सोचने की प्रक्रिया

क्षेत्रफल A के समान तल के साथ एक समान चुम्बकीय क्षेत्र में जुड़े चुम्बकीय फ्लक्स को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \phi=B . A $$

उत्तर

(c) यहां, $A=L^{2} \hat{\mathbf{k}}$ और $\mathbf{B}=B_{0}(2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}+4 \hat{\mathbf{k}}) T$

$$ \phi=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}=B_{0}(2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}+4 \hat{\mathbf{k}}) \cdot L^{2} \hat{\mathbf{k}}=4 B_{0} L^{2} \mathrm{~Wb} $$

• विकल्प (a) $2 B_{0} L^{2} \mathrm{~Wb}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें केवल चुम्बकीय क्षेत्र के $\hat{\mathbf{i}}$ दिशा में घटक को ध्यान में लिया गया है। $xy$-समतल में वर्ग के माध्यम से गुजरने वाले फ्लक्स को निर्धारित करने के लिए चुम्बकीय क्षेत्र के तल के लंब घटक को ध्यान में लिया जाता है, जो $\hat{\mathbf{k}}$ दिशा में है।

• विकल्प (b) $3 B_{0} L^{2} \mathrm{~Wb}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें केवल चुम्बकीय क्षेत्र के $\hat{\mathbf{j}}$ दिशा में घटक को ध्यान में लिया गया है। विकल्प (a) के जैसे, $xy$-समतल में वर्ग के माध्यम से गुजरने वाले फ्लक्स को निर्धारित करने के लिए चुम्बकीय क्षेत्र के तल के लंब घटक को ध्यान में लिया जाता है, जो $\hat{\mathbf{k}}$ दिशा में है।

• विकल्प (d) $\sqrt{29} B_{0} L^{2} \mathrm{~Wb}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें पूरे चुम्बकीय क्षेत्र सदिश $\mathbf{B}$ के परिमाण को ध्यान में लिया गया है, न केवल $xy$-समतल के लंब घटक को। वर्ग के माध्यम से फ्लक्स को निर्धारित करने के लिए चुम्बकीय क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के डॉट उत्पाद को ध्यान में लिया जाता है, जो केवल चुम्बकीय क्षेत्र के $\hat{\mathbf{k}}$ घटक को शामिल करता है।

सोचने की प्रक्रिया

यहाँ, लूप $A B C D$ x-y तल में स्थित है जिसका क्षेत्रफल सदिश $A_{1}=L^{2} \hat{k}$ है, जबकि लूप ADEFA y-z तल में स्थित है जिसका क्षेत्रफल सदिश $A_{2}=L^{2} \hat{i}$ है।

उत्तर

(b) एक समान क्षेत्रफल के समतल के साथ एक समान चुंबकीय क्षेत्र में जुड़े चुंबकीय फ्लक्स के लिए दिया गया है

और

$$ \begin{aligned} \phi & =B \cdot A \\ A & =A_{1}+A_{2}=\left(L^{2} \hat{k}+L^{2} \hat{i}\right) \\ B & =B_{0}(\hat{i}+\hat{k}) T \\ \phi & =B \cdot A=B_{0}(\hat{i}+\hat{k}) \cdot\left(L^{2} \hat{k}+L^{2} \hat{i}\right) \\ & =2 B_{0} L^{2} \mathrm{~Wb} \end{aligned} $$

अब,

• विकल्प (a): इस विकल्प में फ्लक्स की गणना केवल दो सतहों में से एक (या तो $ \hat{k} $ दिशा में या $ \hat{i} $ दिशा में) को मानता है और दोनों को नहीं। क्योंकि लूप के दोनों सतहें चुंबकीय क्षेत्र के घटकों के लंबवत हैं, इसलिए कुल फ्लक्स दोनों सतहों के माध्यम से फ्लक्स के योग के बराबर होना चाहिए, जो इस विकल्प में नहीं गणित किया गया है।

• विकल्प (c): यह विकल्प गलत रूप से मानता है कि लूप के माध्यम से फ्लक्स के लिए दोनों क्षेत्रफल सदिशों के सदिश योग के कारण वर्गमूल 2 के साथ प्रभाव डाला जाता है। सही तरीका दोनों सतहों के माध्यम से फ्लक्स के योग को बिना वर्गमूल 2 के उपयोग के बराबर होना चाहिए।

• विकल्प (d): यह विकल्प गलत धारणा के आधार पर है कि लूप के माध्यम से चुंबकीय फ्लक्स एक सतह के माध्यम से फ्लक्स के चार गुना होता है। सही गणना में दो लंबकर्ता सतहों के माध्यम से फ्लक्स को जोड़ा जाता है, जिनमें से प्रत्येक $ B_0 L^2 $ फ्लक्स डालता है, जिसके परिणामस्वरूप कुल फ्लक्स $ 2 B_0 L^2 $ Wb होता है, जो इस मान के चार गुना नहीं होता।

सोचने की प्रक्रिया

समस्या विद्युत चुंबकीय प्रेरण के घटना से संबंधित है।

उत्तर

(b) जब बेलनाकार बार चुंबक अपने अक्ष के चारों ओर घूमाया जाता है, तो परिपथ से जुड़े फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता, फलस्वरूप कोई वि. वा. बल प्रेरित नहीं होता और इसलिए एम्पियर $A$ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती।

• विकल्प (a) गलत है: एक सीधी धारा के लिए परिपथ में चुंबकीय फ्लक्स के निरंतर परिवर्तन की आवश्यकता होती है। चूंकि बेलनाकार बार चुंबक अपने अक्ष के चारों ओर घूमाया जाता है, इसलिए परिपथ में चुंबकीय फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता है, इसलिए कोई सीधी धारा उत्पन्न नहीं होती।

• विकल्प (c) गलत है: एक वैकल्पिक चक्रीय धारा के लिए परिपथ में चुंबकीय फ्लक्स के नियमित परिवर्तन की आवश्यकता होती है। हालांकि, बेलनाकार बार चुंबक को अपने अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, इसलिए फ्लक्स में ऐसा परिवर्तन नहीं होता है, इसलिए कोई वैकल्पिक चक्रीय धारा उत्पन्न नहीं होती।

• विकल्प (d) गलत है: एक समय परिवर्ती गैर-चक्रीय धारा के लिए भी परिपथ में चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की आवश्यकता होती है। चूंकि बेलनाकार बार चुंबक को अपने अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, इसलिए फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता है, इसलिए कोई समय परिवर्ती गैर-चक्रीय धारा उत्पन्न नहीं होती।

सोचने की प्रक्रिया

$B$ में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) इसके चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन के कारण होता है।

उत्तर

(d) जब $A$ रुक जाता है तो $B$ में धारा शून्य हो जाती है, जिसके लिए $A$ में धारा स्थिर होनी चाहिए। यदि $A$ में धारा परिवर्तित होती, तो $A$ रुक जाने पर भी $B$ में प्रेरित विद्युत वाहक बल (और धारा) होती। हालांकि, समस्या में दिया गया है कि $A$ रुक जाने पर $B$ में धारा बंद हो जाती है, जिससे निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $A$ में धारा स्थिर है।

• (a) $A$ में एक स्थिर धारा घड़ी की दिशा में है: यह विकल्प गलत है क्योंकि समस्या में दिया गया है कि $A$ में धारा विपरीत दिशा में है, न कि घड़ी की दिशा में।

