सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में, परिपथ के तीन समानांतर शाखाओं को एक दूसरे के साथ समानांतर में बर्बाद किया जा सकता है। इसलिए, प्रत्येक शाखा के पार विभवांतर समान होता है। डीसी परिपथ में कैपेसिटर अपरिमित प्रतिरोध प्रदान करता है, इसलिए कैपेसिटर और $10 \Omega$ प्रतिरोध के माध्यम से कोई धारा प्रवाह नहीं करती है और $10 \Omega$ प्रतिरोध के पार शून्य विभवांतर होता है।

इसलिए, परिपथ के नीचली और मध्य शाखा के पार विभवांतर ऊपरी शाखा के कैपेसिटर के पार विभवांतर के बराबर होता है।

उत्तर

(d) बाएं से दाएं दिशा में $2 \Omega$ प्रतिरोध के माध्यम से धारा बहती है, जो निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$$ I=\frac{V}{R+r}=\frac{2.5 \mathrm{~V}}{2+0.5}=1 \mathrm{~A} $$

$2 \Omega$ प्रतिरोध के पार विभवांतर $V=I R=1 \times 2=2 \mathrm{~V}$

क्योंकि, कैपेसिटर $2 \Omega$ प्रतिरोध के समानांतर में है, इसलिए इसके पार भी $2 \mathrm{~V}$ विभवांतर होता है।

कैपेसिटर पर आवेश

$$ q=C V=(2 \mu F) \times 2 V=8 \mu C $$

ध्यान दें: $2 \Omega$ प्रतिरोध के पार विभवांतर केवल कैपेसिटर पर होता है क्योंकि $10 \Omega$ प्रतिरोध के पार कोई विभवांतर नहीं होता।

• विकल्प (a) 0: यह विकल्प गलत है क्योंकि कैपेसिटर $2 \Omega$ प्रतिरोध के समानांतर में जुड़ा है, जिसके पार $2 \mathrm{~V}$ का विभवांतर होता है। इसलिए, कैपेसिटर पर शून्य आवेश नहीं होगा।

• विकल्प (b) $4 \mu \mathrm{C}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि संधारित्र पर आवेश $q = CV$ द्वारा दिया जाता है। $C = 4 \mu \mathrm{F}$ और $V = 2 \mathrm{~V}$ के साथ, सही आवेश $q = 4 \mu \mathrm{F} \times 2 \mathrm{~V} = 8 \mu \mathrm{C}$ होता है, न कि $4 \mu \mathrm{C}$।

• विकल्प (c) $16 \mu \mathrm{C}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह संधारित्र पर आवेश के अधिक अनुमान करता है। सही गणना $q = CV = 4 \mu \mathrm{F} \times 2 \mathrm{~V} = 8 \mu \mathrm{C}$ होती है, न कि $16 \mu \mathrm{C}$।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में $E$ और $V$ के बीच संबंध का उपयोग किया जाता है।

उत्तर

(c) विद्युत क्षेत्र की दिशा हमेशा उच्च वैद्युत विभव वाले एक समपोटेंशियल सतह से निम्न वैद्युत विभव वाले दूसरे समपोटेंशियल सतह के बीच लंबवत होती है।

धनावेशित कण विद्युत क्षेत्र के अनुदिश वैद्युत बल का अनुभव करता है, अर्थात उच्च वैद्युत विभव से निम्न वैद्युत विभव की ओर। इसलिए, विद्युत क्षेत्र धनावेशित कण पर कार्य करता है, इसलिए धनावेशित कण की विद्युत ऊर्जा घटती है।

• (a) एक स्थिर रहती है क्योंकि विद्युत क्षेत्र समान है: यह गलत है क्योंकि भले ही विद्युत क्षेत्र समान हो, धनावेशित कण अभी भी बल का अनुभव करेगा और क्षेत्र की दिशा में गति करेगा, जिससे इसकी विद्युत ऊर्जा में परिवर्तन होगा।

• (b) बढ़ती है क्योंकि आवेश विद्युत क्षेत्र के अनुदिश गति करता है: यह गलत है क्योंकि धनावेशित कण विद्युत क्षेत्र की दिशा में गति करते समय उच्च विभव के क्षेत्र से निम्न विभव के क्षेत्र की ओर जाता है, जिसके कारण विद्युत ऊर्जा कम हो जाती है।

• (d) घटता है क्योंकि आवेश विद्युत क्षेत्र के विपरीत दिशा में गति करता है: यह गलत है क्योंकि धनावेशित कण प्राकृतिक रूप से विद्युत क्षेत्र की दिशा में गति करता है, न कि उसके विपरीत दिशा में। यदि यह विद्युत क्षेत्र के विपरीत दिशा में गति करता, तो उस पर बाह्य कार्य करना पड़ता, जो यहाँ नहीं है।

उत्तर

(c) विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य $W_{12}=q\left(V_{2}-V_{1}\right)$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ सभी तीन मामलों में प्रारंभिक और अंतिम विभव समान हैं और समान आवेश गति करता है, इसलिए सभी तीन मामलों में किया गया कार्य समान है।

• (a) आकृति (i) में किया गया कार्य सबसे अधिक है: यह विकल्प गलत है क्योंकि विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम विभव तथा गति करने वाले आवेश पर निर्भर करता है, न कि गति के मार्ग पर। चूंकि सभी तीन आकृतियों में प्रारंभिक और अंतिम विभव समान हैं, इसलिए सभी मामलों में किया गया कार्य समान है।

• (ब) आकृति (ii) में किया गया कार्य सबसे कम है: यह विकल्प गलत है क्योंकि, विकल्प (a) के तुलना में, विद्युत चुंबकीय बल द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम विभव तथा विस्थापित आवेश पर निर्भर करता है। क्योंकि तीनों आकृतियों में ये विभव समान हैं, इसलिए सभी स्थितियों में किया गया कार्य समान है।

