चिंतन प्रक्रिया

क्योंकि, कक्षाओं की त्रिज्या परमाणु क्रमांक $Z$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात,

$$ r \propto \dfrac{1}{Z} $$

उत्तर

(c) लिथियम का परमाणु क्रमांक 3 है, इसलिए, बोहर मॉडल के आधार पर $Li^{++}$ आयन के आधुनिक अवस्था में त्रिज्या बोहर त्रिज्या के $\dfrac{1}{3}$ गुना होगी।

इसलिए, लिथियम आयन की त्रिज्या लगभग $\dfrac{53}{3} \approx 18 pm$ होगी।

• विकल्प (a) $53 pm$: यह गलत है क्योंकि $Li^{++}$ आयन के आधुनिक अवस्था में त्रिज्या बोहर त्रिज्या के बराबर नहीं होती। बोहर त्रिज्या हाइड्रोजन परमाणु (Z=1) के लिए होती है, जबकि $Li^{++}$ (Z=3) के लिए त्रिज्या तीन गुना कम होती है।

• विकल्प (b) $27 pm$: यह गलत है क्योंकि $Li^{++}$ आयन के आधुनिक अवस्था में त्रिज्या बोहर त्रिज्या के $\dfrac{1}{3}$ होती है, न कि इसके $\dfrac{1}{2}$। सही गणना $\dfrac{53}{3} \approx 18 pm$ होती है।

• विकल्प (d) $13 pm$: यह गलत है क्योंकि $Li^{++}$ आयन के आधुनिक अवस्था में त्रिज्या बोहर त्रिज्या के $\dfrac{1}{4}$ नहीं होती। सही गुणक $\dfrac{1}{3}$ है, जिसके कारण त्रिज्या लगभग 18 pm होती है।

सोचने की प्रक्रिया

इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर एकसमान घूमता है जिसमें इसके साथ केंद्रापसारक त्वरण संबंधित होता है।

उत्तर

(c) जब आप एक फ्रेम चुनते हैं जहां इलेक्ट्रॉन स्थिर हो, तो दी गई अभिव्यक्ति सही नहीं होती क्योंकि यह गैर-अनुमानित फ्रेम के लिए बनाई गई है।

• (a) मुख्य क्वांटम संख्या $ n $ एक क्वांटम संख्या है जो हाइड्रोजन परमाणु में कोणीय संवेग और ऊर्जा स्तर के क्वांटीकरण से उत्पन्न होती है। यह किसी भी फ्रेम चुने के बावजूद एक पूर्णांक बनी रहती है। इसलिए, $ n $ अभी भी पूर्णांक होगा।

• (b) बोहर क्वांटीकरण पूरे प्रणाली के लिए लागू होता है, न केवल इलेक्ट्रॉन के लिए। क्वांटीकरण शर्तें हाइड्रोजन परमाणु की गुणों से निर्मित होती हैं और यह बर्बाद नहीं होती है जिस पार्टिकल के बारे में बात कर रहे हैं। इसलिए, बोहर क्वांटीकरण केवल इलेकट्रॉन के लिए सीमित नहीं है।

• (d) नाभिक के इलेक्ट्रॉन के चारों ओर प्रोटॉन की गति केंद्रीय द्रव्यमान फ्रेम में वृताकार कक्षाओं के रूप में अभी भी अनुमानित की जा सकती है। वृताकार कक्षाओं के अनुमान बोहर मॉडल में एक सरलीकरण है और यह बर्बाद नहीं होता है जिस पार्टिकल के बारे में बात कर रहे हैं। इसलिए, प्रोटॉन की गति को अभी भी लगभग वृताकार माना जा सकता है।

सोचने की प्रक्रिया

इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच विद्युत आकर्षण बल एक केंद्रीय बल है जो इलेक्ट्रॉन की वृताकार गति के आवश्यक केंद्रापसारक बल के लिए प्रदान करता है।

उत्तर

(a) सरल बोहर मॉडल को एक ऐसे परमाणु के ऊर्जा स्तरों की गणना करने के लिए बाध्य रूप से लागू नहीं किया जा सकता है जिसमें कई इलेक्ट्रॉन हों। इसका कारण यह है कि इलेक्ट्रॉन केंद्रीय बल के अंतर्गत नहीं होते हैं।

• (b) इलेक्ट्रॉनों के एक दूसरे के साथ टकराना बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के लिए बोहर मॉडल के विफलता का मुख्य कारण नहीं है। जबकि इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अंतरक्रियाएं होती हैं, मुख्य समस्या यह है कि जटिल अंतरक्रियाओं और स्क्रीनिंग प्रभावों को गणना करने में असमर्थता है।

• (c) स्क्रीनिंग प्रभाव बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में एक महत्वपूर्ण कारक हैं, लेकिन बोहर मॉडल की मुख्य सीमा इसके केंद्रीय बल के अनुमान की अस्वीकृति है, जो ऐसे मामलों में वैध नहीं है। स्क्रीनिंग प्रभाव प्रत्येक इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किए गए संभावित के जटिलता को बढ़ाते हैं, लेकिन केंद्रीय बल के अनुमान की अस्वीकृति अधिक मूल त्रुटि है।

• (d) नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच बल को अभी भी कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है, लेकिन अन्य इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति द्वारा प्रत्येक इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किए गए प्रभावी नाभिकीय आवेश को बदल देती है। बोहर मॉडल की विफलता इसकी इन संशोधनों के साथ-साथ केंद्रीय बल के अभाव के असमर्थता के बारे में है।

