उत्तर :

दी गई समीकरण $\dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{y^{2}}{9}=1$ या $\dfrac{x^{2}}{4^{2}}-\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1$ है।

इस समीकरण को मानक हाइपरबोला समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के साथ तुलना करने पर,

हमें $a=4$ और $b=3$ प्राप्त होते हैं।

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ c^{2}=4^{2}+3^{2}=25$

$\Rightarrow c=5$

इसलिए,

फोकस के निर्देशांक $\left( \pm 5,0\right)$ हैं

शीर्ष के निर्देशांक $\left( \pm 4,0\right)$ हैं

उत्केंद्रता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{4}$

लैटस रेक्टम की लंबाई $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 9}{4}=\dfrac{9}{2}$

उत्तर :

दी गई समीकरण है

$ \dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{27}=1 \text{ या } \dfrac{y^{2}}{3^{2}}-\dfrac{x^{2}}{\left(\sqrt{27}\right)^{2}}=1 $

इस समीकरण को मानक हाइपरबोला समीकरण $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$ के साथ तुलना करने पर,

हमें $a=3$ और $b=\sqrt{27}$ प्राप्त होते हैं।

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$ \begin{aligned} & \therefore \ \ c^{2}=3^{2}+\left(\sqrt{27}\right)^{2}=9+27=36 \\ \\ & \Rightarrow c=6 \end{aligned} $

इसलिए,

फोकस के निर्देशांक $\left(0, \pm 6\right)$ हैं

शीर्ष के निर्देशांक $\left(0, \pm 3\right)$ हैं

उत्केंद्रता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{6}{3}=2$

लैटस रेक्टम की लंबाई $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 27}{3}=18$

उत्तर :

दी गई समीकरण $9 y^{2} - 4 x^{2}=36$ है।

इसे लिखा जा सकता है $9 y^{2} - 4 x^{2}=36$

or, $\dfrac{y^{2}}{4}-\dfrac{x^{2}}{9}=1$

or, $\dfrac{y^{2}}{2^{2}}-\dfrac{x^{2}}{3^{2}}=1\qquad\ldots\mathrm{(1)}$

समीकरण $\left(1\right)$ को मानक अतिपरवलय के समीकरण $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$ के साथ तुलना करते हुए,

हमें $a=2$ और $b=3$ प्राप्त होते हैं। हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ c^{2}=4+9=13$

$\Rightarrow c=\sqrt{13}$

इसलिए,

फोकस के निर्देशांक हैं $\left(0, \pm \sqrt{13}\right)$

शीर्ष के निर्देशांक हैं $\left(0, \pm 2\right)$

अपरिवर्तनीयता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$

लैटस रेक्टम की लंबाई $ =\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 9}{2}=9 $

Answer :

दी गई समीकरण $16 x^{2} - 9 y^{2}=576$ है

इसे लिखा जा सकता है

$16 x^{2}-9 y^{2}=576$

$\Rightarrow \dfrac{x^{2}}{36}-\dfrac{y^{2}}{64}=1$

$\Rightarrow \dfrac{x^{2}}{6^{2}}-\dfrac{y^{2}}{8^{2}}=1\qquad\ldots\mathrm{(1)}$

समीकरण $\left(1\right)$ को मानक अतिपरवलय के समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के साथ तुलना करते हुए,

हमें $a=6$ और $b=8$ प्राप्त होते हैं। हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ c^{2}=36+64=100$

$\Rightarrow c=10$

इसलिए,

फोकस के निर्देशांक हैं $\left( \pm 10,0\right)$

शीर्ष के निर्देशांक हैं $\left( \pm 6,0\right)$

अपरिवर्तनीयता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$

लैटस रेक्टम की लंबाई $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 64}{6}=\dfrac{64}{3}$

Answer :

दी गई समीकरण $5 y^{2} - 9 x^{2}=36$ है

$\Rightarrow \dfrac{y^{2}}{\left(\dfrac{36}{5}\right)}-\dfrac{x^{2}}{4}=1$

$\Rightarrow \dfrac{y^{2}}{\left(\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^{2}}-\dfrac{x^{2}}{2^{2}}=1\qquad\ldots\mathrm{(1)}$

समीकरण $\left(1\right)$ को मानक अतिपरवलय के समीकरण $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$ के साथ तुलना करते हुए,

हमें $a=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$ और $b= 2.$ हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ c^{2}=\dfrac{36}{5}+4=\dfrac{56}{5}$

$\Rightarrow c=\sqrt{\dfrac{56}{5}}=\dfrac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$

इसलिए, फोकस के निर्देशांक हैं $\left(0, \pm \dfrac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}\right)$

शीर्ष के निर्देशांक हैं $\left(0, \pm \dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)$