• (d) आकृति (iii) में किया गया कार्य आकृति (ii) के कार्य से अधिक है लेकिन आकृति (i) के कार्य के बराबर है: यह विकल्प गलत है क्योंकि विद्युत चुंबकीय बल द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के विभव के अंतर तथा विस्थापित आवेश पर निर्भर करता है। क्योंकि तीनों आकृतियों में विभव अंतर समान है, इसलिए सभी स्थितियों में किया गया कार्य समान है।

उत्तर

(c) इस समस्या में, विद्युत क्षेत्र तीव्रता $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध निम्नलिखित है:

$$ E=-\frac{d V}{d r} $$

विद्युत क्षेत्र तीव्रता $E=0$ सुझाव देता है कि $\frac{d V}{d r}=0$

इसका अर्थ है कि $V =$ स्थिरांक।

इसलिए, आवेशित चालक गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र तीव्रता $E=0$ कारण होती है, जिसके कारण गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर समान विद्युत विभव $100 \mathrm{~V}$ होता है।

ध्यान दें कि $V$ शून्य होना आवश्यक नहीं है कि $E=0$ हो। उदाहरण के लिए, विद्युत द्विध्रुव के कारण लंबवत अक्ष पर किसी बिंदु पर विद्युत विभव शून्य हो सकता है लेकिन $E$ शून्य नहीं होता।

$E=0$ आवश्यक रूप से $V=0$ नहीं सुझाव देता। उदाहरण के लिए, आवेशित गोलीय कोश के अंदर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र तीव्रता शून्य हो सकती है लेकिन विद्युत विभव शून्य नहीं हो सकता।

• (a) $S_{1}$ सत्य है लेकिन $S_{2}$ असत्य है:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि $S_{2}$ वास्तव में सत्य है। एक आवेशित चालक गोले के भीतर, विद्युत विभव स्थिर होता है और सतह पर विभव के बराबर होता है, जो इस मामले में $100 \mathrm{~V}$ है।

• (b) $S_{1}$ और $S_{2}$ दोनों असत्य हैं:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि $S_{1}$ और $S_{2}$ दोनों सत्य हैं। $S_{1}$ कहता है कि गोले के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है, जो एक आवेशित चालक गोले के लिए सही है। $S_{2}$ कहता है कि गोले के भीतर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $100 \mathrm{~V}$ होता है, जो भी सही है।

• (d) $S_{1}$ सत्य है, $S_{2}$ भी सत्य है लेकिन कथन स्वतंत्र हैं:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि $S_{1}$ और $S_{2}$ स्वतंत्र नहीं हैं। गोले के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होना ($S_{1}$) गोले के भीतर विद्युत विभव स्थिर होने के निष्कर्ष के लिए सीधे जिम्मेदार है, और इसलिए $100 \mathrm{~V}$ ($S_{2}$) होता है।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में, प्रणाली को दो कैपेसिटर के श्रेणीक्रम में विचार किया जा सकता है जो मोटाई $d_{1}$ और डाइइलेक्ट्रिक माध्यम के डाइइलेक्ट्रिक नियतांक $K_{1}$ के साथ भरे हुए हैं और मोटाई $d_{2}$ और डाइइलेक्ट्रिक माध्यम के डाइइलेक्ट्रिक नियतांक $K_{2}$ के साथ भरे हुए हैं।

उत्तर

(c) समानांतर प्लेट कैपेसिटर के डाइइलेक्ट्रिक ब्लॉक भरे होने पर जिसकी मोटाई $d_{1}$ है और डाइइलेक्ट्रिक नियतांक $K_{2}$ है, तो धारिता निम्नलिखित द्वारा दी गई है

C = \frac{\epsilon_0 A}{d}

जहाँ $ \epsilon_0 $ निर्वात की विद्युतशीलता है, $ A $ प्लेट का क्षेत्रफल है और $ d $ ब्लॉक की मोटाई है। यहाँ, डाइइलेक्ट्रिक ब्लॉक के लिए धारिता के लिए व्यंजक निम्नलिखित होता है:

C = \frac{\epsilon_0 A}{d}

इसलिए, दो डाइइलेक्ट्रिक ब्लॉक के लिए धारिता के लिए व्यंजक निम्नलिखित होता है:

C = \frac{\epsilon_0 A}{d}

इसलिए, उत्तर (c) है।

$$ C_{1}=\frac{K_{1} \varepsilon_{0} A}{d_{1}} $$

इसी तरह, समान्तर प्लेट कैपेसिटर के लिए धारिता जो एक विद्युतशील पदार्थ भरे हुए है, जिसकी मोटाई $d_{2}$ है और विद्युतशीलता नियतांक $K_{2}$ है, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ C_{2}=\frac{K_{2} \varepsilon_{0} A}{d_{2}} $$

क्योंकि, दोनों कैपेसिटर श्रेणी के संयोजन में हैं, तो समतुल्य कैपेसिटेंस निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{gathered} \frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}} \newline \newline\ C=\frac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}}=\frac{\frac{K_{1} \varepsilon_{0} A}{d_{1}} \frac{K_{2} \varepsilon_{0} A}{d_{2}}}{\frac{K_{1} \varepsilon_{0} A}{d_{1}}+\frac{K_{2} \varepsilon_{0} A}{d_{2}}}=\frac{K_{1} K_{2} \varepsilon_{0} A}{K_{1} d_{2}+K_{2} d_{1}} \end{gathered} $$

लेकिन समतुल्य कैपेसिटेंस निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ C=\frac{K \varepsilon_{0} A}{d_{1}+d_{2}} $$

तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ K=\frac{K_{1} K_{2}\left(d_{1}+d_{2}\right)}{K_{1} d_{2}+K_{2} d_{1}} $$

