

$\hspace{2cm}=39 \dfrac{3}{8}$ डिग्री

$\hspace{2cm}=39^{\circ}+\dfrac{3 \times 60}{8}$ मिनट $\quad[1^{\circ}=60^{\prime}]$

$\hspace{2cm}=39^{\circ}+22^{\prime}+\dfrac{1}{2}$ मिनट

$\hspace{2cm}=39^{\circ} 22^{\prime} 30^{\prime \prime} \quad[1^{\prime}=60^{\prime \prime}]$

(ii) $-4$

हम जानते हैं कि $\pi$ रेडियन $=180^{\circ}$

$ \begin{aligned} -4 \text{ रेडियन } & =\dfrac{180}{\pi} \times(-4) \text{ डिग्री }=\dfrac{180 \times 7(-4)}{22} \text{ डिग्री } \\ & =\dfrac{-2520}{11} \text{ डिग्री }=-229 \dfrac{1}{11} \text{ डिग्री } \\ & =-229^{\circ}+\dfrac{1 \times 60}{11} \text{ मिनट } \quad[1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =-229^{\circ}+5^{\prime}+\dfrac{5}{11} \text{ मिनट } \\ & =-229^{\circ} 5^{\prime} 27^{\prime \prime} \quad[1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \end{aligned} $

(iii) $\dfrac{5 \pi}{3}$

हम जानते हैं कि $\pi$ रेडियन $=180^{\circ}$

$\therefore \ \ \dfrac{5 \pi}{3}$ रेडियन $=\dfrac{180}{\pi} \times \dfrac{5 \pi}{3}$ डिग्री $=300^{\circ}$

(iv) $\dfrac{7 \pi}{6}$

हम जानते हैं कि $\pi$ रेडियन $=180^{\circ}$

$\therefore \ \ \dfrac{7 \pi}{6}$ रेडियन $=\dfrac{180}{\pi} \times \dfrac{7 \pi}{6}=210^{\circ}$

Answer :

चक्र द्वारा एक मिनट में बनाए गए चक्रों की संख्या $=360$

$\therefore \ \ $ चक्र द्वारा एक सेकंड में बनाए गए चक्रों की संख्या $=\dfrac{360}{60}=6$

एक पूर्ण चक्र में, चक्र द्वारा केंद्र पर बने कोण की माप $2 \pi$ रेडियन होती है।

इसलिए, 6 पूर्ण चक्र में, इसके केंद्र पर बने कोण की माप $6 \times 2 \pi$ रेडियन, अर्थात $12 \pi$ रेडियन होती है।

इसलिए, एक सेकंड में चक्र द्वारा केंद्र पर बने कोण की माप $12 \pi$ रेडियन होती है।

Answer :

हम जानते हैं कि एक वृत्त की त्रिज्या $r$ इकाई हो, तो एक चाप की लंबाई $l$ इकाई द्वारा केंद्र पर बने कोण की माप $\theta$ रेडियन होती है, तो $\theta=\dfrac{l}{r}$

इसलिए, $r =100$ सेमी, $l=22$ सेमी, हमें प्राप्त होता है

$\hspace{1.3cm}\theta=\dfrac{22}{100}$ रेडियन $=\dfrac{180}{\pi} \times \dfrac{23}{100}$ डिग्री $=\dfrac{180 \times 7 \times 22}{22 \times 100}$ डिग्री

$\hspace{1.5cm}=\dfrac{126}{10}$ डिग्री $=12 \dfrac{3}{5}$ डिग्री $=12^{\circ} 36^{\prime} \quad[1^{\circ}=60^{\prime}]$

इसलिए, आवश्यक कोण $12^{\circ} 36^{’}$ है

Answer :

वृत्त का व्यास $=40$ सेमी

$\therefore \ \ $ वृत्त की त्रिज्या $(r)$ $=\dfrac{40}{2}$ सेमी $=20$ सेमी

मान लीजिए $AB$ एक जीवा है (लंबाई $=20$ सेमी) वृत्त की।

$\triangle OAB$ में,

$OA=OB=$ वृत्त की त्रिज्या $=20$ सेमी

इसके अतिरिक्त, $AB=20$ सेमी

इसलिए, $\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है।

$\therefore \ \ \ \theta=60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}$ रेडियन

हम जानते हैं कि एक वृत्त की त्रिज्या $r$ इकाई हो, तो एक चाप की लंबाई $l$ इकाई वृत्त के केंद्र पर कोण $\theta$ रेडियन बनाता है, तो $\theta=\dfrac{l}{r}$

$\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\overline{AB}}{20} \rightarrow \overline{AB}=\dfrac{20 \pi}{3}$ सेमी

Answer :

मान लीजिए दो वृत्तों की त्रिज्याएँ ${r_1}$ और ${r_2}$ हैं। मान लीजिए एक चाप की लंबाई वृत्त के केंद्र पर $r_1$ के वृत्त में $60^{\circ}$ कोण बनाती है, जबकि एक चाप की लंबाई वृत्त के केंद्र पर $r_2$ के वृत्त में $75^{\circ}$ कोण बनाती है।

अब, $60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}$ रेडियन और $75^{\circ}=\dfrac{5 \pi}{12}$ रेडियन

हम जानते हैं कि एक वृत्त की त्रिज्या $r$ इकाई हो, तो एक चाप की लंबाई $l$ इकाई वृत्त के केंद्र पर कोण $\theta$ रेडियन बनाता है, तो

$\theta=\dfrac{l}{r}$ या $l=r \theta$

$\therefore \ \ l=\dfrac{r_1 \pi}{3}$ और $l=\dfrac{r_2 5 \pi}{12}$

$\Rightarrow \dfrac{r_1 \pi}{3}=\dfrac{r_2 5 \pi}{12}$

$\Rightarrow r_1=\dfrac{r_2 5}{4}$

$\Rightarrow \dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{5}{4}$

इस प्रकार, त्रिज्याओं का अनुपात $5:4$ है।

Answer :

हम जानते हैं कि एक वृत्त की त्रिज्या $r$ इकाई हो, तो एक चाप की लंबाई $l$ इकाई वृत्त के केंद्र पर $\theta$ रेडियन का कोण बनाता है, तो $\theta=\dfrac{l}{r}$ दिया गया है कि $r=75 cm$

(i) यहाँ, $l=10 cm$

$\hspace{1.1cm}\theta=\dfrac{10}{75}$ रेडियन $=\dfrac{2}{15}$ रेडियन

(ii) यहाँ, $l=15 cm$

$\hspace{1.2cm}\theta=\dfrac{15}{75}$ रेडियन $=\dfrac{1}{5}$ रेडियन

(iii) यहाँ, $l=21 cm$

$\hspace{1.2cm}\theta=\dfrac{21}{75}$ रेडियन $=\dfrac{7}{25}$ रेडियन