सोचने की प्रक्रिया

जब प्रकाश की किरण ब्रॉव्स्टर के कोण पर आपतित होती है, तो प्रसारित किरण अप्रकाशित होती है और परावर्तित किरण प्रकाशित होती है।

उत्तर

(c) चित्र को ध्यान से देखें, हवा से काँच के प्लेट के ब्रॉव्स्टर के कोण $(i_{p})$ पर प्रकाश की किरण आपतित होती है। आपतित किरण अप्रकाशित होती है और डॉट (.) द्वारा प्रतिनिधित्व की जाती है।

परावर्तित प्रकाश तल प्रकाशित होता है जो बीम द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है।

जब उत्पन्न किरण अप्रकाशित होती है, तो पोलरॉइड के माध्यम से गुजरते हुए तीव्रता शून्य नहीं हो सकती।

• विकल्प (a) गलत है: उत्पन्न किरण अप्रकाशित होती है, जिसका अर्थ है कि विस्तारित तरंग चलने की दिशा के लंबवत सभी दिशाओं में झूलती है। क्योंकि पोलरॉइड केवल कुछ दिशाओं के प्रकाशित तरंगों को रोक सकता है, इसलिए यह अप्रकाशित तरंगों को पूरी तरह से रोक नहीं सकता है, और इसलिए किसी भी दिशा में पूर्ण अंधेरा नहीं होगा।

• विकल्प (ब) गलत है: पोलरॉइड के माध्यम से दिखने वाले प्रकाश की तीव्रता पोलरॉइड के उपांग के प्रकाश के ध्रुवीकृत दिशा के संबंध में आयोजन पर निर्भर करेगी। क्योंकि निर्गत प्रकाश अध्रुवीकृत है, पोलरॉइड को घुमाने से अंतरिक विकिरण की तीव्रता पर प्रभाव पड़ेगा, जिसके कारण तीव्रता में भिन्नता होगी।

• विकल्प (द) गलत है: पोलरॉइड के माध्यम से दिखने वाले प्रकाश की तीव दो आयोजनों में होगी, न कि चार। इसका कारण यह है कि निर्गत प्रकाश अध्रुवीकृत है, और पोलरॉइड केवल दो आयोजनों में तीव्रता कम होगी, जो पोलरॉइड के ध्रुवीकृत अक्ष के दो लंबवत दिशाओं के संगत होंगे।

उत्तर

(a) दिया गया, छिद्र की चौड़ाई $=10^{4} \AA$

$$ =10^{4} \times 10^{-10} m=10^{-6} m=1 \mu m $$

(दृश्य) सूर्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $4000 \AA$ से $8000 \AA$ तक होती है।

क्योंकि छिद्र की चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के समानुपाती है, इसलिए विवर्तन होता है और केंद्र में अधिकतम होता है। इसलिए, केंद्र में सभी रंग दिखाई देते हैं, जिससे सभी दृश्य तरंगदैर्ध्यों के मिश्रण से केंद्र में एक सफेद बिंदु बनता है।

• विकल्प (ब) गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि तीव्रता किनारों तक शून्य हो जाती है, जो विवर्तन पैटर्न में अनेक अधिकतम और न्यूनतम के अंतर को नहीं लेता है, जो केवल धीरे-धीरे शून्य तक फैलने के बजाय होता है।

• विकल्प (स) गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि अलग-अलग रंगों के क्षेत्र अलग-अलग दिखाई देंगे, जबकि वास्तव में विवर्तन पैटर्न के कारण केंद्र में सभी दृश्य तरंगदैर्ध्यों के मिश्रण से एक सफेद अधिकतम बनता है, और उसके बाद अगले अधिकतम और न्यूनतम बनते हैं जो कुछ रंग विभाजन दिखा सकते हैं लेकिन केंद्र में अलग-अलग दिखाई नहीं देंगे।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि छवि केवल एक फैली हुई सफेद झरना होगी, मुख्य चमकदार अधिकतम और विवर्तन पैटर्न के अनेक अधिकतम और न्यूनतम की उपस्थिति को नगण्य कर देता है।

Answer

(a) चित्र को ध्यान में रखिए, किरण $(P)$ कोण $\theta$ पर आपतित होती है और दिशा $P^{\prime}$ में परावर्तित हो जाती है और दिशा $P^{\prime \prime}$ में अपवर्तित हो जाती है। ग्लास माध्यम से परावर्तन के कारण अपवर्तन अंतर $\pi$ होता है।

$OP^{\prime \prime}$ के अनुदिश यात्रा के लिए समय

स्नेल के नियम से, $\quad n=\dfrac{\sin \theta}{\sin r}$

$$ \Delta t=\dfrac{O P^{\prime \prime}}{v}=\dfrac{d / \cos r}{c / n}=\dfrac{n d}{c \cos r} $$

$$ \Rightarrow \quad \sin r=\dfrac{\sin \theta}{n} $$

$\cos r=\sqrt{1-\sin ^2 r}=\sqrt{1-\dfrac{\sin ^2 \theta}{n^2}}$

$$ \begin{gathered} \Delta t=\dfrac{n d}{c 1-\dfrac{\sin ^{2} \theta}{n^{2}}}=\dfrac{n^{2} d}{c} 1-\dfrac{\sin ^{2} \theta}{n^{2}} \\ \text { Phase difference }=\Delta \varphi=\dfrac{2 \pi}{T} \times \Delta t=\dfrac{2 \pi n d}{\lambda} 1-\dfrac{\sin ^{2} \theta}{n^{2}} \end{gathered} $$