ध्यान दें: संयोजन के समतुल्य कैपेसिटेंस के लिए, मोटाई दो प्लेटों के बीच अंतर के बराबर होती है, अर्थात, $d_{1}+d_{2}$ और विद्युतशीलता नियतांक $K$ होता है।

• विकल्प (a): यह विकल्प यह सुझाव देता है कि प्रभावी विद्युतशीलता नियतांक $ K $ विद्युतशीलता नियतांक $ K_{1} $ और $ K_2 $ के अपनी अनुपातिक मोटाई $ d_{1} $ और $ d_2 $ के आधार पर वजन औसत होता है। हालांकि, यह विधि गलत है क्योंकि यह विद्युतशील पदार्थों के समान्तर संयोजन की धारणा करती है, जबकि समस्या में श्रेणी संयोजन के बारे में है। श्रेणी संयोजन में, कैपेसिटेंस के प्रभाव आसानी से औसत नहीं होते बल्कि कैपेसिटेंस के व्युत्क्रम के आधार पर प्रभावित होते हैं।

• विकल्प (b): यह विकल्प यह सुझाव देता है कि प्रभावी विद्युतशीलता नियतांक $ K $ विद्युतशीलता नियतांक $ K_{1} $ और $ K_2 $ के अपनी अनुपातिक मोटाई $ d_{1} $ और $ d_2 $ के आधार पर वजन औसत होता है, लेकिन विद्युतशीलता नियतांक $ K_{1} $ और $ K_2 $ के योग के आधार पर विभाजित होता है। यह विधि गलत है क्योंकि यह विद्युतशील पदार्थों के श्रेणी संयोजन को सही तरीके से नहीं गणना करती है। सही सूत्र अंश में विद्युतशीलता नियतांकों के गुणनफल और मोटाई के योग के आधार पर होता है, और हर में विद्युतशीलता नियतांक और मोटाई के गुणनफल के संयोजन के आधार पर होता है।

• विकल्प (d): यह विकल्प यह सुझाव देता है कि प्रभावी धारामापी नियतांक $ K $ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $ \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2} $. यह सूत्र वास्तव में दो सामग्री के प्रभावी धारामापी नियतांक के लिए उपयोग किया जाता है जो समानांतर में होते हैं, न कि श्रेणीक्रम में। दिए गए समस्या में, धारामापी ब्लॉक श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए यह सूत्र लागू नहीं होता है। सही दृष्टिकोण धारामापी ब्लॉक द्वारा बने धारिता के श्रेणीक्रम संयोजन को शामिल करता है।

उत्तर

$(b, c, d)$

यहां, चित्र विद्युत क्षेत्र हमेशा विभव के सबसे तीव्र गिरावट की दिशा में रहता है। इसके मान को बिंदु पर समविभव सतह के लंबवत विभव के मान में परिवर्तन प्रति इकाई विस्थापन द्वारा दिया जाता है।

$z$-दिशा में विद्युत क्षेत्र के अनुसार, समविभव सतहें $x$-$y$ तल में होती हैं। इसलिए, किसी दिए गए $z$ के लिए कोई भी $x$ के लिए विभव स्थिर होता है, किसी दिए गए $z$ के लिए कोई भी $y$ के लिए विभव स्थिर होता है और किसी दिए गए $z$ के लिए $x$-$y$ तल पर विभव स्थिर होता है।

ध्यान दें विभव सतहों के आकार आवेश के प्रकृति और प्रकार के वितरण पर निर्भर करता है, जैसे कि बिंदु आवेश गोलाकार सतह उत्पन्न करता है जबकि रेखा आवेश वितरण बेलनाकार समविभव सतह उत्पन्न करता है।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि $\hat{\mathbf{z}}$-दिशा में समान विद्युत क्षेत्र यह सुझाव देता है कि विभव $z$ के साथ रैखिक रूप से बदलता है। इसलिए, विभव सभी अंतरिका में स्थिर नहीं रह सकता।

सोच-चूक

इस समस्या में, हमें विद्युत क्षेत्र तीव्रता $E$ और विद्युत विभव $\vee$ के बीच संबंध देना होगा, जो निम्नलिखित है:

$$ E=-\frac{d V}{d r} $$

उत्तर

$(a, b, c)$

विद्युत क्षेत्र तीव्रता $E$ बराबर विभव सतहों के बीच दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसलिए, विभव सतहें बड़े विद्युत क्षेत्र में क्षेत्र के निकट अधिक घनी होती हैं।

क्योंकि, आवेशित चालक के तीखे किनारों और बड़ी आवेश घनत्व वाले क्षेत्रों के निकट विद्युत क्षेत्र तीव्रता अधिक होती है। इसलिए, ऐसे स्थानों पर विभव सतहें अधिक घनी होती हैं।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि विभव सतहें हमेशा समान दूरी पर नहीं रहतीं। विभव सतहों के बीच दूरी विद्युत क्षेत्र तीव्रता पर निर्भर करती है, जो विभिन्न क्षेत्रों में भिन्न हो सकती है। तीव्र विद्युत क्षेत्र में विभव सतहें एक दूसरे के निकट होती हैं, जबकि कम विद्युत क्षेत्र में वे दूर होती हैं।

उत्तर

(c) आवेश के विस्थापन में किया गया कार्य $W_{12}=q\left(V_{2}-V_{1}\right)$ द्वारा दिया जाता है और विद्युत क्षेत्र के लिनियर समाकलन से बिंदु 1 से 2 तक विभवांतर $V_{2}-V_{1}=-\int_{1}^{2} E$.dl देता है। विभव सतह पर $V_{2}-V_{1}=0$ और $W=0$ होता है।

ध्यात यदि विस्थापित आवेश के आवेश $+1 C$ हो, तो और केवल तब विकल्प (b) सही होता है। लेकिन एनसीईआरटी उदाहरण किताब में (b) को सही विकल्प के रूप में दिया गया है, जो दिए गए स्थितियों में संभवतः नहीं हो सकता।

