उत्तर :

निर्देशांक तल के मूल बिंदु को परवलयाकार प्रतिबिम्बक के शीर्ष पर लिया जाता है ताकि प्रतिबिम्बक के अक्ष को धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश लिया जाता है।

इसे आरेखीय रूप में निम्नलिखित तरह दर्शाया जा सकता है

परवलय का समीकरण $y^{2}=4 a x$ के रूप में है (क्योंकि यह दाहिने ओर खुलता है)।

चूंकि परवलय बिंदु $A\left(5,10\right)$ से गुजरता है,

$\Rightarrow \ \ 10^{2}=4 a\left(5\right)$

$\Rightarrow \ \ 100=20 a$

$\Rightarrow \ \ a=\dfrac{100}{20}=5$

इसलिए, परवलय का फोकस $\left(a, 0\right)=\left(5,0\right)$ है, जो व्यास के मध्य बिंदु है।

इसलिए, प्रतिबिम्बक का फोकस व्यास के मध्य बिंदु पर है।

उत्तर :

निर्देशांक तल के मूल बिंदु को चौथी के शीर्ष पर लिया जाता है ताकि इसका ऊर्ध्वाधर अक्ष धनात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश हो।

परवलय का समीकरण $\mathrm{x}^2=4$ ay के रूप में है (क्योंकि यह ऊपर खुलता है)

चूंकि, परवलय बिंदु $\left(\dfrac{5}{2}, 10\right)$ से गुजरता है

$ \begin{aligned} & \left(\dfrac{5}{2}\right)^2=4 \mathrm{a}(10) \\ \\ & \Rightarrow \ \ \mathrm{a}=\dfrac{25}{4 \times 4 \times 10}=\dfrac{5}{32} `

\end{aligned} $

अतः, परवलय के आर्च का समीकरण है $ x^2=\dfrac{5}{8} y $

जब, $ \ \mathrm{y}=2 \mathrm{~m}$

$
\begin{aligned} & \Rightarrow \ \ \mathrm{x}^2=\dfrac{5}{4} \\ \\ & \Rightarrow \ \ \mathrm{x}=\sqrt{\dfrac{5}{4}} \mathrm{m} \\ \\ & \therefore \ \ \mathrm{AB}=2 \times \sqrt{\dfrac{5}{4}} \mathrm{ \ m}=2 \times 1.118 \mathrm{ \ m} \text { (लगभग) }=2.23 \mathrm{m} \text { (लगभग) } \end{aligned} $

अतः, आर्च 2 मीटर ऊंचाई पर परवलय के शीर्ष से है, इसकी चौड़ाई लगभग $ 2.23 \mathrm{ \ m} $ है।

उत्तर :

केबल के सबसे कम बिंदु पर शीर्ष होता है। निर्देशांक तल के मूल बिंदु को परवलय के शीर्ष के रूप में लिया गया है, जबकि इसकी ऊर्ध्वाधर अक्ष धनात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश होती है। इसे आरेखीय रूप में निम्नलिखित तरह दर्शाया जा सकता है

यहाँ, $AB$ और $OC$ केबल पर लगे सबसे लंबा और सबसे छोटा तार हैं, क्रमशः।

$DF$ राजमार्ग पर लगे समर्थन तार है, जो मध्य से 18 मीटर दूर है।

यहाँ, $AB=30 m, OC=6 m$, और

$ \qquad BC=\dfrac{100}{2}=50 m $

परवलय का समीकरण $x^{2}=4 a y$ के रूप में है (क्योंकि यह ऊपर की ओर खुलता है)।

बिंदु $A$ के निर्देशांक $\left(50,30 - 6\right)=\left(50,24\right)$ हैं।

क्योंकि $A\left(50,24\right)$ परवलय पर एक बिंदु है,

$\left(50\right)^{2}=4 a\left(24\right)$

$\Rightarrow \ \ a=\dfrac{50 \times 50}{4 \times 24}=\dfrac{625}{24}$

$\therefore \ \ $ परवलय का समीकरण, $x^{2}=4 \times \dfrac{625}{24} \times y \quad$ या $\quad 6 x^{2}=625 y$

