उत्तर :

(i) $\{(2,1),(5,1),(8,1),(11,1),(14,1),(17,1)\}$

क्योंकि $2,5,8,11,14$, और $17$ दिए गए संबंध के प्रांत के तत्व हैं जिनके अद्वितीय प्रतिबिम्ब हैं, इस संबंध को फलन कहा जा सकता है।

यहाँ, प्रांत $=\{2,5,8,11,14,17\}$ और परिसर $=\{1\}$

(ii) $\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5),(12,6),(14,7)\}$

क्योंकि $2,4,6,8,10,12$, और $14$ दिए गए संबंध के प्रांत के तत्व हैं जिनके अद्वितीय प्रतिबिम्ब हैं, इस संबंध को फलन कहा जा सकता है।

यहाँ, प्रांत $=\{2,4,6,8,10,12,14\}$ और परिसर $=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

(iii) $\{(1,3),(1,5),(2,5)\}$

क्योंकि एक ही पहला तत्व अर्थात $1$ दो अलग-अलग प्रतिबिम्ब अर्थात $3$ और $5$ के संगत है, इस संबंध को फलन नहीं कहा जा सकता है।

उत्तर :

(i) $f(x)=-|x|, x \in R$

हम जानते हैं कि $|x|=\begin{cases} x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end{cases} $

$\therefore \ \ f(x)=-|x|=\begin{cases} -x, x \geq 0 \\ x, x<0 \end{cases} $

क्योंकि $f(x)$ के लिए $x \in \mathbf{R}$ पर परिभाषित है, इसलिए f का प्रांत $\mathbf{R}$ है।

यह देखा जा सकता है कि $f(x)=-|x|$ के परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो धनात्मक वास्तविक संख्याओं को छोड़कर।

$\therefore \ \ $ f का परिसर $(- \infty, 0]$ है।

(ii) $f(x)=\sqrt{9-x^{2}}$

क्योंकि $\sqrt{9-x^{2}}$ केवल वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है जो $3$ के बराबर या उससे अधिक नहीं और $3$ के बराबर या उससे कम है, इसलिए $f(x)$ का प्रांत $\{x : -3 x \leq 3\}$ या $[- 3,3 ]$ है।

किसी भी $x$ के मान के लिए जहाँ $-3 \leq x \leq 3$, $f(x)$ का मान $0$ और $3$ के बीच होगा

$\therefore \ \ $ $f(x)$ के परिसर $\{x: 0 \leq x \leq 3\}$ या $[0,3]$ है

Answer :

दिया गया फ़ंक्शन $f(x)=2 x-5$ है

इसलिए,

(i) $f(0)=2 \times 0-5=0-5=-5$

(ii) $f(7)=2 \times 7-5=14-5=9$

(iii) $f(-3)=2 \times(-3)-5=-6-5=-11$

Answer :

दिया गया फ़ंक्शन है $ t(C)=\dfrac{9 C}{5}+32 $

इसलिए,

(i) $ t(0)=\dfrac{9 \times 0}{5}+32=0+32=32 $

(ii) $ t(28)=\dfrac{9 \times 28}{5}+32=\dfrac{252+160}{5}=\dfrac{412}{5}$

(iii) $t(-10)=\dfrac{9 \times(-10)}{5}+32=9 \times(-2)+32=-18+32=14$

(iv) यह दिया गया है कि $t(C)=212$

$\therefore \ \ 212=\dfrac{9 C}{5}+32$

$\Rightarrow \dfrac{9 C}{5}=212-32$

$\Rightarrow \dfrac{9 C}{5}=180$

$\Rightarrow 9 C=180 \times 5$

$\Rightarrow C=\dfrac{180 \times 5}{9}=100$

इसलिए, जब $t(C)=212$ होता है, तब $t$ का मान $100$ है

Answer :

(i) $f(x)=2 - 3 x, x \in \mathbf{R}, x>0$

वास्तविक संख्याओं $x>0$ के विभिन्न मानों के लिए $f(x)$ के मान निम्नलिखित सारणी के रूप में लिखे जा सकते हैं

इस प्रकार, स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है कि f के परिसर वह समुच्चय है जिसमें सभी वास्तविक संख्याएँ 2 से कम होती हैं।

अर्थात, $f=(- \infty, 2)$

अल्टर:

मान लीजिए $x>0$

$\Rightarrow 3 x>0$

$\Rightarrow 2 - 3 x<2$

$\Rightarrow f(x)<2$

$\therefore \ \ $ $f=(- \infty, 2)$

(ii) $f(x)=x^{2}+2, x$, एक वास्तविक संख्या है

विभिन्न वास्तविक संख्याओं $x$ के मानों के लिए $f(x)$ के मान निम्नलिखित सारणी के रूप में लिखे जा सकते हैं:

इस प्रकार, स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है कि f के परिसर वह समुच्चय है जिसमें सभी वास्तविक संख्याएँ 2 से अधिक होती हैं।

अर्थात, $f=[2, \infty)$

अल्टर:

मान लीजिए $x$ कोई भी वास्तविक संख्या है।

इसलिए,

$x^{2} \geq 0$

$\Rightarrow x^{2}+2 \geq 0+2$

$\Rightarrow x^{2}+2 \geq 2$

$\Rightarrow f(x) \geq 2$

$\therefore \ \ $ $f=[2, \infty)$

(iii) $f(x)=x, x$ एक वास्तविक संख्या है

स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है कि f के परिसर वह समुच्चय है जिसमें सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

$\therefore \ \ $ $f=\mathbf{R}$