• (b) $A$ में एक परिवर्तित धारा है: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $A$ में धारा परिवर्तित होती, तो $A$ रुक जाने पर भी $B$ में प्रेरित विद्युत वाहक बल (और धारा) होती। हालांकि, समस्या में दिया गया है कि $A$ रुक जाने पर $B$ में धारा बंद हो जाती है, जिससे निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $A$ में धारा स्थिर है।

• (c) $A$ में कोई धारा नहीं है: यह विकल्प गलत है क्योंकि समस्या में दिया गया है कि $A$ में धारा है (विपरीत दिशा में)। यदि $A$ में कोई धारा नहीं होती, तो $A$ गति करते समय $B$ में धारा नहीं होती।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या के माध्यम से लेंज के नियम के अनुप्रयोग की जांच की जाती है।

उत्तर

(a) जब $B(a t=0)$ में धारा विपरीत घड़ी की ओर होती है और कुंडल $A$ इससे ऊपर होता है। $B$ में विपरीत घड़ी की ओर धारा के प्रवाह के तुलनात्मक रूप से चुंबक के उत्तर ध्रुव के तुलनात्मक रूप से चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ ऊपर कुंडल $A$ की ओर निकलती हैं। जब $t=0$ पर कुंडल $A$ घूमना शुरू होता है, तो लेंज के नियम के अनुसार कुंडल $A$ में धारा घड़ी की ओर नियत दिशा में होती है।

• (b) बदलती धारा घड़ी की ओर: यह विकल्प गलत है क्योंकि लेंज के नियम के अनुसार कुंडल $A$ में उत्पन्न धारा नियत रहेगी और बदलती नहीं होगी। कुंडल $B$ से निर्मित नियत चुंबकीय क्षेत्र के उपस्थिति में कुंडल $A$ के घूमने से चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन के विरोध में एक निश्चित दिशा में (घड़ी की ओर) एक स्थिर धारा उत्पन्न होगी।

• (c) बदलती धारा विपरीत घड़ी की ओर: यह विकल्प गलत है क्योंकि लेंज के नियम के अनुसार उत्पन्न धारा की दिशा चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन के विरोध में घड़ी की ओर होगी। इसके अलावा, धारा नियत रहेगी न कि बदलती होगी।

• (d) नियत धारा विपरीत घड़ी की ओर: यह विकल्प गलत है क्योंकि लेंज के नियम के अनुसार उत्पन्न धारा की दिशा घड़ी की ओर होगी, न कि विपरीत घड़ी की ओर। उत्पन्न धारा नियत रहेगी लेकिन घड़ी की ओर दिशा में चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन के विरोध में होगी।

सोच-चूक

एक सोलेनॉइड के स्व-प्रेरकत्व $L$ इसकी ज्यामिति (अर्थात, लंबाई, काट क्षेत्रफल, फेरों की संख्या आदि) और माध्यम के चुंबकीय पारगमन गुणांक पर निर्भर करता है।

उत्तर

(b) एक लंबे सोलेनॉइड के स्व-प्रेरकत्व के लिए, जिसका काट क्षेत्रफल $A$ और लंबाई $l$ है, जिसमें $n$ फेरे प्रति इकाई लंबाई हो, और जिसके अंदर एक पदार्थ (जैसे, नरम लोहा, जो उच्च मान के संपरिवर्तनीय पारगमन गुणांक के साथ होता है) भरा हो, द्वारा दिया गया है

$$ L=\mu_{r} \mu_{0} n^{2} A l $$

$$ \text { जहाँ, } \quad n=N / l $$

नोट: कैपेसिटेंस, प्रतिरोध, स्व-प्रेरकत्व और परस्पर प्रेरकत्व उपकरणों की ज्यामिति और माध्यम के पारगमन/चुंबकीय पारगमन गुणांक पर निर्भर करते हैं।

• विकल्प (a): स्व-प्रेरकत्व $ L $ काट क्षेत्रफल $ A $ के सीधे अनुपाती होता है लेकिन लंबाई $ l $ के सीधे अनुपाती भी होता है। अतः, यदि दोनों $ l $ और $ A $ बढ़ जाएं, तो $ L $ के बढ़ने के कारण $ A $ के कारण बढ़ जाएगा लेकि $ l $ के कारण घट जाएगा, जिसके कारण यह विकल्प गलत है।

• विकल्प (c): स्व-प्रेरकत्व $ L $ काट क्षेत्रफल $ A $ और लंबाई $ l $ के सीधे अनुपाती होता है। यदि $ l $ बढ़ जाए और $ A $ घट जाए, तो $ l $ के बढ़ने के कारण $ L $ घट जाएगा और $ A $ के घटने के कारण $ L $ भी घट जाएगा, जिसके कारण यह विकल्प गलत है।

• विकल्प (d): स्व-प्रेरकत्व $ L $ काट क्षेत्रफल $ A $ और लंबाई $ l $ के सीधे अनुपाती होता है। यदि दोनों $ l $ और $ A $ घट जाएं, तो $ L $ दोनों कारणों से घट जाएगा, जिसके कारण यह विकल्प गलत है।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या के साथ विद्युत धारा के ऊष्मा प्रभाव तथा चुंबकीय प्रेरण तथा विद्युत धारा के घूमने वाले वर्गीकरण के घटना संबंधित है।

उत्तर

$(a, b, d)$

जब एक धातु पटल पर डीसी या एसी धारा प्रवाहित की जाती है तो धातु पटल गरम हो जाता है, जिसे विद्युत धारा के ऊष्मा प्रभाव के रूप में जाना जाता है। इसके अतिरिक्त, जब धातु पटल को समय विशिष्ट चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है, तो पटल से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है और विद्युत धारा के घूमने वाले वर्गीकरण उत्पन्न हो जाते हैं जो पटल को गरम करते हैं।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि एक स्थान विशिष्ट चुंबकीय क्षेत्र जो समय के साथ नहीं बदलता है, धातु पटल में घूमने वाले वर्गीकरण को प्रेरित नहीं करेगा। घूमने वाले वर्गीकरण, जो गरम करते हैं, चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन द्वारा प्रेरित होते हैं, जिसके लिए समय विशिष्ट चुंबकीय क्षेत्र की आवश्यकता होती है।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या के साथ चुंबकीय प्रेरण के घटना संबंधित है।

उत्तर

$(a, b, c)$

यहाँ, अलग-अलग कुंडल के साथ जुड़े चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन होते हैं जब कुंडल एक समय विशिष्ट चुंबकीय क्षेत्र में हो, एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहा हो या एक समय विशिष्ट चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहा हो।

ध्यान दें जब कुंडल के साथ जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है, तो कुंडल में एक विद्युत वाहक बल उत्पन्न होता है। इसे चुंबकीय प्रेरण के रूप में जाना जाता है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि एक स्थिर कुंडल एक बाहरी स्थान विशिष्ट चुंबकीय क्षेत्र में रहता है, जो समय के साथ बदलता नहीं है, तो चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन नहीं होगा। चुंबकीय प्रेरण के लिए चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन की आवश्यकता होती है जिससे एक विद्युत वाहक बल उत्पन्न होता है, और क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र समय के साथ बदलता नहीं है, कुंडल में कोई विद्युत वाहक बल उत्पन्न नहीं होगा।

