अध्याय 1 समुच्चय अभ्यास 1.5
EXERCISE 1.5
1. मान लीजिए $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, \ A=\{1,2,3,4\}, \ B=\{2,4,6,8\} \ $ और $ \ C=\{3,4,5,6\}$. ज्ञात कीजिए
(i): $A^{\prime}$
(ii): $B^{\prime}$
(iii): $(A \cup C)^{\prime}$
(iv): $(A \cup B)^{\prime}$
(v): $(A^{\prime})^{\prime}$
(vi): $(B-C)^{\prime}$
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उत्तर :
$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
$A=\{1,2,3,4\}$
$B=\{2,4,6,8\}$
$C=\{3,4,5,6\}$
(i): $A^{\prime}=U-(A\cup C)=\{5,6,7,8,9\}$
(ii): $B^{\prime}=U-B=\{1,3,5,7,9\}$
(iii): $A \cup C=\{1,2,3,4,5,6\}$
$\therefore \ \ (A \cup C)^{\prime}=U-(A\cup C)=\{7,8,9\}$
(iv): $A \cup B=\{1,2,3,4,6,8\}$
$(A \cup B)^{\prime}=U-(A\cup B)=\{5,7,9\}$
(v): $(A^{\prime})^{\prime}=A=\{1,2,3,4\}$
(vi): $B-C=\{2,8\}$
$\therefore \ \ (B-C)^{\prime}=U-(B-C)=\{1,3,4,5,6,7,9\}$
2. यदि $U=\{a, b, c, d, e, f, g, h\}$, निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिए :
(i): $A=\{a, b, c\}$
(ii): $B=\{d, e, f, g\}$
(iii): $C=\{a, c, e, g\}$
(iv): $D=\{f, g, h, a\}$
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उत्तर :
$U=\{a, b, c, d, e, f, g, h\}$
(i): $A=\{a, b, c\}$
$A^{\prime}=U-A=\{d, e, f, g, h\} $
(ii): $B=\{d, e, f, g\}$
$\therefore \ \ B^{\prime}=U-B=\{a, b, c, h\}$
(iii): $C=\{a, c, e, g\}$
$\therefore \ \ C^{\prime}=U-C=\{b, d, f, h\}$
(iv): $D=\{f, g, h, a\}$
$\therefore \ \ D^{\prime}=U-D=\{b, c, d, e\}$
3. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को विश्वविद्यालय समुच्चय मानते हुए, निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक लिखिए:
(i): $\{x: x$ एक सम प्राकृत संख्या है $\} \quad$
(ii): $\{x: x$ एक विषम प्राकृत संख्या है $\}$
(iii): $\{x: x$ 3 का एक धनात्मक गुणज है $\}$
(iv): $\{x: x$ एक अभाज्य संख्या है $\}$
(v): $\{x: x$ 3 और 5 से विभाज्य एक प्राकृत संख्या है $\}$
(vi): $\{x: x$ is a perfect square $\} \quad$
(vii): $\{x: x$ is a perfect cube $\}$
(viii): $\{x: x+5=8\}$
(ix): $\{x: 2 x+5=9\}$
(x): $\{x: x \geq 7\}$
(xi): $\{x: x \in N$ and $2 x+1>10\}$
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Answer :
$U=N$ : प्राकृत संख्याओं का समुच्चय।
हम जानते हैं कि किसी समुच्चय A के पूरक को $A’=U-A$ द्वारा दिया जाता है।
(i): $\{x: x$ is an even natural number $\}^{\prime}=\{x: x$ is an odd natural number $\}$
(ii): $\{x: x \text{ is an odd natural number }\}^{\prime}=\{x: x$ is an even natural number $\}$
(iii): $\{x: x \text{ is a positive multiple of } 3\}^{\prime}= \{x: x \in N$ and $x$ is not a multiple of $3 \} $
(iv): $\{x: x \text{ is a prime number }\}^{\prime}=\{x: x$ is a positive composite number and $x=1\}$
(v): $\{x: x \text{ is a natural number divisible by } 3 \text{ and } 5\}^{\prime}=\{x: x$ is a natural number that is not divisible by $3$ or $5$ $ \}$
