उत्तर :

कुल गेंदों की संख्या $=10+20+30=60$

$60$ गेंदों में से $5$ गेंद निकालने के तरीके $={ }^{60} C_5$

(i): यदि हम $20$ नीली गेंदों में से $5$ गेंद निकालते हैं तो सभी नीली गेंद होंगी।

$20$ नीली गेंदों में से $5$ गेंद निकालने के तरीके $={ }^{20} C_5$ हैं।

$\therefore \ \ $ सभी गेंद नीली होने की प्रायिकता $ =\dfrac{{ }^{20} C_5}{{ }^{60} C_5} $

(ii): निकाली गई गेंद ग्रीन नहीं होंगी इसके तरीके $={ }^{(20+10)} C_5={ }^{30} C_5$

$\therefore \ \ $ कोई भी गेंद ग्रीन नहीं होने की प्रायिकता $=\dfrac{{ }^{30} C_5}{{ }^{60} C_5}$

$\therefore \ \ $ कम से कम एक गेंद ग्रीन होने की प्रायिकता $ =1-\dfrac{{ }^{30} C_5}{{ }^{60} C_5} $

उत्तर :

$52$ कार्ड में से $4$ कार्ड निकालने के तरीके $={ }^{52} C_4$

$52$ कार्ड के डेक में $13$ डायमंड और $13$ स्पेड होते हैं।

$\therefore \ \ $ $3$ डायमंड और एक स्पेड निकालने के तरीके $={ }^{13} C_3 \times{ }^{13} C_1$

इसलिए, $3$ डायमंड और एक स्पेड प्राप्त करने की प्रायिकता $ =\dfrac{{ }^{13} C_3 \times{ }^{13} C_1}{{ }^{52} C_4} $

उत्तर :

कुल फलकों की संख्या $=6$

(i): संख्या 2 के साथ फेस $=3$

$\therefore \ \ P(2)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

(ii): $P(1$ या 3 $)=P($ नहीं 2 $)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

(iii): संख्या 3 के साथ फेस $=1$

$\therefore \ \ P(3)=\dfrac{1}{6}$

इसलिए, $P(not 3)=1-P(3)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$

Answer :

बेचे गए टिकट की कुल संख्या $=10,000$

पुरस्कार दिए गए $=10$

(i): यदि हम एक टिकट खरीदते हैं, तो

$P($ पुरस्कार लेना $)=\dfrac{10}{10000}=\dfrac{1}{1000}$

$\therefore \ \ P($ पुरस्कार नहीं लेना $)=1-\dfrac{1}{1000}=\dfrac{999}{1000}$

(ii): यदि हम दो टिकट खरीदते हैं, तो

निश्चित नहीं दिए गए टिकट की संख्या $=10,000-10=9990$

$P($ पुरस्कार नहीं लेना $)$ $ \dfrac{{ }^{9990} C_2}{{ }^{10000} C_2} $

(iii): यदि हम $10$ टिकट खरीदते हैं, तो

$P($ पुरस्कार नहीं लेना $)$ $ \dfrac{{ }^{9990} C _{10}}{{ }^{100000} C _{10}} $

Answer :

मेरे दोस्त और मैं 100 छात्रों में से हैं।

100 छात्रों में से 2 छात्रों के चयन के कुल तरीके $={ }^{100} C_2$

उत्तर :

मान लीजिए $L_1, L_2, L_3$ तीन अक्षर हैं और $E_1, E_2$, और $E_3$ उनके संगत विषय हैं।

तीन अक्षरों को तीन विषयों में डालने के 6 तरीके हैं। ये निम्नलिखित हैं:

$ \begin{aligned} & L_1 E_1, L_2 E_3, L_3 E_2 \\ & L_2 E_2, L_1 E_3, L_3 E_1 \\ & L_3 E_3, L_1 E_2, L_2 E_1 \\ & L_1 E_1, L_2 E_2, L_3 E_3 \\ & L_1 E_2, L_2 E_3, L_3 E_1 \\ & L_1 E_3, L_2 E_1, L_3 E_2 \end{aligned} $

कम से कम एक अक्षर के सही विषय में डाले जाने के 4 तरीके हैं।

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.

