अध्याय 1 समुच्चय अभ्यास 1.1
EXERCISE 1.1
1. निम्नलिखित में से कौन समुच्चय है? अपने उत्तर की व्याख्या करें।
(i): वर्ष के सभी महीनों के संग्रह जो अक्षर J से शुरू होते हैं।
(ii): भारत के दस सबसे कुशल लेखकों के संग्रह।
(iii): दुनिया के दस सबसे अच्छे क्रिकेट बल्लेबाजों की टीम।
(iv): आपकी कक्षा में सभी लड़कों के संग्रह।
(v): 100 से कम सभी प्राकृतिक संख्याओं के संग्रह।
(vi): लेखक मुंशी प्रेम चंद द्वारा लिखित उपन्यासों के संग्रह।
(vii): सभी सम पूर्णांकों के संग्रह।
(viii): इस अध्याय में सभी प्रश्नों के संग्रह।
(ix): दुनिया के सबसे खतरनाक जानवरों के संग्रह।
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उत्तर :
(i): वर्ष के सभी महीनों के संग्रह जो अक्षर J से शुरू होते हैं, एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है क्योंकि एक व्यक्ति इस संग्रह के अंतर्गत आने वाले महीने को निश्चित रूप से पहचान सकता है।
इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(ii): भारत के दस सबसे कुशल लेखकों के संग्रह एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह नहीं है क्योंकि एक लेखक की कुशलता के आधार के मानक व्यक्ति से व्यक्ति अलग-अलग हो सकते हैं।
इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय नहीं है।
(iii): दुनिया के दस सबसे अच्छे क्रिकेट बल्लेबाजों की टीम एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह नहीं है क्योंकि एक बल्लेबाज की कुशलता के आधार के मानक व्यक्ति से व्यक्ति अलग-अलग हो सकते हैं।
इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय नहीं है।
(iv): आपकी कक्षा में सभी लड़कों के संग्रह एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है क्योंकि आप इस संग्रह के अंतर्गत आने वाले लड़के को निश्चित रूप से पहचान सकते हैं।
इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(v): 100 से कम सभी प्राकृतिक संख्याओं के संग्रह एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है क्योंकि एक व्यक्ति इस संग्रह के अंतर्गत आने वाली संख्या को निश्चित रूप से पहचान सकता है।
इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(vi): लेखक मुंशी प्रेम चंद द्वारा लिखित उपन्यासों के संग्रह एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है क्योंकि एक व्यक्ति इस संग्रह के अंतर्गत आने वाली किताब को निश्चित रूप से पहचान सकता है।
इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(vii): सभी सम पूर्णांकों के संग्रह एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है क्योंकि एक व्यक्ति निश्चित रूप से इस संग्रह में सम पूर्णांक की पहचान कर सकता है।
इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(viii): इस पाठ्यक्रम में सवालों के संग्रह एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है क्योंकि एक व्यक्ति निश्चित रूप से इस पाठ्यक्रम में सवाल की पहचान कर सकता है।
इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय है।
(ix): दुनिया के सबसे खतरनाक जानवरों के संग्रह एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह नहीं है क्योंकि एक जानवर के खतरनाक होने के निर्धारण के मानदंड व्यक्ति से व्यक्ति अलग-अलग हो सकते हैं।
इसलिए, यह संग्रह एक समुच्चय नहीं है।
2. मान लीजिए $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ खाली स्थान में उपयुक्त संकेत $\in$ या $\notin$ डालिए:
(i): $5 \ldots A$
(ii): $8 \ldots A$
(iii): $0 \ldots A$
(iv): $4 \ldots A$
(v): $2\ldots A$
(vi): $10 \ldots A$
