अध्याय 1 समुच्चय अभ्यास 1.4
EXERCISE 1.4
1. निम्नलिखित समुच्चय युग्मों के संघ ज्ञात कीजिए :
(i): $X=\{1,3,5\} \quad Y=\{1,2,3\}$
(ii): $A=\{a, e, i, o, u\} \quad B=\{a, b, c\}$
(iii): $A=\{x: x$ एक प्राकृत संख्या है और $3$ का गुणज है \}$
$B=\{x: x$ एक प्राकृत संख्या है और $6$ से कम है \}$
(iv): $A=\{x: x$ एक प्राकृत संख्या है और $1<x \leq 6\}$
$B= \{x: x$ एक प्राकृत संख्या है और $6<x<10\}$
(v): $A=\{1,2,3\}, B=\phi$
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उत्तर :
(i): $X=\{1,3,5\} \quad Y=\{1,2,3\}$
$X \cup Y=\{1,2,3,5\}$
(ii): $A=\{a, e, i, o, u\} \quad B=\{a, b, c\}$
$\quad A \cup B=\{a, b, c, e, i, o, u\}$
(iii): $ A=\{x: x\}$ एक प्राकृत संख्या है और $3$ का गुणज है $=\{3,6,9 \ldots \}$
$ \qquad B = \{x: x$ एक प्राकृत संख्या है और $6$ से कम है $\}=\{1,2,3,4,5,6\}$
$A \cup B=\{1,2,4,5,3,6,9,12 \ldots\}$
$\therefore \ \ A \cup B=\{x: x=1,2,4,5\}$ या $3$ का गुणज है
(iv): $A=\{x: x$ एक प्राकृत संख्या है और $1<x \leq 6\}=\{2,3,4,5,6\}$
$B=\{x: x$ एक प्राकृत संख्या है और $6<x<10\}=\{7,8,9\}$
$A \cup B=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$
$\therefore \ \ A \cup B=\{x: x \in N$ और $1<x<10\}$
(v): $A=\{1,2,3\}, B=\Phi$
$A \cup B=\{1,2,3\}$
2. मान लीजिए $A=\{a, b\}, B=\{a, b, c\}$. $A \subset B$ है कि नहीं? $A \cup B$ क्या है?
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उत्तर:
यहाँ, $A=\{a, b\}$ और $B=\{a, b, c\}$
हाँ, $A \subset B$
$A \cup B=\{a, b, c\}=B$
3. यदि $A$ और $B$ दो समुच्चय इस प्रकार है कि $A \subset B$, तो $A \cup B$ क्या है?
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उत्तर :
यदि $A$ और $B$ दो समुच्चय इस प्रकार है कि $A \subset B$, तो $A \cup B=B$.
4. यदि $A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\}, C=\{5,6,7,8\}$ और $D=\{7,8,9,10\}$; ज्ञात कीजिए
(i): $A \cup B$
(ii): $A \cup C$
(iii): $B \cup C$
(iv): $B \cup D$
(v): $A \cup B \cup C$
(vi): $A \cup B \cup D$
(vii): $B \cup C \cup D$
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Answer :
$A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\}, C=\{5,6,7,8\}$ and $D=\{7,8,9,10\}$
(i): $A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$
(ii): $A \cup C=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
(iii): $B \cup C=\{3,4,5,6,7,8\}$
(iv): $B \cup D=\{3,4,5,6,7,8,9,10\}$
(v): $A \cup B \cup C=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
(vi): $A \cup B \cup D=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
(vii): $B \cup C \cup D =\{3,4,5,6,7,8,9,10\}$
5. प्रश्न $1$ के प्रत्येक सेट युग्म के छेदन को ज्ञात कीजिए।
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Answer :
(i): $X=\{1,3,5\}, Y=\{1,2,3\}$
$\quad X \cap Y=\{1,3\}$
(ii): $A=\{a, e, i, o, u\}, B=\{a, b, c\}$
$\quad \ A \cap B=\{a\}$
(iii): $ A= \{x : x \text { is a natural number and multiple of 3} \} =\{3,6,9 \}$
