Answer :

The given equation is $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ or $\dfrac{x^{2}}{4^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1$

Here, the denominator of $\dfrac{x^{2}}{16}$ is greater than the denominator of $\dfrac{y^{2}}{9}$

Therefore, the major axis is along the $x$-axis, while the minor axis is along the $y$-axis.

On comparing the given equation with $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$, we obtain $a=4$ and $b=3$

$\therefore \ \ c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$

Therefore,

The coordinates of the foci are $( \pm \sqrt{7}, 0)$

The coordinates of the vertices are $( \pm 4,0)$

Length of major axis $=2 a=8$

Length of minor axis $=2 b=6$

Eccentricity, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$

Length of latus rectum $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 9}{4}=\dfrac{9}{2}$

Answer :

The given equation is $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{100}=1$ or $\dfrac{x^{2}}{5^{2}}+\dfrac{y^{2}}{10^{2}}=1$

Here, the denominator of $\dfrac{y^{2}}{100}$ is greater than the denominator of $\dfrac{x^{2}}{25}$

Therefore, the major axis is along the $y$-axis, while the minor axis is along the $x$-axis.

On comparing the given equation with $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$, we obtain $b=5$ and $a=10$

$\therefore \ \ c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5 \sqrt{3}$

Therefore,

The coordinates of the foci are $(0, \pm 5 \sqrt{3})$

The coordinates of the vertices are $(0, \pm 10)$

Length of major axis $=2 a=20$

Length of minor axis $=2 b=10$

Eccentricity, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5 \sqrt{3}}{10}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Length of latus rectum $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 25}{10}=5$

उत्तर :

दिया गया समीकरण $\dfrac{x^{2}}{49}+\dfrac{y^{2}}{36}=1$ या $\dfrac{x^{2}}{7^{2}}+\dfrac{y^{2}}{6^{2}}=1$ है।

यहाँ, $\dfrac{x^{2}}{49}$ के अतिसमाक भाजक, $\dfrac{y^{2}}{36}$ के अतिसमाक भाजक से अधिक है।

इसलिए, मुख्य अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है, जबकि न्यून अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है।

दिए गए समीकरण को $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के साथ तुलना करने पर, हमें $a=7$ और $b=6$ प्राप्त होते हैं।

$\therefore \ \ c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{49-36}=\sqrt{13}$

इसलिए,

फोकस के निर्देशांक $( \pm \sqrt{13}, 0)$ हैं।

शीर्ष के निर्देशांक $( \pm 7,0)$ हैं।

मुख्य अक्ष की लम्बाई $=2 a=14$

न्यून अक्ष की लम्बाई $=2 b=12$

अपसारिता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{13}}{7}$

लैटस रेक्टम की लम्बाई $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 36}{7}=\dfrac{72}{7}$

उत्तर :

दिया गया समीकरण $\dfrac{x^{2}}{100}+\dfrac{y^{2}}{400}=1$ या $\dfrac{x^{2}}{10^{2}}+\dfrac{y^{2}}{20^{2}}=1$ है।

यहाँ, $\dfrac{y^{2}}{400}$ के अतिसमाक भाजक, $\dfrac{x^{2}}{100}$ के अतिसमाक भाजक से अधिक है।

इसलिए, मुख्य अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है, जबकि न्यून अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।

दिए गए समीकरण को $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ के साथ तुलना करने पर, हमें $b=10$ और $a=20$ प्राप्त होते हैं।

$\therefore \ \ c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}=10 \sqrt{3}$

इसलिए,

फोकस के निर्देशांक $(0, \pm 10 \sqrt{3})$ हैं।

शीर्ष के निर्देशांक $(0, \pm 20)$ हैं।

मुख्य अक्ष की लम्बाई $=2 a=40$

न्यून अक्ष की लम्बाई $=2 b=20$

अपसारिता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{10 \sqrt{3}}{20}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

लैटस रेक्टम की लम्बाई $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 100}{20}=10$

उत्तर :