उत्तर :

दिया गया है $P(A)=0.54, P(B)=0.69, P(A \cap B)=0.35$

(i): हम जानते हैं कि $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$\therefore \ \ P(A \cup B)=0.54+0.69-0.35=0.88$

(ii): $A^{\prime} \cap B^{\prime}=(A \cup B)^{\prime}$ [डी मॉर्गन के नियम द्वारा]

$\therefore \ \ P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=P(A \cup B)^{\prime}=1-P(A \cup B)=1-0.88=0.12$

(iii): $P(A \cap B^{\prime})=P(A)-P(A \cap B)$ $=0.54-0.35$ $=0.19$

(iv): हम जानते हैं कि $n(B \cap A^{\prime})=n(B)-n(A \cap B)$

$\Rightarrow \dfrac{n(B \cap A^{\prime})}{n(S)}=\dfrac{n(B)}{n(S)}-\dfrac{n(A \cap B)}{n(S)}$

$\therefore \ \ P(B \cap A^{\prime})=P(B)-P(A \cap B)$

$\therefore \ \ P(B \cap A^{\prime})=0.69-0.35=0.34$

उत्तर :

मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें संबोधक एक पुरुष होगा और $F$ वह घटना है जिसमें संबोधक 35 वर्ष से अधिक आयु का होगा।

इस प्रकार, $P(E)=\dfrac{3}{5}$ और $P(F)=\dfrac{2}{5}$

केवल एक पुरुष जो 35 वर्ष से अधिक आयु का है, इसलिए

$P(E \cap F)=\dfrac{1}{5}$

हम जानते हैं कि $P(E \cup F)=P(E)+P(F)-P(E \cap F)$

$\therefore \ \ P(E \cup F)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$

इसलिए, इसकी प्रायिकता कि संबोधक एक पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आयु का होगा $\dfrac{4}{5}$ है।

उत्तर :

(i): जब अंक दोहराए जाते हैं

चूंकि 5000 से अधिक 4-अंकीय संख्याएँ बनाई जाती हैं, तो बाएँ से दूसरा अंक 7 या 5 होता है।

शेष 3 स्थान कोई भी अंक 0, 1, 3, 5 या 7 से भरा जा सकता है क्योंकि अंकों का दोहराव अनुमत है।

$\therefore \ \ $ 5000 से अधिक 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या = $2 \times 5 \times 5 \times 5 - 1$ $=250-1=249$

[इस मामले में, 5000 की गणना नहीं की जाती है, इसलिए 1 घटाया जाता है]

एक संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि उसके इकाई के स्थान पर अंक 0 या 5 हो।

$\therefore \ \ $ 5000 से अधिक 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या जो 5 से विभाज्य हों = $2 \times 5 \times 5 \times 2-1=100-1=99$

इसलिए, जब अंक दोहराए जाते हैं तो 5 से विभाज्य संख्या बनाने की प्रायिकता है $ =\dfrac{99}{249}=\dfrac{33}{83} $

(ii): जब अंकों की दोहराई नहीं होती

हजार के स्थान पर 5 या 7 दोनों में से कोई एक अंक रखा जा सकता है।

शेष 3 स्थान बचे हुए 4 अंकों में से कोई भी अंक रखे जा सकते हैं।

$\therefore \ \ $ 5000 से बड़ी 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $=2 \times 4 \times 3 \times 2$ $=48$

जब हजार के स्थान पर अंक 5 हो, तो इकाई के स्थान पर केवल 0 रखा जा सकता है और दहाई और सैकड़ा के स्थान पर बचे हुए 3 अंकों में से कोई दो अंक रखे जा सकते हैं।

$\therefore \ \ $ यहाँ, 5 से शुरू होने वाली 4-अंकीय संख्याओं की संख्या जो 5 से विभाज्य हों $=3 \times 2=6$

जब हजार के स्थान पर अंक 7 हो, तो इकाई के स्थान पर 0 या 5 दोनों में से कोई एक अंक रखा जा सकता है और दहाई और सैकड़ा के स्थान पर बचे हुए 3 अंकों में से कोई दो अंक रखे जा सकते हैं।

$\therefore \ \ $ यहाँ, 7 से शुरू होने वाली 4-अंकीय संख्याओं की संख्या जो 5 से विभाज्य हों $=1 \times 2 \times 3 \times 2=12$

$\therefore \ \ $ 5000 से बड़ी 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या जो 5 से विभाज्य हों $=6+12=18$

इसलिए, जब अंकों की दोहराई नहीं होती तो 5 से विभाज्य संख्या बनाने की प्रायिकता है $\dfrac{18}{48}=\dfrac{3}{8}$।

Answer :

नंबर लॉक में 4 व्हील होते हैं, जिनमें से प्रत्येक दस अंकों के साथ लेबल किया गया है, अर्थात 0 से 9 तक।

10 अंकों में से 4 अलग-अलग अंकों के चयन के तरीके $={ }^{10} C_4$

अब, 4 अलग-अलग अंकों के प्रत्येक संयोजन को 4 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

$\therefore \ \ $ अनुक्रम बिना दोहराई के 4 अंकों की संख्या $={ }^{10} C_4 \times\lfloor 4=\dfrac{\lfloor 10}{{\lfloor 4} \ {\lfloor{6}}} \times {\lfloor 4}=\dfrac{\lfloor 10}{\lfloor 6} =7 \times 8 \times 9 \times 10=5040.$

केवल एक संख्या है जो बर्तन को खोल सकती है।

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता $\dfrac{1}{5040}$ है