अध्याय 14 प्रायिकता अभ्यास 14.1
अभ्यास 14.1
1. एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए $E$ घटना है “पासा 4 दिखाता है” और $F$ घटना है “पासा सम संख्या दिखाता है”। $E$ और $F$ परस्पर अपवादी घटनाएँ हैं?
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उत्तर :
जब एक पासा फेंका जाता है, तो प्रयोग के परिणाम के समुच्चय को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:
$S=\left \lbrace 1,2,3,4,5,6\right \rbrace $
इसलिए, $E=\left \lbrace 4\right \rbrace $ और $F=\left \lbrace 2,4,6\right \rbrace $
यह देखा जाता है कि $E \cap F=\left \lbrace 4\right \rbrace $
इसलिए, $E$ और $F$ परस्पर अपवादी घटनाएँ नहीं हैं।
2. एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
(i) $A :$ 7 से कम एक संख्या
(ii) $B :$ 7 से अधिक एक संख्या
(iii) $C :$ 3 का गुणज
(iv) $D:$ 4 से कम एक संख्या
(v) $E :$ 4 से अधिक एक सम संख्या
(vi) $F :$ 3 से अधिक एक संख्या
इसके अतिरिक्त $A \cup B, A \cap B, B \cup C, E \cap F, D \cap E, A-C, D-E, E \cap F^{\prime}, F^{\prime}$ भी ज्ञात कीजिए।
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उत्तर :
जब एक पासा फेंका जाता है, तो प्रयोग के परिणाम के समुच्चय को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $S=\left \lbrace 1,2,3,4,5,6\right \rbrace $.
इसलिए:
(i) $A=\left \lbrace 1,2,3,4,5,6\right \rbrace $
(ii) $B={\phi}$
(iii) $C=\left \lbrace 3,6\right \rbrace $
(iv) $D=\left \lbrace 1,2,3\right \rbrace $
(v) $E=\left \lbrace 6\right \rbrace $
(vi) $F=\left \lbrace 3,4,5,6\right \rbrace $
इसके अतिरिक्त, हमें $A \cup B, A \cap B, B \cup C, E \cap F, D \cap E, D-E, A-C, E \cap F^{\prime}, F^{\prime}$ भी ज्ञात करना है।
इसलिए,
$\mathrm{A} \cup \mathrm{B} = \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace \cup \lbrace \phi \rbrace $
$\qquad\quad = \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace $
$ \begin{aligned} \mathrm{A} \cap \mathrm{B} & = \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace \cap \lbrace \phi \rbrace \\ \\ & = \lbrace \phi \rbrace \\ \\ \mathrm{B} \cup \mathrm{C} & = \lbrace \phi \rbrace \cup \lbrace 3,6 \rbrace \\ \\ & = \lbrace 3,6 \rbrace \\ \\
$$ \mathrm{E} \cap \mathrm{F} & = \lbrace 6 \rbrace \cap \lbrace 3,4,5,6 \rbrace \\ \\ & = \lbrace 6 \rbrace \end{aligned} $$
$$ D \cap E=\left \lbrace 1,2,3\right \rbrace \cap \lbrace 6 \rbrace =\phi $$
$$ D-E= \lbrace 1,2,3 \rbrace - \lbrace 6 \rbrace = \lbrace 1,2,3 \rbrace $$
$$ A-C= \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace - \lbrace 3,6 \rbrace $$
$$ \qquad\quad= \lbrace 1,2,4,5 \rbrace $$
$$ F^\prime=S-F $$
$$ \quad= \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace - \lbrace 3,4,5,6 \rbrace $$
$$ \quad= \lbrace 1,2 \rbrace $$
$$ E \cap F^\prime=\left \lbrace 6\right \rbrace \cap \lbrace 1,2 \rbrace =\phi $$
3. एक प्रयोग में एक जोड़ी पासों को फेंका जाता है और उन पर आने वाली संख्याओं को रिकॉर्ड किया जाता है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन करें:
$A:$ योग आठ से अधिक है,
$B: $ किसी भी पासे पर 2 आता है
$C :$ योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
इन घटनाओं के कौन से जोड़े परस्पर अपवादी हैं?
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उत्तर :
जब एक जोड़ी पासों को फेंका जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष इस प्रकार दिया जाता है
$ S=\left \lbrace (x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\right \rbrace =\left\lbrace \begin{matrix} (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) \\ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) \\ (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) \\ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) \\ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) \\ (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \end{matrix}\right\rbrace $
इस प्रकार,
$A=\left \lbrace (3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\right \rbrace $
$B=\left \lbrace (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)\right \rbrace $
$C=\left \lbrace (3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(6,6)\right \rbrace $
यह देखा गया है कि
$A \cap B=\phi$
$B \cap C =\phi$
$C \cap A=\left \lbrace (3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(6,6)\right \rbrace \neq \phi$
अतः, घटनाएँ $A$ और $B$ और घटनाएँ $B$ और $C$ परस्पर अपवादी हैं।
4. तीन सिक्कों को एक बार फेंका जाता है। मान लीजिए $A$ घटना “तीन चित्त आते हैं”, $B$ घटना “दो चित्त और एक पैसा आते हैं”, $C$ घटना “तीन पैसे आते हैं” और $D$ घटना “पहले सिक्के पर चित्त आता है” है। कौन सी घटनाएँ
(i) परस्पर अपवर्जी?
