अध्याय 2 संबंध एवं फलन अभ्यास 2.2
अभ्यास 2.2
1. मान लीजिए $A=\{1,2,3, \ldots, 14\}$. एक संबंध $R$ को $A$ से $A$ पर परिभाषित करें जो $R=\{(x, y): 3 x-y=0$, जहाँ $x, y \in A\}$ द्वारा दिया गया है। इसके डोमेन, कोडोमेन एवं रेंज लिखिए।
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उत्तर :
संबंध $R$ को $A$ से $A$ पर दिया गया है
$ R=\left\{(x, y): \ \ 3^x-y=0 ; \ \ x, y \in A\right\} $
अर्थात, $ \ R=\{(x, y): \ \ 3 x=y ; \ \ x, y \in A\}$
$ \therefore \ \ R=\{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)\} $
संबंध $R$ के डोमेन उस संबंध के क्रमित युग्मों के सभी पहले तत्वों का समुच्चय है
$\therefore \ \ $ डोमेन आf $R=\{1,2,3,4\}$
संबंध $R$ का पूरा समुच्चय $A$ इसका कोडोमेन है
$\therefore \ \ $ कोडोमेन आf $\mathrm{R}=\mathrm{A}=\{1,2,3, \ldots ., 14\}$
संबंध $R$ के रेंज उस संबंध के क्रमित युग्मों के सभी दूसरे तत्वों का समुच्चय है।
$\therefore \ \ $ रेंज आf $R=\{3,6,9,12\}$
2. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $\mathbf{N}$ पर एक संबंध $R$ को $R=\{(x, y): y=x+5$, $x$ एक प्राकृत संख्या है जो $4$ से कम है; $x, y \in \mathbf{N}\}$ द्वारा परिभाषित करें। इस संबंध को रोस्टर रूप में दर्शाइए। डोमेन एवं रेंज लिखिए।
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उत्तर :
$ R= \{(x, y): y=x+5, x$ एक प्राकृत संख्या है जो $ 4$ से कम है, $x, y \in \mathbf{N} \}$
$4$ से कम प्राकृत संख्याएँ $1,2 ,$ और $3$ हैं।
$\therefore \ \ R=\{(1,6),(2,7),(3,8)\}$
संबंध $R$ के डोमेन उस संबंध के क्रमित युग्मों के सभी पहले तत्वों का समुच्चय है।
$\therefore \ \ $ डोमेन आf $R=\{1,2,3\}$
संबंध $R$ के रेंज उस संबंध के क्रमित युग्मों के सभी दूसरे तत्वों का समुच्चय है।
$\therefore \ \ $ रेंज आf $R=\{6,7,8\}$
अभ्यास 2.2
1. मान लीजिए $A=\{1,2,3, \ldots, 14\}$. एक संबंध $R$ को $A$ से $A$ पर परिभाषित करें जो $R=\{(x, y): 3 x-y=0$, जहाँ $x, y \in A\}$ द्वारा दिया गया है। इसके डोमेन, कोडोमेन एवं रेंज लिखिए।
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उत्तर :
संबंध $R$ को $A$ से $A$ पर दिया गया है
$ R=\left\{(x, y): \ \ 3^x-y=0 ; \ \ x, y \in A\right\} $
अर्थात, $ \ R=\{(x, y): \ \ 3 x=y ; \ \ x, y \in A\}$
$ \therefore \ \ R=\{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)\} $
संबंध $R$ के डोमेन उस संबंध के क्रमित युग्मों के सभी पहले तत्वों का समुच्चय है
$\therefore \ \ $ डोमेन आf $R=\{1,2,3,4\}$
संबंध $R$ का पूरा समुच्चय $A$ इसका कोडोमेन है
$\therefore \ \ $ कोडोमेन आf $\mathrm{R}=\mathrm{A}=\{1,2,3, \ldots ., 14\}$
संबंध $R$ के रेंज उस संबंध के क्रमित युग्मों के सभी दूसरे तत्वों का समुच्चय है।
$\therefore \ \ $ रेंज आf $R=\{3,6,9,12\}$
2. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $\mathbf{N}$ पर एक संबंध $R$ को $R=\{(x, y): y=x+5$, $x$ एक प्राकृत संख्या है जो $4$ से कम है; $x, y \in \mathbf{N}\}$ द्वारा परिभाषित करें। इस संबंध को रोस्टर रूप में दर्शाइए। डोमेन एवं रेंज लिखिए।
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उत्तर :
$ R= \{(x, y): y=x+5, x$ एक प्राकृत संख्या है जो $ 4$ से कम है, $x, y \in \mathbf{N} \}$
$4$ से कम प्राकृत संख्याएँ $1,2 ,$ और $3$ हैं।
$\therefore \ \ R=\{(1,6),(2,7),(3,8)\}$
संबंध $R$ के डोमेन उस संबंध के क्रमित युग्मों के सभी पहले तत्वों का समुच्चय है।
$\therefore \ \ $ डोमेन आf $R=\{1,2,3\}$
संबंध $R$ के रेंज उस संबंध के क्रमित युग्मों के सभी दूसरे तत्वों का समुच्चय है।
$\therefore \ \ $ रेंज आf $R=\{6,7,8\}$
3. $A=\{1,2,3,5\}$ और $B=\{4,6,9\}$. एक संबंध $R$ को $A$ से $B$ पर परिभाषित करें जो $R=\{(x, y)$ : $x$ और $y$ के बीच अंतर विषम है; $x \in A, y \in B\}$. संबंध $R$ को रोस्टर रूप में लिखिए।
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उत्तर :
$A=\{1,2,3,5\}$ और $B=\{4,6,9\}$
$R=\{(x, y)$ : $x$ और $y$ के बीच अंतर विषम है; $x \in A, y \in B\}$
$\therefore \ \ R=\{(1,4),(1,6),(2,9),(3,4),(3,6),(5,4),(5,6)\}$
4. आकृति $2.7$ में समुच्चय $P$ और $Q$ के बीच संबंध दिखाया गया है। इस संबंध को लिखिए
(i) समुच्चय-निर्माण रूप में
(ii) रोस्टर रूप में। इसका डोमेन और परिसर क्या है?
