उत्तर :

दिया गया डेटा है $4,7,8,9,10,12,13,17$

डेटा का माध्य,

$ \bar{{}x}=\dfrac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8}=\dfrac{80}{8}=10 $

माध्य $\bar{{}x}$ से अलग अलग प्रेक्षणों के विचलन, अर्थात $x_i-\bar{{}x}$, हैं $-6, - 3, -2, -1, 0, 2, 3, 7$

विचलन के अंतर्गत मान, अर्थात $|x_i-\bar{{}x}|$, हैं $6,3,2,1,0,2,3,7$

अभीष्ट माध्य विचलन माध्य के संबंध में है M.D. $\left(\bar{{}x}\right)=\dfrac{\sum _{i=1}^{8}|x_i-\bar{{}x}|}{8}=\dfrac{6+3+2+1+0+2+3+7}{8}=\dfrac{24}{8}=3$

उत्तर :

दिया गया डेटा है $38,70,48,40,42,55,63,46,54,44$

दिए गए डेटा का माध्य, $\bar{{}x}=\dfrac{38+70+48+40+42+55+63+46+54+44}{10}=\dfrac{500}{10}=50$

माध्य $\bar{{}x}$ से अलग अलग प्रेक्षणों के विचलन, अर्थात $x_i-\bar{{}x}$, हैं $-12, 20, -2, -10, -8, 5, 13, -4, 4, -6$

विचलन के अंतर्गत मान, अर्थात $|x_i-\bar{{}x}|$, हैं $12,20,2,10,8,5,13,4,4,6$

अभीष्ट माध्य विचलन माध्य के संबंध में है

$ \begin{aligned} \text{ M.D. }\left(\bar{{}x}\right) & =\dfrac{\sum _{i=1}^{10}|x_i-\bar{{}x}|}{10} \\ \\ & =\dfrac{12+20+2+10+8+5+13+4+4+6}{10} \\ \\ & =\dfrac{84}{10} \\ \\ & =8.4 \end{aligned} $

उत्तर :

दिया गया डेटा है $13,17,16,14,11,13,10,16,11,18,12,17$

यहाँ, प्रेक्षणों की संख्या $12 ,$ जो सम है।

आरोही क्रम में डेटा को व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है $10,11,11,12,13,13,14,16,16,17,17,18$

माध्य, $M=\dfrac{\left(\dfrac{12}{2}\right)^{t h} \text{ प्रेक्षण }+\left(\dfrac{12}{2}+1\right)^{th} \text{ प्रेक्षण }}{2}$

$ \qquad\qquad \ =\dfrac{6^{\text{th }} \text{ observation }+7^{\text{th }} \text{ observation }}{2}$ $\qquad\qquad \ =\dfrac{13+14}{2}=\dfrac{27}{2}=13.5$

अंकों के अपने माध्य के संबंध में विचलन, अर्थात् ${x_i-M}$, हैं $-3.5, -2.5, -2.5, -1.5, -0.5, -0.5, 0.5, 2.5, 2.5, 3.5, 3.5, 4.5$

विचलन के अंकों के अंतर्गत मान, $|x_i-M|$, हैं $3.5,2.5,2.5,1.5,0.5,0.5,0.5,2.5,2.5,3.5,3.5,4.5$

माध्य के संबंध में आवश्यक माध्य विचलन है

$ \begin{aligned} \text{ M.D. }\left(M\right) & =\dfrac{\sum _{i=1}^{12}|x_i-M|}{12} \\ \\ & =\dfrac{3.5+2.5+2.5+1.5+0.5+0.5+0.5+2.5+2.5+3.5+3.5+4.5}{12} \\ \\ & =\dfrac{28}{12}=2.33 \end{aligned} $

Answer :

दिया गया डेटा है $36,72,46,42,60,45,53,46,51,49$

यहाँ, अंकों की संख्या $10 ,$ जो सम है।

अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं $36,42,45,46,46,49,51,53,60,72$

$ \begin{aligned} \text{ माध्य } M & =\dfrac{\left(\dfrac{10}{2}\right)^{t h} \text{ observation }+\left(\dfrac{10}{2}+1\right)^{th} \text{ observation }}{2} \\ \\ & =\dfrac{5^{\text{th }} \text{ observation }+6^{\text{th }} \text{ observation }}{2} \\ \\ & =\dfrac{46+49}{2}=\dfrac{95}{2}=47.5 \end{aligned} $

अंकों के अपने माध्य के संबंध में विचलन, अर्थात् $x_i-M$, हैं $-11.5, -5.5, -2.5, -1.5, -1.5, 1.5, 3.5, 5.5, 12.5, 24.5$

विचलन के अंकों के अंतर्गत मान, $|x_i-M|$, हैं $11.5,5.5,2.5,1.5,1.5,1.5,3.5,5.5,12.5,24.5$

इसलिए, माध्य के संबंध में आवश्यक माध्य विचलन है

$ \begin{aligned} \text{ M.D. }\left(M\right) & =\dfrac{\sum _{i=1}^{10}|x_i-M|}{10}=\dfrac{11.5+5.5+2.5+1.5+1.5+1.5+3.5+5.5+12.5+24.5}{10} \\ \\ & =\dfrac{70}{10}=7 \end{aligned} $

उत्तर :

$N=\sum _{i=1}^{5} f_i=25$

$\sum _{i=1}^{5} f_i x_i=350$

$\therefore \ \ \ \overline{x}=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{5} f_i x_i=\dfrac{1}{25} \times 350=14$

$\therefore \ \ \ MD\left(\overline{x}\right)=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{5} f_i|x_i-\overline{x}|=\dfrac{1}{25} \times 158=6.32$