(ii) सरल?
(iii) संयुक्त?
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उत्तर :
जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
$S=\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\right \rbrace $
इस प्रकार,
$A=\left \lbrace HHH\right \rbrace $
$B=\left \lbrace HHT, HTH, THH\right \rbrace $
$C=\left \lbrace TTT\right \rbrace $
$D=\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT\right \rbrace $
अब हम देखते हैं कि
$ \begin{aligned} & \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\left \lbrace HHH\right \rbrace \cap\left \lbrace HHT, HTH, THH\right \rbrace =\phi \\ \\ & \mathrm{A} \cap \mathrm{C}=\left \lbrace HHH\right \rbrace \cap\left \lbrace TTT\right \rbrace =\phi \\ \\ & \mathrm{A} \cap \mathrm{D}=\left \lbrace \mathrm{HHH}\right \rbrace \cap\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT\right \rbrace \neq \phi \\ \\ & \mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\left \lbrace HHT, HTH, THH\right \rbrace \cap\left \lbrace TTT\right \rbrace =\phi \\ \\ & \mathrm{B} \cap \mathrm{D}=\left \lbrace HHT, HTH, THH\right \rbrace \cap\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT\right \rbrace \neq \phi \\ \\ & \mathrm{C} \cap \mathrm{D}=\left \lbrace TTT\right \rbrace \cap\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT\right \rbrace =\phi \end{aligned} $
(i) घटना $A$ और $B;$ घटना $A$ और $C;$ घटना $B$ और $C;$ और घटना $C$ और $D$ सभी परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) यदि एक घटना नमूना अंतरिक्ष के केवल एक नमूना बिंदु के बराबर होती है, तो इसे सरल घटना कहते हैं। इसलिए, $A$ और $C$ सरल घटनाएं हैं।
(iii) यदि एक घटना नमूना अंतरिक्ष के एक से अधिक नमूना बिंदुओं के बराबर होती है, तो इसे संयुक्त घटना कहते हैं। इसलिए, $B$ और $D$ संयुक्त घटनाएं हैं।
5. तीन सिक्कों को उछाला जाता है। वर्णन करें
(i) दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी हों।
(ii) तीन घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी और पूरक हों।
(iii) दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी नहीं हों।
(iv) दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी हों लेकिन पूरक नहीं हों।
(v) तीन घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी हों लेकिन पूरक नहीं हों।
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Answer :
जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
$S=\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\right \rbrace $
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवादी हो सकती हैं निम्नलिखित हो सकती हैं
$A :$ सिर के बिना प्राप्त करना और $B :$ पैसे के बिना प्राप्त करना
इसका कारण यह है कि समुच्चय $A=\left \lbrace \mathrm{TTT}\right \rbrace $ और $\mathrm{B}=\left \lbrace \mathrm{HHH}\right \rbrace $ अलग-अलग हैं
(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवादी और पूरक हो सकती हैं निम्नलिखित हो सकती हैं
$\mathrm{A}:$ सिर के बिना प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{A}=\left \lbrace \mathrm{TTT}\right \rbrace $
$\mathrm{B} :$ ठीक एक सिर प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{B}=\left \lbrace \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}\right \rbrace $
$\mathrm{C} :$ कम से कम दो सिर प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{C}=\left \lbrace \mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\right \rbrace $
इसका कारण यह है कि $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\mathrm{C} \cap \mathrm{A}=\phi$
और $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\mathrm{S}$
(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवादी नहीं हो सकती हैं निम्नलिखित हो सकती हैं
$A :$ तीन सिर प्राप्त करना $\Rightarrow A=\left \lbrace \mathrm{HHH}\right \rbrace $
$B :$ कम से कम $2$ सिर प्राप्त करना $\Rightarrow B=\left \lbrace \mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\right \rbrace $
इसका कारण यह है कि $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\left \lbrace \mathrm{HHH}\right \rbrace \neq \phi$
(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवादी हो सकती हैं लेकिन पूरक नहीं हो सकती हैं निम्नलिखित हो सकती हैं
$A :$ ठीक एक सिर प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{A}=\left \lbrace \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}\right \rbrace $
$B :$ ठीक एक पैसा प्राप्त करना $\Rightarrow B=\left \lbrace \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\right \rbrace $
इसका कारण यह है कि $A \cap B=\phi$ लेकिन $A \cup B \neq S$
(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवादी हो सकती हैं लेकिन पूरक नहीं हो सकती हैं निम्नलिखित हो सकती हैं
$A :$ ठीक तीन सिर प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{A}=\left \lbrace \mathrm{HHH}\right \rbrace $
$\mathrm{B}:$ एक सिर और दो पैसे प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{B}=\left \lbrace \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}\right \rbrace $
$\mathrm{C} :$ एक पैसे और दो सिक्कों के चित $\Rightarrow \mathrm{C}=\left \lbrace \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\right \rbrace $
इसका कारण यह है कि $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\mathrm{C} \cap \mathrm{A}=\phi$ लेकिन $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C} \neq \mathrm{S}$
6. दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ $A, B$ और $C$ निम्नलिखित हैं:
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या आना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या आना।