सोचने की प्रक्रिया

यहां यह जानना महत्वपूर्ण है कि किसी कुंडल युग्म, सोलेनॉइड आदि के परस्पर प्रेरकत्व के लिए उनके अंतर, उनके संबंधी उत्पादन तथा कुंडल युग्म, सोलेनॉइड आदि के ज्यामिति पर निर्भर करता है।

उत्तर

$(a, d)$

जब कुंडलों को एक दूसरे के करीब लाया जाता है तो कुंडल 1 के संबंध में कुंडल 2 के परस्पर प्रेरकत्व $M_{12}$ बढ़ता है और यह कुंडल 2 के संबंध में कुंडल 1 के परस्पर प्रेरकत्व $M_{21}$ के समान होता है। कुंडल $S_{1}$ के संबंध में कुंडल $S_{2}$ के परस्पर प्रेरकत्व $M_{12}$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ M_{21}=\mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l $$

जहां चिह्न सामान्य रूप से होते हैं।

इसके अतिरिक्त, कुंडल $S_{2}$ के संबंध में कुंडल $S_{1}$ के परस्पर प्रेरकत्व $M_{12}$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

इसलिए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & M_{21}=\mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l \ & M_{12}=M_{21}=M \end{aligned} $$

• (b) कुंडलों में पास होने वाली धारा पर निर्भर करता है: यह विकल्प गलत है क्योंकि परस्पर प्रेरकत्व कुंडलों के ज्यामितीय गुण होता है और उनके संबंधी स्थिति, उनके उत्पादन तथा प्रत्येक कुंडल में फेरों की संख्या पर निर्भर करता है। यह धारा जो कुंडलों में पास होती है उस पर निर्भर नहीं करता। परस्पर प्रेरकत्व धारा के बिना भी स्थिर रहता है।

• (c) जब एक कुंडल को एक अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है तो बढ़ता है: यह विकल्प गलत है क्योंकि एक कुंडल को एक अक्ष के चारों ओर घुमाने से कुंडलों के संबंधी उत्पादन बदल सकता है, जो एक दूसरे के संबंध में परस्पर प्रेरकत्व को बढ़ा सकता है या घटा सकता है। इसलिए, परस्पर प्रेरकत्व के बढ़ने की गारंटी नहीं होती है; यह घट सकता है।

सोचने की प्रक्रिया

कुंडल के साथ जुड़े चुंबकीय फ्लक्स के ऐसे विन्यास के बारे में सोचा जाना चाहिए जिसमें कुंडल चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाए और विस्तारित हो रहा हो लेकिन कुंडल के साथ जुड़े चुंबकीय फ्लक्स का मान बदले बिना रहे।

उत्तर

$(b, c)$

जब वृत्ताकार कुंडल चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र में वृत्तीय रूप से विस्तारित होता है ताकि चुंबकीय क्षेत्र वृत्ताकार कुंडल के समान तल में हो या चुंबकीय क्षेत्र कुंडल के तल के लंबवत घटक हो जिसके मान के उपयुक्त रूप से घट रहे हो ताकि कुंडल के तल के क्षेत्रफल के साथ चुंबकीय क्षेत्र के प्रति गुणनफल हमेशा स्थिर रहे।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र यह निश्चित नहीं करता कि कोई विद्युत वाहक बल (emf) उत्पन्न नहीं होता। यदि कुंडल विस्तारित होता है, तो चुंबकीय फ्लक्स के माध्यम से गुजरने वाला क्षेत्रफल बदलता है, जो फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार एक विद्युत वाहक बल का उत्पन्न कर सकता है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि कुंडल के तल के लंबवत दिशा में एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र होने पर कुंडल के विस्तार के कारण चुंबकीय फ्लक्स बदल जाता है। इस फ्लक्स के परिवर्तन के कारण कुंडल में एक विद्युत वाहक बल पैदा होता है, जो दिया गया शर्त के विपरीत है कि कोई विद्युत वाहक बल उत्पन्न नहीं होता।

सोचने की प्रक्रिया

क्षेत्रफल $A$ के समान सतह के साथ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय फ्लक्स को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है

$$ \phi=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}=B A \cos \theta $$

इसलिए, चुंबकीय फ्लक्स केवल तब बदलेगा जब $B$, या $A$ या $B$ और $A$ के बीच कोण बदले।

उत्तर

जब स्विच बंद स्थिति (बंद परिपथ) से खुले स्थिति (खुला परिपथ) में बदल जाता है, तो $B$, $A$ या $B$ और $A$ के बीच कोण में कोई परिवर्तन नहीं होता। इसलिए, कुंडल के साथ जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता, इसलिए विद्युत वाहक बल उत्पन्न नहीं होता और फलस्वरूप परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या के माध्यम से लेंज के नियम के अनुप्रयोग का परीक्षण किया जाता है।

उत्त र

जब कुंडल को इस तरह फैलाया जाता है कि तंतु के क्रमागत तत्वों के बीच अंतराल बन जाते हैं, अर्थात तंतु को खींचकर अलग कर दिया जाता है, जिसके कारण अंतरालों में चुंबकीय फ्लक्स विसरित हो जाता है। लेंज के नियम के अनुसार, उत्पन्न विद्युत वाहक बल इस फ्लक्स के घटने के विरोध करना चाहिए, जिसे धारा में वृद्धि करके किया जा सकता है। इसलिए, धारा बढ़ेगी।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या के माध्यम से लेंज के नियम के अनुप्रयोग का परीक्षण किया जाता है।

उत्तर

जब लोहे का नाभिक धारा वाहक छड़ कुंडल में स्थापित कर दिया जाता है, तो लोहे के नाभिक के चुंबकीय चुंबकीय बनने के कारण चुंबकीय क्षेत्र बढ़ जाता है और इसलिए चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है।

लेंज के नियम के अनुसार, उत्पन्न विद्युत वाहक बल इस फ्लक्स के बढ़ने के विरोध करना चाहिए, जिसे धारा में कमी करके किया जा सकता है। इसलिए, धारा घटेगी।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या के माध्यम से लेंज के नियम के अनुप्रयोग का परीक्षण किया जाता है।

उत्तर

जब धारा चालू कर दी जाती है, तो चुंबकीय फ्लक्स वलय के माध्यम से संबद्ध हो जाता है। इसलिए फ्लक्स में वृद्धि होती है। लेंज के नियम के अनुसार, इस फ्लक्स की वृद्धि का विरोध किया जाएगा और यह घटना वलय कुण्डली से दूर चले जाने के द्वारा हो सकती है।

इसका कारण यह है कि फ्लक्स की वृद्धि वलय में वलय के ऊपर से देखे जाने पर वलय में विपरीत दिशा में धारा (अर्थात क्षैतिज दिशा में वलय के ऊपर से देखे जाने पर वलय में विपरीत दिशा में धारा) उत्पन्न करती है, जो कुण्डली में धारा की दिशा के विपरीत होती है।

इस प्रकार वलय में धारा के प्रवाह की दिशा वलय के नीचे से देखे जाने पर और कुण्डली में धारा के प्रवाह की दिशा एक ही होती है और दोनों के सामने एक ही चुंबकीय ध्रुव बनते हैं। इसलिए वे एक दूसरे को विक्षेपित करेंगे और वलय ऊपर चले जाएगा।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या के आधार पर लेंज के नियम के अनुप्रयोग का आधार है।

