अध्याय 2 संबंध एवं फलन अतिरिक्त अभ्यास
अध्याय 2 पर अतिरिक्त अभ्यास
1. संबंध $f$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है $f\left(x\right)=\left\lbrace \begin{array}{l}x^{2}, 0 \leq x \leq 3 \\ \\ 3 x, 3 \leq x \leq 10\end{array}\right.$
संबंध $g$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है $g\left(x\right)=\left\lbrace \begin{array}{l}x^{2}, 0 \leq x \leq 2 \\ \\ 3 x, 2 \leq x \leq 10\end{array}\right.$
दिखाइए कि $f$ एक फलन है और $g$ एक फलन नहीं है।
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उत्तर :
संबंध $f$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है $f(x)=\left\lbrace \begin{array}{l}x^2, 0 \leq x \leq 3 \\ \\ 3 x, 3 \leq x \leq 10\end{array}\right.$
यह देखा जा सकता है कि $0 \leq x \leq 3$ के लिए हमें $f(x)=x^2$ मिलता है और $3 \leq x \leq 10$ के लिए हमें $f(x)=3 x$ मिलता है
इसके अतिरिक्त, $x=3$ पर, $f(x)=3^2=9$ या $f(x)=3 \times 3=9$
अर्थात, $x=3$ पर, $f(x)=9$
इसलिए, प्रत्येक $x$, $0 \leq x \leq 10$ के लिए, $f$ के अंतर्गत एक अद्वितीय प्रतिबिम्ब होता है
इसलिए, संबंध $f$ एक फलन है।
इसके अतिरिक्त, संबंध $g$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है $g(x)=\left\lbrace \begin{array}{l}x^2, 0 \leq x \leq 2 \\ \\ 3 x, 2 \leq x \leq 10\end{array}\right.$
यह देखा जा सकता है कि $x=2$ के लिए हमें $g(x)=2^2=4$ और $g(x)=3 \times 2=6$ मिलता है
इसलिए, संबंध $g$ के डोमेन के तत्व $2$ के दो अलग-अलग प्रतिबिम्ब हैं अर्थात, $4$ और $6$
इसलिए, यह संबंध एक फलन नहीं है।
2. यदि $f\left(x\right)=x^{2}, \ $ तो $\dfrac{f\left(1.1\right)-f\left(1\right)}{\left(1.1-1\right)}$ का मान ज्ञात कीजिए
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दिया गया है, $f(x)=x^2$
$ \therefore \ \ \dfrac{\mathrm{f}(1.1)-\mathrm{f}(1)}{(1.1-1)}=\dfrac{(1.1)^2-(1)^2}{(1.1-1)} $
$\hspace{2.6cm} =\dfrac{1.21-1}{0.1}$
$\hspace{2.6cm} =\dfrac{0.21}{0.1}$
$\hspace{2.6cm} =2.1 $
3. फलन $f\left(x\right)=\dfrac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-8 x+12}$ के डोमेन को ज्ञात कीजिए
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दिया गया फलन है
$ f\left(x\right)=\dfrac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-8 x+12} $
$f\left(x\right)=\dfrac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-8 x+12}$
$\hspace{0.8cm} =\dfrac{x^{2}+2 x+1}{\left(x-6\right)\left(x-2\right)}$
देखा जा सकता है कि फलन f सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है, बशर्ते कि $x=6$ और $x=2$ न हों।
अतः, f के डोमेन है $\mathbf{R}$ - $\lbrace 2,6 \rbrace $
4. वास्तविक फलन $f$ जो $f\left(x\right)=\sqrt{\left(x-1\right)}$ द्वारा परिभाषित है, के डोमेन और रेंज ज्ञात कीजिए।
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दिया गया वास्तविक फलन $f\left(x\right)=\sqrt{x-1}$ है।
देखा जा सकता है कि $\sqrt{x-1}$ के लिए $\left(x- 1\right) \geq 0$ होना आवश्यक है।