इसलिए, नेट अपवर्तन अंतर $=\Delta \varphi+\pi$

$$ =\dfrac{4 \pi d}{\lambda} \sqrt{(1-\dfrac{1}{n^{2}} \sin ^{2} \theta)}+\pi$$

• विकल्प (b): विकल्प (b) में दी गई अभिव्यक्ति में शीतल माध्यम से परावर्तन के कारण होने वाले अतिरिक्त चरण परिवर्तन $\pi$ के अतिरिक्त नहीं है। सही चरण अंतर में इस $\pi$ पद को शामिल करना चाहिए।

• विकल्प (c): विकल्प (c) में अभिव्यक्ति में $\dfrac{\pi}{2}$ के बजाय शीतल माध्यम से परावर्तन के कारण सही $\pi$ चरण परिवर्तन के बजाय गलत रूप से $\dfrac{\pi}{2}$ पद शामिल किया गया है। इसके अतिरिक्त, $\sin^2 \theta^{1/2}$ के बजाय $\sin^2 \theta$ का सही प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए।

• विकल्प (d): विकल्प (d) में अभिव्यक्ति में शीतल माध्यम से परावर्तन के कारण सही $\pi$ चरण परिवर्तन के बजाय गलत रूप से $2\pi$ पद शामिल किया गया है। इसके अतिरिक्त, $\sin^2 \theta^{1/2}$ के बजाय $\sin^2 \theta$ का सही प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए।

उत्तर

(c) पर्दे पर व्यतिकरण पैटर्न बनाने के लिए स्रोत समान आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के प्रकाश के उत्सर्जन करने वाले अनुसंगत होने चाहिए।

यंग के द्विस्लिट प्रयोग में, जब एक छेद को लाल फिल्टर द्वारा आच्छादित कर दिया जाता है और दूसरे छेद को नीला फिल्टर द्वारा आच्छादित कर दिया जाता है। इस स्थिति में केवल लाल और नीले प्रकाश मौजूद होते हैं। यंग के द्विस्लिट प्रयोग में पर्दे पर बैंड बनाने के लिए एकल रंग के प्रकाश का उपयोग किया जाता है। इसलिए, इस स्थिति में कोई व्यतिकरण बैंड नहीं होंगे।

• (a) लाल और नीले के वैकल्पिक व्यतिकरण पैटर्न नहीं होंगे क्योंकि दो प्रकाश स्रोत (लाल और नीला) अनुसंगत नहीं हैं। एक स्थायी व्यतिकरण पैटर्न बनाने के लिए अनुसंगत स्रोत की आवश्यकता होती है, और वे समान आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के होना चाहिए, जो यहां नहीं है।

• (ब) लाल के लिए एक तरंगदैध्रुतीय पैटर्न ब्लू के लिए अलग नहीं होगा क्योंकि, फिर से, स्रोत असंगत नहीं हैं। संगत स्रोत एक स्पष्ट और स्थायी तरंगदैध्रुतीय बैंड उत्पन्न करने के लिए आवश्यक हैं, और लाल और ब्लू प्रकाश के अलग-अलग तरंगदैध्रुतीय और आवृत्ति हैं।

• (डी) लाल के लिए एक तरंगदैध्रुतीय पैटर्न ब्लू के लिए एक तरंगदैध्रुतीय पैटर्न के साथ मिश्रित नहीं होगा क्योंकि दो प्रकाश स्रोत असंगत नहीं हैं। असंगतता के बिना, प्रकाश तरंगें एक निरंतर अवस्था संबंध बनाए रखने में असमर्थ होती हैं, जो स्थायी तरंगदैध्रुतीय पैटर्न उत्पन्न करने के लिए आवश्यक है।

Answer

(d) प्रश्न के अनुसार, $P_2$ बिंदु पर एक छेद है। हेनरी के सिद्धांत के अनुसार, तरंगें स्रोत $S_1$ और $S_2$ से फैलती हैं। पर्दे पर प्रत्येक बिंदु तरंग के बारे में द्वितीयक स्रोत के रूप में कार्य करता है।

अब, $P_2$ बिंदु पर एक छेद है (न्यूनतम)। छेद $S_3$ और $S_4$ के लिए नए प्रकाश के स्रोत के रूप में कार्य करेगा।

इसलिए, दूसरे पर्दे पर एक नियमित दो छेद पैटर्न होगा।

• (a) दूसरे पर्दे पर तरंगदैध्रुतीय पैटर्न नहीं होगा लेकिन यह प्रकाशित होगा: यह विकल्प गलत है क्योंकि $P_2$ पर छेद $S_3$ और $S_4$ के लिए नए प्रकाश के स्रोत के रूप में कार्य करता है। चूंकि $S_3$ और $S_4$ $P_2$ पर छेद से असंगत प्रकाश द्वारा प्रकाशित होते हैं, इसलिए वे दूसरे पर्दे पर एक तरंगदैध्रुतीय पैटर्न उत्पन्न करेंगे।

• (ब) दूसरा स्क्रीन पूरी तरह से अंधकार में होगा: यह विकल्प गलत है क्योंकि $P_2$ पर छेद लाइट के द्वारा पार हो सकता है और $S_3$ और $S_4$ छेद तक पहुंच सकता है। इसके परिणामस्वरूप, दूसरा स्क्रीन पूरी तरह से अंधकार में नहीं होगा; बजाए इसके, यह द्वितीयक तरंगों के कारण एक विस्थापन पैटर्न दिखाएगा।

