उत्तर :

यहाँ, $p(\omega_1).$ और $p(\omega_5)$ नकारात्मक हैं।

इसलिए, नियुक्ति अमान्य है।

(e)

यहाँ,

$ p(\omega_7)=\dfrac{15}{14}>1 $

इसलिए, नियुक्ति अमान्य है।

उत्तर :

जब एक सिक्का दो बार उछाला जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष इस प्रकार दिया गया है $S= \lbrace HH, HT, TH, TT \rbrace $

मान लीजिए $A$ कम से कम एक पैसे के घटना को दर्शाता है।

इसलिए, $A= \lbrace HT, TH, TT \rbrace $

$ \quad\therefore \quad P(A)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to } A}{\text{ Total number of possible outcomes }}$

$\qquad \quad \ \qquad=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{3}{4}$

उत्तर :

दिए गए प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$S= \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace $

(i) मान लीजिए $A$ एक अभाज्य संख्या के घटना को दर्शाता है।

इसलिए, $A= \lbrace 2,3,5 \rbrace $

$\therefore \ \ P(A)=\dfrac{\text{ A के अनुकूल नतीजों की संख्या }}{\text{ संभावित सभी नतीजों की संख्या }}=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

(ii) मान लीजिए $B$ एक संख्या के घटना को दर्शाता है जो $3$ से अधिक या बराबर हो। इसलिए, $B= \lbrace 3,4,5,6 \rbrace $

$\therefore \ \ P(B)=\dfrac{\text{ B के अनुकूल नतीजों की संख्या }}{\text{ संभावित सभी नतीजों की संख्या }}=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

(iii) मान लीजिए $C$ एक संख्या के घटना को दर्शाता है जो $1$ से कम या बराबर हो। इसलिए, $C= \lbrace 1 \rbrace $

$\therefore \ \ P(C)=\dfrac{\text{ C के अनुकूल नतीजों की संख्या }}{\text{ संभावित सभी नतीजों की संख्या }}=\dfrac{n(C)}{n(S)}=\dfrac{1}{6}$

(iv) मान लीजिए $D$ एक संख्या के घटना को दर्शाता है जो $6$ से अधिक हो।

इसलिए, $D=I_1^{1}$

$\therefore \ \ P(D)=\dfrac{\text{ D के अनुकूल नतीजों की संख्या }}{\text{ संभावित सभी नतीजों की संख्या }}=\dfrac{n(D)}{n(S)}=\dfrac{0}{6}=0$

(v) मान लीजिए $E$ एक संख्या के घटना को दर्शाता है जो $6$ से कम हो।

इसलिए, $E= \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace $

$\therefore \ \ P(E)=\dfrac{\text{ E के अनुकूल नतीजों की संख्या }}{\text{ संभावित सभी नतीजों की संख्या }}=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{5}{6}$

उत्तर :

उत्तर :

क्योंकि समान सिक्का एक ओर 1 और दूसरी ओर 6 अंकित है, और पासा छह फलकों वाला है जो 1, 2, 3, 4, 5, और 6 अंकित है, तो नमूना अंतरिक्ष निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$S= \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \rbrace $

इसलिए, $n(S)=12$

(i) मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें उन अंकों के योग के योग 3 है।

इसलिए, $A= \lbrace (1,2) \rbrace $

$\therefore \ \ P(A)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to A }}{\text{ Total number of possible outcomes }}=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{1}{12}$

(ii) मान लीजिए $B$ वह घटना है जिसमें उन अंकों के योग के योग 12 है।

इसलिए, $B= \lbrace (6,6) \rbrace $

$\therefore \ \ P(B)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to B }}{\text{ Total number of possible outcomes }}=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{1}{12}$

उत्तर :

शहर के परिषद में चार पुरुष और छह महिलाएं हैं।

एक परिषद सदस्य को यादृच्छिक रूप से एक समिति के लिए चुना जाता है, इसलिए नमूना अंतरिक्ष में $10(4+6)$ तत्व होते हैं।

मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें चुने गए परिषद सदस्य के एक महिला होना है।

इसलिए, $n(A)=6$

$\therefore \ \ P(A)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to } A}{\text{ Total number of possible outcomes }}=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$

उत्तर :