अर्थात, $f\left(x\right)=\sqrt{\left(x-1\right)}$ के लिए $x \geq 1$ होना आवश्यक है।
अतः, f के डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय है जो $1$ या उससे अधिक हों, अर्थात, f के डोमेन $[1, \infty)$ है।
जैसे $x \geq 1 \Rightarrow (x - 1) \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x-1} \geq 0$
अतः, f के रेंज सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय है जो $0$ या उससे अधिक हों, अर्थात, f के रेंज $[0, \infty)$ है।
5. वास्तविक फलन $f$ जो $f\left(x\right)=|x-1|$ द्वारा परिभाषित है, के डोमेन और रेंज ज्ञात कीजिए।
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दिया गया वास्तविक फलन $f\left(x\right)=|x-1|$ है।
स्पष्ट है कि $|x-1|$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$\therefore \ \ $ f के डोमेन $\mathbf{R}$ है।
इसके अतिरिक्त, $x \in \mathbf{R}$ के लिए $|x-1|$ सभी वास्तविक संख्याओं को ग्रहण करता है।
अतः, f के रेंज सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय है।
6. मान लीजिए $f=\bigg\lbrace \left(x, \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}\right): x \in \mathbf{R}\bigg \rbrace $ एक फलन है $\mathbf{R}$ से $\mathbf{R}$ में। f के रेंज ज्ञात कीजिए।
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उत्तर :
$ \text { मान लीजिए, } \ \mathrm{y}=\dfrac{\mathrm{x}^2}{1+\mathrm{x}^2} $
$ \begin{aligned} & \Rightarrow y+x^2 y=x^2 \\ \\ & \Rightarrow y=x^2(1-y) \\ \\ & \Rightarrow x^2=\dfrac{y}{1-y} $
\end{aligned} $
$ \Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{y}{1-y}} $
क्योंकि, $x$ वास्तविक है
$ \begin{aligned} & \Rightarrow \dfrac{y}{1-y} \geq 0 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{y(1-y)}{(1-y)^2} \geq 0 \\ \\ & \Rightarrow y(1-y) \geq 0 \text { और } (1-y)^2>0 \\ \\ & \Rightarrow 0 \leq y \leq 1 \text { और } -y>-1 \\ \\ & \Rightarrow 0 \leq y \leq 1 \text { और } y<1 \end{aligned} $
अतः, $0 \leq y<1$
$f$ की परिसर $[0,1)$ है
7. मान लीजिए $f, g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ क्रमशः $f\left(x\right)=x+1, g\left(x\right)=2 x-3$ द्वारा परिभाषित हैं। $f+g, f-g$ और $\dfrac{f}{g}$ ज्ञात कीजिए।
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Answer :
$f, g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ क्रमशः $f\left(x\right)=x+1, g\left(x\right)=2 x - 3$ द्वारा परिभाषित हैं।
$\hspace{0.5cm} \left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=\left(x+1\right)+\left(2 x - 3\right)=3 x - 2$
$\therefore \ \ \left(f+g\right)\left(x\right)=3 x - 2$
$\hspace{0.5cm}\left(f - g\right)\left(x\right)=f\left(x\right) - g\left(x\right)=\left(x+1\right)-\left(2 x - 3\right)=x+1 -2 x+3= -x+4$
$\therefore \ \ \left(f-g\right)\left(x\right)=-x+4$