• (a) $-\int_{A}^{B}$ E.dl के रूप में निर्धारित नहीं किया जा सकता: यह विकल्प गलत है क्योंकि विद्युत क्षेत्र में आवेश को विस्थापित करने में किया गया कार्य वास्तव में विद्युत क्षेत्र के लिनियर समाकलन के रूप में $-\int_{A}^{B}$ E.dl द्वारा परिभाषित होता है। हालांकि, एक विभव सतह पर इस समाकलन का मूल्य शून्य होता है, लेकिन परिभाषा खुद वैध रहती है।

• (ब) को $-\int_{A}^{B}$ E.dl के रूप में परिभाषित करना चाहिए: इस विकल्प को समपोटेंशियल सतह के संदर्भ में गलत माना जाता है क्योंकि हालांकि परिभाषा सही है, कार्य करने के लिए शून्य होता है। समपोटेंशियल सतह पर $-\int_{A}^{B}$ E.dl एक शून्य होता है, इसलिए इसे “अनिवार्य रूप से परिभाषित करना” बिना इसके संदर्भ के कि यह शून्य के मूल्य के लिए गलत बताया जा सकता है।

• (ग) एक गैर-शून्य मान रख सकता है: इस विकल्प को गलत माना जाता है क्योंकि समपोटेंशियल सतह पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य होता है। इसलिए, समपोटेंशियल सतह पर एक आवेश को गति कराने के लिए किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है, और इसका गैर-शून्य मान रखना संभव नहीं होता।

उत्तर

$(ब, स)$

विद्युत क्षेत्र तीव्रता $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $E=0$ और $V=$ स्थिर होने पर $\frac{d V}{d r}=0$ होता है।

इससे विद्युत क्षेत्र तीव्रता $E=0$ होती है।

• (ए) विद्युत क्षेत्र समान होता है: यह गलत है क्योंकि एक समान विद्युत क्षेत्र विभव के एक स्थिर दर के बराबर होता है, न कि एक स्थिर विभव। एक स्थिर विभव के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए, न कि समान।

• (द) यदि एक आवेश क्षेत्र के बाहर रखा जाता है तो विद्युत क्षेत्र आवश्यक रूप से बदल जाएगा: यह गलत है क्योंकि एक आवेश क्षेत्र के बाहर रखने से उस क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र को कोई प्रभाव नहीं पड़ता। एक स्थिर विभव के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य रहता है, बाहरी आवेश के बावजूद।

उत्तर

(a, $d)$

संधारित्र $C_{1}$ द्वारा संचित आवेश $C_{1}$ और $C_{2}$ के बीच फैल जाता है तक उनके विभव समान हो जाते हैं, अर्थात $V_{2}=V_{1}$. आवेश के संरक्षण के नियम के अनुसार, जब कुंजी $K_{1}$ बंद हो और $K_{2}$ खुली हो, तो संधारित्र $C_{1}$ द्वारा संचित आवेश तब तक फैलता है जब तक $K_{1}$ खुली हो और $K_{2}$ बंद हो, तब संधारित्र $C_{1}$ और $C_{2}$ पर आवेशों के योग के बराबर होता है, अर्थात,

$$ Q_{1}^{\prime}+Q_{2}^{\prime}=Q $$

• विकल्प (b) गलत है: $ C_{1} $ पर आवेश ऐसे फैल नहीं जाता है कि $ Q_1’ = Q_2’ $. बजाय इसके, आवेश फैलता है तक दोनों संधारित्रों पर विभव समान हो जाए, न कि आवेश। संधारित्रों पर आवेश उनकी क्षमता और अंतिम विभव पर निर्भर करता है, जो आमतौर पर समान नहीं होते हैं, अगर क्षमता समान नहीं हो।

• विकल्प (c) गलत है: $ C_{1} $ पर आवेश ऐसे फैल नहीं जाता है कि $ C_1 V_1 + C_2 V_2 = C_1 E $. यह समीकरण आवेश के संरक्षण या प्रणाली के अंतिम अवस्था को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं करता है। सही संबंध आवेश के संरक्षण और आवेश फैलने के बाद दोनों संधारित्रों पर विभव के समान होने के आधार पर होता है।

Answer

( $a, b$ )

एक बंद आवेशित चालक के बाहरी सतह पर आवेश रहता है।

• विकल्प (c) गलत है: यद्यपि विद्युत स्थैतिक संतुलन में, अतिरिक्त आवेश चालक के सतह पर रहता है, “केवल सतह पर आवेश होना आवश्यक है” यह कथन अत्यधिक संकीर्ण है। यह चालक में संतुलन तक पहुँचने से पहले आवेश के वितरण की संभावना को ध्यान में नहीं लेता है।

• विकल्प (d) गलत है: विद्युत स्थैतिक संतुलन में, चालक के अंतर्गत विद्युत क्षेत्र शून्य होता है, जिसका अर्थ है कि कोई अतिरिक्त आवेश चालक के सतह पर ही रहता है। इस स्थिति में चालक के सतह के अंतर्गत कोई आवेश नहीं हो सकता।

Thinking Process

सेल जुड़े चालक के लिए अपने विद्युत वाहक बल के बराबर विभवांतर को बनाए रखने के लिए जिम्मेदार होता है। हालांकि, अलग कर दिए गए आवेशित कैपेसिटर द्वारा संचित आवेश संरक्षित रहता है।

उत्तर

$(c, d)$

केस A जब कुंजी $K$ बंद रखी जाती है और संधारित्र के प्लेटों को आइसोलेटिंग हैंडल के माध्यम से अलग कर दिया जाता है, तो दो प्लेटों के बीच अंतर बढ़ जाता है जिसके परिणामस्वरूप संधारित्र की क्षमता $C=\frac{K \varepsilon_{0} A}{d}$ कम हो जाती है और इसलिए, संचित आवेश $Q=C V$ कम हो जाता है (विभव अभी भी सेल के साथ जुड़े संधारित्र के कारण समान रहता है)।