उत्तर

(b) जब धारा बंद कर दी जाती है, तो वलय के माध्यम से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स कम हो जाता है। लेंज के नियम के अनुसार, इस फ्लक्स की कमी का विरोध किया जाएगा और वलय कुण्डली की ओर नीचे की दिशा में बल अनुभव करेगा।

इसका कारण यह है कि फ्लक्स $i$ की कमी वलय में वलय के ऊपर से देखे जाने पर वलय में घड़ी की दिशा में धारा (अर्थात क्षैतिज दिशा में वलय के ऊपर से देखे जाने पर वलय में घड़ी की दिशा में धारा) उत्पन्न करती है, जो कुण्डली में धारा की दिशा के समान होती है। इस प्रकार वलय में धारा के प्रवाह की दिशा वलय के नीचे से देखे जाने पर और कुण्डली में धारा के प्रवाह की दिशा विपरीत होती है और दोनों के सामने विपरीत चुंबकीय ध्रुव बनते हैं।

इसलिए, वे एक दूसरे को आकर्षित करेंगे लेकिन चांदी के वलय कार्डबोर्ड पर रखा गया है इसलिए यह नीचे गिरने में सक्षम नहीं हो सकता।

चिंतन प्रक्रिया

इस समस्या के आधार पर एडी करंट के अवधारणा और लेंज के नियम के अनुप्रयोग है।

उत्तर

जब एक बेलनाकार चुंबक जिसकी त्रिज्या $0.3 \mathrm{~cm}$ है, एक धातु के नली के माध्यम से गिराया जाता है जिसकी आंतरिक त्रिज्या $1 \mathrm{~cm}$ है, तो बेलन के साथ जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है और फलस्वरूप धातु के नली में एडी करंट उत्पन्न होते हैं। लेंज के नियम के अनुसार, ये करंट चुंबक के गति के विरोध करेंगे।

इसलिए, चुंबक के नीचे गिरने के त्वरण गुरुत्वाकर्षण के त्वरण $g$ से कम होगा। दूसरी ओर, अचुंबकीय लोहे के बार एडी करंट उत्पन्न नहीं करेंगे और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण $g$ से गिरेंगे।

इसलिए, चुंबक नीचे आने में अधिक समय लेगा जितना कि एक समान अचुंबकीय बेलनाकार लोहे के बार के माध्यम से गिराया जाता है।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में फ़ेराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के कानून के अनुप्रयोग और विभिन्न क्षणों पर विद्युत चुम्बकीय बल (emf) के गणितीय मानों की गणना की आवश्यकता होती है।

उत्तर

किसी भी क्षण, वलय में चुम्बकीय फ्लक्स निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{aligned} \phi & = \text{ B.A } = B A \cos \theta = B A \\ \text { या } \quad & = B_{0}\left(\pi a^{2}\right) \cos \omega t \end{aligned} \quad(\because \theta=0) $$

फ़ेराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के कानून द्वारा।

प्रेरित विद्युत चुम्बकीय बल के मान निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \varepsilon=B_{0}\left(\pi a^{2}\right) \omega \sin \omega t $$

इसके कारण प्रेरित धारा के प्रवाह के कारण होता है, जो निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ I=B_{0}\left(\pi a^{2}\right) \omega \sin \omega t / R $$

अब, विभिन्न क्षणों पर धारा के मान की गणना करते हैं, इसलिए हम धारा के मान के लिए निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

क्योंकि

$$ \begin{aligned} t & =\dfrac{\pi}{2 \omega} \\ I & =\dfrac{B_{0}\left(\pi a^{2}\right) \omega}{R} \text { लंबवत } \hat{\mathbf{j}} \\ \sin \omega t & =\sin \omega \dfrac{\pi}{2 \omega}=\sin \dfrac{\pi}{2}=1 \\ t & =\dfrac{\pi}{\omega}, I=\dfrac{B\left(\pi a^{2}\right) \omega}{R} \\ \sin \omega t & =\sin \omega \dfrac{\pi}{\omega}=\sin \pi=0 \\ t & =\dfrac{3}{2} \dfrac{\pi}{\omega} \\ I & =\dfrac{B\left(\pi a^{2}\right) \omega}{R} \text { लंबवत }-\hat{\mathbf{j}} \\ \sin \omega t & =\sin \omega \dfrac{3 \pi}{2 \omega}=\sin \dfrac{3 \pi}{2}=-1 \end{aligned} $$

यहाँ,

इस समस्या में चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के असततता के अवधारणा को तलाश किया गया है। वे अंतरिक्ष में न तो उत्पन्न हो सकते हैं और न ही नष्ट हो सकते हैं।

उत्तर

सतह के साथ जुड़े चुंबकीय फ्लक्स को सतह के माध्यम से गुजरने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की संख्या के रूप में लिया जा सकता है। इसलिए, $d \phi=\mathrm{BA}$ को एक क्षेत्र $A$ में $B$ के रूप में चुंबकीय रेखाओं की संख्या के रूप में लिया जा सकता है।

असततता के अवधारणा के अनुसार, $B$ अंतरिक्ष में शुरू या समाप्त नहीं हो सकता, इसलिए सतह $S_{1}$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखाओं की संख्या $S_{2}$ के माध्यम से गुजरने वाली रेखाओं की संख्या के बराबर होनी चाहिए। इसलिए, दोनों स्थितियों में फ्लक्स के लिए समान उत्तर प्राप्त होता है।

उत्तर

गतिमान विद्युत क्षेत्र $E$ दृढ़ रेखा $C D$ के अनुदिश ( $\Lambda$ दोनों $\mathbf{v}$ और $\mathbf{B}$ के लिए और $\mathbf{V} \times \mathbf{B}$ के अनुदिश) $=v B$

इसलिए, $P Q$ के अनुदिश गतिमान वि. वा. बल $=($ लंबाई $P Q) \times($ क्षेत्र $P Q)$

$$ \begin{aligned} & =(\text { लंबाई } P Q) \times(v B \sin \theta) \ & =\dfrac{d}{\sin \theta} \times(v B \sin \theta)=v B d \end{aligned} $$

इस uced emf के कारण एक बंद परिपथ में प्रतिरोध $R$ के संगत विद्युत धारा का प्रवाह होता है।

$$ I=\dfrac{d v B}{R} \text { और } q \text { पर निर्भर नहीं है } $$

सोचने की प्रक्रिया

जब धारा बदलती है, तो कुंडल के साथ जुड़े चुम्बकीय फ्लक्स भी बदलता है और कुंडल में एक विद्युत चुम्बकीय बल प्रेरित होता है। प्रेरित विद्युत चुम्बकीय बल निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{aligned} & \varepsilon=-\dfrac{d\left(N \phi_{B}\right)}{d t} \ & \varepsilon=-L \dfrac{d l}{d t} \end{aligned} $$

इस प्रकार, स्व-प्रेरित विद्युत चुम्बकीय बल कभी भी धारा के परिवर्तन (वृद्धि या कमी) के विरुद्ध होता है।