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Answer :
(i): $5 \in A$
(ii): $8 \notin A$
(iii): $ 0 \notin A$
(iv): $4 \in A$
(v): $2 \in A$
(vi): $10 \notin A$
3. निम्नलिखित समुच्चयों को सूची रूप में लिखिए:
(i): $A=\{x: x \text{ is an integer and} -3 \leq x<7\}$
(ii): $B=\{x: x \text{ is a natural number less than } 6 \}$
(iii): $C=\{x:x \text{ is a two-digit natural number such that the sum of its digits is } 8\}$
(iv): $D=\{x: x \text{ is a prime number which is divisor of } 60 \}$
(v): $E=$ शब्द TRIGONOMETRY में सभी अक्षरों का समुच्चय
(vi): $F=$ शब्द BETTER में सभी अक्षरों का समुच्चय
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(i): $A=\{x: x$ is an integer and $-3<x<7 \}$
इस समुच्चय के तत्व $-2 , -1,0,1,2,3,4,5$, और $6$ हैं।
(ii): $B=\{x: x$ is a natural number less than $6\}$
इसलिए, दिया गया समुच्चय सूची रूप में लिखा जा सकता है $ \mathrm{A}=\{-2 , -1,0,1,2,3,4,5,6\} $
$6$ से कम प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, 4, 5$ हैं।
इसलिए, दिए गए समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखा जा सकता है $ \mathrm{B}=\{1,2,3,4,5\} $
(iii): $ \ C=\{x: x$ एक दो अंक की प्राकृतिक संख्या है जिसके अंकों का योग $8\}$
इस समुच्चय के तत्व $17,26,35,44,53,62,71$ और 80 केवल हैं।
इसलिए, इस समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखा जा सकता है $ C=\{17,26,35,44,53,62,71,80\} $
(iv): $\mathrm{D}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}$ एक अभाज्य संख्या है जो $60$ का एक गुणज है\}$
$\underline{2 \mid 60}$
$ \dfrac{\dfrac{2 \mid 30}{3 \mid 15}}{\dfrac{5 \mid 5}{\mid 1}} $
$ \therefore \ \ 60=2 \times 2 \times 3 \times 5 $
$\therefore \ \ $ इस समुच्चय के तत्व $2,3 ,$ और $5$ केवल हैं।
इसलिए, इस समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखा जा सकता है $\mathrm{D}=\{2,3,5\}$
(v): $\mathrm{E}=$ शब्द TRIGONOMETRY में सभी अक्षरों का समुच्चय
शब्द TRIGONOMETRY में $12$ अक्षर हैं, जिनमें से $T,$ $R$, और $O$ दोहराए गए हैं। और हम दोहराए गए अक्षर केवल एक बार लिखते हैं।
इसलिए, इस समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखा जा सकता है
$ \mathrm{E}=\{\mathrm{T}, \mathrm{R}, \mathrm{I}, \mathrm{G}, \mathrm{O}, \mathrm{N}, \mathrm{M}, \mathrm{E}, \mathrm{Y}\} $
(vi): $\mathrm{F}=$ शब्द BETTER में सभी अक्षरों का समुच्चय
शब्द BETTER में $6$ अक्षर हैं, जिनमें से $E$ और $T$ दोहराए गए हैं।
इसलिए, इस समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखा जा सकता है $ F=\{B, E, T, R\} $
4. निम्नलिखित समुच्चयों को समुच्चय-कथन रूप में लिखिए :
(i): $\{3,6,9,12\}$
(ii): $\{2,4,8,16,32\}$
(iii): $\{5,25,125,625\}$
(iv): $\{2,4,6, \ldots\}$
(v): $\{1,4,9, \ldots, 100\}$
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Answer :
(i): $\{3,6,9,12\}=\{x: x=3 n, n \in N$ और $1 \leq n \leq 4\}$
(ii): $\{2,4,8,16,32\}$
देखा जा सकता है कि $2=2^{1}, 4=2^{2}, 8=2^{3}, 16=2^{4}$, और $32=2^{5}$
$\therefore \ \ \ \ \{2,4,8,16,32\}=\{x: x=2^{n}, n {\in} N$ और $1 \leq n \leq 5\}$
(iii): $\{5,25,125,625\}$
देखा जा सकता है कि $5=5^{1}, 25=5^{2}, 125=5^{3}$, और $625=5^{4}$
$\therefore \ \ \ \ \{5,25,125,625\}=\{x: x=5^{n}, n \in N$ और $1 \leq n \leq 4\}$
(iv): $\{2,4,6 \ldots\}$