केस B जब कुंजी $K$ खुल दी जाती है और संधारित्र के प्लेटों को आइसोलेटिंग हैंडल के माध्यम से अलग कर दिया जाता है, तो अलग कर दिए गए चार्ज के संधारित्र द्वारा संचित आवेश संरक्षित रहता है और क्षमता के कम हो जाने के कारण विभवांतर $V$ बढ़ जाता है जैसे $V=Q / C$।

• (a) A में Q समान रहता है लेकिन C बदल जाता है: यह गलत है क्योंकि जब कुंजी $ K $ बंद रखी जाती है, तो संधारित्र बैटरी के साथ जुड़ा होता है, जो विभव $ V $ को निरंतर बनाए रखती है। जब प्लेटों को अलग कर दिया जाता है, तो क्षमता $ C $ घट जाती है, और क्योंकि $ Q = CV $, आवेश $ Q $ भी बदल जाता है (घट जाता है) ताकि निरंतर विभव बनाए रखा जा सके।

• (b) B में V समान रहता है लेकिन C बदल जाता है: यह गलत है क्योंकि जब कुंजी $ K $ खुल दी जाती है, तो संधारित्र बैटरी से अलग हो जाता है, जिसका अर्थ है कि संधारित्र पर आवेश $ Q $ स्थिर रहता है। जब प्लेटों को अलग कर दिया जाता है, तो क्षमता $ C $ घट जाती है, और क्योंकि $ V = Q/C $, विभव $ V $ बदल जाता है (बढ़ जाता है) ताकि निरंतर आवेश बनाए रखा जा सके।

सोचने की प्रक्रिया

गोलियों के आवेश के कारण उनके विभव को उनके आवेश घनत्व के रूप में लिखना पड़ता है।

उत्तर

क्योंकि, दो गोलियाँ एक ही विभव पर हैं, इसलिए

$$ \frac{k q_{1}}{R_{1}}=\frac{k q_{2}}{R_{2}} \Rightarrow \frac{k q_{1} R_{1}}{4 \pi R_{1}^{2}}=\frac{k q_{2} R_{2}}{4 \pi R_{2}^{2}} $$

$$

या

$$ \begin{gathered} \sigma_{1} R_{1}=\sigma_{2} R_{2} \Rightarrow \frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{R_{2}}{R_{1}} \newline \newline R_{2}>R_{1} \end{gathered} $$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $\sigma_{1}>\sigma_{2}$।

छोटे गोले के आवेश घनत्व बड़े गोले के आवेश घनत्व से अधिक होता है।

उत्तर

स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के विपरीत दिशा में विद्युत बल का अनुभव करते हैं क्योंकि इलेक्ट्रॉन नकारात्मक आवेश के होते हैं। विद्युत क्षेत्र हमेशा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर दिशा लेता है।

इसलिए, विद्युत बल और इलेक्ट्रॉन के गति की दिशा निम्न विभव से उच्च विभव के क्षेत्र की ओर होती है।

सोचने की प्रक्रिया

चालक की क्षमता इसके ज्यामिति पर निर्भर करती है, अर्थात, लंबाई और चौड़ाई। दिया गया आवेश के लिए विभव $V \propto 1 / C$, इसलिए एक ही आवेश के दो संयोजक चालकों जो अलग-अलग आकार के हो सकते हैं, अलग-अलग विभव के रूप में हो सकते हैं।

उत्तर

हाँ, यदि आकार अलग-अलग हो।

उत्तर

नहीं, चालक के आसपास वातावरण की अनुपस्थिति विद्युत विस्थापन या विभव रिसाव के घटना को रोकती है और इसलिए, स्वतंत्र अंतराल में विभव फलन के अधिकतम या न्यूनतम नहीं हो सकते।

उत्तर

विद्युत क्षेत्र संतुलित होता है, इसलिए दोनों मामलों में कार्य किया गया होगा शून्य।

ध्यातव्य है कि संतुलित बल (जैसे विद्युत स्थिर बल या गुरुत्वीय बल) वे बल होते हैं, जिनके द्वारा किया गया कार्य वस्तु (या आवेश) के आरंभिक स्थिति और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है, लेकिन आरंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक जाने वाले पथ पर नहीं।

सोचने की प्रक्रिया

विद्युत क्षेत्र $E=\frac{d V}{d r}$ सुझाव देता है कि विद्युत विभव विद्युत क्षेत्र की दिशा में घटता है।

उत्तर

मान लीजिए कोई पथ आवेशित चालक से अनुत्तेजित चालक तक विद्युत क्षेत्र की दिशा में ले जाएं। इसलिए, इस पथ के अनुसार विद्युत विभव कम होता जाता है।

अब, अनुत्तेजित चालक से अनंत तक कोई अन्य पथ ले जाएं जो विभव को और भी कम करता जाएगा। इस तरह अनुत्तेजित वस्तु के विभव के बीच आवेशित वस्तु और अनंत के विभव के बीच अंतर होगा।

सोचने की प्रक्रिया

एक चार्ज के प्रणाली में किया गया कार्य या संचित स्थितिज ऊर्जा $U=W=q \times$ विभवांतर के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

उत्तर

मान लीजिए बिंदु $P$ एक वलय के केंद्र से $x$ दूरी पर है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। चार्ज के तत्व $d q$ बिंदु $P$ से $x$ दूरी पर है। इसलिए, $V$ को लिखा जा सकता है

$$ V=k_{e} \int \frac{d q}{r}=k_{e} \int \frac{d q}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}} $$