उत्तर

सॉलेनॉइड में प्रतिरोधक विद्युत चुम्बकीय बल $(u)$ अधिकतम होता है जब धारा के परिवर्तन की दर अधिकतम होती है। यह ग्राफ के $A B$ भाग में होता है। अतः प्रतिरोधक विद्युत चुम्बकीय बल के अधिकतम मान $5 \mathrm{~s}<t<10 \mathrm{~s}$ के बीच प्राप्त होता है।

चूंकि, $t=3$ सेकंड पर प्रतिरोधक विद्युत चुम्बकीय बल $e$ है,

इसके अतिरिक्त,

$ t=3 $ सेकंड पर धारा के परिवर्तन की दर $ = $ $O A$ के ढलान $ t=0 $ सेकंड से $ t=5 $ सेकंड के बीच $ = 1/5 \mathrm{~A/s} $ है।

अतः, हम जानते हैं

यदि $ u=L 1/5 $ $ t=3 $ सेकंड पर, $ \dfrac{d I}{d t}=1/5 $ ( $ L $ एक स्थिरांक है)। अतः $ \varepsilon=-L \dfrac{d I}{d t} $ का उपयोग करें।

इसी तरह, अन्य मानों के लिए हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ 5 \mathrm{~s} < t < 10 \mathrm{~s} $ के लिए

अतः,

$ 10 \mathrm{~s} < t < 30 \mathrm{~s} $ के लिए

$$ u_{1}=-L \dfrac{3}{5}=-\dfrac{3}{5} L=-3 e $$

$$ \text { जब } t=7 \mathrm{~s}, u_{1}=-3 \mathrm{e} $$

$$ u_{2}=L \dfrac{2}{20}=\dfrac{L}{10}=\dfrac{1}{2} e $$

$ t>30 \mathrm{~s} $ के लिए $ u_{2}=0 $

अतः, $ t=7 \mathrm{~s}, 15 \mathrm{~s} $ और $ 40 \mathrm{~s} $ पर प्रतिरोधक विद्युत चुम्बकीय बल क्रमशः $-3 e, e / 2$ और 0 हैं।

सोचने की प्रक्रिया

कुंडल $A$ में धारा $I_{1}$ प्रवाहित करते हुए, कुंडल $B$ के साथ फ्लक्स आघूर्णन होता है,

$$ N_{2} \phi_{2}=M_{21} I_{1} $$

जहाँ, $M_{21}$ को कुंडल $A$ के संबंध में कुंडल $B$ के परस्पर प्रेरकत्व कहते हैं और $M_{21}=M_{12}$

और $M_{12}$ को कुंड ल $B$ के संबंध में कुंडल $A$ के परस्पर प्रेरकत्व कहते हैं।

उत्तर

कुंडल $A$ के संबंध में कुंडल $B$ के परस्पर प्रेरकत्व के उपयोग से,

$$ M_{21}=\dfrac{N_{2} \phi_{2}}{I_{1}} $$

इसलिए, हमें प्राप्त होता है,

$$ \text { परस्पर प्रेरकत्व }=\dfrac{10^{-2}}{2}=5 \mathrm{mH} $$

अब इस सूत्र के लिए अन्य मामले में फिर से उपयोग करते हैं,

$$ N_{1} \phi_{1}=M_{12} I_{2}=5 \mathrm{mH} \times 1 \mathrm{~A}=5 \mathrm{mWb} . $$

सोचने की प्रक्रिया

$A B$ के गति और चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन के कारण $A B$ पर प्रेरित वि. वा. बल होता है जो लूप के संबंधित चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन के कारण होता है।

उत्तर

मान लीजिए कि समांतर चालक $y=0$ अर्थात $x$-अक्ष के अनुदिश और $y=d$ पर हैं। $t=0$ पर, $A B$ के $x=0$ अर्थात $y$-अक्ष के अनुदिश है और वेग $v$ से चलता है। समय $t$ पर, तार के स्थान $x(t)=v t$ होता है। अब, $A B$ पर गतिमान वि. वा. बल होता है

$$ \mathcal{E} = B \cdot v \cdot d $$

इसलिए, परिपथ में धारा होगी,

$$ I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B_0 \sin(\omega t) \cdot v \cdot d}{R} $$

तार को नियत वेग से चलाए रखने के लिए आवश्यक बल बराबर होगा परिपथ में उत्पन्न बल के विरुद्ध बल के,

$$ F = I \cdot R = \frac{B_0 \sin(\omega t) \cdot v \cdot d}{R} \cdot R = B_0 \sin(\omega t) \cdot v \cdot d $$

$$ =\left(B_{0} \sin \omega t\right) v d(-\hat{\mathbf{j}}) $$

चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन के कारण वि. वा. बल (ओ बी ए एस सी के अनुदिश)

$$ =-B_{0} \omega \cos \omega t x(t) d $$

परिपथ में कुल वि. वा. बल = चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन के कारण वि. वा. बल (ओ बी ए एस सी के अनुदिश) + ए बी के बीच गतिमान वि. वा. बल

घड़ी के घड़ी के विपरीत दिशा में विद्युत धारा निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$$ =-B_{0} d[\omega x \cos (\omega t)+v \sin (\omega टी)] $$

$$ =\dfrac{B_{0} d}{R}(\omega x \cos \omega t+v \sin (\omega t)] $$

चालक पर लगने वाला बल $F=i l B \sin 90^{\circ}=i l B$ द्वारा दिया गया है

मान बदलने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \text { आवश्यक बल } \begin{aligned} \mathbf{i} & =\dfrac{B_{0} d}{R}(\omega x \cos \omega t+v \sin (\omega t)) \times d \times B_{0} \sin \omega t \\ & =\dfrac{B_{0}^{2} d^{2}}{R}(\omega x \cos \omega t+v \sin (\omega t)) \sin \omega t \end{aligned} $$

यह बल के आवश्यक व्यंजक है।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में EMI, चुंबकीय बल, शक्ति उपभोग और यांत्रिकी संबंधित है।

उत्तर

मान लें कि समानांतर तार $y=0$ पर है, अर्थात एक्स-अक्ष और $y=l$ के अनुदिश। $t=0$ पर, $X Y$ के $x=0$ है, अर्थात $y$-अक्ष के अनुदिश।

(i) मान लें कि समय $t$ पर तार $x=x(t)$ पर है।

लूप से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स के लिए समीकरण निम्नलिखित है

$$ \phi=\mathrm{B} \cdot \mathrm{A}=\mathrm{BA} \cos 0=\mathrm{BA} $$

किसी भी समय $t$

$$ \text { चुंबकीय फ्लक्स }=B(t)(l \times x(t)) $$

परिपथ में कुल वि. वा. बल $=$ चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन के कारण वि. वा. बल $($ लम्बाई $XY$ और $AC$ के अनुदिश $)+$ $XY$ के बीच गतिमान वि. वा. बल

$$ \left.E=-\dfrac{d \phi}{d t}=-\dfrac{d B(t)}{d t} l x(t)-B(t) l v(t) \quad \text { [दूसरा अंश गतिमान वि. वा. बल के कारण }\right] $$

चालक के बराबर विद्युत धारा क्षेत्र में घड़ी के विपरीत दिशा में दी गई है

$$ I=\dfrac{1}{R} E $$

चालक पर लगने वाले बल को $F=i l B \sin 90^{\circ}=i l B$ द्वारा दिया गया है

मान बदले जाने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \text { बल }=\dfrac{I B(t)}{R}-\dfrac{d B(t)}{d t} I x(t)-B(t) I v(t) \hat{\mathbf{i}} $$