दिया गया समीकरण $36 x^{2}+4 y^{2}=144$

यह लिखा जा सकता है

$36 x^{2}+4 y^{2}=144$

या, $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{36}=1$

या, $\dfrac{x^{2}}{2^{2}}+\dfrac{y^{2}}{6^{2}}=1\qquad \ldots(1)$

यहाँ, $\dfrac{y^{2}}{6^{2}}$ के हर के मान के बराबर है $\dfrac{x^{2}}{2^{2}}$ के हर के मान से अधिक है

इसलिए, मुख्य अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है, जबकि न्यून अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।

समीकरण (1) की तुलना $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ से करते हुए, हमें $b=2$ और $a=6$ प्राप्त होते हैं

$\therefore \ \ c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}$

इसलिए,

फोकस के निर्देशांक $(0, \pm 4 \sqrt{2})$ हैं

शीर्ष के निर्देशांक $(0, \pm 6)$ हैं

मुख्य अक्ष की लम्बाई $=2 a=12$

न्यून अक्ष की लम्बाई $=2 b=4$

अपसारिता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4 \sqrt{2}}{6}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$

लैटस रेक्टम की लम्बाई $=\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 4}{6}=\dfrac{4}{3}$

Answer :

दिया गया समीकरण $16 x^{2}+y^{2}=16$ है

इसे लिखा जा सकता है

$16 x^{2}+y^{2}=16$

या, $\dfrac{x^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$

या, $\dfrac{x^{2}}{1^{2}}+\dfrac{y^{2}}{4^{2}}=1\qquad \ldots(1)$

यहाँ, $\dfrac{y^{2}}{4^{2}}$ के हर के मान के बराबर है $\dfrac{x^{2}}{1^{2}}$ के हर के मान से अधिक है

इसलिए, मुख्य अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है, जबकि न्यून अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।

समीकरण (1) की तुलना $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ से करते हुए, हमें $b=1$ और $a=4$ प्राप्त होते हैं

$\therefore \ \ c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}$

इसलिए,

फोकस के निर्देशांक $(0, \pm \sqrt{15})$ हैं

शीर्ष के निर्देशांक $(0, \pm 4)$ हैं

मुख्य अक्ष की लम्बाई $=2 a=8$

न्यून अक्ष की लम्बाई $=2 b=2$

अपसारिता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$

लैटस रेक्टम की लम्बाई $ =\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 1}{4}=\dfrac{1}{2} $

Answer :

दिया गया समीकरण $4 x^{2}+9 y^{2}=36$ है

इसे लिखा जा सकता है

$4 x^{2}+9 y^{2}=36$

या, $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$

या, $\dfrac{x^{2}}{3^{2}}+\dfrac{y^{2}}{2^{2}}=1$

यहाँ, $\dfrac{x^{2}}{3^{2}}$ के अंशक के बराबर है $\dfrac{y^{2}}{2^{2}}$ के अंशक से अधिक है

इसलिए, मुख्य अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है, जबकि न्यून अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है।

दिए गए समीकरण की तुलना $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से करते हुए, हमें $a=3$ और $b=2$ प्राप्त होते हैं

$\therefore \ \ c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$

इसलिए,

फोकस के निर्देशांक $( \pm \sqrt{5}, 0)$ हैं

शीर्ष के निर्देशांक $( \pm 3,0)$ हैं

मुख्य अक्ष की लंबाई $=2 a=6$

न्यून अक्ष की लंबाई $=2 b=4$

अपसारिता, $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

लैटस रेक्टम की लंबाई $ =\dfrac{2 b^{2}}{a}=\dfrac{2 \times 4}{3}=\dfrac{8}{3} $

उत्तर :

शीर्ष $( \pm 5,0)$, फोकस $( \pm 4,0)$

यहाँ, शीर्ष $x$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, अतिपरवलय का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप में होगा, जहाँ $a$ मुख्य अक्ष की अर्ध-लंबाई है।

इसलिए, $a=5$ और $c=4$

ज्ञात है कि $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$\therefore \ \ 5^{2}=b^{2}+4^{2}$