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Answer :
दिए गए चित्र के अनुसार, $P=\{5,6,7\}, Q=\{3,4,5\}$
(i) $R=\{(x, y): y=x-2 ; x \in P\}$ या $R=\{(x, y): y=x-2$ जबकि $x=5,6,7\}$
(ii) $R=\{(5,3),(6,4),(7,5)\}$
$R$ का डोमेन $=\{5,6,7\}$
$R$ का परिसर $=\{3,4,5\}$
5. मान लीजिए $A=\{1,2,3,4,6\}$ और $R$ एक संबंध है जो $A$ पर परिभाषित है जो $\{(a, b): a, b \in A, b$ बराबर $a$ से विभाज्य है $\}$ है।
(i) $R$ को रोस्टर रूप में लिखिए
(ii) $R$ का डोमेन ज्ञात कीजिए
(iii) $R$ का परिसर ज्ञात कीजिए
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Answer :
$A=\{1,2,3,4,6\}, R=\{(a, b): a, b \in A, b$ बराबर $a$ से विभाज्य है $\}$
(i) $R=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(6,6)\}$
(ii) $R$ का डोमेन $=\{1,2,3,4,6\}$
(iii) $R$ का परिसर $=\{1,2,3,4,6\}$
6. संबंध $R$ के डोमेन और परिसर ज्ञात कीजिए जो $R=\{(x, x+5): x \in\{0,1,2,3,4,5\}\}$ द्वारा परिभाषित है।
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Answer :
$R=\{(x, x+5): x \in\{0,1,2,3,4,5\}\}$
$\therefore \ \ R=\{(0,5),(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10)\}$
$\therefore \ \ $ $R$ का डोमेन $=\{0,1,2,3,4,5\}$
$R$ का परिसर $=\{5,6,7,8,9,10\}$
7. संबंध $R=\{(x, x^{3}): x$ 10 से कम एक अभाज्य संख्या है $\}$ को लिस्ट रूप में लिखिए।
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Answer :
$R=\{(x, x^{3}): x$ 10 से कम एक अभाज्य संख्या है $\}$
10 से कम अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5,$ और $7$ हैं।
$\therefore \ \ R=\{(2,8),(3,27),(5,125),(7,343) \}$
8. मान लीजिए $A=\{x, y, z\}$ और $B=\{1,2\}$. $A$ से $B$ में संबंधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
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Answer :
दिया गया है $A=\{x, y, z\}$ और $B=\{1,2\}$
$\therefore \ \ A \times B=\{(x, 1),(x, 2),(y, 1),(y, 2),(z, 1),(z, 2)\}$
क्योंकि $n(A \times B)=6$, $A \times B$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^{6}$ है
इसलिए, $A$ से $B$ में संबंधों की संख्या $2^{6}$ है
9. मान लीजिए $R$ पूर्णांकों $\mathbf{Z}$ पर एक संबंध है जो $R=\{(a, b): a, b \in \mathbf{Z}, a-b$ एक पूर्णांक है $\}$ द्वारा परिभाषित है। $R$ के डोमेन और रेंज ज्ञात कीजिए।
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Answer :
$R=\{(a, b): a, b \in \mathbf{Z}, a-b$ एक पूर्णांक है $\}$
यह ज्ञात है कि किसी भी दो पूर्णांकों के बीच अंतर हमेशा एक पूर्णांक होता है।
$\therefore \ \ $ $R$ का डोमेन $Z$ है
$R$ का रेंज $Z$ है
बीटा