$\quad \ B=\{x : x \text{ is a natural number less than} \ 6 \} =\{1,2,3,4,5\}$
$\therefore \ \ A \cap B=\{3\}$
(iv): $ \ A=\{x$ $: x$ is a natural number and $1<x < 6 \}=\{2,3,4,5,6\}$
$\quad \ \ B=\{x$ $ : x $ is a natural number and $6<x<10\}=\{7,8,9\}$
$\therefore \ A \cap B=\Phi$
(v): $ \ A=\{1,2,3\}, B=\Phi$
$\quad \ \ A \cap B=\Phi$
6. यदि $A=\{3,5,7,9,11\}, B=\{7,9,11,13\}, C=\{11,13,15\}$ और $D=\{15,17\}$; ज्ञात कीजिए
(i): $A \cap B$
(ii): $B \cap C$
(iii): $A \cap C \cap D$
(iv): $A \cap C$
(v): $B \cap D$
(vi): $A \cap(B \cup C)$
(vii): $A \cap D$
(viii): $A \cap(B \cup D)$
(ix): $(A \cap B) \cap(B \cup C)$
(x): $(A \cup D) \cap(B \cup C)$
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Answer :
$ A=\{3,5,7,9,11\}, B=\{7,9,11,13\}, C=\{11,13,15\} \text { and } D=\{15,17\} $
(i): $ \ \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\{7,9,11\}$
(ii): $ \ \mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\{11,13\}$
(iii): $ \ \mathrm{A} \cap \mathrm{C} \cap \mathrm{D}=(\mathrm{A} \cap \mathrm{C}) \cap \mathrm{D}=\{11\} \cap\{15,17\}=\phi$
(iv): $ \ \mathrm{A} \cap \mathrm{C}=\{11\}$
(v): $ \ \mathrm{B} \cap \mathrm{D}=\phi$
(vi): $ \ A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ $ =\{7,9,11\} \cup\{11\}=\{7,9,11\} $
(vii): $ \ \mathrm{A} \cap \mathrm{D}=\phi$
(viii): $ \ A \cap(B \cup D)=(A \cap B) \cup(A \cap D) =\{7,9,11\} \cup \phi=\{7,9,11\} $
(ix): $ \ (A \cap B) \cap(B \cup C)=\{7,9,11\} \cap\{7,9,11,13,15\}=\{7,9,11\} $
(x): $ \ (A \cup D) \cap(B \cup C)=\{3,5,7,9,11,15,17\} \cap\{7,9,11,13,15\} =\{7,9,11,15\}$
7. यदि $A=\{x: x$ एक प्राकृतिक संख्या है $\}, \ B=\{x: x$ एक सम प्राकृतिक संख्या है $\}$, $ \ C=\{x: x$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है $\}$ और $D=\{x: x$ एक अभाज्य संख्या है $\}$, तो ज्ञात कीजिए
(i): $A \cap B$
(ii): $A \cap C$
(iii): $A \cap D$
(iv): $B \cap C$
(v): $B \cap D$
(vi): $C \cap D$
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Answer :
$ A=\{x: x \text { xis a natural number }\}=\{1,2,3,4,5 \ldots \ldots\} $
$ B=\{x: x \text { is an even natural number }\}=\{2,4,6,8 \ldots \ldots\} $
$ C=\{x: x \text { is an odd natural number }\}=\{1,3,5,7,9 \ldots \ldots\} $
$ D=\{x: x \text { xis a prime number }\}=\{2,3,5,7 \ldots\}$
(i): $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}$ is a even natural number $\}=\mathrm{B}$
(ii): $\mathrm{A} \cap \mathrm{C}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}$ is an odd natural number $\}=\mathrm{C}$
(iii): $\mathrm{A} \cap \mathrm{D}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}$ is a prime number $\}=\mathrm{D}$
(iv): $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\phi$
(v): $\mathrm{B} \cap \mathrm{D}=\{2\}$
(vi): $\mathrm{C} \cap \mathrm{D}=\{\mathrm{x}: x $ is odd prime number $\}$