यह सभी सम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है।
$\therefore \ \ \ \ \{2,4,6 \ldots\}=\{x: x$ सम प्राकृतिक संख्या है $\}$
(v): $\{1,4,9 \ldots 100\}$
देखा जा सकता है कि $1=1^{2}, 4=2^{2}, 9=3^{2} \ldots 100=10^{2}$
$\therefore \ \ \ \ \{1,4,9 \ldots 100\}=\{x: x=n^{2}, n \in N$ और $1 \leq n \leq 10\}$
5. निम्नलिखित समुच्चयों के सभी तत्वों को सूचिबद्ध करें :
(i): $A=\{x: x$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है $\}$
(ii): $B=\{x: x$ एक पूर्णांक है, $-\dfrac{1}{2}< x < \dfrac{9}{2}\}$
(iii): $C=\{x: x$ एक पूर्णांक है, $x^{2} \leq 4\}$
(iv): $D=\{x: x$ शब्द “LOYAL” में एक अक्षर है $\}$
(v): $E=\{x: x$ एक वर्ष के ऐसे महीने है जिसमें 31 दिन नहीं होते $\}$
(vi): $F=\{x: x$ अंग्रेजी वर्णमाला में ‘k’ से पहले आने वाला व्यंजन है $\}$
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Answer :
(i): $\mathrm{A}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है $\}=\{1,3,5,7,9 \ldots \ldots\}$
(ii): $\mathrm{B}=\left\{\mathrm{x}: \mathrm{x}\right.$ एक पूर्णांक है, $\left.-\frac{1}{2}<\mathrm{x}<\frac{9}{2}\right\}$
क्योंकि, $-\frac{1}{2}=-0.5$ और $\frac{9}{2}=4.5$
$ \therefore \ \ \mathrm{B}=\{0, 1,2,3,4\} $
(iii): $\mathrm{C}=\left\{\mathrm{x}: \mathrm{x}\right.$ एक पूर्णांक है; $\left.\mathrm{x}^2 \leq 4\right\}$
देखा जा सकता है कि
$ \begin{aligned} & (-1)^2=1 \leq 4 \\ \\ & (-2)^2=4 \leq 4 \\ \\ & (-3)^2=9>4 \\ \\ & \mathrm{0}^2=0 \leq 4 \\ \\ & 1^2=1 \leq 4 \\ \\ & 2^2=4 \leq 4 \\ \\ & 3^2=9>4 \\ \\ & \therefore \ \ C=\{-2,-1,0,1,2\} \end{aligned} $
(iv): $\mathrm{D}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}$ शब्द LOYAL में एक अक्षर है $\}=\{\mathrm{L}, \mathrm{O}, \mathrm{Y}, \mathrm{A}\}$
(v): $\mathrm{E}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}$ एक वर्ष के ऐसे महीने है जिसमें 31 दिन नहीं होते $\}$
$=\{\text{फरवरी, अप्रैल, जून, सितंबर, नवंबर }\}$
(vi): $\mathrm{F}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}$ अंग्रेजी वर्णमाला में $k$ के पहले वर्ण है\}$ $=\{\mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{f}, \mathrm{g}, \mathrm{h}, \mathrm{j}\}$
6. वाम पक्ष पर सूची रूप में दिए गए समुच्चय को दक्षिण पक्ष पर समुच्चय-रचना रूप में वर्णित समुच्चय के साथ मिलान करें:
| (i): $\{1,2,3,6\}$ | (a) $\{x: x \text{ एक अभाज्य संख्या है और 6 का एक गुणज है}\}$ |
| (ii): $\{2,3\}$ | (b) $\{x: x \text{ एक विषम प्राकृतिक संख्या है और 10 से कम है}\}$ |
| (iii): $\{\mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{T}, \mathrm{H}, \mathrm{E}, \mathrm{I}, \mathrm{C}, \mathrm{S}\}$ | (c) $\{x: x \text{ एक प्राकृतिक संख्या है और 6 का एक गुणज है}\}$ |
| (iv): $\{1,3,5,7,9\}$ | (d) $\{x: x\text{ शब्द MATHEMATICS के एक वर्ण है }\}$ |
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Answer :
(i): इस समुच्चय के सभी तत्व प्राकृतिक संख्या हैं और 6 के गुणज हैं
इसलिए, : (c) से मेल खाता है
(ii): यह देखने पर 2 और 3 अभाज्य संख्या हैं। वे 6 के गुणज भी हैं
इसलिए, (ii) (a) से मेल खाता है
(iii): इस समुच्चय के सभी तत्व शब्द MATHEMATICS के वर्ण हैं।
इसलिए, (iii) (d) से मेल खाता है
(iv): इस समुच्चय के सभी तत्व 10 से कम विषम प्राकृतिक संख्या हैं
इसलिए, (iv) (b) से मेल खाता है
बीटा