• (स) दूसरे स्क्रीन पर केवल एक चमकीला बिंदु होगा: यह विकल्प गलत है क्योंकि $P_2$ पर छेद से गुजरने वाली लाइट $S_3$ और $S_4$ दोनों छेदों को प्रकाशित करेगी, जिसके कारण दूसरे स्क्रीन पर एक विस्थापन पैटर्न बनेगा। एक चमकीला बिंदु केवल तभी हो सकता है जब विस्थापन न हो, लेकिन दो छेदों की उपस्थिति एक विस्थापन पैटर्न के बनने की गारंटी देती है।

उत्तर

$(a, b, d)$

चित्र में दिखाए गए तीव्रता पैटर्न को ध्यान से देखें

(i) सभी अगले न्यूनतम की तीव्रता शून्य है, इसलिए हम कह सकते हैं कि दो स्रोत $S_1$ और $S_2$ की तीव्रता समान है।

(ii) अगले अधिकतम (पल्स) की चौड़ाई लगातार बढ़ती है, इसलिए हम कह सकते हैं कि पथ अंतर $(x)$ या अपवर्तन अंतर लगातार बदलता है।

(iii) हम यंग के द्विस्थ एकल द्वार एक्सपेरिमेंट में एकल रंग लाइट का उपयोग करते हैं ताकि अधिक विस्थापन न हो और स्क्रीन पर बहुत स्पष्ट पैटर्न बने।

• विकल्प (c): $S_1$ और $S_2$ के एक ही चरण होंगे

  यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $S_1$ और $S_2$ के एक ही चरण हों, तो व्यतिकरण पैटर्न सभी बिंदुओं पर निर्माणात्मक व्यतिकरण दिखाएगा, जिसके परिणामस्वरूप एक समान तीव्रता वितरण होगा, जो दिए गए पैटर्न में देखे जाने वाले चरम और न्यूनतम के बदले होगा। दोनों चरम और न्यूनतम की उपस्थिति इस बात को संकेत करती है कि दोनों स्रोतों के बीच एक चरण अंतर होता है।

उत्तर

$(b, d)$

दिया गया, पिनहोल की चौड़ाई $=10^{3} \AA=1000 \AA$

हम जानते हैं कि सूर्य के प्रकाश की तरंगदैर्ध्य 4000 आंगस्ट्रॉम से 8000 आंगस्ट्रॉम तक होती है।

स्पष्ट रूप से, तरंगदैर्ध्य $\lambda<$ छिद्र की चौड़ाई है।

इसलिए, प्रकाश छिद्र से विचरित होता है। छिद्र से विचरण के कारण पर्दे पर बने छवि के ज्यामितीय छवि से अलग होगी।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि एक तीव्र सफेद वलय का अर्थ होता है कि एक विशिष्ट विचरण पैटर्न होता है जो इस आकार के पिनहोल के लिए सूर्य के प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के संबंध में आम नहीं होता। विचरण पैटर्न एक तीव्र वलय बनाएगा नहीं, बल्कि एक अधिक जटिल पैटर्न बनाएगा।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि एक फैले हुए केंद्रीय बिंदु, सफेद रंग का, विचरण प्रभावों को नहीं लेता है जो विभिन्न तरंगदैर्ध्यों के सूर्य के प्रकाश के कारण रंगीन बैंड बनाएगा।

उत्तर

$(a, b)$

(a) जब एक कम होता है $w$ बढ़ता है।

इसलिए, आकार कम हो जाता है।

(b) अब, प्रकाश ऊर्जा एक छोटे क्षेत्र पर वितरित होती है और तीव्रता $\propto \dfrac{1}{\text { क्षेत्र }}$ क्षेत्र कम हो रहा है इसलिए तीव्रता बढ़ जाती है।

• (c) आकार बढ़ जाता है: यह गलत है क्योंकि छेद के आकार के बढ़ने के साथ-साथ, विवर्तन पैटर्न के आकार वास्तव में घटता है, न कि बढ़ता है। विवर्तन पैटर्न अपवाही आपति के आकार के व्युत्क्रम अनुपात में संबंधित होता है।

• (d) तीव्रता घट जाती है: यह गलत है क्योंकि छेद के आकार के बढ़ने के साथ-साथ, प्रकाश ऊर्जा छोटे क्षेत्र में केंद्रित हो जाती है, जिसके कारण तीव्रता बढ़ती है, न कि घटती है।

उत्तर

$(a, b)$

चित्र को ध्यान में रखते हुए जहां प्रकाश एक बिंदु स्रोत $(0)$ से फैल रहा है।

बिंदु स्रोत के कारण प्रकाश सभी दिशाओं में सममिति से फैलता है और इसलिए, तरंग सतह चित्र में दिखाए गए अनुसार गोलीय होती है।

यदि स्रोत की शक्ति $P$ है, तो स्रोत की तीव्रता होगी

$$ I=\dfrac{P}{4 \pi r^{2}} $$

जहां, $r$ कोई समय पर तरंग सतह की त्रिज्या है।

• विकल्प (c): तरंग सतह परबोलिक होती है।

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि बिंदु स्रोत के लिए तरंग सतह गोलीय होती है, न कि परबोलिक। परबोलिक तरंग सतह आमतौर पर बिंदु स्रोत नहीं वाले स्रोतों के साथ संबंधित होती है, जैसे कि वे संकेंद्रित किरण बंडल या विशिष्ट ज्यामितीय विन्यास बनाते हैं जो परबोलिक तरंग सतह बनाते हैं।