$\Rightarrow 25=b^{2}+16$

$\Rightarrow b^{2}=25-16$

$\Rightarrow b=\sqrt{9}=3$

इसलिए, अतिपरवलय का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{5^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1$ या $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ है।

उत्तर :

शीर्ष $(0, \pm 13)$, फोकस $(0, \pm 5)$

यहाँ, शीर्ष $y$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, अतिपरवलय का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ के रूप में होगा, जहाँ $a$ मुख्य अक्ष की अर्ध-लंबाई है।

इसलिए, $a=13$ और $c=5$

ज्ञात है कि $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$\therefore \ \ 13^{2}=b^{2}+5^{2}$

$\Rightarrow 169=b^{2}+25$

$\Rightarrow b^{2}=169-25$

$\Rightarrow b=\sqrt{144}=12$

इसलिए, वृत्त का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{12^{2}}+\dfrac{y^{2}}{13^{2}}=1$ या $\dfrac{x^{2}}{144}+\dfrac{y^{2}}{169}=1$ है।

उत्तर :

शीर्ष $( \pm 6,0)$, फोकस $( \pm 4,0)$

यहाँ, शीर्ष $x$-अक्ष पर हैं।

इसलिए, वृत्त का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप में होगा, जहाँ $a$ अर्ध-मुख्य अक्ष है।

इसलिए, $a=6, c=4$

ज्ञात है कि $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$\therefore \ \ 6^{2}=b^{2}+4^{2}$

$\Rightarrow 36=b^{2}+16$

$\Rightarrow b^{2}=36-16$

$\Rightarrow b=\sqrt{20}$

इसलिए, वृत्त का समीकरण $ \dfrac{x^{2}}{6^{2}}+\dfrac{y^{2}}{(\sqrt{20})^{2}}=1 \text{ या } \dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{20}=1 $

उत्तर :

मुख्य अक्ष के सिरे $( \pm 3,0)$ , लघु अक्ष के सिरे $(0, \pm 2 )$

यहाँ, मुख्य अक्ष $x$-अक्ष पर है।

इसलिए, वृत्त का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप में होगा, जहाँ $a$ अर्ध-मुख्य अक्ष है।

इसलिए, $a=3$ और $b=2$

इसलिए, वृत्त का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{3^{2}}+\dfrac{y^{2}}{2^{2}}=1$ अर्थात $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$ है।

उत्तर :

मुख्य अक्ष के सिरे $(0, \pm \sqrt{5})$, लघु अक्ष के सिरे $( \pm 1,0)$

यहाँ, मुख्य अक्ष $y$-अक्ष पर है।

इसलिए, वृत्त का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ के रूप में होगा, जहाँ $a$ अर्ध-मुख्य अक्ष है।

इसलिए, $a=\sqrt{5}$ और $b=1$

इसलिए, वृत्त का समीकरण

$ \dfrac{x^{2}}{1^{2}}+\dfrac{y^{2}}{(\sqrt{5})^{2}}=1 \text{ या } \dfrac{x^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{5}=1 `

$

उत्तर :

मुख्य अक्ष की लम्बाई $=26$; फोकस $=( \pm 5,0)$

क्योंकि फोकस $x$-अक्ष पर हैं, इसलिए मुख्य अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।

इसलिए, वृत्त के समीकरण के रूप में $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ होगा, जहाँ $a$ मुख्य अक्ष की अर्ध-लम्बाई है।

इसलिए, $2 a=26 \Rightarrow a=13$ और $c=5$

ज्ञात है कि $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$\therefore \ \ 13^{2}=b^{2}+5^{2}$

$\Rightarrow 169=b^{2}+25$

$\Rightarrow b^{2}=169-25$

$\Rightarrow b=\sqrt{144}=12$

इसलिए, वृत्त के समीकरण $\dfrac{x^{2}}{13^{2}}+\dfrac{y^{2}}{12^{2}}=1$ या $\dfrac{x^{2}}{169}+\dfrac{y^{2}}{144}=1$ होगा।

उत्तर :