जहाँ, $k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}$, क्योंकि प्रत्येक तत्व $d q$ बिंदु $P$ से समान दूरी पर है, इसलिए हमें कुल विभव है

$$ V=\frac{k_{e}}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}} \int d q=\frac{k_{e} Q}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}} $$

$-q$ चार्ज के बिंदु $P$ पर विभव ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$$ \begin{aligned} & U=W=q \times \text { विभवांतर } \\ & U=\frac{k_{e} Q(-q)}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}} \end{aligned} $$

या

$$ \begin{aligned} U & =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{-Q q}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}} \\ & =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} a} \frac{-Q q}{\sqrt{1+\frac{z^{2}}{a}}} \end{aligned} $$

यह आवश्यक व्यंजक है।

विभव ऊर्जा के $z$ के सापेक्ष परिवर्तन चित्र में दिखाया गया है। $-q$ चार्ज विस्थापित होगा और आयोजन करेगा।

केवल ग्राफ के द्वारा देखकर कोई निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

उत्तर

मान लीजिए बिंदु $P$ एक वलय के केंद्र से $x$ दूरी पर है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। चार्ज के तत्व $d q$ बिंदु $P$ से $x$ दूरी पर है। इसलिए, $V$ को लिखा जा सकता है

$$ V=k_{e} \int \frac{d q}{r}=k_{e} \int \frac{d q}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} $$

जहाँ, $k_{e}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}$, क्योंकि प्रत्येक तत्व $d q$ बिंदु $P$ से समान दूरी पर है, इसलिए हमें कुल विभव है

$$ V=\frac{k_{e}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \int d q=\frac{k_{e} Q}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} $$

कुल विद्युत विभव

$$ V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} $$

सोचने की प्रक्रिया

रेखा आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र को प्राप्त करना आवश्यक है ताकि रेखा आवेश से दूरी $r$ पर विभव की गणना की जा सके। विद्युत क्षेत्र के रेखीय समाकलन के माध्यम से दो बिंदुओं के बीच विभवांतर की गणना की जा सकती है।

$$ V(r)-V\left(r_{0}\right)=-\int_{r_{0}}^{r} E . d l $$

उत्तर

मान लीजिए कि क्षेत्र रेखाएं बाहर की ओर निर्देशित होती हैं। एक बेलनाकार गाउसीय सतह बनाएं जिसकी त्रिज्या $r$ और लंबाई $l$ है। फिर, गाउस के प्रमेय के अनुसार

या

$$ \int \mathrm{E} . \mathrm{dS}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \lambda l $$

$$ E_{r} 2 \pi r l=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \lambda l \Rightarrow E_{r}=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r} $$

इसलिए, यदि $r_{0}$ त्रिज्या है,

$$ V(r)-V\left(r_{0}\right)=-\int_{r_{0}}^{r} E \cdot d l=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \frac{r_{0}}{r} $$

क्योंकि,

$$ \int_{r_{0}}^{r} \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r} d r=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \int_{r_{0}}^{r} \frac{1}{r} d r=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \frac{r}{r_{0}}

$$

किसी दिए गए $V$ के लिए,

$$ \begin{aligned} \ln \frac{r}{r_{0}} & =-\frac{2 \pi \varepsilon_{0}}{\lambda}\left[V(r)-V\left(r_{0}\right)\right] \newline \ r & =r_{0} e^{-2 \pi \varepsilon_{0} V r_{0} / \lambda} e+2 \pi \varepsilon_{0} V(r) / \lambda \newline \ r & =r_{0} e^{-2 \pi \varepsilon_{0}\left[V_{(r)}-V_{\left(r_{0}\right)}\right] \lambda} \end{aligned} $$

समान विभव के सतहें त्रिज्या के बेलन होती हैं।

चिंतन प्रक्रिया

किसी बिंदु पर बहुआवेश व्यवस्था के कारण कुल विद्युत विभव, प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश के कारण विद्युत विभव के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

उत्तर

आवश्यक समतल को चित्र में दिखाए गए अनुसार मूल बिंदु से $x$ दूरी पर मान लीजिए।

बिंदु $P$ पर आवेश के कारण विभव निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{\left[(x+d / 2)^{2}+h^{2}\right]^{1 / 2}}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{\left[(x-d / 2)^{2}+h^{2}\right]^{1 / 2}} $$

यदि कुल विद्युत विभव शून्य हो, तो

या

$$ \frac{1}{\left[(x+d / 2)^{2}+h^{2}\right]^{1 / 2}}=\frac{1}{\left[(x-d / 2)+h^{2}\right]^{1 / 2}} $$

$$ \begin{aligned} \Rightarrow & x^{2}-d x+d^{2} / 4 & =x^{2}+d x+d^{2} / 4 \ \text { या } & 2 d x & =0 \Rightarrow x=0 \end{aligned} $$

आवश्यक समतल का समीकरण $x=0$ अर्थात $y$-$z$ समतल है।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में एक परिवर्तनशील प्रवैगता के डाइइलेक्ट्रिक का उपयोग किया गया है जो सामान्य समस्या में नए दृष्टिकोण को प्रदान करता है।

उत्तर

मान लीजिए आवश्यक अंतिम वोल्टेज $U$ है। यदि $C$ डाइइलेक्ट्रिक के बिना कैपेसिटर की कैपेसिटेंस है, तो कैपेसिटर पर चार्ज निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $Q_{1}=C U$

क्योंकि, डाइइलेक्ट्रिक के साथ कैपेसिटर की कैपेसिटेंस $\varepsilon C$ है। अतः कैपेसिटर पर चार्ज निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ Q_{2}=\varepsilon C U=(\alpha U) C U=\alpha C U $$

