उत्तर :

दिया गया है कि $\left(\dfrac{x}{3}+1, y-\dfrac{2}{3}\right)=\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{1}{3}\right)$

क्योंकि क्रमित युग्म बराबर हैं, इसलिए संगत अवयव भी बराबर होंगे।

इसलिए, $\dfrac{x}{3}+1=\dfrac{5}{3}$ और $y-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$।

$\Rightarrow \ \dfrac{x}{3}+1=\dfrac{5}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{3}=\dfrac{5}{3}-1 $ $ \ \Rightarrow y-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{3}=\dfrac{2}{3} \quad \Rightarrow \ y=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow x=2 \ \quad \Rightarrow \ y=1$

$\therefore \ \ x=2$ और $y=1$

उत्तर :

दिया गया है कि समुच्चय $A$ में 3 अवयव हैं और समुच्चय $B$ के अवयव 3, 4 और 5 हैं।

समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या = 3

समुच्चय $\left(A \times B\right)$ में अवयवों की संख्या $=($ समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या) \times ($ समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या)

$\hspace{4.4cm}=3 \times 3=9$

इसलिए, समुच्चय $\left(A \times B\right)$ में अवयवों की संख्या 9 है।

उत्तर :

$G=\{7,8\}$ और $H=\{5,4,2\}$

हम जानते हैं कि दो गैर-खाली समुच्चय $P$ और $Q$ के कार्तीय गुणन $P \times Q$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$\quad \ P \times Q=\{\left(p, q\right): p \in P, q \in Q\}$

$\therefore \ G \times H=\{\left(7,5\right),\left(7,4\right),\left(7,2\right),\left(8,5\right),\left(8,4\right),\left(8,2\right)\}$

$\quad H \times G=\{\left(5,7\right),\left(5,8\right),\left(4,7\right),\left(4,8\right),\left(2,7\right),\left(2,8\right)\}$

उत्तर :

$(i)$ दिया गया है $P=\{m, n\}$ और $Q=\{n, m\}$ तो

$ \qquad \mathrm{P} \times \mathrm{Q}=\{(\mathrm{m}, \mathrm{n}),(\mathrm{m}, \mathrm{~m}),(\mathrm{n}, \mathrm{n}),(\mathrm{n}, \mathrm{~m})\} $

इसलिए, $P \times Q$ के दिए गए मान का असत्य है।

अतः, दिए गए कथन $(i)$ असत्य है।

(ii) यदि $A$ और $B$ गैर-खाली समुच्चय हैं, तो $A \times B$ एक गैर-खाली क्रमित युग्मों ( $x, y$ ) का समुच्चय है जैसे कि $x \in A$ और $y \in B$

अतः, दिए गए कथन $(ii)$ सत्य है।

(iii) $A=\{1,2\}$ और $B=\{3,4\}$

$\qquad A \times(B \cap \phi)=A \times \phi=\phi$

इसलिए, $(iii)$ सत्य है।

उत्तर :

यह ज्ञात है कि किसी भी गैर-खाली समुच्चय $A$ के लिए, $A \times A \times A$ को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया जाता है

$\begin{aligned} &A=\{-1,1\}\\ &A \times A=\{-1,1\} \times\{-1,1\}=\{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)\}\\ &\Rightarrow A \times A \times A=\{-1,1\} \times\{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)\} \end{aligned}$

$\therefore ~ A \times A \times A=\{\left(-1,-1,-1\right),\left(-1,-1,1\right),\left(-1,1,-1\right),\left(-1,1,1\right), \left(1,-1,-1\right),\left(1,-1,1\right),\left(1,1,-1\right),\left(1,1,1\right)\}$

उत्तर :

दिया गया है $A \times B=\{\left(a, x\right),\left(a, y\right),\left(b, x\right),\left(b, y\right)\}$

हम जानते हैं कि दो गैर-खाली समुच्चय $P$ और $Q$ के कार्तीय गुणनफल को $P \times Q=\{\left(p, q\right): p \in P, q \in Q\}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है

$\therefore \ A$ सभी पहले तत्वों का समुच्चय है और $B$ सभी दूसरे तत्वों का समुच्चय है।

इसलिए, $A=\{a, b\}$ और $B=\{x, y\}$

Answer :

