उत्तर :

दी गई समीकरण $y^{2}=12 x$ है।

यहाँ, $x$ के गुणांक धनात्मक है।

अतः, परवलय दाहिनी ओर खुलती है।

इस समीकरण को $y^{2}=4 a x$ के साथ तुलना करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $4 a=12 $ $\Rightarrow a=3$

$\therefore \ \ $ फोकस के निर्देशांक $=\left(a, 0\right)=\left(3,0\right)$

क्योंकि दी गई समीकरण में $y^{2}$ है, अतः परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है।

सीधर्त्र रेखा की समीकरण, $x=-a \ $ अर्थात $x=-3$ अर्थात $x+3=0$

लैटस रेखा की लम्बाई $=4 a=4 \times 3=12$

उत्तर :

दी गई समीकरण $x^{2}=6 y$ है।

यहाँ, $y$ के गुणांक धनात्मक है।

अतः, परवलय ऊपर खुलती है।

इस समीकरण को $x^{2}=4 a y$ के साथ तुलना करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $4 a=6 $ $\Rightarrow a=\dfrac{3}{2}$

$\therefore \ \ $ फोकस के निर्देशांक $=\left(0, a\right)=\left(0, \dfrac{3}{2}\right)$

क्योंकि दी गई समीकरण में $x^{2}$ है, अतः परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है।

सीधर्त्र रेखा की समीकरण,

$ y=-a \text{ अर्थात } y=-\dfrac{3}{2} $

लैटस रेखा की लम्बाई $=4 a=6$

उत्तर :

दी गई समीकरण $y^{2}=-8 x$ है।

यहाँ, $x$ के गुणांक ऋणात्मक है।

अतः, परवलय बाएँ ओर खुलती है।

दिए गए समीकरण की तुलना $y^{2}=-4 a x$ से करते हुए,

हम प्राप्त करते हैं $-4 a=-8 \Rightarrow a=2$

$\therefore \ \ $ फोकस के निर्देशांक $=\left(-a, 0\right)=\left(-2,0\right)$

क्योंकि दिए गए समीकरण में $y^{2}$ है, परबोला का अक्ष $x$-अक्ष है।

सीधेकर्त्र रेखा का समीकरण, $x=$ a $\quad$ अर्थात, $x=2$

लैटस रेक्टम की लंबाई $=4 a=8$

उत्तर :

दिए गए समीकरण $x^{2}=-16 y$ है

यहाँ, $y$ के गुणांक नकारात्मक है।

अतः, परबोला नीचे की ओर खुलती है।

दिए गए समीकरण की तुलना $x^{2}=-4 a y$ से करते हुए,

हम प्राप्त करते हैं $-4 a=-16 \Rightarrow a=4$

$\therefore \ \ $ फोकस के निर्देशांक $=\left(0,-a\right)=\left(0,-4\right)$

क्योंकि दिए गए समीकरण में $x^{2}$ है, परबोला का अक्ष $y$-अक्ष है।

सीधेकर्त्र रेखा का समीकरण, $y=a\quad$ अर्थात, $y=4$

लैटस रेक्टम की लंबाई $=4 a=16$

उत्तर :

दिए गए समीकरण $y^{2}=10 x$ है

यहाँ, $x$ के गुणांक धनात्मक है।

अतः, परबोला दाईं ओर खुलती है।

दिए गए समीकरण की तुलना $y^{2}=4 a x$ से करते हुए,

हम प्राप्त करते हैं

$4 a=10 \Rightarrow a=\dfrac{5}{2}$

$\therefore \ \ $ फोकस के निर्देशांक $=\left(a, 0\right)$ $ =\left(\dfrac{5}{2}, 0\right) $

क्योंकि दिए गए समीकरण में $y^{2}$ है, परबोला का अक्ष $x$-अक्ष है।

सीधेकर्त्र रेखा का समीकरण,

$ x=-a \quad\text{ अर्थात, } x=-\dfrac{5}{2} $

लैटस रेक्टम की लंबाई $=4 a=10$

उत्तर :

दिए गए समीकरण $x^{2}=-9 y$ है

यहाँ, $y$ के गुणांक नकारात्मक है।

इसलिए, परवलय नीचे की ओर खुलता है।

इस समीकरण को $x^{2}=4a y $ से तुलना करने पर

हम प्राप्त करते हैं $-4 a=-9 \Rightarrow b=\dfrac{9}{4}$

$\therefore \ \ $ फोकस के निर्देशांक $=\left(0,-a\right)=\left(0,-\dfrac{9}{4}\right)$

क्योंकि दिए गए समीकरण में $x^{2}$ है, इसलिए परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है।

सीधी रेखा का समीकरण,

$ y=a \quad\text{ अर्थात } y=\dfrac{9}{4} $

लैटस रेक्टम की लम्बाई $=4 a=9$

उत्तर :

