अध्याय 1 समुच्चय अतिरिक्त अभ्यास
अध्याय 1 पर अतिरिक्त अभ्यास
1. निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन से समुच्चय एक दूसरे के उपसमुच्चय हैं:
$A=\{x: x \in \mathbf{R}$ और $x$ संतुष्ट करता है $x^{2}-8 x+12=0\}$,
$B=\{2,4,6\}, \quad C=\{2,4,6,8, \ldots\}, D=\{6\}$
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उत्तर :
$A=\{x: x \in R $ और $x$ संतुष्ट करता है $.x^{2}-8 x+12=0\}$
$x^{2}-8 x+12=0$ के केवल $2$ और $6$ हल हैं
$\therefore \ \ A=\{2,6\}$
$B=\{2,4,6\}, C=\{2,4,6,8 \ldots\}, D=\{6\}$
$\therefore \ \ D \subset A \subset B \subset C$
अतः, $A \subset B, A \subset C, B \subset C, D \subset A, D \subset B, D \subset C$
2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में बताएं कि कथन सत्य है या असत्य। यदि सत्य है, तो सिद्ध करें। यदि असत्य है, तो उदाहरण दें।
(i) यदि $x \in A$ और $A \in B$, तो $x \in B$
(ii) यदि $A \subset B$ और $B \in C$, तो $A \in C$
(iii) यदि $A \subset B$ और $B \subset C$, तो $A \subset C$
(iv) यदि $A \not \subset B$ और $B \not \subset C$, तो $A \not \subset C$
(v) यदि $x \in A$ और $A \not \subset B$, तो $x \in B$
(vi) यदि $A \subset B$ और $x \notin B$, तो $x \notin A$
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उत्तर :
(i) असत्य
मान लीजिए $A=\{1,2\}$ और $B=\{1,\{1,2\},\{3\}\}$
अब, $2 \in\{1,2\}$ और $\{1,2\} \in\{\{3\}, 1,\{1,2\}\}$
$A$ $\in$ $B$
हालांकि, $2 \notin\{\{3\}, 1,\{1,2\}\}$
(ii) असत्य
मान लीजिए $A=\{2\}, B=\{0,2\}$, और $C=\{1,\{0,2\}, 3\}$
जैसा कि $A \subset B$
$B \in C$
हालांकि, $A \notin C$
(iii) सत्य
मान लीजिए $A \subset B$ और $B \subset C$.
मान लीजिए $x \in A$
$\Rightarrow x \in B \quad[\because A \subset B]$
$\Rightarrow x \in C \quad[\because B \subset C]$
$\therefore \ \ A\subset C$
(iv) असत्य
$ A=\{1,2\}, B=\{0,6,8\}, \text{ और } C=\{0,1,2,6,9\} $
इस प्रकार, $A \not \subset B$ और $B \not \subset C$.
हालांकि, $A \subset C$
(v) असत्य
$A=\{3,5,7\}$ और $B=\{3,4,6\}$
अब, $ 5 \in A \text{ और } A \in B$
हालांकि, $5 \notin B$
(vi) सत्य
मान लीजिए $A \subset B$ और $x \notin B$.
दिखाना है: $x \notin A$
यदि संभव हो, मान लीजिए $x \notin A$.
तब, $x \in B$, जो $x \notin B$ के विरोधाभास है
$\therefore \ \ x \notin A$
3. मान लीजिए $A, B$, और $C$ ऐसे समुच्चय हैं कि $A \cup B=A \cup C$ और $A \cap B=A \cap C$. दिखाइए कि $B=C$.