क्योंकि सिक्का चार बार उछाला जाता है, तो अधिकतम 4 शीर्ष या पैसा हो सकते हैं।

जब 4 शीर्ष आते हैं, तो $Rs \ 1+Rs \ 1+Rs \ 1+Rs \ 1=Rs \ 4$ लाभ होता है।

जब 3 शीर्ष और 1 पैसा आते हैं, तो $Rs \ 1+Rs \ 1+Rs \ 1- Rs \ 1.50=Rs \ 3 - Rs \ 1.50=Rs \ 1.50$ लाभ होता है।

जब 2 शीर्ष और 2 पैसा आते हैं, तो $Rs \ 1+Rs \ 1 - Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50= - Rs \ 1, \ i.e., \ Rs \ 1$ का नुकसान होता है।

जब 1 शीर्ष और 3 पैसा आते हैं, तो $Rs \ 1 - Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50=- Rs \ 3.50, \ i.e., \ Rs \ 3.50$ का नुकसान होता है।

जब 4 पैसा आते हैं, तो $- Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50 = - Rs \ 6.00, \ i.e., \ Rs \ 6.00$ का नुकसान होता है।

नमूना अंतरिक्ष $S$ में $2^{4}=16$ तत्व होते हैं, जो निम्नलिखित है:

$S= \lbrace HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTTH, TTHH, HTHT,$

$\qquad THTH, THHT, HTTT, THTT, TTHT, TTTH, TTTT \rbrace $

$\therefore \ \ n(S)=16$

जब 4 शीर्ष आते हैं, तो व्यक्ति $Rs \ 4.00$ जीतता है, अर्थात घटना $ \lbrace HHHH \rbrace $ होती है।

$\therefore \ \ $ प्रायिकता $($ रु 4.00 जीतने की $) =\dfrac{1}{16}$

जब 3 सिर और एक पैसा आए, तो व्यक्ति रु 1.50 जीतता है, अर्थात जब घटना $ \lbrace HHHT, HHTH, HTHH, THHH \rbrace $ हो।

$\therefore \ \ $ प्रायिकता $($ रु 1.50 जीतने की $) =\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$

जब 2 सिर और 2 पैसा आए, तो व्यक्ति रु 1.00 हारता है, अर्थात जब घटना $ \lbrace HHTT, HTTH, TTHH, HTHT, THTH, THHT \rbrace $ हो।

$\therefore \ \ $ प्रायिकता $($ रु 1.00 हारने की $) =\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$

जब 1 सिर और 3 पैसा आए, तो व्यक्ति रु 3.50 हारता है, अर्थात जब घटना $ \lbrace HTTT, THTT, TTHT, TTTH \rbrace $ हो।

प्रायिकता $($ रु 3.50 हारने की $) =\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$

जब 4 पैसा आए, तो व्यक्ति रु 6.00 हारता है, अर्थात जब घटना $ \lbrace TTTT \rbrace $ हो।

प्रायिकता $($ रु 6.00 हारने की $) =\dfrac{1}{16}$

Answer :

जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष इस प्रकार दिया गया है

$S= \lbrace HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \rbrace $

$\therefore \ \ $ अतः, $n(S)=8$

ज्ञात है कि घटना $A$ की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है

$P(A)=\dfrac{\text{ घटना } A \text{ के पक्ष में आउटकम की संख्या }}{\text{ संभावित सभी आउटकम की संख्या }}=\dfrac{n(A)}{n(S)}$

(i) मान लीजिए $B$ घटना है जब 3 सिर आए। अतः, $B= \lbrace HHH \rbrace $

$\therefore \ \ P(B)=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{1}{8}$

(ii) मान लीजिए $C$ घटना है जब 2 सिर आए। अतः, $C= \lbrace HHT, HTH, THH \rbrace $

$\therefore \ \ P(C)=\dfrac{n(C)}{n(S)}=\dfrac{3}{8}$

(iii) मान लीजिए $D$ घटना है जब कम से कम 2 सिर आए।

अतः, $D= \lbrace HHH, HHT, HTH, THH \rbrace $

$\therefore \ \ P(D)=\dfrac{n(D)}{n(S)}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