न्यूटन के द्वितीय गति के नियम के अनुसार,

$$ m \dfrac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\dfrac{I^{2} B(t)}{R} \dfrac{d B}{d t} x(t)-\dfrac{I^{2} B^{2}(t)}{R} \dfrac{d x}{d t} $$

जो कि आवश्यक समीकरण है।

(ii) यदि $\mathbf{B}$ समय के अनुसार स्वतंत्र है अर्थात $B=$ स्थिरांक

या

$$ \dfrac{d B}{d t}=0 $$

ऊपर दिए गए मान को समीकरण (i) में बदले जाने पर, हमें प्राप्त होता है

res

$$ \begin{aligned} \dfrac{d^{2} x}{d t^{2}}+\dfrac{I^{2} B^{2}}{m R} \dfrac{d x}{d t} & =0 \ \dfrac{d v}{d t}+\dfrac{I^{2} B^{2}}{m R} v & =0 \end{aligned} $$

अलग-अलग चर रूप के अवकल समीकरण का उपयोग करके समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ v=A \exp \dfrac{-I^{2} B^{2} t}{m R} $$

दिए गए शर्तों के अनुसार,

$$ \begin{aligned} & \text { जब } t=0, v=u_{0} \ & v(t)=u_{0} \exp \left(-I^{2} B^{2} t / m R\right) \end{aligned} $$

यह आवश्यक समीकरण है।

(iii) चूंकि शक्ति उपभोग को $P=I^{2} R$ द्वारा दिया गया है

यहाँ,

$$ \begin{aligned} I^{2} R & =\dfrac{B^{2} I^{2} v^{2}(t)}{R^{2}} \times R \ & =\dfrac{B^{2} I^{2}}{R} u_{0}^{2} \exp \left(-2 I^{2} B^{2} t I m R\right) \end{aligned} $$

अब, समय अंतराल $d t$ में ऊर्जा उपभोग को ऊर्जा उपभोग $=P d t=I^{2} R d t$ द्वारा दिया गया है। अतः समय $t$ में कुल ऊर्जा उपभोग

$$ \begin{aligned} & \left.=\int_{0}^{t} I^{2} R d t=\dfrac{B^{2} I^{2}}{R} u_{0}^{2} \dfrac{m R}{2 I^{2} B^{2}} 1-e^{-\left(l^{2} B^{2} t / m r\right.}\right) \\

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{m}{2} u_{0}^{2}-\dfrac{m}{2} v^{2}(t) \\ & =\text { किण्व ऊर्जा में कमी। } \end{aligned} $$

इससे सिद्ध होता है कि $X Y$ की किण्व ऊर्जा में कमी $R$ में ऊष्मा के नुकसान के बराबर होती है।

सोचने की प्रक्रिया

क्षेत्रफल के दर के पैटर्न (इसलिए चुंबकीय फ्लक्स) को $0<\theta<\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{3 \pi}{4}$ और $\dfrac{3 \pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ के लिए समान माना जा सकता है। इसलिए चुंबकीय विभव और धारा के लिए खोज करें।

उत्तर

हम घूमते चालक के समय अंतराल में स्थिति को विचार करते हैं

$$ t=0 \text { से } t=\dfrac{\pi}{4 \omega}(\text { या } T / 8) $$

रॉड $OP$ भुजा $BD$ के संपर्क में होगा। मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर संपर्क की लंबाई $OQ$ इस प्रकार हो कि $0<t<\dfrac{\pi}{4 \omega}$ या $0<t<\dfrac{T}{8}$ हो $x$ हो। क्षेत्र $ODQ$ के माध्यम से फ्लक्स है

$$ \begin{aligned} \phi & =B \dfrac{1}{2} Q D \times O D=B \dfrac{1}{2} l \tan \theta \times l \\ & =\dfrac{1}{2} B i^{2} \tan \theta, \text { जहाँ } \theta=\omega t

\end{aligned} $$

फ़ेराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,

इसलिए, उत्पन्न विद्युत चुम्बकीय वाहक बल के मापदंड के मान है $\varepsilon=\dfrac{d \phi}{d t}=\dfrac{1}{2} B l^{2} \omega \sec ^{2} \omega t$

विद्युत धारा है $I=\dfrac{\varepsilon}{R}$ जहाँ $R$ संपर्क में तार के प्रतिरोध को दर्शाता है।

जहाँ, $R \propto \lambda$

$$ \begin{aligned} & R=\lambda x=\dfrac{\lambda l}{\cos \omega t} \\ \therefore \quad & I=\dfrac{1}{2} \dfrac{B l^{2} \omega}{\lambda l} \sec ^{2} \omega t \cos \omega t=\dfrac{B l \omega}{2 \lambda \cos \omega t} \end{aligned} $$

कुछ समय $t$ पर संपर्क की लंबाई $O Q$ इस प्रकार हो लेते हैं कि $\dfrac{\pi}{4 \omega}<t<\dfrac{3 \pi}{4 \omega}$ या $\dfrac{T}{8}<t<\dfrac{3 T}{8}$ हो $x$। तार $AB$ के साथ संपर्क में है। क्षेत्र $O Q B D$ के माध्यम से चुम्बकीय फ्लक्स है

जहाँ,

$$ \phi=l^{2}+\dfrac{1}{2} \dfrac{l^{2}}{\tan \theta} B $$

इसलिए, लूप में उत्पन्न विद्युत चुम्बकीय वाहक बल के मापदंड के मान है

$$ \varepsilon=\dfrac{d \phi}{d t}=\dfrac{1}{2} B l^{2} \omega \dfrac{\sec ^{2} \omega t}{\tan ^{2} \omega t} $$

विद्युत धारा है $I=\dfrac{\varepsilon}{R}=\dfrac{\varepsilon}{\lambda x}=\dfrac{\varepsilon \sin \omega t}{\lambda l}=\dfrac{1}{2} \dfrac{B l \omega}{\lambda \sin \omega t}$

इसी तरह $\dfrac{3 \pi}{4 \omega}<t<\dfrac{\pi}{\omega}$ या $\dfrac{3 T}{8}<t<\dfrac{T}{2}$ के लिए, तार $AC$ के साथ संपर्क में होगा।

$O Q A B D$ के माध्यम से चुम्बकीय फ्लक्स निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \phi=2 l^{2}-\dfrac{l^{2}}{2 \tan \omega t} B $$

और लूप में उत्पन्न विद्युत चुम्बकीय वाहक बल के मापदंड के मान निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} & \varepsilon=\dfrac{d \phi}{d t}=\dfrac{B \omega l^{2} \sec ^{2} \omega t}{2 \tan ^{2} \omega t} \\ & l=\dfrac{\varepsilon}{R}=\dfrac{\varepsilon}{\lambda x}=\dfrac{1}{2} \dfrac{B l \omega}{\lambda \sin \omega t} \end{aligned} $$

इनके अतिरिक्त आवश्यक व्यंजक हैं।

सोचने की प्रक्रिया

इस प्रश्न को हल करने के लिए एकीकरण का उपयोग करना आवश्यक है ताकि लूप के साथ जुड़े कुल चुंबकीय फ्लक्स को खोजा जा सके।