न्यूनतम अक्ष की लम्बाई $=16$; फोकस $=(0, \pm 6)$

क्योंकि फोकस $y$-अक्ष पर हैं, इसलिए मुख्य अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है।

इसलिए, वृत्त के समीकरण के रूप में $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ होगा, जहाँ $a$ मुख्य अक्ष की अर्ध-लम्बाई है।

इसलिए, $2 b=16 \Rightarrow b=8$ और $c=6$

ज्ञात है कि $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$\therefore \ \ a^{2}=8^{2}+6^{2}=64+36=100$

$\Rightarrow a=\sqrt{100}=10$

इसलिए, वृत्त के समीकरण $\dfrac{x^{2}}{8^{2}}+\dfrac{y^{2}}{10^{2}}=1$ या $\dfrac{x^{2}}{64}+\dfrac{y^{2}}{100}=1$ होगा।

उत्तर :

फोकस $ ( \pm 3,0), a=4$

क्योंकि फोकस $x$-अक्ष पर हैं, इसलिए मुख्य अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।

इसलिए, वृत्त के समीकरण के रूप में $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ होगा, जहाँ $a$ मुख्य अक्ष की अर्ध-लम्बाई है।

इसलिए, $c=3$ और $a=4$

ज्ञात है कि $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$\therefore \ \ 4^{2}=b^{2}+3^{2}$

$\Rightarrow 16=b^{2}+9$

$\Rightarrow b^{2}=16-9=7$

इसलिए, वृत्त के समीकरण $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{7}=1$ होगा।

उत्तर :

दिया गया है $b=3, c=4$, मूल बिंदु पर केंद्र; फोकस $x$ अक्ष पर है।

क्योंकि फोकस $x$-अक्ष पर है, तो मुख्य अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।

इसलिए, वृत्त का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप में होगा, जहाँ $a$ मुख्य अक्ष की आधी लंबाई है।

इसलिए, $b=3, c=4$

ज्ञात है कि $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$\therefore \ \ a^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$

$\Rightarrow a=5$

इसलिए, वृत्त का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{5^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1$ या $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ होगा।

उत्तर :

केंद्र $(0,0)$ पर है और मुख्य अक्ष $y$-अक्ष पर है, इसलिए वृत्त का समीकरण निम्न रूप में होगा

$\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1 \qquad \ldots{(1)}$

जहाँ, $a$ मुख्य अक्ष की आधी लंबाई है

वृत्त बिंदुओं $(3,2)$ और $(1,6)$ से गुजरता है, इसलिए,

$ \dfrac{9}{b^{2}}+\dfrac{4}{a^{2}}=1 \qquad \ldots{(2)}$

$\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{36}{a^{2}}=1 \qquad \ldots{(3)} $

समीकरण (2) और (3) को हल करने पर हमें $b^{2}=10$ और $a^{2}=40$ प्राप्त होते हैं

इसलिए, वृत्त का समीकरण $\dfrac{x^{2}}{10}+\dfrac{y^{2}}{40}=1$ या $4 x^{2}+y^{2}=40$ होगा।

उत्तर :

क्योंकि मुख्य अक्ष $x$-अक्ष पर है, इसलिए वृत्त का समीकरण निम्न रूप में होगा

$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 \qquad \ldots{(1)}$

जहाँ, $a$ मुख्य अक्ष की आधी लंबाई है

वृत्त बिंदुओं $(4,3)$ और $(6,2)$ से गुजरता है, इसलिए,

$\dfrac{16}{a^{2}}+\dfrac{9}{b^{2}}=1 \qquad \ldots{(2)}$

$ \dfrac{36}{a^{2}}+\dfrac{4}{b^{2}}=1 \qquad \ldots{(3)}$

समीकरण (2) और (3) को हल करने पर हमें $a^{2}=52$ और $b^{2}=13$ प्राप्त होते हैं

इसलिए, वृत्त के समीकरण है

$ \dfrac{x^{2}}{52}+\dfrac{y^{2}}{13}=1 \text{ या } x^{2}+4 y^{2}=52 $