(iv) मान लीजिए $E$ उन घटनाओं की घटना है जिनमें अधिकतम $2$ सिरे होते हैं।

इसलिए, $E= \lbrace HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \rbrace $

$\therefore \ \ P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{7}{8}$

(v) मान लीजिए $F$ उन घटनाओं की घटना है जिनमें कोई सिरा नहीं होता है।

इसलिए, $F= \lbrace TTT \rbrace $

$\therefore \ \ P(F)=\dfrac{n(F)}{n(S)}=\dfrac{1}{8}$

(vi) मान लीजिए $G$ उन घटनाओं की घटना है जिनमें $3$ पैंट होते हैं।

इसलिए, $G= \lbrace TTT \rbrace $

$\therefore \ \ P(G)=\dfrac{n(G)}{n(S)}=\dfrac{1}{8}$

(vii) मान लीजिए $H$ उन घटनाओं की घटना है जिनमें ठीक $2$ पैंट होते हैं।

इसलिए, $H= \lbrace HTT, THT, TTH \rbrace $

$\therefore \ \ P(H)=\dfrac{n(H)}{n(S)}=\dfrac{3}{8}$

(viii) मान लीजिए I उन घटनाओं की घटना है जिनमें कोई पैंट नहीं होता है।

इसलिए, $I= \lbrace HHH \rbrace $

$\therefore \ \ P(I)=\dfrac{n(I)}{n(S)}=\dfrac{1}{8}$

(ix) मान लीजिए $J$ उन घटनाओं की घटना है जिनमें अधिकतम $2$ पैंट होते हैं।

इसलिए, $I = \lbrace $ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH $ \rbrace $

$\therefore \ \ P(J)=\dfrac{n(J)}{n(S)}=\dfrac{7}{8}$

Answer :

दिया गया है $P(A)=\dfrac{2}{11}$।

इसलिए, $P( A’)=1 - P(A)=1-\dfrac{2}{11}=\dfrac{9}{11}$

Answer :

शब्द ASSASSINATION में $13$ अक्षर हैं।

$\therefore \ \ $ इसलिए, $n(S)=13$

(i) दिए गए शब्द में $6$ अक्षर हैं।

$\therefore \ \ $ अक्षर (अक्षर) की प्रायिकता $=\dfrac{6}{13}$

(ii) दिए गए शब्द में $7$ व्यंजन हैं।

$\therefore \ \ $ अक्षर (व्यंजन) की प्रायिकता $=\dfrac{7}{13}$

उत्तर :

20 से 1 तक के 6 अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीकों की संख्या

$ { }^{20}C_6 = \dfrac{\lfloor{20}}{{\lfloor{6}} \lfloor{20-7} } = \dfrac{\lfloor{20}}{{\lfloor{6}} \lfloor{14} }$

$\qquad=\dfrac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}=38760$

इसलिए, 6 संख्याओं के 38760 संयोजन हैं।

इन संयोजनों में से एक संयोजन लॉटरी समिति द्वारा पहले से ही निर्धारित कर दिया गया है।

$\therefore \ \ $ खेल में विजय की आवश्यक संभावना $=\dfrac{1}{38760}$

उत्तर :

(i) $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0.5, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0.7, \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=0.6$

यह ज्ञात है कि यदि $E$ और $F$ दो घटनाएँ हैं जैसे कि $E \subset F$ तो $P(E) \leq P(F)$ होता है। यहाँ $P(A \cap B)>P(A)$ है

इसलिए $P(A)$ और $P(B)$ सांतुस्थ रूप से परिभाषित नहीं हैं

(ii) $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0.5, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0.4, \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=0.8$

यह ज्ञात है कि यदि $E$ और $F$ दो घटनाएँ हैं जैसे कि $E \subset F$ तो $P(E) \leq P(F)$ होता है। यहाँ देखा जाता है कि $P(A \cup B)>P(A)$ और $P(A \cup B)>P(B)$ है

इसलिए $P(A)$ और $P(B)$ सांतुस्थ रूप से परिभाषित हैं

उत्तर :

(i) यहाँ,

$ P(A)=\dfrac{1}{3}, P(B)=\dfrac{1}{5}, P(A \cap B)=\dfrac{1}{15} $

हम जानते हैं कि $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$\therefore \ \ P(A \cup B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{5+3-1}{15}=\dfrac{7}{15}$