उत्तर

मान लीजिए एक लंबाई $l$ और चौड़ाई $d r$ के बैंड को अनंत लंब धारा वाले तार से दूरी $r$ पर ले लिया जाता है। धारा वाले तार के कारण बैंड पर चुंबकीय क्षेत्र निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

कुल फ्लक्स लूप के माध्यम से होता है

$$ \text { क्षेत्र } B(r)=\dfrac{\mu_{0} I}{2 \pi r} \text { (कागज से बाहर) } $$

$$ \text { फ्लक्स }=\dfrac{\mu_{0} I}{2 \pi} l \int_{x_{0}}^{x} \dfrac{d r}{r}=\dfrac{\mu_{0} I}{2 \pi} \ln \dfrac{x}{x_{0}} $$

induced emf को निम्नलिखित द्वारा प्राप्त किया जा सकता है: विद्युत वाहक बल (e) के संबंध में $t$ के संबंध में अवकलन करके फिर ओम के कानून के अनुसार लागू करें

$$ \dfrac{\varepsilon}{R}=I $$

हमारे पास, uced धारा $=\dfrac{1}{R} \dfrac{d \phi}{d t}=\dfrac{\varepsilon}{R}=\dfrac{\mu_{0} I}{2 \pi} \dfrac{\lambda}{R} \ln \dfrac{x}{x_{0}}$

$$ \because \dfrac{d \mathrm{I}}{d t}=\lambda $$

सोचने की प्रक्रिया

परिपथ में गुजरे आवेश को तात्कालिक धारा और तात्कालिक चुंबकीय फ्लक्स के बीच संबंध को खोजने द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

उत्तर

induced emf को चुंबकीय फ्लक्स के संबंध में $t$ के संबंध में अवकलन करके फिर ओम के कानून के अनुसार लागू करें

$$ I=\dfrac{E}{R}=\dfrac{1}{R} \dfrac{d \phi}{d t} $$

हम जानते हैं कि विद्युत धारा

$$ I(t)=\dfrac{d Q}{d t} \text { or } \dfrac{d Q}{d t}=\dfrac{1}{R} \dfrac{d \phi}{d t} $$

समय $t$ में आवेश $Q$ के लिए अवकल समीकरण के चल चल चर रूप का एकीकरण करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} Q\left(t_{1}\right)-Q\left(t_{2}\right) & =\dfrac{1}{R}\left[\phi\left(t_{1}\right)-\phi\left(t_{2}\right)\right] \\ \phi\left(t_{1}\right) & =L_{1} \dfrac{\mu_{0}}{2 \pi} \int_{x}^{L_{2}+x} \dfrac{d x^{\prime}}{x^{\prime}} I\left(t_{1}\right) \quad \text { [उत्तर संख्या 25 के उत्तर (i.) के लिए संदर्भित करें] } \\ & =\dfrac{\mu_{0} L_{1}}{2 \pi} I\left(t_{1}\right) \ln \dfrac{L_{2}+x}{x} \end{aligned} $$

आवेश के परिमाण को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{\mu_{0} L_{1}}{2 \pi} \ln \dfrac{L_{2}+x}{x}\left[I_{0}+0\right] \\ & =\dfrac{\mu_{0} L_{1}}{2 \pi} I_{1} \ln \dfrac{L_{2}+x}{x} \end{aligned} $$

यह आवश्यक व्यंजक है।

सोचने की प्रक्रिया

चुंबकीय क्षेत्र के कम होने के कारण औचित्य विभवांतर उत्पन्न होता है और इसके कारण वलय के चारों ओर विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है। वलय द्वारा अनुभव किया गया बलाघूर्ण घूर्णन आवेश के परिवर्तन के कारण होता है।

उत्तर

क्योंकि, चुंबकीय क्षेत्र को समय $\Delta t$ में शून्य कर दिया जाता है, वलय के साथ जुड़े चुंबकीय फ्लक्स भी अधिकतम से शून्य तक कम हो जाता है। इसके परिणामस्वरूप, चुंबकीय ऊर्जा के घटने के कारण वलय में विद्युत वाहक बल उत्पन्न होता है। उत्पन्न विद्युत वाहक बल $=$ वलय के चारों ओर विद्युत क्षेत्र $E$ के उत्पन्न होने के कारण $ (2 \pi b) $ (क्योंकि $V = E \times d)$

बायरोड के चुंबकीय इंडक्शन के नियम द्वारा

प्रेरित विद्युत वाहक बल = चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर

$=$ चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\times$ क्षेत्रफल

$$ =\dfrac{B \pi a^{2}}{\Delta t} $$

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

$$ 2 \pi b E=\mathrm{e} m f=\dfrac{B \pi \mathrm{a}^{2}}{\Delta t} $$

क्योंकि, आवेशित वलय पर विद्युत बल $=Q E$

इस बल को वलय को घुमाने की कोशिश करता है, और बल-आघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{aligned} \text { आघूर्ण } & =b \times \text { बल } \\ & =Q E b=Q \dfrac{B \pi a^{2}}{2 \pi b \Delta t} b \\ & =Q \dfrac{B a^{2}}{2 \Delta t} \end{aligned} $$

यदि $\Delta L$ आघूर्ण के परिवर्तन है

$$ \Delta \nu=\text { आघूर्ण } \times \Delta t=Q \dfrac{B a^{2}}{2} $$

क्योंकि, प्रारंभिक आघूर्ण $=0$

अब, क्योंकि $\quad$ आघूर्ण $\times \Delta t=$ आघूर्ण के परिवर्तन

अंतिम आघूर्ण $=m b^{2} \omega=\dfrac{Q B a^{2}}{2}$

$$ \omega=\dfrac{Q B a^{2}}{2 m b^{2}} $$

पदों को व्यवस्थित करने पर, हम आवर्त वेग के आवश्यक व्यंजक को प्राप्त करते हैं।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में यांत्रिकी, इंडक्शन, चुंबकीय बल और रैखिक अवकल समीकरण के संयोजन है।

उत्तर

यहाँ, तल के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र का घटक $=B \cos \theta$

अब, चालक वेग $v$ से चलता है जो $B \cos \theta$ घटक के लंबवत है। इसके कारण छड़ के दो सिरों पर चलने वाला विद्युत वाहक बल उत्पन्न होता है, जो $=v(B \cos \theta) d$ द्वारा दिया जाता है।

इससे उत्पन्न धारा के प्रवाह $i=\dfrac{v(B \cos \theta) d}{R}$ होता है, जहाँ, $R$ छड़ का प्रतिरोध है। अब, धारा वाली छड़ पर बल लगता है जो $F=i B d$ (हर दिशा में पीछे की ओर अनुप्रस्थ दिशा में) द्वारा दिया जाता है। अब, चुंबकीय बल के घटक झुके हुए समतल के समानांतर ऊपर की ओर $=F \cos \theta=i B d \cos \theta=\dfrac{v(B \cos \theta) d}{R} B d \cos \theta$ जहाँ, $v=\dfrac{d x}{d t}$

इसके अतिरिक्त, भार $(\mathrm{mg})$ के घटक झुके हुए समतल के समानांतर नीचे की ओर $=m g \sin \theta$ होता है।