बिंदु $D$ के $x$-निर्देशांक 18 है ।

अतः, $x=18$ पर,

$6\left(18\right)^{2}=625 y$

$\Rightarrow \ \ y=\dfrac{6 \times 18 \times 18}{625}$

$\Rightarrow \ \ y=3.11$ (लगभग)

$\therefore \ \ DE=3.11 m$

$D F=D E+E F=3.11 m+6 m=9.11 m$

इसलिए, माध्य रेखा से 18 मीटर दूर बाँधे गए समर्थन तार की लंबाई लगभग 9.11 मीटर है।

उत्तर :

चूंकि केंद्र से चौकोर की ऊंचाई और चौड़ाई क्रमशः 2 मीटर और 8 मीटर है, इसलिए स्पष्ट है कि मुख्य अक्ष की लंबाई 8 मीटर है, जबकि अपवर्ती अक्ष की लंबाई 2 मीटर है।

निर्देशांक तल के मूल बिंदु को एल्लिप्स के केंद्र के रूप में लिया गया है, जबकि मुख्य अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश लिया गया है। इसलिए, अर्ध-एल्लिप्स को आरेखीय रूप से निम्नलिखित तरह दर्शाया जा सकता है

अर्ध-एल्लिप्स का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, y \geq 0$ के रूप में होगा, जहाँ $a$ अपवर्ती अक्ष है। अतः,

$2 a=8 \Rightarrow \ \ a=4$

$b=2$

इसलिए, अर्ध-एल्लिप्स का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1, y \geq 0$ है।

मान लीजिए $A$ मुख्य अक्ष पर एक बिंदु है जैसे कि $AB=1.5 m$ है।

$AC \perp OB$ खींचिए।

$O A=\left(4 - 1.5\right) m=2.5 m$

बिंदु $C$ के $x$-निर्देशांक 2.5 है।

समीकरण (1) में $x$ के मान को 2.5 से बदलकर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \qquad\dfrac{\left(2.5\right)^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 \\ \\ & \Rightarrow \ \ \dfrac{6.25}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 \\ \\ & \Rightarrow \ \ y^{2}=4\left(1-\dfrac{6.25}{16}\right) \\ \\ & \Rightarrow \ \ y^{2}=4\left(\dfrac{9.75}{16}\right) \\ \\ & \Rightarrow \ \ y^{2}=2.4375 \\ \\ `

& \Rightarrow \ \ y=1.56 \quad \text{ (लगभग) } \\ \\ & \therefore \ \ AC=1.56 मीटर \end{aligned} $

इसलिए, एक छोर से 1.5 मीटर के बिंदु पर आर्क की ऊंचाई लगभग 1.56 मीटर है।

उत्तर :

मान लीजिए AB एक छड़ है जो OX के साथ कोण θ बनाती है और P(x, y) छड़ पर एक बिंदु है जहां AP = 3 सेमी है।

तब, PB = AB - AP = (12 - 3) सेमी = 9 सेमी [AB = 12 सेमी]

P से OY पर PQ ⊥ खींचिए और OX पर PR ⊥ खींचिए।

त्रिभुज PBQ में, cos θ = PQ / PB = x / 9

त्रिभुज PRA में, sin θ = PR / PA = y / 3

क्योंकि, sin²θ + cos²θ = 1,

(y/3)² + (x/9)² = 1

या, x²/81 + y²/9 = 1

इसलिए, छड़ पर बिंदु P के locus का समीकरण x²/81 + y²/9 = 1 है।

उत्तर :

दिया गया परवलय x² = 12y है।

इस समीकरण को x² = 4ay के साथ तुलना करने पर, हमें 4a = 12 प्राप्त होता है, जिससे a = 3 प्राप्त होता है।

इसलिए, फोकस के निर्देशांक S(0, a) = S(0, 3) हैं।

मान लीजिए AB दिए गए परवलय का लैटस रेक्टम है।

दिए गए परवलय को लगभग खींचा जा सकता है

At $y=3, x^{2}=12\left(3\right) \Rightarrow \ \ x^{2}=36 \Rightarrow \ \ x= \pm 6$

$\therefore \ \ $ A के निर्देशांक $\left(- 6,3 \right),$ जबकि B के निर्देशांक $\left(6,3\right)$ हैं।

