अध्याय 1 समुच्चय अभ्यास 1.3
EXERCISE 1.3
1. खाली स्थान में $\subset$ या $\not \subset$ के चिह्न भरकर सही कथन बनाइए :
(i): $\{2,3,4\} \ldots\{1,2,3,4,5\}$
(ii): $\{a, b, c\} \ldots\{b, c, d\}$
(iii): $\{x: x$ एक छात्र है आपके विद्यालय के दसवें कक्षा का $\} \ldots\{x: x$ आपके विद्यालय का छात्र $\}$
(iv): $\{x: x$ एक तल में वृत्त है $\} \ldots\{x: x$ एक तल में वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है $\}$
(v): $\{x: x$ एक तल में त्रिभुज है $\} \ldots\{x: x$ एक तल में आयत है $\}$
(vi): $\{x: x$ एक तल में समबाहु त्रिभुज है $\} \ldots\{x: x$ एक तल में त्रिभुज है $\}$
(vii): $\{x: x$ एक सम प्राकृत संख्या है $\} \ldots\{x: x$ एक पूर्णांक है $\}$
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उत्तर :
(i): $\{2,3,4\} \subset\{1,2,3,4,5\}$
(ii): $\{a, b, c\} \not \subset\{b, c, d\}$
(iii): $\{x$ : $x$ आपके विद्यालय के दसवें कक्षा का छात्र $\} \subset $ $\{x: x$ आपके विद्यालय का छात्र $\}$
(iv): $\{x: x$ एक तल में वृत्त है $ \} \not \subset \{x: x$ एक तल में वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है $\}$
(v): $\{x: x$ एक तल में त्रिभुज है $ \} \not \subset \{x: x $ एक तल में आयत है $\}$
(vi): $\{x: x$ एक तल में समबाहु त्रिभुज है $\} \subset \{x: x$ एक तल में त्रिभुज है $\}$
(vii): $\{x: x$ एक सम प्राकृत संख्या है $\} \subset \{x: x$ एक पूर्णांक है $\}$
2. निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं जांच करें:
(i): $\{a, b\} \not \subset\{b, c, a\}$
(ii): $\{a, e\} \subset\{x: x$ अंग्रेजी वर्णमाला में एक अक्षर है $\}$
(iii): $\{1,2,3\} \subset\{1,3,5\}$
(iv): $\{a\} \subset\{a, b, c\}$
(v): $\{a\} \in\{a, b, c\}$
(vi): $ \{x: x$ एक अंग्रेजी वर्णमाला में 6 से कम एक सम प्राकृत संख्या है $\} \subset \{x: x$ एक पूर्णांक है जो 36 को विभाजित करता है $ \}$
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उत्तर :
(i): गलत। $\{a, b\}$ के प्रत्येक अवयव $\{b, c, a\}$ के अवयव भी हैं।
(ii): सही। $a, e$ अंग्रेजी वर्णमाला के दो स्वर हैं।
(iii): गलत। $2 \in\{1,2,3\}$; हालाँकि, $2 \notin\{1,3,5\}$
(iv): सही। $\{a\}$ के प्रत्येक अवयव $\{a, b, c\}$ के अवयव भी हैं।
(v): गलत। $\{a, b, c\}$ के अवयव $a, b, c$ हैं। अतः $\{a\} \subset\{a, b, c\}$
(vi): सही
$ \{x: x \text{ एक छोटी संख्या है जो 6 से कम है }\} = \{2,4\}$
$ \{x:x \text{ एक प्राकृतिक संख्या है जो 36 को विभाजित करती है } \} = \{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$
3. मान लीजिए $A=\{1,2,\{3,4\}, 5\}$. निम्नलिखित कथनों में से कौन-कौन गलत हैं और क्यों?