(ii) यहाँ, $P(A)=0.35, P(A \cap B)=0.25, P(A \cup B)=0.6$

हम जानते हैं कि $P(A \cup B)=P(A)+P(B) - P(A \cap B)$

$\therefore \ \ 0.6=0.35+P(B) - 0.25$

$\Rightarrow P(B)=0.6 - 0.35+0.25$

$\Rightarrow P(B)=0.5$

(iii) यहाँ, $P(A)=0.5, P(B)=0.35, P(A \cap B)=0.7$

हम जानते हैं कि $P(A \cup B)=P(A)+P(B) - P(A \cap B)$

$\therefore \ \ 0.7=0.5+0.35 - P(A \cap B)$

$\Rightarrow P(A \cap B)=0.5+0.35 - 0.7$

$\Rightarrow P(A \cap B)=0.15$

Answer :

यहाँ, $P(A)={\dfrac{3}{5}}, P(B)=\dfrac{1}{5}$

परस्पर अपवर्जी घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,

$\quad \ P(A$ या $B)=P(A)+P(B)$

$\therefore \ \ P(A$ या $B)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}=\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$

Answer :

यहाँ, $P(E)=\dfrac{1}{4}, P(F)=\dfrac{1}{2},$ और $P(E$ और $F)=\dfrac{1}{8}$

(i) हम जानते हैं कि

$\quad P(E \text{ या } F)=P(E)+P(F) - P(E and F)$

$\therefore \ \ P(E$ या $F)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{2+4-1}{8}=\dfrac{5}{8}$

(ii) (i) से, $P(E$ या $F)=P(E \cup F)=\dfrac{5}{8}$

हम जानते हैं कि $(E \cup F)^{\prime}=(E^{\prime} \cap F^{\prime}) \quad[$ डी मॉर्गन के नियम द्वारा $]$

$\therefore \ \ P(E^{\prime} \cap F^{\prime})=P(E \cup F)^{\prime}$

अब, $P(E \cup F)^{\prime}=1-P(E \cup F)=1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}$

$\therefore \ \ P(E^{\prime} \cap F^{\prime})=\dfrac{3}{8}$

इसलिए, $P(नहीं E$ और नहीं $F)=\dfrac{3}{8}$

उत्तर :

दिया गया है कि $P ($ नहीं $E$ या नहीं $F)=0.25$

अर्थात, $P(E^{\prime} \cup F^{\prime})=0.25$

$\Rightarrow P(E \cap F)^{\prime}=0.25$

$ [E^{\prime} \cup F^{\prime}=(E \cap F)^{\prime}] $

अब, $P(E \cap F)=1-P(E \cap F)^{\prime}$

$\Rightarrow P(E \cap F)=1-0.25$

$\Rightarrow P(E \cap F)=0.75 \neq 0$

$\Rightarrow E \cap F \neq \phi$

इसलिए, $E$ और $F$ परस्पर अपवादी नहीं हैं।

उत्तर :

दिया गया है कि $P(A)=0.42, P(B)=0.48, P(A$ और $B)=0.16$

(i) $P($ नहीं $A)=1-P(A)=1-0.42=0.58$

(ii) $P($ नहीं $B)=1-P(B)=1-0.48=0.52$

(iii) हम जानते हैं कि $P(A$ या $B)=P(A)+P(B)-P(A$ और $B)$

$ P(A$ या $B)=0.42+0.48-0.16=0.74$

उत्तर :

मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें चुने गए छात्र गणित के अध्ययन करता है और $B$ वह घटना है जिसमें चुने गए छात्र जीवविज्ञान के अध्ययन करता है।

अतः,

$P(A)=40 %=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$

$P(B)=30 %=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}$

$P(A$ और $B)=10 %=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$

हम जानते हैं कि $P(A$ या $B)=P(A)+P(B)-P(A$ और $B)$

$\therefore \ \ P(A$ या $B)=\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{6}{10}=0.6$

इसलिए, चुने गए छात्र के गणित या जीवविज्ञान के अध्ययन कर रहे होने की प्रायिकता $0.6$ है।

उत्तर :