सोचने की प्रक्रिया

बोहर के दूसरे प्रतिपादन इन स्थायी कक्षाओं को परिभाषित करता है। इस प्रतिपादन के अनुसार, इलेक्ट्रॉन केवल उन कक्षाओं में नाभिक के चारों ओर घूमते हैं जिनमें कोणीय संवेग कोई एक पूर्णांक गुणक $\dfrac{h}{2 \pi}$ होता है, जहां $h$ प्लैंक नियतांक है $(=6.6 \times 10^{-34} J-s)$।

उत्तर

(a) सरल बोहर मॉडल में केवल कोणीय संवेग के परिमाण को कुछ पूर्णांक गुणक के $\dfrac{h}{2 \pi}$ के बराबर रखा जाता है, जहाँ $h$ प्लैंक नियतांक है और इसलिए, बोहर मॉडल कोणीय संवेग के गलत मान देता है।

(b) कथन गलत है क्योंकि बोहर मॉडल कोणीय संवेग की दिशा के अनुसार ऊर्जा स्तर के क्वांटीकरण को ध्यान में नहीं ले आता। मुख्य क्वांटम संख्या द्वारा निर्धारित किया जाता है न कि कोणीय संवेग की दिशा।

(c) कथन गलत है क्योंकि कोणीय संवेग की दिशा इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय घूर्णन के साथ आवश्यक रूप से समान नहीं होती। क्वांटम भौतिकी में, इलेक्ट्रॉन के घूर्णन और कक्षीय कोणीय संवेग अलग-अलग क्वांटम गुण होते हैं और वे अलग-अलग दिशाओं में हो सकते हैं।

(d) कथन गलत है क्योंकि इलेक्ट्रॉन केवल सख्त अपवर्तन वृत्त में नहीं घूमते हैं। बोहर मॉडल में, वृत्त कक्षाएँ होती हैं जो किसी भी तल में रखी जा सकती हैं। क्वांटम भौतिकी में, निश्चित कक्षाओं की अवधारणा के स्थान पर, कक्षाओं द्वारा वर्णित प्रायिकता वितरण की अवधारणा होती है।

नाभिकीय बल आवेशों के बीच कार्य करने वाले कूलॉम बल या द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल से कहीं अधिक मजबूत होता है। नाभिकीय बंधन बल नाभिक के भीतर प्रोटॉनों के बीच कूलॉम प्रतिकर्षण बल को पराभुजित करने में अधिक शक्तिशाली होता है।

इसके लिए नाभिकीय बल आवेशों के बीच कार्य करने वाले कूलॉम बल से कहीं अधिक मजबूत होना चाहिए। दो न्यूक्लिऑनों के बीच नाभिकीय बल उनकी दूरी के कई फेमटोमीटर से अधिक होने पर तेजी से शून्य हो जाता है।

Answer

(a) अणुओं में, दो परमाणुओं के नाभिकों के बीच नाभिकीय बल महत्वपूर्ण नहीं है क्योंकि नाभिकीय बल छोटी दूरी तक कार्य करते हैं।

• (ब) नाभिकीय बल परमाणुओं के बंधन के लिए विद्युत स्थैतिक बल के तुलना में कम महत्वपूर्ण है क्योंकि नाभिकीय बल बहुत छोटी दूरी (फेमटोमीटर के क्रम में) पर कार्य करते हैं, जबकि अणु में परमाणुओं के बंधन मुख्य रूप से इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच विद्युत स्थैतिक बल (सहसंयोजक बंधन) के कारण होता है।

• (स) नाभिकीय बल नाभिकों के बीच प्रतिकर्षण विद्युत स्थैतिक बल को नहीं रोकते हैं क्योंकि नाभिकीय बल छोटी दूरी तक कार्य करते हैं और केवल नाभिक के भीतर कार्य करते हैं, जबकि धनावेशित नाभिकों के बीच विद्युत स्थैतिक बल लंबी दूरी तक कार्य करता है और परमाणु स्तर पर महत्वपूर्ण होता है।

• (द) ऑक्सीजन नाभिकों में न्यूट्रॉन और प्रोटॉन की समान संख्या नाभिकीय बल के महत्व को प्रभावित नहीं करती है। नाभिकीय बल आत्मसात रूप से छोटी दूरी तक कार्य करते हैं और अणु में परमाणुओं के बंधन में कोई भूमिका नहीं निभाते हैं, चाहे न्यूट्रॉन-प्रोटॉन अनुपात कितना भी हो।

सोचने की प्रक्रिया

परमाणु की सबसे कम ऊर्जा वाली अवस्था, जिसे आधुनिक अवस्था कहा जाता है, वह वह होती है जिसमें इलेक्ट्रॉन सबसे छोटी त्रिज्या के कक्षा में घूमता है, जिसे बोहर त्रिज्या $a_{0}$ कहा जाता है। इस अवस्था $(n=1), E_1$ की ऊर्जा $-13.6 eV$ होती है।

उत्तर

(a) दो $H$-परमाणुओं की संयुक्त ऊर्जा जब वे आधुनिक अवस्था में अप्रत्यावर्ती टक्कर करते हैं $=2 \times(13.6 eV)=27.2 eV$।