• विकल्प (d): तरंग सतह पर तीव्रता दूरी पर निर्भर नहीं करती।

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि बिंदु स्रोत से प्रकाश की तीव्रता स्रोत से दूरी के वर्ग के अनुपात में घटती है। जैसे-जैसे तरंग सतह फैलती है, एक ही मात्रा ऊर्जा बड़े क्षेत्र में फैल जाती है, जिसके कारण तीव्रता $ \dfrac{1}{r^2} $ के अनुपात में घटती है।

उत्तर

जब हम ध्वनि तरंग के एक बिंदु स्रोत के बारे में सोचते हैं। स्रोत के कारण उत्पन्न अवक्षय गोलीय सममिति में फैलता है, अर्थात सभी दिशाओं में। तरंग सामने के गठन हाइगेन्स के सिद्धांत के अनुसार होता है।

इसलिए, हाइगेन्स के सिद्धांत अनुप्रस्थ ध्वनि तरंगों के लिए भी वैध है।

उत्तर

नीचे दिखाए गए किरण आरेख को ध्यान में रखें

$ L_1 $ के कारण बिंदु छवि $ I_1 $ फोकल बिंदु पर है। अब, $ L_2 $ के कारण अंतिम छवि बनती है $ I $ जो बिंदु छवि है, इसलिए इस छवि के लिए तरंग सामने गोलीय सममिति होगी।

उत्तर

हम जानते हैं कि सूरज पृथ्वी से बहुत दूर है। सूरज को गोलीय मानते हुए, इसे अनंत पर स्थित बिंदु स्रोत के रूप में माना जा सकता है।

बड़ी दूरी के कारण तरंग सामने की त्रिज्या बड़ी (अनंत) मानी जा सकती है और इसलिए, तरंग सामने लगभग समतल होती है।

उत्तर

हम जानते हैं कि ध्वनि तरंगों की आवृत्ति $20 Hz$ से $20 kHz$ के बीच होती है, इसलिए उनकी तरंगदैर्ध्य $15 m$ से $15 mm$ के बीच होती है। तरंगदैर्ध्य छिद्र की चौड़ाई के लगभग बराबर होने पर विवर्तन होता है।

प्रकाश तरंगों की तरंगदैर्ध्य $7000 \times 10^{-10} m$ से $4000 \times 10^{-10} m$ होती है। छिद्र की चौड़ाई ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य के लगभग बराबर होती है जबकि प्रकाश तरंगों की तुलना में इसकी तुलना में बहुत कम होती है। इसलिए, ध्वनि तरंगों के विवर्तन के दैनिक जीवन में अधिक स्पष्ट रूप से दिखाई देता है जबकि प्रकाश तरंगों के विवर्तन के लिए ऐसा नहीं होता।

उत्तर

दिया गया, मानव आंख के कोणीय विभेदन, $\varphi=5.8 \times 10^{-4} rad$।

और प्रिंटर 300 बिंदु प्रति इंच प्रिंट करता है।

दो बिंदुओं के बीच रेखीय दूरी $l=\dfrac{2.54}{300} cm=0.84 \times 10^{-2} cm$ है।

$z cm$ की दूरी पर, यह एक कोण $\varphi=\dfrac{l}{z}$ बनाता है।

$\therefore \quad z=\dfrac{l}{\varphi}=\dfrac{0.84 \times 10^{-2} cm}{5.8 \times 10^{-4}}=14.5 cm$।

सोचने की प्रक्रिया

प्राकृतिक प्रकाश, जैसे सूरज से, अपolarised होता है। इसका अर्थ है कि विद्युत वेक्टर अनुप्रस्थ तल में सभी संभावित दिशाओं में तेजी से चलता है।

उत्तर

चित्र में दिखाए गए अनुसार, एक एकल रंग वाला प्रकाश पोलारॉइड (I) के सामने रखा गया है।

एक एकल रंग उत्सर्जक

पोलरॉइड I

पोलरॉइड II

प्रश्न के अनुसार, पोलरॉइड (I) से निकलने वाला एकल रंग वाला प्रकाश तल-पोलराइज़्ड होता है। जब पोलरॉइड (II) को इस पोलरॉइड (I) के सामने रखा जाता है और इसे घुमाया जाता है ताकि कोई प्रकाश पोलरॉइड (II) के माध्यम से नहीं जाए, तो (I) और (II) क्रॉस अवस्था में रखे जाते हैं, अर्थात, (I) और (II) के पास अक्ष 90° के कोण पर होते हैं।

एक एकल रंग उत्सर्जक

पोलरॉइड III

पोलरॉइड II

ऊपर दिए गए चित्र में, पोलरॉइड (I) और पोलरॉइड (II) के बीच एक तीसरा पोलरॉइड (III) रखा गया है।

जब एक तीसरा पोलरॉइड (III) को (I) और (II) के बीच रखा जाता है, तो यदि (III) के पास अक्ष (I) या (II) के पास अक्ष के समानांतर होता है, तो (II) से कोई प्रकाश निकलेगा। अन्य सभी स्थितियों में, (II) से प्रकाश निकलेगा, क्योंकि (II) के पास अक्ष (III) के पास अक्ष के साथ 90° के कोण पर नहीं होगा।