$ \begin{aligned} \left(\dfrac{f}{g}\right)\left(x\right) & =\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}, g\left(x\right) \neq 0, x \in \mathbf{R} \\ \\ \therefore \ \ \left(\dfrac{f}{g}\right)\left(x\right) & =\dfrac{x+1}{2 x-3}, 2 x-3 \neq 0 \text{ या } 2 x \neq 3 \\ \\ \therefore \ \ \left(\dfrac{f}{g}\right)\left(x\right) & =\dfrac{x+1}{2 x-3}, x \neq \dfrac{3}{2} \end{aligned} $
8. मान लीजिए $f=\lbrace \left(1,1\right),\left(2,3\right),\left(0,-1\right),\left(-1,-3\right) \rbrace $ एक फलन है $\mathbf{Z}$ से $\mathbf{Z}$ जो $f\left(x\right)=a x+b$ द्वारा परिभाषित है, जहाँ कुछ पूर्णांक $a, b$ हैं। $a, b$ ज्ञात कीजिए।
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Answer :
$\hspace{0.5cm} f=\lbrace \left(1,1\right),\left(2,3\right),\left(0,-1\right),\left(-1,-3\right) \rbrace $
$f\left(x\right)=a x+b$
$\hspace{0.5cm}\left(1,1\right) \in f$
$\Rightarrow f\left(1\right)=1$
$\Rightarrow a \times 1+b=1$
$\Rightarrow a+b=1$
$\hspace{0.5cm}\left(0,-1\right) \in f$
$\Rightarrow f\left(0\right)=-1$
$\Rightarrow a \times 0+b=-1$
$\Rightarrow b=-1$
$ b=-1 $ को $ a+b=1 $ में समावेश करने पर,
हम प्राप्त करते हैं $ a+\left(-1\right)=1 \Rightarrow a=1+1=2 $
इस प्रकार, $ a $ और $ b $ के संगत मान $ 2 $ और $ -1 $ हैं।
9. मान लीजिए $ R $, $ \mathbf{N} $ से $ \mathbf{N} $ में एक संबंध है जो $ R=\lbrace \left(a, b\right): a, b \in \mathbf{N}.$ और $ a=b^{2} \rbrace $ द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित कथन सत्य हैं?
(i) $ \left(a, a\right) \in R $, सभी $ a \in \mathbf{N} $ के लिए
(ii) $ \left(a, b\right) \in R $, तो $ \left(b, a\right) \in R $ अर्थात् यह निर्वाचक है
(iii) $ \left(a, b\right) \in R,\left(b, c\right) \in R $ तो $ \left(a, c\right) \in R $ अर्थात् यह संक्रमण है
प्रत्येक स्थिति में अपने उत्तर की व्याख्या करें।
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Answer:
$ R=\lbrace \left(a, b\right): a, b \in \mathbf{N}.$ और $ a=b^{2} \rbrace $
(i) यह देखा जा सकता है कि $ 2 \in \mathbf{N} $; हालांकि, $ 2 \neq 2^{2}=4 $
इसलिए, कथन " $ \left(a, a\right) \in R $, सभी $ a \in \mathbf{N} $ के लिए " सत्य नहीं है।
(ii) यह देखा जा सकता है कि $ \left(9,3\right) \in \mathbf{N} $ क्योंकि $ 9,3 \in \mathbf{N} $ और $ 9=3^{2} $
अब, $ 3 \neq 9^{2}=81 $; इसलिए, $ \left(3,9\right) \in N $
इसलिए, कथन " $ \left(a, b\right) \in R $, तो $ \left(b, a\right) \in R $" सत्य नहीं है।
(iii) यह देखा जा सकता है कि $ \left(16,4\right) \in R,\left(4,2\right) \in R $ क्योंकि $ 16,4,2 \in \mathbf{N} $ और $ 16=4^{2} $ और $ 4=2^{2} $
अब, $ 16 \neq 2^{2}=4 $; इसलिए, $ \left(16,2\right) \in N $
इसलिए, कथन " $ \left(a, b\right) \in R,\left(b, c\right) \in R $ तो $ \left(a, c\right) \in R $" सत्य नहीं है।
10. मान लीजिए $ A=\lbrace 1,2,3,4 \rbrace , B=\lbrace 1,5,9,11,15,16 \rbrace $ और $ f=\lbrace \left(1,5\right),\left(2,9\right),\left(3,1\right),\left(4,5\right),\left(2,11\right) \rbrace $ निम्नलिखित कथन सत्य हैं?