अप्रत्यावर्ती टक्कर के बाद दोनों $H$-परमाणुओं की संयुक्त ऊर्जा

$$ =(\dfrac{13.6}{2^{2}})+(13.6)=17.0 eV $$

इसलिए, उनकी संयुक्त किणेतज ऊर्जा में अधिकतम कमी

$$ =27.2-17.0=10.2 eV $$

• विकल्प (ब) $20.40 eV$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह एक हाइड्रोजन परमाणु आधुनिक अवस्था से पहले उद्दीप्त अवस्था में जाने के बराबर ऊर्जा कमी के मान का अनुमान लगाता है। इस स्थिति में अधिकतम ऊर्जा कमी $10.20 eV$ है, न कि $20.40 eV$।

• विकल्प (c) $13.6 eV$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह एक हाइड्रोजन परमाणु के आयनन ऊर्जा को प्रस्तुत करता है, न कि एक अप्रत्यावर्ती टक्कर में एक परमाणु पहले उत्तेजित अवस्था में पहुंच जाने के कारण ऊर्जा क्षय को। ऐसी टक्कर में ऊर्जा क्षय $10.20 eV$ होता है।

• विकल्प (d) $27.2 eV$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह दो हाइड्रोजन परमाणुओं की आधार अवस्था में कुल ऊर्जा को प्रस्तुत करता है, न कि टक्कर के कारण ऊर्जा क्षय को। एक परमाणु पहले उत्तेजित अवस्था में पहुंच जाने के दौरान अधिकतम ऊर्जा क्षय $10.20 eV$ होता है।

सोचने की प्रक्रिया

उत्तेजित अवस्था में परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन एक निम्न ऊर्जा अवस्था में वापस आ सकते हैं, जहां उनके बीच एक फोटॉन उत्सर्जित होता है।

उत्तर

(a) एक उत्तेजित अवस्था में एक परमाणु समूह सामान्य रूप से किसी भी निम्न ऊर्जा अवस्था में विघटित होता है।

• (b) यह विकल्प गलत है क्योंकि उत्तेजित अवस्था में परमाणु बाह्य विद्युत क्षेत्र के बिना स्वतंत्र रूप से एक निम्न ऊर्जा अवस्था में विघटित हो सकते हैं। बाह्य विद्युत क्षेत्र के उपस्थिति के लिए विघटन प्रक्रिया के लिए आवश्यक नहीं होता है।

• (c) यह विकल्प गलत है क्योंकि उत्तेजित अवस्था में परमाणु सामान्य रूप से एक साथ विघटित नहीं होते हैं। विघटन प्रक्रिया अधिकांशतः यादृच्छिक होती है और एक श्रेणी के समय में होती है, जिसे उत्तेजित अवस्था के जीवन काल द्वारा वर्णित किया जाता है।

• (d) यह विकल्प गलत है क्योंकि उत्तेजित अवस्था में परमाणु टक्कर के बिना स्वतंत्र रूप से फोटॉन उत्सर्जित कर सकते हैं। टक्कर उत्सर्जन को प्रेरित कर सकती है, लेकिन टक्कर के बिना स्वतंत्र उत्सर्जन भी हो सकता है।

सोचने की प्रक्रिया

एक हाइड्रोजन अणु में दो इलेक्ट्रॉन और दो प्रोटॉन होते हैं जबकि आयनित $ H $-अणु में एक इलेक्ट्रॉन और दो प्रोटॉन होते हैं।

उत्तर

(a, c)

प्रोटॉन एक एंगस्ट्रॉम के क्रम के छोटी दूरी पर अलग होते हैं। आधुनिक अवस्था में इलेक्ट्रॉन वृत्ताकार कक्षा में गति नहीं करेगा इलेक्ट्रॉन, कक्षा प्रोटॉन के चारों ओर घूमेंगे

• (b) ऊर्जा $ (2)^{4} $ गुना होगी एक $ H $-परमाणु की तुलना में: आयनित $ H $-अणु की ऊर्जा एक हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा का सरल गुणक नहीं होती। दो प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के बीच अंतरक्रिया एक अधिक जटिल प्रणाली बनाती है जहां ऊर्जा स्तर एक हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तर के सरल गुणक नहीं होते।

• (d) अणु जल्द ही एक प्रोटॉन और एक $ H $-परमाणु में विघटित हो जाएगा: आयनित $ H $-अणु अपने आधुनिक अवस्था में अपेक्षाकृत स्थायी होता है और सामान्य शर्तों में एक प्रोटॉन और एक हाइड्रोजन परमाणु में स्वतंत्र रूप से विघटित नहीं होता। प्रणाली के बंधन ऊर्जा ऐसी विघटन के आसान होने से रोकती है।

उत्तर

$(a, b)$

जब मुक्त इलेक्ट्रॉन के बीम को मुक्त प्रोटॉन की ओर लक्षित किया जाता है। फिर, वे बिखर जाते हैं लेकिन एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन के संयोजन से $ H $-परमाणु बनना नहीं सकते क्योंकि ऊर्जा संरक्षण के कारण और ऊर्जा के रूप में विकिरण के रूप में एक साथ ऊर्जा छोड़े बिना।

• (c) संवेग संरक्षण के कारण: संवेग संरक्षण एक हाइड्रोजन परमाणु के निर्माण को रोकता नहीं है। इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के संयोजन के दौरान संवेग संरक्षित रह सकता है, क्योंकि प्रणाली एक फोटॉन या अन्य कण के रूप में अतिरिक्त संवेग को छोड़ सकती है।