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उत्तर :
मान लीजिए, $A, B$ और $C$ ऐसे समुच्चय हैं कि $A \cup B=A \cup C$ और $A \cap B=A \cap C$
दिखाना है: $B=C$
मान लीजिए $x \in B$
$ \begin{matrix} \Rightarrow x \in A \cup B & {[B \subset A \cup B]} \\ \\ \Rightarrow x \in A \cup C & {[A \cup B=A \cup C]} \\ \\ \Rightarrow x \in A \text{ या } x \in C & \end{matrix} $
केस:1
$\qquad x\in A ~ $ इसके अलावा, $ ~ x \in B$
$ \begin{aligned} & \therefore \ \ x \in A \cap B \\ \\ & \Rightarrow x \in A \cap C \quad[\because A \cap B=A \cap C] \end{aligned} $
$\therefore \ \ x \in A$ और $x \in C$
$ \qquad x \in C$
$\therefore \ \ B \in C $
इसी तरह, हम दिखा सकते हैं कि $ C \in B $
$\therefore \ \ B=C$
4. दिखाइए कि निम्नलिखित चार स्थितियाँ तुलनीय हैं:
(i): $ \ A \subset B$
(ii): $ \ A-B=\phi$
(iii): $ \ A \cup B=B$
(iv): $A \cap B=A$
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उत्तर :
पहले, हमें दिखाना है कि $(i) \Leftrightarrow (ii).$
$(i) \Rightarrow (ii).$
मान लीजिए $\mathrm{A} \subset \mathrm{B}$
दिखाना है: $\mathrm{A}-\mathrm{B}=\phi$
यदि संभव हो, मान लीजिए $A-B \neq \phi$
इसका अर्थ है कि ऐसा $\mathrm{x} \in \mathrm{A}, \mathrm{x} \notin \mathrm{B}$ है, जो $\mathrm{A} \subset \mathrm{B}$ के विरोधाभास है।
$ \begin{aligned} & \therefore \ \ \mathrm{A}-\mathrm{B}=\phi \\ \\ & \therefore \ \ \mathrm{A} \subset \mathrm{ ~ B} \Rightarrow \mathrm{ ~ A}-\mathrm{B}=\phi \end{aligned} $
$(ii) \Rightarrow (i).$
मान लीजिए $\mathrm{A}-\mathrm{B}=\phi$
दिखाना है: $\mathrm{A} \subset \mathrm{B}$
$ x \in A $
स्पष्ट रूप से, $ x \in B $ क्योंकि यदि $ x \notin B $, तो $ A-B \neq \phi $
$\therefore \ \ \mathrm{A}-\mathrm{B}=\phi \Rightarrow \mathrm{A} \subset \mathrm{B}$
इसलिए, $(ii) \Leftrightarrow (i)$
$(i) \Rightarrow (iii).$
मान लीजिए $\mathrm{A} \subset \mathrm{B}$
दिखाना है: $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{B}$
स्पष्ट रूप से, $B \subset A \cup B$
मान लीजिए $x \in A \cup B$
$\Rightarrow \mathrm{x} \in \mathrm{A}$ या $\mathrm{x} \in \mathrm{B}$
केस I:
$ x \in A $
$ \begin{aligned} & \Rightarrow \mathrm{x} \in \mathrm{ ~ B} \quad[\because \mathrm{ ~ A} \subset \mathrm{ ~ B}] \\ \\ & \therefore \ \ \mathrm{A} \cup \mathrm{ ~ B} \subset \mathrm{ ~ B} \end{aligned} $
केस II:
$\mathrm{x} \in \mathrm{B}$
तब $A \cup B \subset B$
इसलिए, $A \cup B=B$
$(iii) \Rightarrow (i).$
विपरीत रूप से, मान लीजिए $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{B}$
दिखाना है: $\mathrm{A} \subset \mathrm{B}$
मान लीजिए $xe \ A$
$ \begin{aligned} & \Rightarrow x \in A \cup B[\because A \subset A \cup B] \\ \\ & \Rightarrow x \in B \quad [\because A \cup B=B] \\ \\ & \therefore \ \ A \subset B \end{aligned} $
इसलिए, $(iii) \Leftrightarrow (i)$
अब, हमें दिखाना है कि $(i) \Leftrightarrow (iv).$
मान लीजिए $\mathrm{A} \subset \mathrm{B}$
स्पष्ट रूप से $\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \subset \mathrm{A}$
मान लीजिए $x \in A$
हमें दिखाना है कि $x \in A \cap B$
क्योंकि $A \subset B, x \in B$
$ \begin{aligned} & \therefore \ \ \mathrm{x} \in \mathrm{ ~ A} \cap \mathrm{ ~ B} \\ \\ & \therefore \ \ \mathrm{ ~ A} \subset \mathrm{ ~ A} \cap \mathrm{ ~ B} \end{aligned} $
इसलिए, $\mathrm{A}=\mathrm{A} \cap \mathrm{B}$
विपरीत रूप से, मान लीजिए $A \cap B=A$
मान लीजिए $x \in A$
$ \begin{aligned} & \Rightarrow x \in A \cap B \\ \\ & \Rightarrow x \in A \text { and } x \in B \\ \\ & \Rightarrow x \in B \\ \\ & \therefore \ \ A \subset B \end{aligned} $
इसलिए, $(i) \Leftrightarrow (iv).$
5. दिखाइए कि यदि $A \subset B$, तो $(C-B) \subset (C-A)$.
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Answer :
$A \subset B$
दिखाना है: $(C - B) \subset (C - A)$
मान लीजिए $x \in (C-B)$
$\Rightarrow x \in C$ और $x \notin B $
$\Rightarrow x \in C$ और $x \notin A[A$ $\subset B]$
$\Rightarrow x \in C-A$
$\therefore \ \ (C-B )\subset (C-A)$
6. दिखाइए कि किसी भी समुच्चय $A$ और $B$ के लिए,
$A=(A \cap B) \cup(A-B)$ और $A \cup(B-A)=(A \cup B)$
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उत्तर :
दिखाना है:
$ \begin{aligned} (A \cap B) \cup(A-B) & =(A \cap B) \cup\left(A \cap B^{\prime}\right) \\ \\ & =A \cap\left(B \cup B^{\prime}\right) \quad\text { (By distributive law) } \\ \\ & =A \cap U=A \end{aligned} $
इसलिए, $ \ A=(A \cap B) \cup(A-B)$
साथ ही,
$ \begin{aligned} A \cup(B-A)& =A \cup\left(B \cap A^{\prime}\right) \\ \\ & =(A \cup B) \cap\left(A \cup A^{\prime}\right) \text { (By distributive law) } \\ \\ & =(A \cup B) \cap U \\ \\ & =A \cup B \end{aligned} $
इसलिए, $ \ A \cup(B-A)=A \cup B$.