(i) $ f $, $ A $ से $ B $ में एक संबंध है
(ii) $ f $, $ A $ से $ B $ में एक फ़ंक्शन है
केस में अपना उत्तर स्पष्ट करें।
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उत्तर :
$A=\lbrace 1,2,3,4\rbrace$ और $B=\lbrace 1,5,9,11,15,16\rbrace$
$\therefore \ \ A \times B=\left\lbrace \begin{matrix}\left(1,1\right),\left(1,5\right),\left(1,9\right),\left(1,11\right),\left(1,15\right),\left(1,16\right),\left(2,1\right),\left(2,5\right),\left(2,9\right), \left(2,11\right),\left(2,15\right), \left(2,16\right), \\ \left(3,1\right),\left(3,5\right),\left(3,9\right),\left(3,11\right),\left(3,15\right),\left(3,16\right),\left(4,1\right),\left(4,5\right),\left(4,9\right),\left(4,11\right),\left(4,15\right),\left(4,16\right)\end{matrix}\right\rbrace$
दिया गया है कि $f=\lbrace \left(1,5\right),\left(2,9\right),\left(3,1\right),\left(4,5\right),\left(2,11\right)\rbrace$
(i) एक गैर-खाली समुच्चय $A$ से एक गैर-खाली समुच्चय $B$ के लिए संबंध $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है।
यह देखा जा सकता है कि f $A \times B$ का एक उपसमुच्चय है।
इसलिए, f $A$ से $B$ के लिए एक संबंध है।
(ii) क्योंकि एक ही पहला तत्व अर्थात $2$ दो अलग-अलग प्रतिबिम्बों अर्थात $9$ और $11$ के संगत है, संबंध $f$ एक फ़ंक्शन नहीं है।
11. मान लीजिए $f$ एक समुच्चय $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ का उपसमुच्चय है जो $f=\lbrace \left(a b, a+b\right): a, b \in \mathbf{Z} \rbrace $ द्वारा परिभाषित है। $f$ $\mathbf{Z}$ से $\mathbf{Z}$ के लिए एक फ़ंक्शन है या नहीं? अपना उत्तर स्पष्ट करें।
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उत्तर :
संबंध f को $f=\lbrace \left(a b, a+b\right): a, b \in \mathbf{Z} \rbrace $ द्वारा परिभाषित किया गया है।
हम जानते हैं कि एक समुच्चय $A$ से एक समुच्चय $B$ के लिए संबंध एक फ़ंक्शन होता है यदि समुच्चय $A$ के प्रत्येक तत्व के समुच्चय $B$ में अद्वितीय प्रतिबिम्ब होते हैं।
क्योंकि $\lbrace 2, 6, -2, -6 \rbrace \in \mathbf{Z},\left(2 \times 6,2+6\right),\left(-2 \times-6,-2+\left(-6\right)\right) \in f$
अर्थात $\left(12,8\right),\left(12,-8\right) \in f$
देखा जा सकता है कि एक ही पहला तत्व अर्थात $12$ दो अलग-अलग प्रतिबिम्बों अर्थात $8$ और $-8$ के संगत है। इसलिए, संबंध f एक फ़ंक्शन नहीं है।
12. मान लीजिए $A=\lbrace 9,10,11,12,13 \rbrace $ और मान लीजिए $f: A \rightarrow \mathbf{N}$ इस प्रकार परिभाषित है $f\left(n\right)=$ $n$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड है। $f$ के परिसर को ज्ञात कीजिए।
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उत्तर :
$A=\lbrace 9,10,11,12,13 \rbrace $
$f: A \to N$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f\left(n\right)=$ $n$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड
$9$ के अभाज्य गुणनखंड $=3$
$10$ के अभाज्य गुणनखंड $=2,5$
$11$ के अभाज्य गुणनखंड $=11$
$12$ के अभाज्य गुणनखंड $=2,3$
$13$ के अभाज्य गुणनखंड $=13$
$\therefore \ \ f\left(9\right)=$ $9$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $=3$
$\quad f\left(10\right)=$ $10$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $=5$
$\quad f\left(11\right)=$ $11$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $=11$
$\quad f\left(12\right)=$ $12$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $=3$
$\quad f\left(13\right)=$ $13$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $=13$
f के परिसर में सभी $f\left(n\right)$ के समुच्चय होता है, जहाँ $n \in A$
$\therefore \ \ $ $f$ का परिसर $= \lbrace 3,5,11,13 \rbrace $
बीटा