मान लीजिए $A$ और $B$ क्रमशः पहली और दूसरी परीक्षा पास करने के घटनाएं हैं।

इसलिए,

$P(A)=0.8, P(B)=0.7$ और $P(A$ या $B)=0.95$

हम जानते हैं कि

$P(A$ या $B)=P(A)+P(B)-P(A$ और $B)$

$ 0.95=0.8+0.7-P(A$ और $B)$

$P(A$ और $B)=0.8+0.7-0.95=0.55$

इसलिए, दोनों परीक्षा पास करने की प्रायिकता $0.55$ है।

उत्तर :

मान लीजिए $A$ और $B$ क्रमशः अंग्रेजी और हिंदी परीक्षा पास करने के घटनाएं हैं।

इसलिए, $P(A$ और $B)=0.5,$ $P($ नहीं $A$ और नहीं $B)=0.1,$ अर्थात $P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=0.1$

$P(A)=0.75$

अब, $(A \cup B)^{\prime}=(A^{\prime} \cap B^{\prime}) \quad[De$ मोर्गन के नियम $]$

$\therefore \ \ P(A \cup B)^{\prime}=P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=0.1$

$P(A \cup B)=1-P(A \cup B)^{\prime}=1-0.1=0.9$

हम जानते हैं कि $P(A$ या $B)=P(A)+P(B) - P(A$ और $B)$

$ \begin{aligned} & \therefore \ \ 0.9=0.75+P(B)- 0.5 \\ \\ & \Rightarrow P(B)=0.9 - 0.75+0.5 \end{aligned} $

$\Rightarrow P(B)=0.65$

इसलिए, हिंदी परीक्षा पास करने की प्रायिकता $0.65$ है।

उत्तर :

मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें चुने गए छात्र एनसीसी के लिए चुने गए हैं और $B$ वह घटना है जिसमें चुने गए छात्र एनएसएस के लिए चुने गए हैं।

कुल छात्रों की संख्या $=60$

एनसीसी के लिए चुने गए छात्रों की संख्या $=30$

$\therefore \ \ P(A)=\dfrac{30}{60}=\dfrac{1}{2}$

NSS के लिए चयन किए गए छात्रों की संख्या $=32$

$\therefore \ \ P(B)=\dfrac{32}{60}=\dfrac{8}{15}$

NCC और NSS दोनों के लिए चयन किए गए छात्रों की संख्या $=24$

$\therefore \ \ P(A$ और $B)=\dfrac{24}{60}=\dfrac{2}{5}$

(i) हम जानते हैं कि $P(A$ या $B)=P(A)+P(B)- P(A$ और $B)$

$\therefore \ \ P(A$ या $B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{15}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{15+16-12}{30}=\dfrac{19}{30}$

इसलिए, चयन किए गए छात्र के NCC या NSS के लिए चयन करने की प्रायिकता $\dfrac{19}{30}$ है।

(ii) $P($ नहीं $A$ और नहीं $B)$ $=P(A^{\prime}.$ और $.B^{\prime})$

$\hspace{3.2cm}=P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$

$\hspace{3.2cm}=P(A \cup B)^{\prime} \quad[(A^{\prime} \cap B^{\prime})$

$\hspace{3.2cm}=(A \cup B)^{\prime}(.$ डी मॉर्गन के नियम द्वारा $.)]$

$\hspace{3.2cm}=1-P(A \cup B)$

$\hspace{3.2cm}=1-P(A$ या $B)$

$\hspace{3.2cm}=1-\dfrac{19}{30}$

$\hspace{3.2cm}=\dfrac{11}{30}$

इसलिए, चयन किए गए छात्र के NCC और NSS दोनों के लिए चयन नहीं करने की प्रायिकता $\dfrac{11}{30}$ है।

(iii) दिए गए जानकारी को एक वेन आरेख के रूप में निम्नलिखित तरह से प्रस्तुत किया जा सकता है

स्पष्ट रूप से,

NSS के लिए चयन किए गए छात्रों की संख्या लेकिन NCC के लिए नहीं

$=n(B - A)=n(B) - n(A \cap B)=32 - 24=8$

इसलिए, चयन किए गए छात्र के NSS के लिए चयन करने की प्रायिकता लेकिन NCC के लिए नहीं $=\dfrac{8}{60}=\dfrac{2}{15}$