कैपेसिटर पर प्रारंभिक चार्ज निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{array}{rlrl} \text { चार्ज के संरक्षण के अनुसार,\newline }\ \newline Q_{0} =C U_{0} \newline \ \text { या } =Q_{1}+Q_{2} \newline \ C C U_{0} =C U+\alpha C U^{2} \newline \ \Rightarrow \alpha U^{2}+U-U_{0} =0 \newline \ \therefore U =\frac{-1 \pm \sqrt{1+4 \alpha U_{0}}}{2 \alpha} \end{array} $$

$U_{0}=78 \mathrm{~V}$ और $a=2 / \mathrm{V}$ के लिए हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ U=6 \mathrm{~V} $$

सोचने की प्रक्रिया

जब वजन विद्युत बल द्वारा संतुलित होता है तो डिस्क उठ जाती है।

उत्तर

मान लीजिए आरंभ में डिस्क नीचे वाली प्लेट के संपर्क में है, अतः पूरी प्लेट एक समान विभव वाली होती है।

जब विभवांतर $V$ लगाया जाता है तो डिस्क पर विद्युत क्षेत्र निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ E=\frac{V}{d} $$

मान लीजिए चार्ज $q^{\prime}$ डिस्क पर प्रक्रिया के दौरान स्थानांतरित होता है,

अतः गॉस के प्रमेय के अनुसार,

$$ \therefore \quad \begin{aligned} q^{\prime} & =-\varepsilon_{0} \frac{V}{d} \pi^{2} \\ \text { चूंकि, गॉस प्रमेय कहता है कि } \quad \varphi & =\frac{q}{\varepsilon_{0}} \text { या } q=\frac{\varepsilon_{0}}{\varphi} \\

$$ & =\varepsilon E A=\frac{\varepsilon_{0} V}{d} A \end{aligned} $$

$$ \end{aligned} $$

दिए गए डिस्क पर कार्य करने वाला बल है

$$ -\frac{V}{d} \times q^{\prime}=\varepsilon_{0} \frac{V^{2}}{d^{2}} \pi r^{2} $$

अगर डिस्क उठाने के लिए है, तो

$$ \varepsilon_{0} \frac{V^{2}}{d^{2}} \pi r^{2}=m g \Rightarrow V=\sqrt{\frac{m g d^{2}}{\pi \varepsilon_{0} r^{2}}} $$

यह आवश्यक व्यंजक है।

Answer

इस प्रणाली में तीन आवेदन हैं। प्रणाली की संभावना ऊर्जा प्रत्येक जोड़े की विभव ऊर्जा के बीजगणितीय योग के बराबर होती है। इसलिए,

$$U = \frac{1}{4 \pi e_0} \Big[\frac{q_uq_d}{r}- \frac{q_uq_d}{r}- \frac{q_uq_d}{r}\Big] \newline \newline$$ $$= \frac{9 \times 10^9}{10^{-15}} [{(1.6 \times 10^{-15})^2{1/3}^2 - (2/3)(1/3) -(2/3)(1/3)}] \newline $$ $$= 4.8 \times 0^{-13}\Big[{\frac{1}{9} -\frac{4}{9} }\Big]$$ $$ = -7.68 \times 10^{-14} J$$ $$ = 4.8 \times 10^5 eV = 0.48meV \newline = 5.11 \times 10^{-4} (m_nc^2)$$

Answer

दो धातु गोलों पर आवेदन, जब वे संपर्क में आए हों, निम्नलिखित हैं

$$ \begin{aligned} Q & =\sigma .4 \pi R^{2} \\ Q_{2} & =\sigma .4 \pi\left(2 R^{2}\right) \\ & =4\left(\sigma .4 \pi R^{2}\right)\\ & =4 Q_{1} \end{aligned} $$

मान लीजिए कि दो धातु गोलों पर आवेदन, जब वे संपर्क में आए हों, $Q_{1}^{\prime}$ और $Q_{2}^{\prime}$ हों।

अब आवेश के संरक्षण के नियम के अनुसार दिया गया है

$$ \begin{aligned} Q_{1}^{\prime}+Q_{2}^{\prime} & =Q_{1}+Q_{2}=5 Q_{1} \\ & =5\left(\sigma .4 \pi R^{2}\right) \end{aligned} $$

संपर्क के बाद, वे समान विभव प्राप्त करते हैं। इसलिए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$$ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{1}^{\prime}}{R}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{2}^{\prime}}{R} $$

हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{array}{ll} \therefore & Q_{1}^{\prime}=\frac{5}{3}\left(\sigma \cdot 4 \pi R^{2}\right) \text { और } Q_{2}^{\prime}=\frac{10}{3}\left(\sigma \cdot 4 \pi R^{2}\right) \\ \therefore & \sigma_{1}=5 / 3 \sigma \text { और } \sigma_{2}=\frac{5}{6} \sigma \end{array} $$

उत्तर

परिपथ में, आरंभ में $K_{1}$ बंद है और $K_{2}$ खुला है, तो संधारित्र $C_{1}$ और $C_{2}$ क्रमशः विभवांतर $V_{1}$ और $V_{2}$ प्राप्त करते हैं। इसलिए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

और

$$ \begin{aligned} V_{1}+V_{2} & =E \\ V_{1}+V_{2} & =9 V \\ V & \propto 1 / C \\ V_{1}: V_{2} & =1 / 6: 1 / 3 \end{aligned} $$

संयोजन में, श्रेणीक्रम में,

हल करने पर

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow &V_{1}=3 V \text { और } V_{2}=6 V \newline \\ \therefore &Q_{1}=C_{1} V_{1}=6 C \times 3=18 \mu C \newline\\ &Q_{2}=9 \mu C \text { और } Q_{3}=0 \newline \end{array} $$