फोकस $\left(6,0\right)$; सीधी रेखा, $x=-6$

क्योंकि फोकस $x$-अक्ष पर स्थित है, इसलिए $x$-अक्ष परवलय का अक्ष है।

इसलिए, परवलय का समीकरण $y^{2}=4 a x$ या $y^{2}=-4 a x$ के रूप में हो सकता है।

यह भी देखा जा सकता है कि सीधी रेखा, $x=-6$ $y$-अक्ष के बाईं ओर है, जबकि फोकस $\left(6,0\right)$ $y$-अक्ष के दाईं ओर है।

इसलिए, परवलय का रूप $y^{2}=4 a x$ है।

यहाँ, $a=6$

इसलिए, परवलय का समीकरण $y^{2}=24 x$ है।

उत्तर :

शीर्ष $\left(0,0\right)$; फोकस $\left(3,0\right)$

क्योंकि परवलय का शीर्ष $\left(0,0\right)$ है और फोकस धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है, इसलिए $x$-अक्ष परवलय का अक्ष है, जबकि परवलय का समीकरण $y^{2}=4 a x$ के रूप में होता है।

क्योंकि फोकस $\left(3,0\right)$ है, तो $a=3$

इसलिए, परवलय का समीकरण $y^{2}=4x \times 3$ अर्थात $y^{2}=12 x$ है।

उत्तर :

फोकस $=\left(0,-3\right) ;$ सीधी रेखा $y=3$

क्योंकि फोकस $y$-अक्ष पर स्थित है, इसलिए $y$-अक्ष परवलय का अक्ष है।

इसलिए, परवलय का समीकरण $x^{2}=4ay$ या $x^{2}=-4 a y$ के रूप में हो सकता है।

यह भी देखा जा सकता है कि सीधी रेखा, $y=3$ $x$-अक्ष के ऊपर है, जबकि फोकस

$\left(0,-3\right)$, $x$-अक्ष के नीचे है।

इसलिए, परवलय के रूप में $x^{2}=-4 a y$ है

यहाँ, $a=3$

इसलिए, परवलय का समीकरण $x^{2}=-12 y$ है

उत्तर :

शीर्ष $\left(0,0\right)$ फोकस $\left(-2,0\right)$

क्योंकि परवलय का शीर्ष $\left(0,0\right)$ है और फोकस नकारात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है, $x$-अक्ष परवलय का अक्ष है, जबकि परवलय का समीकरण $y^{2}=-4 a x$ के रूप में है

क्योंकि फोकस $\left(-2,0\right)$ है, $a=2$

इसलिए, परवलय का समीकरण $y^{2}=-4\left(2\right) x\quad$, अर्थात $y^{2}=-8 x$ है

उत्तर :

क्योंकि शीर्ष $\left(0,0\right)$ है और परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है, परवलय का समीकरण $ ~ y^{2}=4 a x ~ $ या $ ~ y^{2}=- 4 a x ~ $ के रूप में हो सकता है

परवलय $\left(2,3\right)$ से गुजरता है, जो प्रथम चतुर्थांश में है।

इसलिए, परवलय का समीकरण $y^{2}=4 a x$ के रूप में है, जबकि बिंदु $\left(2,3\right)$ समीकरण $y^{2}=4 a x$ को संतुष्ट करता है $y^{2}=4 a x$

$\therefore \ \ 3^{2}=4 a\left(2\right) \Rightarrow a=\dfrac{9}{8}$

इसलिए, परवलय का समीकरण है

$ \begin{aligned} & y^{2}=4\left(\dfrac{9}{8}\right) x \\ \\ & y^{2}=\dfrac{9}{2} x \\ \\ & 2 y^{2}=9 x \end{aligned} $

उत्तर :

क्योंकि शीर्ष $\left(0,0\right)$ है और परवलय $y$-अक्ष के संबंध में सममित है, परवलय का समीकरण $ ~ x^{2}=4 ay$ या $ ~ x^{2}=- 4ay$ के रूप में हो सकता है

परवलय $\left(5,2\right)$ से गुजरता है, जो प्रथम चतुर्थांश में है।

इसलिए, परवलय का समीकरण $x^{2}=4 a y$ के रूप में है, जबकि बिंदु

$\left(5,2\right)$ समीकरण $x^{2}=4 a y$ को संतुष्ट करता है

$\therefore \ \ \left(5\right)^{2}=4 \times a \times 2 $

$\quad\Rightarrow 25=8 a \Rightarrow a=\dfrac{25}{8}$

इसलिए, पराबोला का समीकरण है $x^{2}=4\left(\dfrac{25}{8}\right) y$

$2 x^{2}=25 y$