उत्तर

जब आपतन कोण ब्रॉग्स्टर कोण के बराबर होता है, तो प्रसारित प्रकाश अपोलराइज़ होता है और परावर्तित प्रकाश तल-पोलराइज़ होता है।

चित्र में अपोलराइज़ प्रकाश को बिंदु द्वारा और तल-पोलराइज़ प्रकाश को तीर द्वारा दर्शाया गया है।

परावर्तन द्वारा पोलराइज़ करने की स्थिति जब आपतन कोण ब्रॉग्स्टर कोण होता है।

अर्थात,

$$ \tan i_{B}={ }^{1} \mu_2=\dfrac{\mu_2}{\mu_1} \text { जहाँ } \mu_2<\mu_1 $$

जब प्रकाश किरणें ऐसे माध्यम में चलती हैं, तो आपतन कोण होता है

$$ \sin i_{c}=\dfrac{\mu_2}{\mu_1} $$

जहाँ, $\mu_2<\mu_1$

जबकि $|\tan i_{B}|>|\sin i_{C}|$ बड़े कोणों के लिए $i_{B}<i_{C}$ होता है।

इसलिए, परावर्तन द्वारा पोलराइज़ निश्चित रूप से होता है।

सोचने की प्रक्रिया

एक माइक्रोस्कोप के विभेदक शक्ति की गणना $\dfrac{2 \sin \beta}{1.22 \lambda}$ द्वारा की जाती है, जहाँ $\mu$ माध्यम के अपवर्तनांक होता है और $\beta$ आवर्धक के वस्तु पर बनाया गया कोण होता है।

उत्तर

हम जानते हैं कि

$$ \text { विभेदक शक्ति }=\dfrac{1}{d}=\dfrac{2 \sin \beta}{1.22 \lambda} \Rightarrow d_{\min }=\dfrac{1.22 \lambda}{2 \sin \beta} $$

जहाँ, $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य होती है और $\beta$ आवर्धक के वस्तु पर बनाया गया कोण होता है।

$5500 \AA$ तरंगदैर्ध्य के प्रकाश के लिए,

$$ d_{\min }=\dfrac{1.22 \times 5500 \times 10^{-10}}{2 \sin \beta}

$$

इलेक्ट्रॉन जो $100 V$ के माध्यम से तेजी से चलते हैं, डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य

$$ \begin{aligned} \lambda & =\dfrac{12.27}{\sqrt{V}}=\dfrac{12.27}{\sqrt{100}}=0.12 \times 10^{-9} m \\ d_{\min } & =\dfrac{1.22 \times 0.12 \times 10^{-9}}{2 \sin \beta} \end{aligned} $$

सबसे कम अलगाव का अनुपात

$$ \therefore \quad \dfrac{d_{\min }^{\prime}}{d_{\min }}=\dfrac{0.12 \times 10^{-9}}{5500 \times 10^{-10}}=0.2 \times 10^{-3} $$

Answer

दो स्लिट अन्तर्वेशन व्यवस्था के दिए गए चित्र से, हम लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} & T_2 P=T_2 O+O P=D+x \\ \text{and}\qquad & T_1 P=T_1 O-O P=D-x \\ & S_1 P=\sqrt{(S_1 T_1)^{2}+(P T_1)^{2}}=\sqrt{D^{2}+(D-x)^{2}} \\ \text{and}\qquad & S_2 P=\sqrt{(S_2 T_2)^{2}+(T_2 P)^{2}}=\sqrt{D^{2}+(D+x)^{2}} \end{aligned} $$

जब $S_2 P-S_1 P=(2 n-1) \dfrac{\lambda}{2}$ होता है तो न्यूनतम उत्पन्न होते हैं

अर्थात, $\quad[D^{2}+(D+x)^{2}]^{1 / 2}-[D^{2}+(D-x)^{2}]^{1 / 2}=\dfrac{\lambda}{2} \quad$ [पहले न्यूनतम के लिए $.n=1]$

यदि $\qquad x=D$

हम लिख सकते हैं $\quad[D^{2}+4 D^{2}]^{1 / 2}-[D^{2}+0]^{1 / 2}=\dfrac{\lambda}{2}$

$$ \Rightarrow \quad [5 D^{2}]^{1 / 2}-[D^{2}]^{1 / 2}=\dfrac{\lambda}{2} $$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & \sqrt{5} D-D=\dfrac{\lambda}{2} \\ \Rightarrow & D(\sqrt{5}-1)=\lambda / 2 \text { or } D=\dfrac{\lambda}{2(\sqrt{5}-1)} \end{matrix} $$

$$ \begin{aligned} \Rightarrow \qquad \sqrt{5}-1=2.236-1 & =1.236 \\ D=\dfrac{\lambda}{2(1.236)}= & 0.404 \lambda \end{aligned} $$

$$

सोचने की प्रक्रिया

परिणामी आयाम दोनों किरणों के लंब और समान्तर पोलराइजेशन के आयाम के योग होगा।

उत्तर

$A=$ परिणामी आयाम

$\quad =A$ समान्तर $(A_{||})+A$ लंब $(A_{\perp})$

$$ \Rightarrow \quad A =A_{\perp}+A_{||} $$

$$ \text{बिना } p \qquad A =A_{\perp}+A_{||} $$

$$ A_1=A^{1} \perp+A_{\perp}^{2} =A_{\perp}^{0} \sin (k x-\omega t)+A_{\perp}^{0} \sin (k x-\omega t+\phi) $$

$$ A_{||} =A_{||}^{(1)}+A_{||}^{(2)} $$

$$ A_{||} =A_{||}^{0}[\sin (k x-\omega t)+\sin (k x-\omega t+\phi)] $$

जहाँ $A_{\perp}^{0}, A_{||}^{0}$ लंब और समान्तर पोलराइजेशन के किसी भी किरण के आयाम हैं।