• (d) अभिकेन्द्रीय दृढ़ता के कारण: अभिकेन्द्रीय दृढ़ता भी हाइड्रोजन परमाणु के निर्माण को रोक नहीं सकती। इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन ऐसे तरीके से संयोजित हो सकते हैं कि प्रणाली के कुल अभिकेन्द्रीय दृढ़ता संरक्षित रहे, जो अतिरिक्त अभिकेन्द्रीय दृढ़ता को बाहर निकालने के लिए एक फोटॉन के उत्सर्जन से हो सकता है।

सोचने की प्रक्रिया

नील्स बोहर ने एकल इलेक्ट्रॉन वाले हाइड्रोजनिक परमाणुओं के लिए एक मॉडल प्रस्तावित किया था ताकि परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित रेखीय स्पेक्ट्रम तथा परमाणुओं की स्थिरता की व्याख्या की जा सके।

उत्तर

$(a, b)$

$H$-परमाणु के स्पेक्ट्रम के लिए बोहर मॉडल अणुरूप में हाइड्रोजन के लिए लागू नहीं होगा। इसके अतिरिक्त, यह एचेलियम परमाणु के लिए भी लागू नहीं होगा।

• (c) बोहर मॉडल केवल कमरे के तापमान पर सीमित नहीं है; यह एक सिद्धांतिक मॉडल है जो हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा स्तरों का वर्णन करता है, चाहे तापमान किस भी हो।
• (d) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर मॉडल केवल अपवर्ती स्पेक्ट्रम रेखाएँ भविष्यवाणी करता है, निरंतर स्पेक्ट्रम रेखाएँ नहीं।

सोचने की प्रक्रिया

परमाणु स्पेक्ट्रम में विभिन्न रेखाएँ उत्पन्न होती हैं जब इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा अवस्था से निम्न ऊर्जा अवस्था में जाते हैं और फोटॉन उत्सर्जित होते हैं। इन स्पेक्ट्रम रेखाओं को उत्सर्जन रेखाएँ कहते हैं।

उत्तर

$(b, d)$

Balmer श्रेणी $H$-परमाणु के लिए देखी जा सकती है यदि हम उच्चतर उत्तेजित अवस्थाओं और प्रथम उत्तेजित अवस्था के बीच परिवर्तन के कारण उत्सर्जित प्रकाश की आवृत्तियों को मापते हैं और इसके रूप में एक आवृत्ति के अनुक्रम के रूप में देखा जाता है, जहां उच्च आवृत्तियाँ घनीभूत हो जाती हैं।

• (a) जब उत्तेजित परमाणु भूमि अवस्था में वापस आता है तो बल्मर श्रेणी देखी नहीं जा सकती। यह लाइमन श्रेणी का वर्णन करता है, जो भूमि अवस्था $(n=1)$ में परिवर्तनों को शामिल करती है।

• (c) बल्मर श्रेणी कोई भी हाइड्रोजन परमाणु के परिवर्तन में देखी नहीं जा सकती। यह विशेष रूप से अंतिम अवस्था द्वितीय ऊर्जा स्तर $(n=2)$ के परिवर्तनों को शामिल करती है।

सोचने की प्रक्रिया

जब एक परमाणु एक फोटॉन को अवशोषित करता है जो इलेक्ट्रॉन के निम्न ऊर्जा अवस्था से उच्च ऊर्जा अवस्था में परिवर्तन के लिए आवश्यक ऊर्जा के समान होता है, तो इस प्रक्रिया को अवशोषण कहते हैं।

उत्तर

$(b, d)$

जब सभी $H$-परमाणु भूमि अवस्था में हों और आवृत्ति $\dfrac{(E_2-E_1)}{h}$ के विकिरण के अधीन आते हैं, तो कुछ परमाणु प्रथम उत्त जित अवस्था में जाएंगे और कोई परमाणु $n=3$ अवस्था में परिवर्तन नहीं करेंगे।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि आवृत्ति $\dfrac{(E_2-E_1)}{h}$ भूमि अवस्था $(n=1)$ और प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के बीच ऊर्जा अंतर के समान है। इसलिए, कुछ परमाणु इस विकिरण को अवशोषित करेंगे और $n=2$ अवस्था में परिवर्तन करेंगे।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि सभी परमाणु आवश्यक रूप से विकिरण को अवशोषित करेंगे और $n=2$ अवस्था में परिवर्तन करेंगे। अवशोषण प्रक्रिया संभावना के आधार पर होती है, और केवल कुछ परमाणु परिवर्तन करेंगे।

सोचने की प्रक्रिया

नील बोहर ने एकल इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं (हाइड्रोजनिक) के लिए एक मॉडल प्रस्तावित किया था ताकि परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित रेखीय स्पेक्ट्रम और परमाणुओं की स्थिरता की व्याख्या की जा सके।

उत्तर

$(c, d)$

सरल बोहर मॉडल $He^{4}$ परमाणु के लिए लागू नहीं होता क्योंकि $He^{4}$ में एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन होता है और इलेक्ट्रॉन केंद्रीय बलों के अंतर्गत नहीं आते हैं।

• (a) $He^{4}$ के अक्रिय गैस होने से बोहर मॉडल के लागू होने पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। बोहर मॉडल की सीमाएं इलेक्ट्रॉनों की संख्या और उन पर कार्य करने वाले बलों की प्रकृति से संबंधित होती हैं, न कि परमाणु की रासायनिक अक्रियता।
• (b) नाभिक में न्यूट्रॉन की उपस्थिति बोहर मॉडल के लागू होने पर कोई प्रभाव नहीं पड़ती। बोहर मॉडल मुख्य रूप से इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार और उनके नाभिक के साथ अंतरक्रिया से संबंधित होता है, न कि नाभिक के संगठन के अंतर्गत न्यूट्रॉन की उपस्थिति।