7. समुच्चयों के गुणों का उपयोग करके दिखाइए कि
(i) $A \cup(A \cap B)=A$
(ii) $A \cap(A \cup B)=A$.
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उत्तर :
(i) वितरण गुण के आधार पर:
$ \begin{aligned} & A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) \\ \\ & A \cup(A \cap B)=(A \cup A) \cap(A \cup B)=A \cap(A \cup B)=A \end{aligned} $
इसलिए,
$ A \cup(A \cap B)=A $
(ii) वितरण गुण के आधार पर:
$ \begin{aligned} & A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C) \\ \\ & A \cap(A \cup B)=(A \cap A) \cup(A \cap B)=A \cup(A \cap B) \end{aligned} $
भाग (i) से,
$ A \cup(A \cap B)=A $
इसलिए,
$ A \cap(A \cup B)=A $
8. दिखाइए कि $A \cap B=A \cap C$ आवश्यक रूप से $B=C$ नहीं बताता।
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उत्तर :
$ \begin{aligned} & \text { मान लीजिए } \mathrm{A}=\{0,1\} \\ \\ & \mathrm{B}=\{\mathrm{0}, 2,3\} \\ \\ & \mathrm{C}=\{0,4,5\} \end{aligned} $
इसलिए,
$A \cap B=\{0\} \ \ $ और $ \ \ \mathrm{A} \cap \mathrm{C}=\{\mathrm{0}\}$
यहाँ, $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\mathrm{A} \cap \mathrm{C}=\{\mathrm{0}\}$
हालांकि, $\mathrm{B} \neq \mathrm{C}$ क्योंकि $2 \in \mathrm{B}$ और $2 \notin \mathrm{C}$
9. मान लीजिए $A$ और $B$ समुच्चय हैं। यदि कोई समुच्चय $X$ ऐसा है कि $A \cap X=B \cap X=\phi$ और $A \cup X=B \cup X$, तो सिद्ध कीजिए कि $A=B$ है।
(संकेत: $A=A \cap(A \cup X), B=B \cap(B \cup X)$ और वितरण नियम का उपयोग करें)
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उत्तर :
मान लीजिए $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ दो समुच्चय इस प्रकार हैं कि
$\mathrm{A} \cap \mathrm{X}=\mathrm{B} \cap \mathrm{X}=\phi$ और $\mathrm{A} \cup \mathrm{X}=\mathrm{B} \cup \mathrm{X}$ के लिए कोई समुच्चय $\mathrm{X}$ है।
दिखाना है: $\mathrm{A}=\mathrm{B}$
देखा जा सकता है कि
$ \begin{aligned} A & =A \cap(A \cup X) \\ \\ & =A \cap(B \cup X)(A \cup X=B \cup X) \\ \\ & =(A \cap B) \cup(A \cap X) \quad \text { (वितरण नियम )} \\ \\ & =(A \cap B) \cup \phi \quad(\because A \cap X=\phi) \\ \\ & =A \cap B \qquad . . .(1) \end{aligned} $
अब,
$ \begin{aligned} \mathrm{B} & =\mathrm{B} \cap(\mathrm{B} \cup \mathrm{X}) \\ \\ & =\mathrm{B} \cap(\mathrm{A} \cup \mathrm{X})\qquad(\because \mathrm{A} \cup \mathrm{X}=\mathrm{B} \cup \mathrm{X}) \\ \\ & =(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}) \cup(\mathrm{B} \cap \mathrm{X}) \qquad \text { (वितरण नियम) } \\ \\ & =(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}) \cup \phi\qquad (\because \mathrm{B} \cap \mathrm{X}=\phi) \\ \\ & =\mathrm{B} \cap \mathrm{A} \\ \\ & =\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \qquad . . .(2) \end{aligned} $
इसलिए, (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं, $ \ \mathrm{A}=\mathrm{B} $
10. ऐसे समुच्चय $A, B$ और $C$ ज्ञात कीजिए जिनके लिए $A \cap B, B \cap C$ और $A \cap C$ गैर-खाली समुच्चय हैं और $A \cap B \cap C=\phi$।
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उत्तर :
मान लीजिए $A=\{0,1\}, B=\{1,2\}$, और $C=\{2, 0\}$
इस प्रकार,
$A \cap B=\{1\}$
$B \cap C=\{2\}$
$A \cap C=\{0\}$
$\therefore \ \ \mathrm{A} \cap \mathrm{B}, \mathrm{B} \cap \mathrm{C}$, और $\mathrm{A} \cap \mathrm{C}$ गैर-खाली हैं।
हालांकि, $ \ \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\phi$
बीटा