$\therefore$ तीव्रता $=\{|A_{\perp}^{0}|^{2}+|A_{||}^{0}|^{2}\} [\sin ^{2}(k x-\omega t)(1+\cos ^{2} \varphi+2 \sin \varphi)+\sin ^{2}(k x-\omega t) \sin ^{2} \varphi]$

$$=\{|A_{\perp}^0|^2+|A_{|}^0|^2\} \dfrac{1}{2} \cdot 2(1+\cos \phi) $$

$$=2|A_{\perp}^0|^2(1+\cos \phi), \text{ क्योंकि, }|A_ {\perp}^0| _{av}=|A _{||}^0| _{av}$$

$P$ के साथ

मान लीजिए $A_{\perp}^{2}$ अवरोधित है

$$ \begin{aligned} \text { तीव्रता } & =(A_{|}^{1}+A_{|}^{2})^{2}+(A_{\perp}^{1})^{2} \\ & =|A_{\perp}^{0}|^{2}(1+\cos \varphi)+|A_{\perp}^{0}|^{2} \cdot \dfrac{1}{2} \end{aligned} $$

दिया गया है, $I_0=4|A_{\perp}^{0}|^{2}=$ बिना पोलराइजर के मुख्य अधिकतम पर तीव्रता।

केंद्रीय महत्तम बिंदु पर तीव्रता पोलराइज़र के साथ

$$ =|A_{\perp}^{0}|^{2} \quad 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{8} I_0 $$

प्रथम न्यूनतम बिंदु पर तीव्रता पोलराइज़र के साथ

$$ =|A_{\perp}^{0}|^{2}(1-1)+\dfrac{|A_{\perp}^{0}|^{2}}{2}=\dfrac{I_0}{8} $$

सोचने की प्रक्रिया

जब किसी पारगमन ब्लॉक के अपवर्तनांक $\mu$ और मोटाई $t$ के साथ एक रेखा के पथ में रखा जाता है तो स्क्रीन पर फ्रिंज ब्लॉक की ओर $(\mu-1)$ t द्वारा विस्थापित हो जाते हैं।

उत्तर

पारगमन ग्लास ब्लॉक के अपवर्तनांक $\mu$ के मामले में, पथ अंतर की गणना $\Delta x=2 d \sin \theta+(\mu-1) L$ के रूप में की जाएगी।

पारगमन ग्लास ब्लॉक के अपवर्तनांक $\mu$ के मामले में,

पथ अंतर $=2 d \sin \theta+(\mu-1) L$।

प्रमुख महत्तम के लिए (पथ अंतर शून्य होता है)

$\text{i.e.,}\qquad 2 d \sin \theta_0+(\mu-1) L=0$

$\text{or}\qquad \sin \theta_0=-\dfrac{L(\mu-1)}{2 d}=\dfrac{-L(0.5)}{2 d} \quad[\because L=d / 4]$

$\text{or}\qquad \sin \theta_0=\dfrac{-1}{16}$

$\therefore \quad O P=D \tan \theta_0 \approx D \sin \theta_0=\dfrac{-D}{16}$

प्रथम न्यूनतम के लिए, पथ अंतर $\pm \dfrac{\lambda}{2}$ होता है

$$ \begin{aligned} \therefore \quad 2 d \sin \theta_1+0.5 L & = \pm \dfrac{\lambda}{2} \\ \text { or } \quad \sin \theta_1 & =\dfrac{ \pm \lambda / 2-0.5 L}{2 d}=\dfrac{ \pm \lambda / 2-d / 8}{2 d} \\ & =\dfrac{ \pm \lambda / 2-\lambda / 8}{2 \lambda}= \pm \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{16} \end{aligned} $$

$[\because$ विवर्तन तब होता है जब तरंगों की तरंगदैर्घ्य भुजा के चौड़ाई $(d)$ के लगभग समान हो ]$

धनात्मक ओर $\sin \theta_1^{\prime}+=+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{16}$

ऋणात्मक ओर $\sin \theta^{\prime \prime} _1=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{16}=-\dfrac{5}{16}$

धनात्मक ओर पहला मुख्य अधिकतम बिंदु $O$ से दूरी पर होता है

$$ D \tan \theta_1^{+}=D \dfrac{\sin \theta_1^{+}}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta_1^{\prime}}}=D \dfrac{3}{\sqrt{16^{2}-3^{2}}}=\dfrac{3 D}{\sqrt{247}} \text { बिंदु } O \text { के ऊपर } $$

ऋणात्मक ओर पहला मुख्य न्यूनतम बिंदु $O$ से दूरी पर होता है

$$ D \tan \theta^{\prime} _1=\dfrac{5 D}{\sqrt{16^{2}-5^{2}}}=\dfrac{5 D}{\sqrt{231}} \text { बिंदु } O \text { के नीचे } $$

सोचने की प्रक्रिया

एक बिंदु पर परिणामी अवक्षेपण की गणना विभिन्न उत्सर्जकों के कारण अवक्षेपण के कुछ योग से की जाती है।