अपसारता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\left(\dfrac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}\right)}{\left(\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)}=\dfrac{\sqrt{14}}{3}$ $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 4}{\left(\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)}=\dfrac{4 \sqrt{5}}{3}$

लैटस रेक्टम की लंबाई $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 4}{\dfrac{6}{\sqrt{5}}}=\dfrac{64}{3}$

Answer :

दी गई समीकरण $49 y^{2} - 16 x^{2}=784$

इसे लिखा जा सकता है

$49 y^{2} - 16 x^{2}=784$

या, $\dfrac{y^{2}}{16}-\dfrac{x^{2}}{49}=1$

या, $\dfrac{y^{2}}{4^{2}}-\dfrac{x^{2}}{7^{2}}=1\qquad\ldots\mathrm{(1)}$

समीकरण $\left(1\right)$ को मानक अतिपरवलय समीकरण $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$ के साथ तुलना करते हुए,

हमें $a=4$ और $b=7$ प्राप्त होते हैं। हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ c^{2}=16+49=65$

$\Rightarrow c=\sqrt{65}$

इसलिए,

फोकस के निर्देशांक हैं $\left(0, \pm \sqrt{65}\right)$

शीर्ष के निर्देशांक हैं $\left(0, \pm 4\right)$

अपसारता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{65}}{4}$

लैटस रेक्टम की लंबाई $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 49}{4}=\dfrac{49}{2}$

Answer :

शीर्ष $\left( \pm 2,0\right)$, फोकस $\left( \pm 3,0\right)$

यहाँ, शीर्ष $x$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, अतिपरवलय के समीकरण के रूप $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।

क्योंकि शीर्ष $\left( \pm 2,0\right)$ हैं, इसलिए $a=2$

क्योंकि फोकस $\left( \pm 3,0\right)$ हैं, इसलिए $c=3$

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ 2^{2}+b^{2}=3^{2}$

$\quad b^{2}=9-4=5$

इसलिए, हाइपरबोला का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{5}=1$ है।

उत्तर :

शीर्ष $\left(0, \pm 5\right)$, फोकस $\left(0, \pm 8\right)$

यहाँ, शीर्ष $y$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, हाइपरबोला का समीकरण $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप में है।

क्योंकि शीर्ष $\left(0, \pm 5\right), a=5$

क्योंकि फोकस $\left(0, \pm 8\right), c=8$

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ 5^{2}+b^{2}=8^{2}$

$\quad b^{2}=64-25=39$

इसलिए, हाइपरबोला का समीकरण $\dfrac{y^{2}}{25}-\dfrac{x^{2}}{39}=1$ है।

उत्तर :

शीर्ष $\left(0, \pm 3\right)$, फोकस $\left(0, \pm 5\right)$

यहाँ, शीर्ष $y$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, हाइपरबोला का समीकरण $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप में है।

क्योंकि शीर्ष $\left(0, \pm 3\right), a=3$

क्योंकि फोकस $\left(0, \pm 5\right), c=5$

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ 3^{2}+b^{2}=5^{2}$

$\Rightarrow b^{2}=25 - 9=16$

इसलिए, हाइपरबोला का समीकरण $\dfrac{y^{2}}{9}-\dfrac{x^{2}}{16}=1$ है।

उत्तर :

फोकस $\left( \pm 5,0\right),$ अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $8$ है।

यहाँ, फोकस $x$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, हाइपरबोला का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप में है।

क्योंकि फोकस $\left( \pm 5,0\right), c=5$

क्योंकि अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $8$ है,

$2 a=8 \Rightarrow a=4$

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ 4^{2}+b^{2}=5^{2}$

$\Rightarrow b^{2}=25 - 16=9$

तदनुसार, परवलय का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{y^{2}}{9}=1$ है।

उत्तर :

फोकस $\left(0, \pm 13\right)$, संयुग्मी अक्ष की लंबाई $24$ है।

यहाँ, फोकस $y$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, परवलय का समीकरण निम्न रूप में होगा $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$

क्योंकि फोकस $\left(0, \pm 13\right), c=13$ हैं

क्योंकि संयुग्मी अक्ष की लंबाई $24,$

$2 b=24 \Rightarrow b=12$

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ a^{2}+12^{2}=13^{2}$

$\Rightarrow a^{2}=169 - 144=25$

इसलिए, परवलय का समीकरण $\dfrac{y^{2}}{25}-\dfrac{x^{2}}{144}=1$ है।

उत्तर :

फोकस $\left( \pm 3 \sqrt{5}, 0\right)$, लैटस रेक्टम की लंबाई $8$ है।

यहाँ, फोकस $x$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, परवलय का समीकरण निम्न रूप में होगा $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

