उत्तर :

बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ और $P(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी दी गई है

(i) बिंदु $(2,3,5)$ और $(4,3,1)$ के बीच की दूरी

$=\sqrt{(4-2)^{2}+(3-3)^{2}+(1-5)^{2}}$

$=\sqrt{(2)^{2}+(0)^{2}+(-4)^{2}}$

$=\sqrt{4+16}$

$=\sqrt{20}$

$=2 \sqrt{5}$

(ii) बिंदु $(-3, 7, 2)$ और $(2, 4, -1)$ के बीच की दूरी

$=\sqrt{(2+3)^{2}+(4-7)^{2}+(-1-2)^{2}}$

$=\sqrt{(5)^{2}+(-3)^{2}+(-3)^{2}}$

$=\sqrt{25+9+9}$

$=\sqrt{43}$

(iii) बिंदु $(-1, 3, -4)$ और $(1, -3, 4)$ के बीच की दूरी

$=\sqrt{(1+1)^{2}+(-3-3)^{2}+(4+4)^{2}}$

$=\sqrt{(2)^{2}+(-6)^{3}+(8)^{2}}$

$=\sqrt{4+36+64}=\sqrt{104}=2 \sqrt{26}$

(iv) बिंदु $(2, -1,3)$ और $(-2, 1, 3)$ के बीच की दूरी

$=\sqrt{(-2-2)^{2}+(1+1)^{2}+(3-3)^{2}}$

$=\sqrt{(-4)^{2}+(2)^{2}+(0)^{2}}$

$=\sqrt{16+4}$

$=\sqrt{20}$

$=2 \sqrt{5}$

उत्तर :

मान लीजिए बिंदु $(-2, 3, 5), \ (1, 2, 3),$ और $(7, 0, -1)$ को क्रमशः $P, Q,$ और $R$ से निरूपित किया गया है।

बिंदु $P, Q$, और $R$ संरेख होंगे यदि वे एक रेखा पर स्थित हों।

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{(3)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{9+1+4} \\ \\ & =\sqrt{14} \\ \\ QR & =\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{(6)^{2}+(-2)^{2}+(-4)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{36+4+16} \\ \\ & =\sqrt{56} \\ \\ & =2 \sqrt{14} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} P R= & \sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{(9)^{2}+(-3)^{2}+(-6)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{81+9+36} \\ \\ & =\sqrt{126} \\ \\

& =3 \sqrt{14} \end{aligned} $

यहाँ, $PQ+QR=\sqrt{14}+2 \sqrt{14}=3 \sqrt{14}=PR$

इसलिए, बिंदु $P(- 2,3,5), Q(1,2,3)$, और $R(7,0, - 1 )$ संरेख हैं।

उत्तर :

(i) मान लीजिए बिंदु $(0,7, -10), \ (1, 6, - 6 ),$ और $(4, 9, -6)$ क्रमशः $A, \ B,$ और $C$ द्वारा नोट किए गए हैं।

$ \begin{aligned} AB & =\sqrt{(1-0)^{2}+(6-7)^{2}+(-6+10)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}+(4)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{1+1+16} \\ \\ & =\sqrt{18} \\ \\ & =3 \sqrt{2} \\ \\ BC & =\sqrt{(4-1)^{2}+(9-6)^{2}+(-6+6)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{(3)^{2}+(3)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2} \\ \\ CA & =\sqrt{(0-4)^{2}+(7-9)^{2}+(-10+6)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}+(-4)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{16+4+16}=\sqrt{36}=6 \end{aligned} $

यहाँ, $A B=B C \neq C A$

इसलिए, दिए गए बिंदु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(ii) मान लीजिए $(0,7,10), \ (-1, 6, 6),$ और $(- 4,9,6 )$ क्रमशः $A, \ B,$ और $C$ द्वारा नोट किए गए हैं।

$ \begin{aligned} AB & =\sqrt{(-1-0)^{2}+(6-7)^{2}+(6-10)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-4)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18} \\ \\ & =3 \sqrt{2} \\ \\ BC & =\sqrt{(-4+1)^{2}+(9-6)^{2}+(6-6)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}+(0)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{9+9}=\sqrt{18} \\ \\ & =3 \sqrt{2} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA & =\sqrt{(0+4)^{2}+(7-9)^{2}+(10-6)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{(4)^{2}+(-2)^{2}+(4)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{16+4+16} \\ \\ & =\sqrt{36} \\ \\ & =6 \end{aligned} $