सोचने की प्रक्रिया

ईन्स्टीन ने दिखाया कि द्रव्यमान ऊर्जा के एक रूप होता है और एक व्यक्ति द्रव्यमान-ऊर्जा को अन्य रूपों में, जैसे कि गतिज ऊर्जा में बदल सकता है और विपरीत रूप से भी। ईन्स्टीन ने द्रव्यमान-ऊर्जा समतुल्यता संबंध $E = m c^{2}$ दिया है, जहां द्रव्यमान $m$ के ऊर्जा समतुल्य को उपरोक्त समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है और $c$ प्रकाश की चाल होती है।

उत्तर

क्योंकि, नाभिक और अपने घटकों के द्रव्यमान के अंतर, $\Delta M$, को द्रव्यमान अंतर या द्रव्यमान दोष कहते हैं और इसे निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \Delta M = [Z m_{p} + (A - Z) m_{n}] - M $$

साथ ही, बंधन ऊर्जा $B =$ द्रव्यमान अंतर $(\Delta M) \times c^{2}$ द्वारा दिया जाता है।

इसलिए, $H$-परमाणु के द्रव्यमान होता है

$$ m_{p} + m_{e} - \dfrac{B}{c^{2}}, \text{ जहां } B \approx 13.6 \text{ eV } \text{ बंधन ऊर्जा है। }

$$

सोचने की प्रक्रिया

नील बोहर ने हाइड्रोजनिक (एक इलेक्ट्रॉन वाले) परमाणुओं के मॉडल का प्रस्ताव रखा था ताकि परमाणुओं की स्थिरता की व्याख्या की जा सके।

उत्तर

$He^{4}$ और $He^{3}$ से एक इलेक्ट्रॉन हटाने पर, बोहर मॉडल के आधार पर उनके ऊर्जा स्तर बहुत करीब होंगे क्योंकि दोनों नाभिक इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान की तुलना में बहुत भारी हैं। इसके अलावा, $He^{4}$ और $He^{3}$ से एक इलेक्ट्रॉन हटाने के बाद परमाणुओं में केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है और वे हाइड्रोजन जैसे परमाणु होते हैं।

सोचने की प्रक्रिया

त्वरित इलेक्ट्रॉन विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है, इसलिए विद्युत चुंबकीय ऊर्जा।

उत्तर

एक इलेक्ट्रॉन एक उच्च ऊर्जा स्तर से एक निम्न ऊर्जा स्तर पर गिरते हुए विद्युत चुंबकीय विकिरण के रूप में दिखाई देता है क्योंकि इलेक्ट्रॉन केवल विद्युत चुंबकीय रूप से अंतरक्रिया करते हैं।

सोचने की प्रक्रिया

धनावेशित नाभिक और नकारात्मक आवेशित इलेक्ट्रॉन के बीच विद्युत आकर्षण बल परिक्रमा के आवश्यक केंद्रापाती बल के रूप में कार्य करता है। इसके अलावा, विद्युत बल $F \propto q_1 q_2$ के रूप में बल के परिमाण का अनुपात होता है।

उत्तर

यदि प्रोटॉन का आवेश $(+4 / 3) e$ हो और इलेक्ट्रॉन का आवेश $(-3 / 4) e$ हो, तो हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर के सूत्र में कोई परिवर्तन नहीं होगा, क्योंकि बोहर के सूत्र में केवल आवेशों के गुणनफल की आवश्यकता होती है जो आवेशों के दिए गए मानों के लिए स्थिर रहते हैं।

सोचने की प्रक्रिया

बोहर के प्रतिपादन कहते हैं कि इलेक्ट्रॉन केवल उन कक्षाओं में घूमता है जिनमें कोणीय संवेग कुछ पूर्णांक गुणक होता है $\dfrac{h}{2 \pi}$, जहाँ $h$ प्लैंक नियतांक है $(=6.6 \cdot 10^{-34} J-s)$. इसलिए, घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग $(L)$ क्वांटीकृत होता है। अर्थात,

$$ L=\dfrac{n h}{2 \pi} $$

उत्तर

बोहर मॉडल के अनुसार अलग-अलग ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन अलग-अलग स्तरों में होते हैं जिनमें $n$ के अलग-अलग मान होते हैं। इसलिए, उनके कोणीय संवेग भी अलग-अलग होते हैं, क्योंकि

$$ L=\dfrac{n h}{2 \pi} \text { या } L \propto n $$

सोचने की प्रक्रिया

दो कणों के प्रणाली के घटित द्रव्यमान $m$ के लिए निम्नलिखित सूत्र दिया गया है

$$ \dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2} $$

उत्तर

हाइड्रोजन परमाणु के स्थिर अवस्थाओं में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा निम्नलिखित होती है

$$ E_{n}=-\dfrac{m e^{4}}{8 n^{2} \varepsilon_0^{2} h^{2}} $$

जहाँ चिह्न आम तौर पर होते हैं और बोहर सूत्र में आने वाला $m$ इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के घटित द्रव्यमान होता है। इसके अतिरिक्त, हाइड्रोजन परमाणु के आध्यात्मिक अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $-13.6 eV$ होती है। हाइड्रोजन परमाणु के लिए घटित द्रव्यमान $m_{e}$ होता है। जबकि पॉजिट्रॉनियम के लिए घटित द्रव्यमान है

