उत्तर :

$6,7,10,12,13,4,8,12$

माध्य, $\overline{x}=\dfrac{\sum _ {i=1}^{8} x_i}{n}=\dfrac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\dfrac{72}{8}=9$

निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है।

विचलन $(\sigma^{2})=\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{8}(x_i-\bar{{}x})^{2}=\dfrac{1}{8} \times 74=9.25$

उत्तर :

पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं के माध्य की गणना निम्नलिखित तरीके से की जाती है।

माध्य $=\dfrac{\text{ सभी प्रेक्षणों का योग }}{\text{ प्रेक्षणों की संख्या }}$

$\therefore \ \ $ माध्य $=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n}=\dfrac{n+1}{2}$

विचलन $(\sigma^{2})=\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n}(x_i-\bar{{}x})^{2}$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n}\left[x_i-(\dfrac{n+1}{2})\right]^{2}$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n} x_i{ }^{2}-\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n} 2(\dfrac{n+1}{2}) x_i+\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n}(\dfrac{n+1}{2})^{2}$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{1}{n} \dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-(\dfrac{n+1}{n})\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]+\dfrac{(n+1)^{2}}{4 n} \times n$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\dfrac{(n+1)^{2}}{2}+\dfrac{(n+1)^{2}}{4}$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\dfrac{(n+1)^{2}}{4}$

$\hspace{1.9cm}=(n+1)\left[\dfrac{4 n+2-3 n-3}{12}\right]$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{(n+1)(n-1)}{12}$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{n^{2}-1}{12}$

उत्तर :

$3$ के पहले $10$ गुणज हैं

उत्तर :

$6,7,10,12,13,4,8,12$

माध्य, $\overline{x}=\dfrac{\sum _ {i=1}^{8} x_i}{n}=\dfrac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\dfrac{72}{8}=9$

निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है।

विचलन $(\sigma^{2})=\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{8}(x_i-\bar{{}x})^{2}=\dfrac{1}{8} \times 74=9.25$

उत्तर :

पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं के माध्य की गणना निम्नलिखित तरीके से की जाती है।

माध्य $=\dfrac{\text{ सभी प्रेक्षणों का योग }}{\text{ प्रेक्षणों की संख्या }}$

$\therefore \ \ $ माध्य $=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n}=\dfrac{n+1}{2}$

विचलन $(\sigma^{2})=\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n}(x_i-\bar{{}x})^{2}$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n}\left[x_i-(\dfrac{n+1}{2})\right]^{2}$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n} x_i{ }^{2}-\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n} 2(\dfrac{n+1}{2}) x_i+\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n}(\dfrac{n+1}{2})^{2}$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{1}{n} \dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-(\dfrac{n+1}{n})\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]+\dfrac{(n+1)^{2}}{4 n} \times n$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\dfrac{(n+1)^{2}}{2}+\dfrac{(n+1)^{2}}{4}$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\dfrac{(n+1)^{2}}{4}$

$\hspace{1.9cm}=(n+1)\left[\dfrac{4 n+2-3 n-3}{12}\right]$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{(n+1)(n-1)}{12}$

$\hspace{1.9cm}=\dfrac{n^{2}-1}{12}$

उत्तर :

$3$ के पहले $10$ गुणज हैं

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

$3,6,9,12,15,18,21,24,27,30$

यहाँ, प्रेक्षणों की संख्या, $n=10$

माध्य, $\bar{{}x}=\dfrac{\sum _ {i=1}^{10} x_i}{10}=\dfrac{165}{10}=16.5$

निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है।

विचलन $(\sigma^{2})=\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^{2}=\dfrac{1}{10} \times 742.5=74.25$

Answer :

डेटा निम्नलिखित तालिका के रूप में प्राप्त होता है।

यहाँ, $N=40, $

$ \sum _ {i=1}^{7} f_i x_i=760$

$\therefore \ \ \overline{x}=\dfrac{\sum _ {i=1}^{7} f_i x_i}{N}=\dfrac{760}{40}=19$

विचलन $=(\sigma^{2})=\dfrac{1}{N} \sum _ {i=1}^{7} f_i(x_i-\bar{{}x})^{2}=\dfrac{1}{40} \times 1736=43.4$

Answer :

डेटा निम्नलिखित तालिका के रूप में प्राप्त होता है।

यहाँ, $N=22$

$ \sum _ {i=1}^{7} f_i x_i=2200 $

$\therefore \ \ \overline{x}=\dfrac{1}{N} \sum _ {i=1}^{7} f_i x_i=\dfrac{1}{22} \times 2200=100$

$\text{विचलन} \ (\sigma^{2})=\dfrac{1}{N} \sum _ {i=1}^{7} f_i(x_i-\bar{{}x})^{2}=\dfrac{1}{22} \times 640=29.09$

उत्तर :

डेटा को एक तालिका के रूप में निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया गया है।

$\overline{x}=A \dfrac{\sum _ {i=1}^{9} f_i y_i}{N} \times h=64+\dfrac{0}{100} \times 1=64+0=64$

$ \begin{aligned} \text{विचलन,} \ \sigma^{2} & =\dfrac{h^{2}}{N^{2}}\left[N \sum _ {i=1}^{9} f_i y_i{ }^{2}-(\sum _ {i=1}^{9} f_i y_i)^{2}\right] \\ \\ & =\dfrac{1}{100^{2}}\left[100 \times 286-0\right] \\ \\ `