अब, न्यूटन के गति के द्वितीय नियम के अनुसार

$$ \begin{aligned} m \dfrac{d^{2} x}{d t^{2}} & =m g \sin \theta-\dfrac{B \cos \theta d}{R} \dfrac{d x}{d t} \times(B d) \cos \theta \\ \dfrac{d v}{d t} & =g \sin \theta-\dfrac{B^{2} d^{2}}{m R}(\cos \theta)^{2} v \\ \dfrac{d v}{d t} & +\dfrac{B^{2} d^{2}}{m R}(\cos \theta)^{2} v=g \sin \theta \end{aligned} $$

लेकिन, यह एक रैखिक अवकल समीकरण है।

हल करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ v=\dfrac{g \sin \theta}{\dfrac{B^{2} d^{2} \cos ^{2} \theta}{m R}}+A \exp -\dfrac{B^{2} d^{2}}{m R}\left(\cos ^{2} \theta\right) t $$

$A$ एक अचर है जिसे प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

समय के फलन के वेग के आवश्यक व्यंजक निम्नलिखित है

$$ =\dfrac{m g R \sin \theta}{B^{2} d^{2} \cos ^{2} \theta} 1-\exp -\dfrac{B^{2} d^{2}}{m R}\left(\cos ^{2} \theta\right) t $$

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में EMI, कैपेसिटर के आवेशित होने और रैखिक अवकल समीकरण के अवधारणा का संयोजन है।

उत्तर

संचालक की लंबाई $d$ चाल $v$ से चल रही है, जो चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यह छड़ के दो सिरों के बीच गतिमान विद्युत वाहक बल (emf) उत्पन्न करता है, जो $=v B d$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि, स्विच $S$ समय $t=0$ पर बंद किया जाता है। संधारित्र इस विभवांतर द्वारा चार्ज होता है। मान लीजिए $Q(t)$ संधारित्र पर आवेश है और विद्युत धारा $A$ से $B$ तक प्रवाहित होती है।

अब, उत्पन्न धारा

पदों को पुन: व्यवस्थित करने पर हमारे पास है

$$ I=\dfrac{v B d}{R}-\dfrac{Q}{R C} $$

$$ \dfrac{Q}{R C}+\dfrac{d Q}{d t}=\dfrac{v B d}{R} $$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$\begin{aligned} & Q=v B d C+A e^{-t / R C} \\ & \Rightarrow \quad Q=v B d C\left[1-e^{-t / R C}\right] \quad \text { (समय } t=0, Q=0=A=-v B d c \text { ). } \\ & \text { अवकलज लेने पर, हम प्राप्त करते हैं } I-\dfrac{V B d}{R} e^{-t / R C} \ & \end{aligned}$

यह धारा के आवश्यक व्यंजक है।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में EMI के संकल्पना, संधारित्र में धारा के विकास और रैखिक अवकल समीकरण के संयोजन के बारे में बात की गई है।

उत्तर

लंबाई $d$ के संचालक की चाल $v$ है, जो चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ के लंबवत है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यह छड़ के दो सिरों के बीच गतिमान विद्युत वाहक बल (emf) उत्पन्न करता है, जो $=v B d$ द्वारा दिया जाता है।

चूंकि, स्विच $S$ समय $t=0$ पर बंद किया जाता है। गतिमान विद्युत वाहक बल के कारण विभवांतर के कारण इंडक्टर में धारा बढ़ती है।

किरचहॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार, हमारे पास है

$$ -L \dfrac{d I}{d t}+v B d=I R \text { या } L \dfrac{d I}{d t}+I R=v B d $$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} & I=\dfrac{V B d}{R}+A e^{-R t / 2} \\ & \text { जब } t=0 \quad I=0 \\ & \Rightarrow \quad A=-\dfrac{v B d}{R} \Rightarrow I=\dfrac{v B d}{R}\left(1-e^{-R t / L}\right) . \end{aligned} $$

इस प्रकार धारा के आवश्यक व्यंजक का प्रस्तुत कर दिया गया है।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में उत्पन्न धारा, ऊर्जा क्षय तथा आवेग लेने वाले मुक्त रूप से गिरते वलय के बीच संबंध स्थापित किया गया है।

उत्तर

द्रव्यमान $m$ तथा त्रिज्या $l$ के धातु के वलय के चुंबकीय फ्लक्स के संबंध में जो गुरुत्वाकर्षण के अधीन एक क्षेत्र में गिर रहा है जहां चुंबकीय क्षेत्र का $z$-अक्ष के घटक $B_{z}=B_{0}(1+\lambda z)$ है, तो

$$ \phi=B_{z}\left(\pi l^{2}\right)=B_{0}(1+\lambda z)\left(\pi l^{2}\right) $$

फैराडे के विद्युत चुंबकत्व के नियम के अनुसार, उत्पन्न वि. वा. बल द्वारा दिया गया है $\dfrac{d \phi}{d t}=$ फ्लक्स के परिवर्तन की दर। इसके अतिरिक्त, ओम के नियम के अनुसार

$$ B_{0}\left(\pi l^{2}\right) \lambda \dfrac{d z}{d t}=I R $$

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ I=\dfrac{\pi l^{2} B_{0} \lambda}{R} V $$

$$ \text { ऊर्जा क्षय/सेकंड }=I^{2} R=\dfrac{\left(\pi l^{2} \lambda\right)^{2} B_{0}^{2} v^{2}}{R} $$

इसका कारण ऊर्जा के परिवर्तन की दर होती है $\mathrm{PE}=m g \dfrac{d z}{d t}=m g \mathrm{v}$

$$ \text { [जब } v=\text { नियत है तो गतिज ऊर्जा नियत होती है] } $$

इस प्रकार,

$$ m g v=\dfrac{\left(\pi l^{2} \lambda B_{0}\right)^{2} v^{2}}{R} \text { या } v=\dfrac{m g R}{\left(\pi l^{2} \lambda B_{0}\right)^{2}} $$

इस प्रकार वेग के आवश्यक व्यंजक का प्रस्तुत कर दिया गया है।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या को हल करने के लिए धारा वाले सोलेनॉइड के कारण चुंबकीय क्षेत्र के बारे में ध्यान देना आवश्यक है, जिसके कारण वर्तमान में परिवर्तन घटना छोटे कुंडल में वि. वा. बल के उत्पन्न होता है।

उत्तर

सोलेनॉइड $S$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B=\mu_{0} n l$ होता है, जहां चिह्न सामान्य रूप से होते हैं।

छोटे कुंडल में चुंबकीय फ्लक्स $\phi=N B A$ होता है, जहां

$$ A=\pi b^{2} $$

फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के कानून के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} e & =\dfrac{-d \phi}{d t}=\dfrac{-d}{d t}(N B A) \\ & =-N \pi b^{3} \dfrac{d(B)}{d t} \end{aligned} $$

जहां,

$$ \begin{aligned} B & =\mu_{0} N i \\ & =-N \pi b^{2} \mu_{0} n \dfrac{d l}{d t} \\ & =-N n \pi \mu_{0} b^{2} \dfrac{d}{d t}\left(m t^{2}+C\right)=-\mu_{0} N n \pi b^{2} 2 m t \end{aligned} $$

क्योंकि, धारा $m t^{2}+C$ के अनुसार बदलती है।

$$ e=-\mu_{0} N n \pi b^{2} 2 m t $$