$$ m \approx \dfrac{m_{e}}{2} $$

इसलिए, पॉजिट्रॉनियम परमाणु के आध्यात्मिक अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा है

$$ \dfrac{-13.6 eV}{2}=-6.8 eV $$

चिंतन प्रक्रिया

हाइड्रोजन परमाणु के n वें स्थिर अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा इस प्रकार दी गई है

$$ E_{n}=z^{2} \dfrac{-13.6 eV}{n^{2}} $$

उत्तर

एक $He$-नाभिक जिसका आवेश $2 e$ है और इलेक्ट्रॉन जिनका आवेश $-e$ है, के लिए आधुनिक अवस्था में ऊर्जा स्तर इस प्रकार है

$$ -E_{n}=Z^{2} \dfrac{-13.6 eV}{n^{2}}=2^{2} \dfrac{-13.6 eV}{1^{2}}=-54.4 eV $$

इसलिए, आधुनिक अवस्था में दो इलेक्ट्रॉन होंगे जिनकी प्रत्येक ऊर्जा $E$ होगी और आधुनिक अवस्था की कुल ऊर्जा $-(4 \times 13.6) eV=-54.4 eV$ होगी।

चिंतन प्रक्रिया

आवेश के घूर्णन के कारण विद्युत धारा $i=\dfrac{Q}{T}=Q \dfrac{1}{T}=Q \times n$ द्वारा दी गई है

जहाँ $n$ आवृत्ति है।

उत्तर

हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन आधुनिक अवस्था में एक वृत्ताकार पथ पर घूमता है जिसकी त्रिज्या बोहर त्रिज्या $(a_{0})$ के बराबर होती है। मान लीजिए इलेक्ट्रॉन की चाल $v$ है।

$\therefore$ इकाई समय में घूर्णन की संख्या $=\dfrac{2 \pi a_0}{v}$

विद्युत धारा $i=\dfrac{q}{t}$ द्वारा दी गई है, यदि $q$ आवेश समय $t$ में प्रवाहित होता है। यहाँ, $q=e$

विद्युत धारा $i=\dfrac{2 \pi a_0}{v} e$ द्वारा दी गई है।

चिंतन प्रक्रिया

इस समस्या के आधार पर हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम की व्याख्या है।

उत्तर

हाइड्रोजन जैसे परमाणु के स्पेक्ट्रम में किसी श्रेणी की कोई रेखा जो इलेक्ट्रॉन के $(n+p)$ स्तर से $n$ वें स्तर तक परिवर्तन के कारण उत्पन्न होती है, इसकी आवृत्ति दो पदों के अंतर के रूप में व्यक्त की जा सकती है;

जहाँ,

$$ v_{m n}=c R Z^{2} \left[\dfrac{1}{(n+p)^{2}}-\dfrac{1}{n^{2}}\right] $$

$m=n+p,(p=1,2,3, \ldots)$ और $R$ रिडबर्ग नियतांक है।

के लिए

$$ \begin{aligned} p & \ll n \\ v_{m n} & =c R Z^{2} \left[\dfrac{1}{n^{2}\left(1+\dfrac{p}{n}\right)^{-2}}-\dfrac{1}{n^{2}}\right]\\ & =c R Z^{2} \left[\dfrac{1}{n^{2}}\left(1+\dfrac{p}{n}\right)^{-2}-\dfrac{1}{n^{2}}\right]\\ & =c R Z^{2} \left[\dfrac{1}{n^{2}}\left(1+\dfrac{2p}{n}\right)-\dfrac{1}{n^{2}}\right]\\ & =c R Z^{2} \left[\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{2p}{n^{3}}-\dfrac{1}{n^{2}}\right]\\ & =c R Z^{2} \cdot \dfrac{2p}{n^{3}}\\ & = \dfrac{2c R Z^{2}P}{n^{3}} \end{aligned} $$

[द्विपद प्रमेय $(1+x)^{n}=1+n x$ यदि $.|x|<1$ के द्वारा]

$v_{m n}=c R Z^{2} \dfrac{2 p}{n^{3}} \simeq \dfrac{2 c R Z^{2}}{n^{3}} p$

इस प्रकार, जब $n \gg 1$ हो, तो इलेक्ट्रॉन $n$ तल से उच्च तलों से गिरते हुए उत्सर्जित लाइट के पहले कुछ आवृत्तियाँ अपेक्षित हार्मोनिक (अर्थात, अनुपात $1: 2: 3 \ldots$ में) होती हैं।

सोचने की प्रक्रिया

हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम में बैल्मर श्रेणी की तीसरी रेखा $H_{\gamma}$ होती है।

उत्तर

बैल्मर श्रेणी में $H_{\gamma}$ रेखा $n=5$ से $n=2$ के अनुसरण के संगत होती है। इसलिए, आधुनिक अवस्था में इलेक्ट्रॉन, अर्थात $n=1$ से, अपने अवस्था $n=5$ में लाया जाना चाहिए।

$n=2$ से $n=5$ तक अनुसरण के लिए आवश्यक ऊर्जा निम्नलिखित है:

$$ =E_1-E_5=13.6-0.54=13.06 eV $$

क्योंकि कोणीय संवेग संरक्षित होता है,

$Hg$ फोटॉन के कोणीय संवेग $=$ इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग के परिवर्तन

$$ \begin{aligned} & =L_5-L_2=5 h-2 h=3 h=3 \times 1.06 \times 10^{-34} \\ & =3.18 \times 10^{-34} kg-m^{2} / s \end{aligned} $$