उत्तर

प्राप्तक $R_1$ पर अवक्षेपण की गणना करें जो $B$ से दूरी पर है।

मान लीजिए $R_1$ पर $A$ के कारण तरंग $Y_{A}=a \cos w$ है। $A$ के संकेत के साथ $B$ के संकेत के मार्ग अंतर $\lambda / 2$ है और अतः अपवर्तन अंतर $\pi$ है।

इसलिए, $R_1$ पर $B$ के कारण तरंग है

$$ Y_{B}=a \cos (\omega t-\pi)=-a \cos \omega t . $$

$C$ से आने वाली संकेत के $A$ से आने वाली संकेत के मार्ग अंतर $\lambda$ है और इसलिए चरण अंतर $2 \pi$ है।

इसलिए, $R_1$ पर $C$ के कारण तरंग है $Y_{C}=a \cos (\omega t-2 \pi)=a \cos \omega t$

$D$ से आने वाली संकेत के $A$ से आने वाली संकेत के मार्ग अंतर है

$$ \begin{aligned} & \sqrt{d^{2}+\dfrac{\lambda}2^{2}}-(d-\lambda / 2)=d \quad 1+{\dfrac{\lambda}{4 d^{2}}}^{1 / 2}-d+\dfrac{\lambda}{2} \\ & =d \quad 1+{\dfrac{\lambda^{2}}{8 d^{2}}}^{1 / 2}-d+\dfrac{\lambda}{2} \approx \dfrac{\lambda}{2} \quad(\because d \gg \lambda) \end{aligned} $$

इसलिए, चरण अंतर $\pi$ है।

$$ \therefore \quad Y_{D}=a \cos (\omega t-\pi)=-a \cos \omega t $$

इसलिए, सभी चार स्रोतों से $R_1$ पर लिया गया संकेत $Y_{R_1}=y_{A}+y_{B}+y_{C}+y_{D}$ है

$$ =a \cos \omega t-a \cos \omega t+a \cos \omega t-a \cos \omega t=0 $$

(i) मान लीजिए $R_2$ पर $B$ से लिया गया संकेत $y_{B}=a_1 \cos \omega t$ है।

$D$ पर आने वाली संकेत और $B$ पर आने वाली संकेत के मार्ग अंतर $\lambda / 2$ है।

$\therefore \quad y_{D}=-a_1 \cos \omega t$

$A$ पर आने वाली संकेत और $B$ पर आने वाली संकेत के मार्ग अंतर है

$$ \sqrt{(d)^{2}+\dfrac{\lambda}2^{2}}-d=d 1+{\dfrac{\lambda^{2}}{4 d^{2}}}^{1 / 2}-d=\dfrac{1 \lambda^{2}}{8 d^{2}} $$

क्योंकि $d \gg \lambda$, इसलिए यह मार्ग अंतर $0$ की ओर बढ़ रहा है

और

$$ \text { चरण अंतर }=\dfrac{2 \pi}{\lambda} \dfrac{1}{8} \dfrac{\lambda^{2}}{d^{2}} \rightarrow 0 $$

इसलिए,

इसी तरह,

$$ \begin{aligned} & y_{A}=a_1 \cos (\omega t-\varphi) \\ & y_{C}=a_1 \cos (\omega t-\varphi) \end{aligned} $$

$\therefore$ $R_2$ द्वारा लिया गया संकेत है

$$ y_{A}+y_{B}+y_{C}+y_{D} =y=2 a_1 \cos (\omega t-\phi) $$ $$\therefore |y|^2 =4 a_1^2 \cos^2(\omega t-\phi) $$

S इसलिए, $R_1$ बड़ा संकेत लेता है।

(ii) यदि $B$ बंद कर दिया जाए,

$$ \begin{aligned} R_1 \text { संकेत } y =a \cos \omega t \\ \therefore \langle I_{R_1}\rangle =\dfrac{1}{2} a^{2} \\ R_2 \text { संकेत } y =a \cos \omega t \\ \therefore \langle I_{R_2}\rangle =a^{2}<\cos ^{2} \omega t>=\dfrac{a^{2}}{2} \end{aligned} $$

(iii) इसलिए, $R_1$ और $R_2$ एक ही संकेत लेते हैं।

यदि $D$ बंद कर दिया जाए।

$R_1$ संकेत $y=a \cos \omega t$ लेता है

$$ \begin{aligned} \therefore \langle I_{R_1}\rangle =\dfrac{1}{2} a^{2} \\ R_2 \text { संकेत } y =3 a \cos \omega t \\ \therefore \langle I_{R_2}\rangle =9 a^{2}<\cos ^{2} \omega t>=\dfrac{9 a^{2}}{2} \end{aligned} $$

इसलिए, $R_2$ द्वारा लिया गया संकेत $R_1$ के मुकाबले बड़ा है।

(iv) इसलिए, $R_1$ पर संकेत के अनुसार $B$ बंद कर दिया गया है और $R_2$ पर बढ़े हुए संकेत के अनुसार $D$ बंद कर दिया गया है।

Answer

मान लीजिए कि दिया गया प्रस्ताव सही है, तो दो समानांतर किरणें नीचे दिए गए चित्र में दिखाए अनुसार चलती हैं

(i)

(ii)