& =2.86 \end{aligned} $

$\therefore \ \ $ मानक विचलन $(\sigma)=\sqrt{2.86}=1.69$

उत्तर :

$\begin{aligned} \text { यहाँ, } N & =30, h=30 \\ \\ \text { माध्य, } \bar{x} & =A+\frac{\sum _ {i=1}^7 f_i y_i}{N} \times h \\ \\ & =105+\frac{2}{30} \times 30 \\ \\ & =105+2=107 \end{aligned}$

$ \begin{aligned} \text{विचरण} \ (\sigma^{2}) & =\dfrac{h^{2}}{N^{2}}\left[N \sum _ {i=1}^{7} f_i y_i^{2}-(\sum _ {i=1}^{7} f_i y_i)^{2}\right] \\ \\ & =\dfrac{(30)^{2}}{(30)^{2}}\left[30 \times 76-(2)^{2}\right] \\ \\ & =2280-4 \\ \\ & =2276 \end{aligned} $

उत्तर :

| $20-30$ | 15 | 25 | 0 | 0 | 0 | 0 | | $30-40$ | 16 | 35 | 1 | 1 | 16 | 16 | | $40-50$ | 6 | 45 | 2 | 4 | 12 | 24 | | | 50 | | | | 10 | 68 | ||

$\overline{x}=A+\dfrac{\sum _ {i=1}^{5} f_i y_i}{N} \times h=25+\dfrac{10}{50} \times 10=25+2=27$

$ \begin{aligned} \text{विचलन} \ (\sigma^{2}) & =\dfrac{h^{2}}{N^{2}}\left[N \sum _ {i=1}^{5} f_i y_i{ }^{2}-(\sum _ {i=1}^{5} f_i y_i)^{2}\right] \\ \\ & =\dfrac{(10)^{2}}{(50)^{2}}\left[50 \times 68-(10)^{2}\right] \\ \\ & =\dfrac{1}{25}\left[3400-100\right]=\dfrac{3300}{25} \\ \\ & =132 \end{aligned} $

उत्तर :

हमें $N=\sum f_i=60$ है

कक्षा की चौड़ाई $\mathrm{h}=5$

मान लीजिए $\mathrm{A}=92.5$ (कहें)

$ \begin{aligned} & \text { माध्य, } \overline{\mathrm{x}}=\mathrm{A}+\frac{\sum _ {\mathrm{i}=1}^9 \mathrm{f} _ {\mathrm{i}} \mathrm{u} _ {\mathrm{i}}}{\mathrm{ ~ N}} \times \mathrm{h} \\ \\ & =92.5+\frac{6}{60} \times 5=92.5+0.5=93 \\ \\ & \Rightarrow \overline{\mathrm{x}}=93 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text { विचलन } \sigma^2 & =h^2\left[\frac{\sum _ {i=1}^9 f_i u_i^2}{N}-\left(\frac{\sum _ {i=1}^9 f_i u_i}{N}\right)^2\right] \\ \\

$$ \sigma^2 & =5^2\left[\frac{254}{60}-\left(\frac{6}{60}\right)^2\right] \\ \\ & =5^2 \frac{\left[60 \times 254-6^2\right]}{(60)^2} \\ \\ & =\frac{25}{3600}[15240-36] \\ \\ & =\frac{25}{3600} \times 15204 \\ \\ \sigma^2 & =105.58 \end{aligned} $$

मानक विचलन $=\sqrt{\text { विचलन }}$

$ \begin{aligned} \hspace{2.1cm} \sigma & =\sqrt{105 \cdot 5^8} \\ \\ \hspace{2.1cm} \sigma & =10.27 \end{aligned} $

उत्तर :

क्योंकि, दिए गए आवृत्ति वितरण को सतत नहीं है, इसलिए इसे सतत बनाने के लिए हम प्रत्येक वर्ग के निचले सीमा से 0.5 घटाएंगे और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ देंगे।

यहाँ, $\mathrm{N}=100, \mathrm{ ~ }h=4$

मान लीजिए अनुमानित माध्य $\mathrm{A}=42.5$

$ \begin{aligned} \text { माध्य } \bar{x} & =A+\frac{\sum _ {i=1}^5 f_ i u_ i}{N} \times h \\ \\ & =42.5+\frac{25}{100} \times 4=43.5 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text { विचरण }\left(\sigma^2\right) & =\frac{\mathrm{h}^2}{\mathrm{ ~ }^2}\left[\mathrm{ ~ N} \sum _ {\mathrm{i}=1}^5 \mathrm{f} _ {\mathrm{i}} \mathrm{u} _ {\mathrm{i}}^2-\left(\sum _ {\mathrm{i}=1}^5 \mathrm{f} _ {\mathrm{i}} \mathrm{u} _ {\mathrm{i}}\right)^2\right] \\ \\

& =\frac{16}{10000}\left[100 \times 199-(25)^2\right] \\ \\ & =\frac{16}{10000}[19900-625] \\ \\ & =\frac{16}{10000} \times 19275 \\ \\ & =30.84 \end{aligned} $

$ \therefore \text { Standard deviation }(\sigma) =5.55$