इसलिए, $\triangle O A B$ के शीर्ष $O\left(0,0\right), A\left(-6,3\right)$, और $B\left(6,3\right)$ हैं।

$ \begin{aligned} \text{ Area of } \triangle OAB & =\dfrac{1}{2}|0\left(3-3\right)+\left(-6\right)\left(3-0\right)+6\left(0-3\right)| \text{ unit }^{2} \\ \\ & =\dfrac{1}{2}|\left(-6\right)\left(3\right)+6\left(-3\right)| \text{ unit }^{2} \\ \\ & =\dfrac{1}{2}|-18-18| \text{ unit }^{2} \\ \\ & =\dfrac{1}{2}|-36| \text{ unit }^{2} \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \times 36 \text{ unit }^{2} \\ \\ & =18 \text{ unit }^{2} \end{aligned} $

इसलिए, त्रिभुज के अभीष्ट क्षेत्रफल 18 इकाई $^{2}$ है।

Answer :

मान लीजिए $A$ और $B$ दो झंग झंग के स्थान हैं और $P\left(x, y\right)$ आदमी की स्थिति है। अतः, $PA+PB=10$।

हम जानते हैं कि यदि एक बिंदु एक तल में इस तरह गति करता है कि इसकी दो निश्चित बिंदुओं से दूरी के योग नियत रहता है, तो इसके पथ एक अतिपरवलय होता है और यह नियत मान अतिपरवलय के मुख्य अक्ष की लंबाई के बराबर होता है।

इसलिए, आदमी द्वारा बनाए गए पथ एक अतिपरवलय है जिसकी मुख्य अक्ष की लंबाई $10 m$ है, जबकि बिंदु $A$ और $B$ अतिपरवलय के नाभियाँ हैं।

निर्देशांक तल के मूल बिंदु को अतिपरवलय के केंद्र मानते हुए और मुख्य अक्ष को $x$-अक्ष के अनुदिश लेते हुए, अतिपरवलय को आरेखीय रूप से निम्नलिखित तरह से प्रस्तुत किया जा सकता है

अतिपरवलय का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप में होगा, जहाँ $a$ मुख्य अक्ष की अर्ध-लंबाई है

इसलिए, $2 a=10 \Rightarrow \ \ a=5$

फोकस के बीच की दूरी $\left(2 c\right)=8$

$\Rightarrow \ \ c=4$

संबंध $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$4=\sqrt{25-b^{2}}$

$\Rightarrow \ \ 16=25-b^{2}$

$\Rightarrow \ \ b^{2}=25-16=9$

$\Rightarrow \ \ b=3$

इसलिए, आदमी द्वारा तय की गई पथ का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ है।

Answer :

मान लीजिए $OAB$ पराबोला $y^{2}=4 a x$ में अंकित समबाहु त्रिभुज है।

मान लीजिए $AB$ बिंदु $C$ पर $x$-अक्ष को काटता है।

मान लीजिए, $OC=k$

दी गई पराबोला के समीकरण से, हमें $y^{2}=4 a k \Rightarrow \ \ y= \pm 2 \sqrt{a k}$

$\therefore \ \ $ बिंदु $A$ और $B$ के संगत निर्देशांक $\left(k, 2 \sqrt{a k}\right)$, और $\left(k,-2 \sqrt{a k}\right)$ हैं

$AB=CA+CB=2 \sqrt{a k}+2 \sqrt{a k}=4 \sqrt{a k}$

क्योंकि $O A B$ एक समबाहु त्रिभुज है, $O A^{2}=A B^{2}$.

$ \begin{aligned} & \therefore \ \ k^{2}+\left(2 \sqrt{a k}\right)^{2}=\left(4 \sqrt{a k}\right)^{2} \\ \\ & \Rightarrow \ \ k^{2}+4 a k=16 a k \\ \\ & \Rightarrow \ \ k^{2}=12 a k \\ \\ & \Rightarrow \ \ k=12 a \\ \\ & \therefore \ \ AB=4 \sqrt{a k}=4 \sqrt{a \times 12 a}=4 \sqrt{12 a^{2}}=8 \sqrt{3} a \end{aligned} $

इसलिए, पराबोला $y^{2}=4$ ax में अंकित समबाहु त्रिभुज की भुजा $8 \sqrt{3} a$ है।