उत्तर :

$N=\sum _{i=1}^{5} f_i=80, \sum _{i=1}^{5} f_i x_i=4000$

$\therefore \ \ \ \overline{x}=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{5} f_i x_i=\dfrac{1}{80} \times 4000=50$

$MD\left(\overline{x}\right) =\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{5} f_i|x_i-\overline{x}|=\dfrac{1}{80} \times 1280=16$

Answer :

दिए गए अवलोकन पहले से ही बढ़ते क्रम में हैं।

दिए गए डेटा के साथ एक स्तम्भ जो दिए गए डेटा की संकलित आवृत्तियों के संगत हो, जोड़कर हम निम्नलिखित सारणी प्राप्त करते हैं।

यहाँ, $N=26$, जो सम संख्या है।

मध्यिका $13^{\text{वां}}$ और $14^{\text{वां}}$ अवलोकन का औसत है। इन दोनों अवलोकन जो संकलित आवृत्ति $14$ में हैं, जिसके संगत अवलोकन $7$ है।

$\therefore \ \ \ $ मध्यिका $=\dfrac{13^{\text{वां}} \text{ अवलोकन }+14^{\text{वां}} \text{ अवलोकन }}{2}=\dfrac{7+7}{2}=7$

मध्यिका से विचलन के अंतराल के अंतराल के अंतराल, अर्थात $|x_i-M|$, हैं

$ \begin{aligned} & \sum _{i=1}^{6} f_i=26 \quad \sum _{i=1}^{6} f_i|x_i-M|=84 \\ \\ & \text{ M.D.(M) }=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{6} f_i|x_i-M|=\dfrac{1}{26} \times 84=3.23 \end{aligned} $

Answer :

दिए गए अवलोकन पहले से ही बढ़ते क्रम में हैं।

दिए गए डेटा के साथ एक स्तम्भ जो दिए गए डेटा की संकलित आवृत्तियों के संगत हो, जोड़कर हम निम्नलिखित सारणी प्राप्त करते हैं।

यहाँ, $N=29$, जो विषम संख्या है।

$\therefore \ \ \ $ मध्यिका $=\left(\dfrac{29+1}{2}\right) {\text{observation }=15^{\text{वां}} \text{ observation }}^{\text{th }}$

इस अवलोकन की संचयी आवृत्ति $21 ,$ है, जिसके संगत अवलोकन $30$ है।

$\therefore \ \ \ $ माध्य $=30$

माध्य से विचलन के अंतराल, अर्थात $|x_i-M|$, हैं

$ \begin{aligned} & \sum _{i=1}^{5} f_i=29, \\ \\ & \sum _{i=1}^{5} f_i|x_i-M|=148 \\ \\ & \quad \text{ M.D. }\left(M\right)=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{5} f_i|x_i-M|=\dfrac{1}{29} \times 148=5.1 \end{aligned} $

Answer :

निम्नलिखित तालिका बनाई गई है।

यहाँ, $\quad N=\sum _{i=1}^{8} f_i=50, \sum _{i=1}^{8} f_i x_i=17900$

$\therefore \ \ \ \overline{x}=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{8} f_i x_i=\dfrac{1}{50} \times 17900=358$

$\text{M.D.} \left(\overline{x}\right)=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{8} f_i|x_i-\overline{x}|=\dfrac{1}{50} \times 7896=157.92$

उत्तर :

निम्नलिखित तालिका बनाई गई है।

यहाँ, $\quad N=\sum _{i=1}^{6} f_i=100, \sum _{i=1}^{6} f_i x_i=12530$

$\therefore \ \ \ \overline{x}=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{6} f_i x_i=\dfrac{1}{100} \times 12530=125.3$

$\text{M.D.}\left(\overline{x}\right)=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{6} f_i|x_i-\overline{x}|=\dfrac{1}{100} \times 1128.8=11.28$

उत्तर :

$ \dfrac{\mathrm{N}}{2}=\dfrac{5 \mathrm{0}}{2}=25 $

$\therefore \ \ \ $ मध्य वर्ग $20-30 $ है

$\therefore \ \ \ $ मध्यमान $=20+\dfrac{25-14}{14} \times 10=20+7.86=27.86$

$\text{M.D.}$ मध्यमान के संबंध में $=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^n f i\left|x_i-M\right|=\dfrac{1}{50} \times 517.16=10.34$

उत्तर :

दिए गए डेटा लगातार नहीं है। इसलिए, इसे अंतराल के निचली सीमा से 0.5 घटाकर और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़कर लगातार आवृति वितरण में परिवर्तित करना पड़ेगा।

निम्नलिखित तालिका इस प्रकार बनाई गई है।

$ \dfrac{N^{t h}}{2} $ या $50^{\text{th }}$ आइटम के अंतराल के अंतराल $35.5 - 40.5$ है।

इसलिए, $35.5 - 40.5$ मध्य अंतराल है।

यह ज्ञात है कि,

मध्यका $=L+\dfrac{\dfrac{N}{2}-C}{f} \times h$

यहाँ, $L=35.5, C=37, f=26, h=5$, और $N=100$

$\therefore \ \ \ $ मध्यका $=35.5+\dfrac{50-37}{26} \times 5=35.5+\dfrac{13 \times 5}{26}=35.5+2.5=38$

इसलिए, मध्यका के संबंध में माध्य विचलन निम्नलिखित द्वारा दिया गया है,

$\text{M.D.(M)}$ $=\dfrac{1}{N} \sum _{i=1}^{8} f_i|x_i-M|=\dfrac{1}{100} \times 735=7.35$