(vi): $\{x: x \text{ is a perfect square }\}^{\prime}=\{x: x \in N$ and $x$ is not a perfect square $\}$
(vii): $\{x: x \text{ is a perfect cube }\}^{\prime}=\{x: x \in N$ and $x$ is not a perfect cube $\}$
(viii): $\{x: x+5=8\}^{\prime}=\{x: x \in N$ and $x \neq 3\}$
(ix): $\{x: 2 x+5=9\}^{\prime}=\{x: x \in N$ and $x \neq 2\}$
(x): $\{x: x \ {\geq 7}^{\prime}=\{x: x \in N$ and $x<7\}$
(xi): $\{x: x \in N \text{ and } 2 x+1>10\}^{\prime}=\{x: x \in N$ and $x \leq 9 / 2\}$
4. यदि $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, \ A=\{2,4,6,8\} \ $ और $ \ B=\{2,3,5,7\}$. सत्यापित करें कि
(i): $(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$
(ii): $(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$
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Answer :
$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
$A=\{2,4,6,8\}, B=\{2,3,5,7\}$
(i): $ \ (A \cup B)^{\prime}=\{2,3,4,5,6,7,8\}^{\prime}=\{1,9\} $
$\qquad A^{\prime} \cap B^{\prime}=\{1,3,5,7,9\} \cap(1,4,6,8,9)=\{1,9\}$
$\therefore \ \ (A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$
(ii): $ \ (A \cap B)^{\prime}=\{2\}^{\prime}=\{1,3,4,5,6,7,8,9\} $
$\qquad A^{\prime} \cup B^{\prime}=\{1,3,5,7,9\} \cup\{1,4,6,8,9\}=\{1,3,4,5,6,7,8,9\} $
$ \therefore \ \ (A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$
5. प्रत्येक निम्नलिखित के लिए उपयुक्त वेन आरेख बनाएं :
(i): $(A \cup B)^{\prime}$,
(ii): $A^{\prime} \cap B^{\prime}$,
(iii): $(A \cap B)^{\prime}$,
(iv): $A^{\prime} \cup B^{\prime}$
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Answer :
(ii): $A^{\prime} \cap B^{\prime}$
(iii): $(A \cap B)^{\prime}$
(iv): $A^{\prime} \cup B^{\prime}$
6. मान लीजिए $U$ तल में सभी त्रिभुजों के समुच्चय है। यदि $A$ वह समुच्चय है जिसमें कम से कम एक कोण $60^{\circ}$ से अलग है, तो $A^{\prime}$ क्या है?
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उत्तर :
$\mathrm{U}=$ तल में सभी त्रिभुजों का समुच्चय
$A=$ ऐसे सभी त्रिभुजों का समुच्चय जिनमें कम से कम एक कोण $60^{\circ}$ से अलग हो
$\mathrm{A}^{\prime}=$ ऐसे सभी त्रिभुजों का समुच्चय जिनमें कोई भी कोण $60^{\circ}$ से अलग न हो $=$ ऐसे सभी त्रिभुजों का समुच्चय जिनमें सभी तीन कोण $60^{\circ}$ हों
(क्योंकि समबाहु त्रिभुज में सभी कोण $60^{\circ}$ होते हैं) $=$ सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय
7. खाली स्थान भरें ताकि निम्नलिखित प्रत्येक कथन सही हो जाए :
(i): $A \cup A^{\prime}=\ldots$
(ii): $\phi^{\prime} \cap A=\ldots$
(iii): $A \cap A^{\prime}=$
(iv): $U^{\prime} \cap A=\ldots$
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उत्तर :
(i): $A \cup A^{\prime}=U$
(ii): $\Phi^{\prime } \cap A=U \cap A=A$
$\therefore \ \ \Phi^{\prime }\cap A=A$
(iii): $A \cap A^\prime=\Phi$
(iv): $ U^\prime \cap A=\Phi$
$\therefore \ \ U^\prime \cap A=\Phi$
बीटा