अब, $AB^{2}+BC^{2}=(3 \sqrt{2})^{2}+(3 \sqrt{2})^{2}=18+18=36=AC^{2}$

इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $A B C$ एक समकोण त्रिभुज है।

इसलिए, दिए गए बिंदु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(iii) मान लीजिए $(-1,2,1), \ (1, - 2,5), \ (4, - 7,8),$ और $(2, - 3,4)$ क्रमशः $A, B, C$, और $D$ द्वारा नोट किए गए हैं।

$ \begin{aligned} AB & =\sqrt{(1+1)^{2}+(-2-2)^{2}+(5-1)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{4+16+16} \\ \\ & =\sqrt{36} \\ \\ & =6 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} BC & =\sqrt{(4-1)^{2}+(-7+2)^{2}+(8-5)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ \\ CD & =\sqrt{(2-4)^{2}+(-3+7)^{2}+(4-8)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{4+16+16} \\ \\ & =\sqrt{36} \\ \\ & =6 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} DA & =\sqrt{(-1-2)^{2}+(2+3)^{2}+(1-4)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

यहाँ, $A B=C D=6, \ B C=A D=\sqrt{43}$

इसलिए, चतुर्भुज $A B C D$ के विपरीत भुजाएँ बराबर हैं, जिनके शीर्ष क्रमशः लिए गए हैं।

अतः, $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है।

इसलिए, दिए गए बिंदु एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

उत्तर :

मान लीजिए $P(x, y, z)$ वह बिंदु है जो बिंदुओं $A(1,2,3)$ और $B(3,2, - 1)$ से समान दूरी पर है।

इसलिए, $PA = PB$

$\Rightarrow \ \ PA^{2}=PB^{2}$

$\Rightarrow \ \ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=(x-3)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}$

$ x^2-2x+1 +y^2 - 4y +4 + z^2-6z+9 = x^2 -6x+9 + y^2 - 4y +4 +z^2 +2z+1 $

$\Rightarrow \ \ - 2 x - 4 y - 6 z+14=- 6 x - 4 y+2 z+14$

$\Rightarrow \ \ - 2 x - 6 z+6 x - 2 z=0$

$\Rightarrow \ \ 4 x - 8 z=0$

$\Rightarrow \ \ x - 2 z=0$

अतः, अभीष्ट समीकरण $x - 2 z=0$ है।

उत्तर :

मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।

बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(4,0,0)$ और $(-4,0,0)$ हैं।

दिया गया है कि $PA+PB=10$।

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \ \ \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}+z^{2}}+\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}+z^{2}}=10 \\ \\

$$ \Rightarrow \ \ \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}+z^{2}}=10-\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}+z^{2}} $$ $$ \end{aligned} $$

$

उपर दिए गए समीकरण के दोनों तरफ वर्ग करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \ \ (x-4)^{2}+y^{2}+z^{2}=100-20 \sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}+z^{2}}+(x+4)^{2}+y^{2}+(z)^{2} \\ \\ & \Rightarrow \ \ x^{2}-8 x+16+y^{2}+z^{2}=100-20 \sqrt{x^{2}+8 x+16+y^{2}+z^{2}}+x^{2}+8 x+16+y^{2}+z^{2} \\ \\ & \Rightarrow \ \ 20 \sqrt{x^{2}+8 x+16+y^{2}+z^{2}}=100+16 x \\ \\ & \Rightarrow \ \ 5 \sqrt{x^{2}+8 x+16+y^{2}+z^{2}}=(25+4 x) \end{aligned} $$

$

उपर दिए गए समीकरण के दोनों तरफ वर्ग करने पर हम प्राप्त करते हैं

$25(x^{2}+8 x+16+y^{2}+z^{2})=625+16 x^{2}+200 x$

$\Rightarrow \ \ 25 x^{2}+200 x+400+25 y^{2}+25 z^{2}=625+16 x^{2}+200 x$

$\Rightarrow \ \ 9 x^{2}+25 y^{2}+25 z^{2} - 225=0$

इसलिए, आवश्यक समीकरण $9 x^{2}+25 y^{2}+25 z^{2} - 225=0$ है।