क्योंकि फोकस $\left( \pm 3 \sqrt{5}, 0\right), c= \pm 3 \sqrt{5}$ हैं

लैटस रेक्टम की लंबाई $=8$

$\Rightarrow \dfrac{2 b^{2}}{a}=8$

$\Rightarrow b^{2}=4 a$

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ a^{2}+4 a=45$

$\Rightarrow a^{2}+4 a - 45=0$

$\Rightarrow a^{2}+9 a - 5 a - 45=0$

$\Rightarrow\left(a+9\right)\left(a - 5\right)=0$

$\Rightarrow a=- 9,5$

क्योंकि $a$ धनात्मक है, $a=5$

$\therefore \ \ b^{2}=4 a=4 \times 5=20$

इसलिए, परवलय का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{25}-\dfrac{y^{2}}{20}=1$ है।

उत्तर :

फोकस $\left( \pm 4,0\right)$, लैटस रेक्टम की लंबाई $12$ है।

यहाँ, फोकस $x$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, परवलय का समीकरण निम्न रूप में होगा $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

क्योंकि फोकस $\left( \pm 4,0\right), c=4$

लेटस रेक्टम की लंबाई $=12$

$\Rightarrow \dfrac{2 b^{2}}{a}=12$

$\Rightarrow b^{2}=6 a$

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ a^{2}+6 a=16$

$\Rightarrow a^{2}+6 a - 16=0$

$\Rightarrow a^{2}+8 a - 2 a - 16=0$

$\Rightarrow\left(a+8\right)\left(a - 2\right)=0$

$\Rightarrow a=- 8,2$

क्योंकि $a$ गैर-ऋणात्मक है, $a=2$

$\therefore \ \ b^{2}=6 a=6 \times 2=12$

इसलिए, हाइपरबोला का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{12}=1$ है।

उत्तर :

दिया गया है,

शीर्ष $\left( \pm 7,0\right)$,

$ e=\dfrac{4}{3} $

यहाँ, शीर्ष $x$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, हाइपरबोला का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप में है।

क्योंकि शीर्ष $\left( \pm 7,0\right), a=7$

दिया गया है कि $e=\dfrac{4}{3}$

$\therefore \ \ \dfrac{c}{a}=\dfrac{4}{3} \quad[e=\dfrac{c}{a}]$

$\Rightarrow \dfrac{c}{7}=\dfrac{4}{3}$

$\Rightarrow c=\dfrac{28}{3}$

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ 7^{2}+b^{2}=\left(\dfrac{28}{3}\right)^{2}$

$\Rightarrow b^{2}=\dfrac{784}{9}-49$

$\Rightarrow b^{2}=\dfrac{784-441}{9}=\dfrac{343}{9}$

इसलिए, हाइपरबोला का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{49}-\dfrac{9 y^{2}}{343}=1$ है।

उत्तर :

फोकस $\left(0, \pm \sqrt{10}\right)$, बिंदु $\left(2,3\right)$ से गुजरता है

यहाँ, फोकस $y$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, हाइपरबोला का समीकरण $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप में है।

क्योंकि फोकस $\left(0, \pm \sqrt{10}\right), c=\sqrt{10}$

हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore \ \ a^{2}+b^{2}=10$

$\Rightarrow b^{2}=10 - a^{2}\qquad \ldots(1)$

क्योंकि हाइपरबोला बिंदु $\left(2,3\right)$ से गुजरता है,

$\dfrac{9}{a^{2}}-\dfrac{4}{b^{2}}=1\qquad \ldots(2)$

समीकरण $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ से,

हम प्राप्त करते हैं, $\dfrac{9}{a^{2}}-\dfrac{4}{\left(10-a^{2}\right)}=1$

$\Rightarrow 9\left(10-a^{2}\right)-4 a^{2}=a^{2}\left(10-a^{2}\right)$

$\Rightarrow 90-9 a^{2}-4 a^{2}=10 a^{2}-a^{4}$

$\Rightarrow a^{4}-23 a^{2}+90=0$

$\Rightarrow a^{4}-18 a^{2}-5 a^{2}+90=0$

$\Rightarrow a^{2}\left(a^{2}-18\right)-5\left(a^{2}-18\right)=0$

$\Rightarrow\left(a^{2}-18\right)\left(a^{2}-5\right)=0$

$\Rightarrow a^{2}=18$ या $5$

अतिपरवलय में, $c>a$, अर्थात, $c^{2}>a^{2}$

$\therefore \ \ a^{2}=5$

$\Rightarrow b^{2}=10 - a^{2}=10 - 5=5$

इसलिए, अतिपरवलय का समीकरण $\dfrac{y^{2}}{5}-\dfrac{x^{2}}{5}=1$ है।