सोचने की प्रक्रिया

द्रव्यमान $m$ के दो कण प्रणाली के द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ के लिए द्रव्यमान कम करने के लिए दिया गया है

$$ \dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2} $$

उत्तर

हाइड्रोजन परमाणु के स्थायी अवस्थाओं में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$$ E_{n}=-\dfrac{m e^{4}}{8 n^{2} \varepsilon_0^{2} h^{2}} $$

जहाँ चिह्न आम तौर पर हैं और बोहर सूत्र में आने वाला $m$ हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के द्रव्यमान कम करने वाला है।

बोहर के मॉडल के अनुसार,

सरलीकरण करने पर,

$$ h v_{i f}=E_{n_{i}}-E_{n_{f}} $$

क्योंकि,

$$ v_{i f}=\dfrac{m e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{3}} \left(\dfrac{1}{n_f^{2}}-\dfrac{1}{n_i^{2}}\right) $$

$\lambda \propto \dfrac{1}{\mu}$

इसलिए,

$\lambda_{\text {if }} \propto \dfrac{1}{\mu}$

जहाँ $\mu$ द्रव्यमान कम है। (यहाँ, $\mu$ के स्थान पर $m$ का उपयोग किया गया है)

द्रव्यमान कम करने के लिए

$$ \begin{aligned} H=\mu_{H} & =\dfrac{m_{e}}{1+\dfrac{m_{e}}{M}} = m_{e} \left(1-\dfrac{m_{e}}{M}\right) \\ D & =\mu_{D} = m_{e} \left(1-\dfrac{m_{e}}{2 M}\right) \\ & =m_{e} 1-\dfrac{m_{e}}{2 M} 1+\dfrac{m_{e}}{2 M} \end{aligned} $$

द्रव्यमान कम करने के लिए

यदि हाइड्रोजन ड्यूटेरियम के लिए तरंगदैर्घ्य $\dfrac{\lambda_{H}}{\lambda_{D}}$ है

$$ \begin{aligned} & \dfrac{\lambda_{D}}{\lambda_{H}}=\dfrac{\mu_{H}}{\lambda_{D}} \simeq 1+\dfrac{m_{e}}{2 M} \simeq 1-\dfrac{1}{2 \times 1840} \\ & \lambda_{D}=\lambda_{H} \times(0.99973) \end{aligned} $$

मानों को बदलकर, हमें प्राप्त होता है

इसलिए, रेखाएँ $1217.7 \text{\AA} , 1027.7 \text{\AA}, 974.04 \text{\AA}, 951.143 \text{\AA}$ हैं।

सोचने की प्रक्रिया

तरंगदैर्घ्य में प्रतिशत अंतर निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ 100 \times \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_{H}}=\dfrac{\lambda_{D}-\lambda_{H}}{\lambda_{H}} \times 100, \text { जहाँ चिह्न आम तौर पर होते हैं। } $$

उत्तर

हाइड्रोजन जैसे परमाणु के $n$ वें अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ E_{n}=-\dfrac{\mu Z^{2} e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{2}} \dfrac{1}{n^{2}} $$

जहाँ चिह्न आम तौर पर होते हैं और बोहर सूत्र में आने वाला $\mu$ इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के घटक द्रव्यमान होता है।

मान लीजिए $\mu_{H}$ हाइड्रोजन का घटक द्रव्यमान है और $\mu_{D}$ ड्यूटेरियम का घटक द्रव्यमान है। तब, हाइड्रोजन में पहली लिमैन लाइन की आवृत्ति $h v_{H}=\dfrac{\mu_{H} e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{2}} \left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{\mu_{H} e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{2}} \times \dfrac{3}{4}$ होती है।

इसलिए, परिवर्तन की तरंगदैर्घ्य $\lambda_{H}=\dfrac{3}{4} \dfrac{\mu_{H} e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{3} C}$ होती है। ड्यूटेरियम में इसी रेखा के लिए परिवर्तन की तरंगदैर्घ्य $\lambda_{D}=\dfrac{3}{4} \dfrac{\mu_{D} e^{4}}{8 \varepsilon_0^{2} h^{3} c}$ होती है।

$\therefore \quad \Delta \lambda=\lambda_{D}-\lambda_{H}$

इसलिए, प्रतिशत अंतर निम्नलिखित होता है

$$ \begin{aligned} 100 \times \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_{H}} & =\dfrac{\lambda_{D}-\lambda_{H}}{\lambda_{H}} \times 100=\dfrac{\mu_{D}-\mu_{H}}{\mu_{H}} \times 100 \\ & =\dfrac{\dfrac{m_{e} M_{D}}{(m_{e}+M_{D})}-\dfrac{m_{e} M_{H}}{(m_{e}+M_{H})}}{\dfrac{m_{e} M_{H}}{(m_{e}+M_{H})}} \times 100 \\ & =\left(\dfrac{m_{e}+M_{H}}{m_{e}+M_{D}} \dfrac{M_{D}}{M_{H}}-1 \right) \times 100 \end{aligned} $$