8. निम्नलिखित में से कौन-से समुच्चय अलग-अलग (disjoint) हैं
(i): $\{1,2,3,4\}$ और $\{x: x$ एक प्राकृतिक संख्या है और $4 \leq x \leq 6\}$
(ii): $\{a, e, i, o, u\}$ और $\{c, d, e, f\}$
(iii): $\{x: x$ एक सम पूर्णांक है $\}$ और $\{x: x$ एक विषम पूर्णांक है $\}$
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उत्तर :
(i): $\{1,2,3,4\}$
$\{x: x$ एक प्राकृतिक संख्या है और $4 \leq x \leq 6 \}=\{4,5,6\}$
अब, $\{1,2,3,4\} \cap\{4,5,6\}=\{4\}$
इसलिए, इन दो समुच्चयों के युग्म असंगत नहीं हैं।
(ii): $\{a, e, i, o, u\} \cap\{c, d, e, f\}=\{e\}$
इसलिए, $\{a, e, i, o, u\}$ और $\{c, d, e, f\}$ असंगत नहीं हैं।
(iii): $\{x: x$ एक सम पूर्णांक है $\} \cap\{x: x$ एक विषम पूर्णांक है $\}=$ $\Phi$
इसलिए, इन दो समुच्चयों के युग्म असंगत हैं।
9. यदि $A=\{3,6,9,12,15,18,21\}, \ B=\{4,8,12,16,20\}, \ $ $C=\{2,4,6,8,10,12,14,16\}, \ D=\{5,10,15,20\}$; ज्ञात कीजिए
(i): $A-B$
(ii): $A-C$
(iii): $A-D$
(iv): $B-A$
(v): $C-A$
(vi): $D-A$
(vii): $B-C$
(viii): $B-D$
(ix): $C-B$
(x): $D-B$
(xi): $C-D$
(xii): $D-C$
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उत्तर :
(i): $A-B=\{3,6,9,15,18,21\}$
(ii): $A-C=\{3,9,15,18,21\}$
(iii): $A-D=\{3,6,9,12,18,21\}$
(iv): $B-A=\{4,8,16,20\}$
(v): $C-A=\{2,4,8,10,14,16\}$
(vi): $D-A=\{5,10,20\}$
(vii): $B-C=\{20\}$
(viii): $B - D =\{4,8,12,16\}$
(ix): $C-B=\{2,6,10,14\}$
(x): $D-B=\{5,10,15\}$
(xi): $C- D =\{2,4,6,8,12,14,16\}$
(xii): $D-C=\{5,15,20\}$
10. यदि $X=\{a, b, c, d\}$ और $Y=\{f, b, d, g\}$, तो ज्ञात कीजिए
(i): $X-Y$
(ii): $Y-X$
(iii): $X \cap Y$
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उत्तर :
(i): $X-Y=\{a, c\}$
(ii): $Y-X=\{f, g\}$
(iii): $X \cap Y=$ $\{b, d\}$
11. यदि $\mathbf{R}$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $\mathbf{Q}$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, तो $\mathbf{R}-\mathbf{Q}$ क्या है?
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उत्तर :
$R$ : वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
Q: परिमेय संख्याओं का समुच्चय
इसलिए, $R-Q$ अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।
12. निम्नलिखित प्रत्येक कथन के सत्य या असत्य होने की पुष्टि कीजिए। अपना उत्तर तर्क सहित दीजिए।
(i): $\{2,3,4,5\}$ और $\{3,6\}$ असंगत समुच्चय हैं।
(ii): $\{a, e, i, o, u\}$ और $\{a, b, c, d\}$ असंगत समुच्चय हैं।
(iii): $\{2,6,10,14\}$ और $\{3,7,11,15\}$ असंगत समुच्चय हैं।
(iv): $\{2,6,10\}$ और $\{3,7,11\}$ असंगत समुच्चय हैं।
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उत्तर :
(i): गलत
क्योंकि $3 \in\{2,3,4,5\}, 3 \in\{3,6\}$
$\Rightarrow\{2,3,4,5\} \cap\{3,6\}=\{3\}$
(ii): गलत
क्योंकि $a \in\{a, e, i, o, u\}, a \in\{a, b, c, d\}$
$\Rightarrow\{a, e, i, o, u\} \cap\{a, b, c, d\}=\{a\}$
(iii): सही
क्योंकि $\{2,6,10,14\} \cap\{3,7,11,15\}=\Phi$
(iv): सही
क्योंकि $\{2,6,10\} \cap\{3,7,11\}=\Phi$
बीटा