(i) प्रमाणित करें: $A \times\left(B \cap C\right)=\left(A \times B\right) \cap\left(A \times C\right)$

हम जानते हैं $B \cap C=\{1,2,3,4\} \cap\{5,6\}=\Phi$

$\therefore \ \ \text{L.H.S.} \ =A \times\left(B \cap C\right)=A \times \Phi=\Phi$

$A \times B=\{\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(2,1\right),\left(2,2\right),\left(2,3\right),\left(2,4\right)\}$

$A \times C=\{\left(1,5\right),\left(1,6\right),\left(2,5\right),\left(2,6\right)\}$

$\therefore \ \ \text{R.H.S.} \ \ =\left(A \times B\right) \cap\left(A \times C\right)=\Phi$

$\therefore \ \ \mathrm{L.H.S. = R.H.S.}$

इसलिए, $A \times\left(B \cap C\right)=\left(A \times B\right) \cap\left(A \times C\right)$

(ii): प्रमाणित करें: $A \times C$ $B \times D$ का एक उपसमुच्चय है

$A \times C=\{\left(1,5\right),\left(1,6\right),\left(2,5\right),\left(2,6\right)\}$

$B \times D=\{\left(1,5\right),\left(1,6\right),\left(1,7\right),\left(1,8\right),\left(2,5\right),\left(2,6\right),\left(2,7\right),\left(2,8\right),\left(3,5\right),\left(3,6\right),\left(3,7\right),\left(3,8\right),\left(4,5\right),\left(4,6\right),\left(4,7\right),\left(4,8\right)\}$

हम देख सकते हैं कि समुच्चय $A \times C$ के सभी तत्व $B \times D$ के तत्व हैं

इसलिए, $A \times C$ $B \times D$ का एक उपसमुच्चय है।

उत्तर :

दिया गया है, $\mathrm{A}=\{1,2\}$ और $\mathrm{B}=\{3,4\}$

अब,

$ A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} $

क्योंकि $A \times B$ में 4 तत्व हैं, इसलिए $A \times B$ के उपसमुच्चुकों की संख्या $2^4=16$ है।

इसलिए, समुच्चुक $A \times B$ के $2^{4}=16$ उपसमुच्चुक हैं। ये निम्नलिखित हैं

$\Phi,\{\left(1,3\right)\},\{\left(1,4\right)\},\{\left(2,3\right)\},\{\left(2,4\right)\},\{\left(1,3\right),\left(1,4\right)\},\{\left(1,3\right),\left(2,3\right)\}$,

$\{\left(1,3\right),\left(2,4\right)\},\{\left(1,4\right),\left(2,3\right)\},\{\left(1,4\right),\left(2,4\right)\},\{\left(2,3\right),\left(2,4\right)\}$,

$\{\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(2,3\right)\},\{\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(2,4\right)\},\{\left(1,3\right),\left(2,3\right),\left(2,4\right)\}$,

$\{\left(1,4\right),\left(2,3\right),\left(2,4\right)\},\{\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(2,3\right),\left(2,4\right)\}$

उत्तर :

दिया गया है कि $n(A)=3$ और $n(B)=2$ और $\{(x, 1),(y, 2),(z, 1)\}$ $A \times B$ में हैं

हम जानते हैं कि $A=$ क्रमित युग्म के पहले तत्वों का समुच्चुक $A \times B$ के तत्वों के समुच्चुक

$B=$ क्रमित युग्म के दूसरे तत्वों का समुच्चुक $A \times B$ के तत्वों के समुच्चुक

$\therefore \ \ \mathrm{x}, \mathrm{y}$ और $z$ $A$ के तत्व हैं और $1$ और $2$ $B$ के तत्व हैं

क्योंकि $n(A)=3$ और $n(B)=2$

स्पष्ट रूप से $A=\{x, y, z\}$ और $B=\{1,2\}$

उत्तर :

$ \mathrm{n}(\mathrm{~A} \times \mathrm{A})=9 `

$

Set $A=\{-1,0,1\}$ Since $(-1,0)$ and $(0,1)$ are elements in $A \times A$ Remaining elements

$ \qquad \ \ =\{(-1,-1),(-1,1),(0,-1),(0,0),(1,-1),(1,0),(1,1)\} $