(i): $\{3,4\} \subset A$
(ii): $\{3,4\} \in A$
(iii): $\{\{3,4\}\} \subset A$
(iv): $1 \in A$
(v): $1 \subset A$
(vi): $\{1,2,5\} \subset A$
(vii): $\{1,2,5\} \in A$
(viii): $\{1,2,3\} \subset A$
(ix): $\phi \in A$
(x): $\phi \subset A$
(xi): $\{\phi\} \subset A$
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उत्तर :
$A=\{1,2,\{3,4\}, 5\}$
(i): कथन $\{3,4\} \subset A$ गलत है क्योंकि $3 \in\{3,4\}$; हालाँकि, $3 \notin A$।
(ii): कथन $\{3,4\} \in A$ सही है क्योंकि $\{3,4\}$, $A$ का एक अवयव है।
(iii): कथन $\{\{3,4\}\} \subset A$ सही है क्योंकि $\{3,4\} \in\{\{3,4\}\}$ और $\{3,4\} \in A$।
(iv): कथन $1 \in A$ सही है क्योंकि $1$, $A$ का एक अवयव है।
(v): कथन $1\subset A$ गलत है क्योंकि किसी समुच्चय का एक अवयव कभी अपने आप का उपसमुच्चय नहीं हो सकता।
(vi): कथन $\{1,2,5\} \subset A$ सही है क्योंकि $\{1,2,5\}$ के प्रत्येक अवयव $A$ के अवयव भी हैं।
(vii): कथन $\{1,2,5\} \in A$ गलत है क्योंकि $\{1,2,5\}$, $A$ का एक अवयव नहीं है।
(viii): कथन $\{1,2,3\} \subset A$ गलत है क्योंकि $3 \in\{1,2,3\}$; हालाँकि, $3 \notin A$।
(ix): कथन $\Phi \in A$ गलत है क्योंकि $\Phi$ $A$ का एक तत्व नहीं है।
(x): कथन $\Phi \subset A$ सही है क्योंकि $\Phi$ प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है।
(xi): कथन $\{\Phi\} \subset A$ गलत है क्योंकि $\Phi \in\{\Phi\}$; हालांकि, $\Phi \in A$ है।
4. निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए
(i): $\{a\}$
(ii): $\{a, b\}$
(iii): $\{1,2,3\}$
(iv): $\phi$
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Answer :
(i): $\{a\}$ के उपसमुच्चय $\Phi$ और $\{a\}$ हैं।
(ii): $\{a, b\}$ के उपसमुच्चय $\Phi,\{a\},\{b\}$, और $\{a, b\}$ हैं।
(iii): $\{1,2,3\}$ के उपसमुच्चय $\Phi,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}$, और $\{1,2,3\}$ हैं।
5. निम्नलिखित को अंतराल के रूप में लिखिए :
(i): $\{x: x \in R,-4<x \leq 6\}$
(ii): $\{x: x \in R,-12<x<-10\}$
(iii): $\{x: x \in R, 0 \leq x<7\}$
(iv): $\{x: x \in R, 3 \leq x \leq 4\}$
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Answer :
(i): $\{x: x \in R,-4<x \leq 6\}=(-4,6]$
(ii): $\{x: x \in R,-12<x<-10\}=(-12,-10)$
(iii): $\{x: x \in R, 0 \leq x<7\}=[0,7)$
(iv): $\{x : x \in$ $R, 3 \leq x \leq 4 \}=[3,4]$
6. निम्नलिखित अंतराल को समुच्चय-निर्माण रूप में लिखिए :
(i): $(-3,0)$
(ii): $[6,12]$
(iii): $(6,12]$
(iv): $[-23,5)$
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Answer :
(i): $(-3,0)=\{x: x \in R,-3<x<0\}$
(ii): $[6,12]=\{x: x \in R, 6 \leq x \leq 12\}$
(iii): $(6,12]=\{x: x \in R, 6<x \leq 12\}$
(iv): $[-23,5)=\{x: x \in R,-23 \leq x<5\}$
7. निम्नलिखित के लिए आप कौन-कौन से सार्वमुच्चय समुच्चय प्रस्तावित करेंगे :
(i): समकोण त्रिभुजों का समुच्चय।
(ii): समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय।
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Answer :
(i): समकोण त्रिभुजों के समुच्चय के लिए सार्वमुच्चय समुच्चय त्रिभुजों का समुच्चय या बहुभुजों का समुच्चय हो सकता है।
(ii): समद्विबाहु त्रिभुज के समुच्चय के लिए, सार्वत्रिक समुच्चय त्रिभुजों के समुच्चय या बहुभुजों के समुच्चय या द्विविमीय आकृतियों के समुच्चय हो सकता है।
8. दिए गए समुच्चय $A=\{1,3,5\}, B=\{2,4,6\}$ और $C=\{0,2,4,6,8\}$ के लिए, निम्नलिखित में से कौन-से समुच्चय $A, B$ और $C$ के लिए सार्वत्रिक समुच्चय $(s)$ के रूप में विचार किए जा सकते हैं?
(i): $\{0,1,2,3,4,5,6\}$
(ii): $\phi$
(iii): $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
(iv): $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
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Answer :
(i): यह देखा जा सकता है कि $A \subset\{0,1,2,3,4,5,6\}$
$B \subset\{0,1,2,3,4,5,6\}$
हालांकि, $C \not \subset$ $\{0,1,2,3,4,5,6\}$
इसलिए, समुच्चय $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ तीनों समुच्चय $A, B,$ और $C$ के लिए सार्वत्रिक समुच्चय नहीं हो सकता।
(ii): $ \ \ A \not \subset \phi, B$ $ \not \subset $ $\Phi, C \not \subset \Phi$
इसलिए, $\Phi$ तीनों समुच्चय $A, B,$ और $C$ के लिए सार्वत्रिक समुच्चय नहीं हो सकता।
(iii): $ \ \ \ A\quad \subset\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
$\qquad \ B$ $\quad \subset\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
$\qquad \ C$ $\quad\subset\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
इसलिए, समुच्चय $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ तीनों समुच्चय $A, B,$ और $C$ के लिए सार्वत्रिक समुच्चय है।
(iv): $ \ \ A \quad\subset\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
$ \qquad B \quad\subset\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
हालांकि, $ C$ $\quad\not \subset$ $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
इसलिए, समुच्चय $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ तीनों समुच्चय $A, B,$ और $C$ के लिए सार्वत्रिक समुच्चय नहीं हो सकता।
बीटा