$C :$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ होना।
घटनाओं का वर्णन करें
(i) $A^{\prime}$
(ii) नहीं $B$
(iii) $A$ या $B$
(iv) $A$ और $B$
(v) $A$ लेकिन नहीं $C$
(vi) $B$ या $C$
(vii) $B$ और $C$
(viii) $A \cap B^{\prime} \cap C^{\prime}$
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Answer :
जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो नमूना अंतरिक्ष इस प्रकार दिया जाता है
$S=\left \lbrace (x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\right \rbrace=\left \lbrace \begin{matrix} (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) \\ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) \\ (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) \\ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) \\ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) \\ (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \end{matrix}\right \rbrace $
इस प्रकार,
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या आना
$\quad = $ $ \left \lbrace\begin{matrix} (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3), \\ (4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace $
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या आना
$\quad = $ $ \left \lbrace\begin{matrix} (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3), \\ (3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) \end{matrix}\right \rbrace $
$\quad = $ $\left \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)\right \rbrace $
(i) $ A^{\prime}= \left \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3), \\ \\ (3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) \right \rbrace $
(ii) $ \text{Not } B= \left \lbrace (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3), \\ \\ (4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \right \rbrace =A$
(iii) $ A \text{ or } B= A \cup B =\left \lbrace \begin{matrix} (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) \\ \\ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) \\ \\ (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) \\ \\ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) \\ \\ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) \\ \\ (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \end{matrix}\right \rbrace $ $=S$
(iv) $A$ and $B=A \cap B=\phi$
(v) $A$ but not $C=A-C =\left \lbrace \begin{matrix} (2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), \\ \\ (4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace $
(vi) $B$ or $C=B \cup C =\left \lbrace \begin{matrix} (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2), \\ (2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \\ (4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) \end{matrix} \right \rbrace $
(vii) $B$ and $C = B ∩ C =\left \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2)\right \rbrace $
(viii) $ \begin{aligned} & C^{\prime}=\left \lbrace \begin{matrix} (1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2), \\ (4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), \\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace \\ \\ & \therefore \ \ A \cap B^{\prime} \cap C^{\prime}=A \cap A \cap C^{\prime}=A \cap C^{\prime} \\ \\ & =\left \lbrace \begin{matrix} (2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), \\ (4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace \end{aligned} $
7. प्रश्न $6$ के अनुसार, सत्य या असत्य कहें: (अपने उत्तर के लिए कारण दें)
(i) $A $ और $B$ परस्पर अपवादी हैं
(ii) $A$ और $B$ परस्पर अपवादी और पूरक हैं
(iii) $A=B^{\prime}$
(iv) $A$ और $C$ परस्पर अपवादी हैं
(v) $A$ और $B^{\prime}$ परस्पर अपवादी हैं।
(vi) $A^{\prime}, B^{\prime}, C$ एक-दूसरे से परस्पर अपवाद रहित और पूर्ण घटनाएँ हैं।
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उत्तर :
$A=$ $\left \lbrace \begin{matrix} (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3), \\ (4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace $
$B=$ $\left \lbrace \begin{matrix} (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3), \\ (3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) \end{matrix} \right \rbrace $
$C=\left \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)\right \rbrace $
(i) यह देखा गया है कि $A \cap B= \phi $
$\therefore \ \ A$ और $B$ परस्पर अपवाद रहित हैं।
इसलिए, दिए गए कथन सही है।
(ii) यह देखा गया है कि $A \cap B=\phi $ और $A \cup B=S$
$\therefore \ \ A$ और $B$ परस्पर अपवाद रहित और पूर्ण हैं।
इसलिए, दिए गए कथन सही है।
(iii) यह देखा गया है कि
$B^{\prime}=$ $\left \lbrace \begin{matrix} (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3), \\ (4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace $ $=A$
इसलिए, दिए गए कथन सही है।
(iv) यह देखा गया है कि $A \cap C=\left \lbrace (2,1),(2,2),(2,3),(4,1)\right \rbrace = \phi $
$\therefore \ \ A$ और $C$ परस्पर अपवाद रहित नहीं हैं।
इसलिए, दिए गए कथन गलत है।
(v) $A \cap B^{\prime}=A \cap A=A$
$\therefore \ \ A \cap B^{\prime} \neq \phi$
$\therefore \ \ A$ और $B^{\prime}$ परस्पर अपवाद रहित नहीं हैं।
इसलिए, दिए गए कथन गलत है।
(vi) यह देखा गया है कि $A^{\prime} \cup B^{\prime} \cup C=S;$
हालाँकि,
$ B^{\prime} \cap C=\left \lbrace (2,1),(2,2),(2,3),(4,1)\right \rbrace \neq \phi $
इसलिए, घटनाएँ $A^{\prime}, B^{\prime}$ और $C$ परस्पर अपवाद रहित और पूर्ण नहीं हैं।
इसलिए, दिए गए कथन गलत है।
बीटा
