उत्तर :

(i): 2 से विभाज्य विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय एक खाली समुच्चय है क्योंकि कोई विषम संख्या 2 से विभाज्य नहीं हो सकती।

(ii): सम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय एक खाली समुच्चय नहीं है क्योंकि 2 एक सम अभाज्य संख्या है।

(iii): $\{x$ : $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, $x<5$ और $x>7\}$ एक खाली समुच्चय है क्योंकि कोई संख्या एक ही समय 5 से कम और 7 से अधिक नहीं हो सकती।

(iv): $\{y$ : $y$ कोई दो समानांतर रेखाओं के साधारण बिंदु है $\}$ एक खाली समुच्चय है क्योंकि समानांतर रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। अतः, वे कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं रखती हैं।

उत्तर :

(i): एक वर्ष के महीनों का समुच्चय एक सीमित समुच्चय है क्योंकि इसमें 12 तत्व होते हैं।

(ii): $\{1,2,3 \ldots\}$ एक असीमित समुच्चय है क्योंकि इसमें अपरिमित संख्या में प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।

(iii): $\{1,2,3 \ldots 99,100\}$ एक सीमित समुच्चय है क्योंकि 1 से 100 तक की संख्याएँ सीमित होती हैं।

(iv): 100 से बड़े सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय एक असीमित समुच्चय है क्योंकि 100 से बड़े धनात्मक पूर्णांक अपरिमित होते हैं।

(v): 99 से कम सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय एक सीमित समुच्चय है क्योंकि 99 से कम अभाज्य संख्याएँ सीमित होती हैं।

उत्तर :

(i): x-अक्ष के समांतर रेखाओं के समुच्चय एक अपरिमित समुच्चय है क्योंकि x-अक्ष के समांतर रेखाएँ अपरिमित होती हैं।

(ii): अंग्रेजी वर्णमाला में अक्षरों के समुच्चय एक सीमित समुच्चय है क्योंकि इसमें 26 तत्व होते हैं।

(iii): 5 के गुणजों के समुच्चय एक अपरिमित समुच्चय है क्योंकि 5 के गुणज अपरिमित होते हैं।

(iv): पृथ्वी पर रहने वाले प्राणियों के समुच्चय एक सीमित समुच्चय है क्योंकि पृथ्वी पर रहने वाले प्राणियों की संख्या सीमित है (हालांकि यह बहुत बड़ी संख्या है)।

(v): मूलबिंदु (0,0) से गुजरने वाले वृत्तों के समुच्चय एक अपरिमित समुच्चय है क्योंकि मूलबिंदु से गुजरने वाले अपरिमित वृत्त हो सकते हैं।

उत्तर :

(i): $A=\{a, b, c, d\} ; B=\{d, c, b, a\}$

एक समुच्चय के तत्वों के सूचीबद्ध क्रम के महत्व नहीं होता।

$A=B$

(ii): $A=\{4,8,12,16\} ; B=\{8,4,16,18\}$

देखा जा सकता है कि $12 \in A$ लेकिन $12 \notin B$।

$ \therefore \ \ A \neq B $

(iii): $A=\{2,4,6,8,10\}$

$B=\{x: x$ एक धनात्मक सम पूर्णांक है और $x \leq 10\}$ $=\{2,4,6,8,10\}$

$\therefore \ \ A=B$

(iv): $A=\{x: x$ 10 का गुणज है $\}$

$B=\{10,15,20,25,30 \ldots\}$

देखा जा सकता है कि $15 \in B$ लेकिन $15 \notin A$।

$\therefore \ \ A \neq B$

Answer :

(i): $A=\{2,3\} ; B=\{x: x$ is a solution of $x^{2}+5 x+6=0\}$

The equation $x^{2}+5 x+6=0$ can be solved as:

$x(x+3)+2(x+3)=0$

$(x+2)(x+3)=0$

$x=-2$ or $x=-3$

$\therefore \ \ A=\{2,3\} ; B=\{-2,-3\}$

$\therefore \ \ A \neq B$

(ii): $A=\{x: x$ is a letter in the word FOLLOW $\}=\{F, O, L, W\}$

$B=\{y: y$ is a letter in the word WOLF $\}=\{W, O, L, F\}$

The order in which the elements of a set are listed is not significant.

$\therefore \ \ A=B$

Answer :

$A=\{2,4,8,12\} ; \ \ B=\{1,2,3,4\} ; \ \ C=\{4,8,12,14\}$

$D=\{3,1,4,2\} ; \ \ E=\{-1,1\} ; \ \ F=\{0, a\}$

$G=\{1,-1\} ; \ \ A=\{0,1\}$

इसको देखा जा सकता है कि

$8 \in A, 8 \notin B, 8 \notin D, 8 \notin E, 8 \notin F, 8 \notin G, 8 \notin H$

$\Rightarrow A \neq B, A \neq D, A \neq E, A \neq F, A \neq G, A \neq H$

इसके अलावा, $2 \in A, 2 \notin C$

$\therefore \ \ A \neq C$

$3 \in B, 3 \notin C, 3 \notin E, 3 \notin F, 3 \notin G, 3 \notin H$

$\therefore \ \ B \neq C, B \neq E, B \neq F, B \neq G, B \neq H$

$12 \in C, 12 \notin D, 12 \notin E, 12 \notin F, 12 \notin G, 12 \notin H$

$\therefore \ \ C \neq D, C \neq E, C \neq F, C \neq G, C \neq H 4$

$\in D, 4 \notin E, 4 \notin F, 4 \notin G, 4 \notin H$

$\therefore \ \ D \neq E, D \neq F, D \neq G, D \neq H$

इसी तरह, $E \neq F, E \neq G, E \neq H$

$F \neq G, F \neq H, G \neq H$

एक समुच्चय के तत्वों के व्यवस्था के क्रम के महत्व नहीं होता है।

$\therefore \ \ B=D$ और $E=G$

इसलिए, दिए गए समुच्चयों में, $B=D$ और $E=G$।