फिर, $K_{1}$ को खोल दिया गया और $K_{2}$ को बंद कर दिया गया, तो $C_{2}$ और $C_{3}$ के समांतर संयोजन $C_{1}$ के श्रेणीक्रम में है।

$$ Q_{2}=Q_{2}^{\prime}+Q_{3} $$

और समांतर संयोजन के सामान्य विभव को $V$ मानते हुए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} C_{2} V+C_{3} V & =Q_{2} \newline\\ V & =\frac{Q_{2}}{C_{2}+C_{3}}=(3 / 2) V \newline \\ Q_{2}^{\prime} & =(9 / 2) \mu C \newline\\ Q_{3} & =(9 / 2) \mu C \newline \end{aligned} $$

उत्तर

मान लीजिए बिंदु $P$ चकती के केंद्र से $x$ दूरी पर है और चकती के तल को $\mathbf{x}$-अक्ष के लंबवत मान लीजिए। चकती को चार्जित वलयों में विभाजित कर लीजिए जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

त्रिज्या $r$ और चौड़ाई $dr$ वाले प्रत्येक वलय के आवेश $dq$ के विद्युत विभव को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \sigma d A=\sigma 2 \pi r d r $$

और विभव को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

(23 के समाधान को देखें।)

$$ d V=\frac{k_{e} d q}{\sqrt{r^{2}+x^{2}}}=\frac{k_{e} \sigma 2 \pi r d r}{\sqrt{r^{2}+x^{2}}} $$

जहाँ $k_{e}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}$ बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{aligned} V & =\pi k_{e} \sigma \int_{0}^{a} \frac{2 r d r}{\sqrt{r^{2}+x^{2}}}=\pi k_{e} \sigma \int_{0}^{a}\left(r^{2}+x^{2}\right)^{-1 / 2} 2 r d r \newline \ V & =2 \pi k_{e} \sigma\left[\left(x^{2}+a^{2}\right)^{1 / 2}-x\right] \newline \ k_{e} & =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \newline \ V & =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 Q}{a^{2}}\left[\sqrt{x^{2}+a^{2}}-x\right] \end{aligned} $$

इसलिए, हम उपरोक्त समीकरण के द्वारा विभव की गणना कर सकते हैं

नोट: आप इस समस्या में $a=$ त्रिज्या ले सकते हैं।

चिंतन प्रक्रिया

यहाँ, समस्या को वास्तविक करने के लिए 3-आयामी कल्पना की आवश्यकता होती है। अतः, किसी भी बिंदु पर बिंदु आवेशों के तंत्र के कारण कुल विद्युत विभव व्यक्तिगत आवेशों के कारण विद्युत विभव के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

उत्तर

किसी भी अस्थायी बिंदु पर आवश्यक समतल पर $(x, y, z)$ हो। दो आवेश $z$-अक्ष पर $2 d$ की दूरी पर स्थित हैं।

बिंदु $P$ पर दो आवेशों के कारण विभव के द्वारा दिया गया है

$$ \begin{array}{ll} & \frac{q_{1}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}+\frac{q_{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}}=0 \newline \ \therefore & \frac{q_{1}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-d)^{2}}}=\frac{-q_{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+d)^{2}}} \end{array} $$

वर्ग करके और सरल करके, हम प्राप्त करते हैं

$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{\left(q_{1} / q_{2}\right)^{2}+1}{\left(q_{1} / q_{2}\right)^{2}-1}(2 z d)+d^{2}-0 $$

यह एक गोले का समीकरण है, जिसका केंद्र

$$ 0,0,-2 d \frac{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}{q_{1}^{2}-q_{2}^{2}} $$

है।

नोट गोले के समीकरण $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$ के केंद्र $(a, b, c)$ और त्रिज्या $r$ होती है।

उत्तर

तीसरा आवेश $+q$ औसत स्थिति से थोड़ा विस्थापित हो जाता है। इसलिए, प्रणाली की कुल विभव ऊर्जा निम्नलिखित है

$$ \begin{aligned} U & =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{-q^{2}}{(d-x)}+\frac{-q^{2}}{(d+x)} \newline \ U & =\frac{-q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 d}{\left(d^{2}-x^{2}\right)} \newline \ \frac{d U}{d x} & =\frac{-q^{2} \cdot 2 d}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{2 x}{\left(d^{2}-x^{2}\right)^{2}} \end{aligned} $$

यदि प्रणाली संतुलन में हो, तो

$$ F=-\frac{d U}{d x}=0 $$

हल करने पर, $x=0$। इसलिए, $+q$ आवेश के स्थायी/अस्थायी संतुलन में होने के लिए विभव ऊर्जा के द्वितीय अवकलज को खोजें।

$$ \begin{aligned} \frac{d^{2} U}{d x^{2}} & =\frac{-2 d q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \quad \frac{2}{\left(d^{2}-x^{2}\right)^{2}}-\frac{8 x^{2}}{\left(d^{2}-x^{2}\right)^{3}} \newline \

$$ \begin{aligned} E & =\frac{-2 d q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{\left(d^{2}-x^{2}\right)^{3}}\left[2\left(d^{2}-x^{2}\right)^{2}-8 x^{2}\right] \newline \ x & =0 \newline \ \frac{d^{2} U}{d x^{2}} & =\frac{-2 d q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \quad \frac{1}{d^{6}}\left(2 d^{2}\right), \text { which is }<0 \end{aligned} $$

इससे स्पष्ट होता है कि प्रणाली अस्थायी संतुलन में होगी।

नोट: फलन $y=f(x)$ के लिए, $\frac{d y}{d x}=0$ को हल करने से क्रिटिकल बिंदु प्राप्त होते हैं, अर्थात बिंदु जहां स्थानीय उच्चिष्ठ या स्थानीय न्यूनिष्ठ होते हैं। यदि किसी क्रिटिकल बिंदु के लिए, यह दर्शाता है कि $y$ का मान $x=x_{1}$ पर अधिकतम होता है, $x=x_{1}$ पर $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}>0$ तो यह दर्शाता है कि $y$ का मान $x=x_{1}$ पर न्यूनतम होता है और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}<0$ के लिए