(i) मान लीजिए $AB$ आपतित तरंग सतह को निरूपित करता है और $DE$ अपवर्तित तरंग सतह को निरूपित करता है। एक तरंग सतह पर सभी बिंदु एक ही चरण में होते हैं और इसलिए, एक ही प्रकाशिक पथ लंबाई के होते हैं।

$$ \begin{aligned} \text{इसलिए} \qquad -\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}} A E & =B C-\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}} C D \\ \text{या} \qquad B C & =\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}}(C D-A E) \\ B C & >0, C D>A E \end{aligned} $$

इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रतिपादन तर्कसंगत है। हालांकि, यदि प्रकाश सामान्य वस्तुओं के लिए जैसे कि चौथे चतुर्थांश में चलता है (चित्र 2 देखें)

$$ \begin{aligned} \text{तो,} \qquad -\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}} A E & =B C-\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}} C D \\ \text{या} \qquad B C & =\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}}(C D-A E) \end{aligned} $$

यदि $B C>0$, तो $C D>A E$

जो चित्र (i) से स्पष्ट है।

इसलिए, प्रतिपादन तर्कसंगत है।

हालांकि, यदि प्रकाश सामान्य वस्तुओं के लिए जैसे कि दूसरे चतुर्थांश से चौथे चतुर्थांश में चलता है, जैसा कि चित्र (i) में दिखाया गया है, तो ऊपर की तरह चलते हुए,

$$ \begin{aligned} -\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}} A E & =B C-\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}} C D \\ \text{या} \qquad B C & =\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}}(C D-A E) \end{aligned} $$

जबकि $A E>C D$, तो $B C<0$ जो संभव नहीं है। इसलिए, दिया गया प्रतिपादन सही है।

(ii) चित्र (i) से

$$ \begin{aligned} B C & =A C \sin \theta_{i} \\ \text{और}\qquad C D-A E & =A C \sin \theta_{r} \\ \text{जैसा कि} \qquad B C & =\sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}} \\ \therefore \qquad A C \sin \theta_{i} & =\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}} A C \sin \theta_{r} \\

\text{या} \qquad \dfrac{\sin \theta_{i}}{\sin \theta_{r}} & =\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}}=n \end{aligned} $$

$$ [C D-A E=B C] $$

जो स्नेल के नियम को सिद्ध करता है।

उत्तर

इस चित्र में, हम एक दीपक फिल्म के एक विशिष्ट आकार के एक गाँच लेंस पर लगे एक दीपक फिल्म को दिखाया गया है।

फिल्म का अपवर्तनांक $=1.38$ और काँच का अपवर्तनांक $=1.5$ है।

दिया गया है,

$$ \lambda=5500 \AA . $$

एक किरण एक कोण $i$ पर आपतित होती है। इस किरण का एक हिस्सा हवा-फिल्म संपर्क बिंदु से परावर्तित होता है और एक हिस्सा फिल्म के भीतर अपवर्तित होता है।

इसके बाद फिल्म-काँच संपर्क बिंदु पर इस किरण का एक हिस्सा फिल्म से परावर्तित होता है और एक हिस्सा प्रसारित होता है। एक हिस्सा परावर्तित किरण फिल्म-हवा संपर्क बिंदु पर परावर्तित होता है और एक हिस्सा $r_2$ के रूप में $r_1$ के समानांतर रूप से प्रसारित होता है। बेशक, अनुक्रमिक परावर्तन और प्रसार तरंग के आयाम को घटाते रहते हैं।

इसलिए, किरण $r_1$ और $r_2$ व्यवहार के लिए अधिक बलपूर्वक होंगी। यदि प्रकाश लेंस के माध्यम से प्रसारित होना हो, तो $r_1$ और $r_2$ के बीच विनाशी अपवर्तन होना चाहिए। $A$ और $D$ पर दोनों परावर्तन निम्न से उच्च अपवर्तनांक के लिए होते हैं और इसलिए परावर्तन पर कोई चरण परिवर्तन नहीं होता। $r_2$ और $r_1$ के बीच ऑप्टिकल पथ अंतर है

$$ n(A D+C D)-A B $$

यदि $d$ फिल्म की मोटाई है, तो

$$ \begin{aligned} A D & =C D=\dfrac{d}{\cos r} \\

A B & =A C \sin i \\ \dfrac{A C}{2} & =d \tan r \\ A C & =2 d \tan r \end{aligned} $$

इसलिए, $A B=2 d \tan r \sin i$।

इसलिए, प्रकाश के पथान्तर $=\dfrac{2 n d}{\cos r}-2 d \tan r \sin i$

$$ \begin{aligned} & =2 \cdot \dfrac{\sin i d}{\sin r \cos r}-2 d \dfrac{\sin r}{\cos r} \sin i \\ & =2 d \sin \dfrac{1-\sin ^{2} r}{\sin r \cos r} \\ & =2 n d \cos r \end{aligned} $$

इन तरंगों के विनाशी अपवर्जन के लिए पथान्तर $=\dfrac{\lambda}{2}$।

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & 2 n d \cos r=\dfrac{\lambda}{2} \\ \Rightarrow & n d \cos r=\dfrac{\lambda}{4} \end{matrix} $$

फोटोग्राफिक लेंस के लिए, स्रोत आमतौर पर ऊर्ध्वाधर तल में होते हैं $\therefore$

समीकरण (i) से,

$$ \begin{aligned} i & =r=0^{\circ} \\ n d \cos 0^{\circ} & =\dfrac{\lambda}{4} \\ d & =\dfrac{\lambda}{4 n} \\ & =\dfrac{5500 \AA}{4 \times 1.38} \approx 1000 \AA \end{aligned} $$