क्योंकि, $m_{e} \ll M_{H} \ll M_{D}$

$$ \begin{aligned} \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_{H}} \times 100 & =\left[\dfrac{M_{H}}{M_{D}} \times \dfrac{M_{D}}{M_{H}} \left(\dfrac{1+\dfrac{m_{e}}{M_{H}}}{1+\dfrac{m_{e}}{M_{D}}}\right)-1\right] \times 100 \\ & =1+\dfrac{m_{e}}{M_{H}} \times \left(\dfrac{m_{e}}{M_{D}}+1 \right)^{-1} \times 100\\ & \simeq \left(1+\dfrac{m_{e}}{M_{H}}-\dfrac{m_{e}}{M_{D}}-1\right) \times 100 \\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & \approx m_{e} \dfrac{1}{M_{H}}-\dfrac{1}{M_{D}} \times 100 \\ & =9.1 \times 10^{-31} \dfrac{1}{1.6725 \times 10^{-27}}-\dfrac{1}{3.3374 \times 10^{-27}} \times 100 \\ & =9.1 \times 10^{-4}[0.5979-0.2996] \times 100 \\ & =2.714 \times 10^{-2} % \end{aligned} $$

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में, एक बिंदु नाभिक वाले $H$-परमाणु और एक गोलीय नाभिक जिसकी त्रिज्या $R$ है दोनों मामलों में व्यंजक निर्मित करने हैं।

उत्तर

धनात्मक आवेशित नाभिक और नकारात्मक आवेशित इलेक्ट्रॉन के बीच विद्युत आकर्षण बल (कूलॉम बल) घूर्णन के आवश्यक केंद्रापाशक बल को प्रदान करता है।

$$ \dfrac{m v^{2}}{r_{B}}=-\dfrac{e^{2}}{r_B^{2}} \cdot \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} $$

बोहर के प्रतिपादन के अनुसार आध्यात्मिक अवस्था में हमारे पास है

$$ m v r=h $$

हल करने पर,

$$ \begin{matrix} \therefore & m \dfrac{h^{2}}{m^{2} r_B^{2}} \cdot \dfrac{1}{r_{B}}=+\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r_B^{2}} \\ \therefore & \dfrac{h^{2}}{m} \cdot \dfrac{4 \pi \varepsilon_0}{e^{2}}=r_{B}=0.51 \text{\AA} \end{matrix} $$

[यह बोहर की त्रिज्या है]

ऊर्जा के विभेद को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} -\dfrac{e^{2}}{4 \pi_0} \cdot \dfrac{1}{r_{B}} & =-27.2 eV ; KE=\dfrac{m v^{2}}{2} \\ & =\dfrac{1}{2} m \cdot \dfrac{h^{2}}{m^{2} r_B^{2}}=\dfrac{h}{2 m r_B^{2}}=+13.6 eV \end{aligned} $$

अब, एक गोलीय नाभिक जिसकी त्रिज्या $R$ है,

यदि $R<r_{B}$, समान परिणाम होता है।

यदि $R \gg r_{B}$, तो इलेक्ट्रॉन त्रिज्या $r_B^{\prime}(r_B^{\prime}=.$ नए बोहर त्रिज्या) के अंदर गति करता है।

त्रिज्या $r_B^{\prime}$ के अंदर आवेश

$$ r_B^{\prime 4}=e \dfrac{r_B^{\prime 3}}{R^{3}} $$

$$ \therefore \quad \begin{aligned} r_B^{\prime} & =\dfrac{h^{2}}{m} \dfrac{4 \pi \varepsilon_0}{e^{2}} \dfrac{R^{3}}{r_B^{\prime 3}} \\ r_B^{\prime 4} & =(0.51 \text{\AA}) \cdot R^{3} \\

& =510(\text{\AA})^{4} \end{aligned} $$

$$ r_B^{\prime 4}=(0.51 \text{\AA}) \cdot R^{3} \quad[R=10 \text{\AA}] $$

$\therefore \quad r_B^{\prime} \simeq(510)^{1 / 4} \text{\AA}<R$

$$ \begin{aligned} KE & =\dfrac{1}{2} m v^{2}=\dfrac{m}{2} \cdot \dfrac{h}{m^{2} r_B^{\prime 2}}=\dfrac{h}{2 m} \cdot \dfrac{1}{r_B^{\prime 2}} \\ & =\dfrac{h^{2}}{2 m r_B^{2}} \cdot \dfrac{r_B^{2}}{r_B^{\prime 2}}=(13.6 eV) \dfrac{(0.51)^{2}}{(510)^{1 / 2}}=\dfrac{3.54}{22.6}=0.16 eV \\ PE & =+\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{r_B^{\prime 2}-3 R^{2}}{2 R^{3}} \\ & =+\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{1}{r_{B}} \cdot \dfrac{r_B^{\prime}(r_B^{2}-3 R^{2})}{R^{3}}=+(27.2 eV) \dfrac{0.51(\sqrt{510}-300)}{1000} \\ & =+(27.2 eV) \cdot \dfrac{-141}{1000}=-3.83 eV \end{aligned} $$

सोचने की प्रक्रिया

क्योंकि नाभिक भारी है, परमाणु के प्रतिक्षेप गति को नगण्य माना जा सकता है और अंतर की पूरी ऊर्जा को अगर इलेक्ट्रॉन को स्थानांतरित कर दिया जा सकता है। $Cr$ में एक वैलेंस इलेक्ट्रॉन होता है, इसलिए ऊर्जा अवस्थाओं को बोहर मॉडल के अनुसार समझा जा सकता है।

उत्तर

$n$ वीं अवस्था की ऊर्जा $E_{n}=-Z^{2} R \dfrac{1}{n^{2}}$ होती है जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है और $Z=24$ है।

$2$ से $1$ अंतर के दौरान उत्सर्जित ऊर्जा $\Delta E=Z^{2} R \quad 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} Z^{2} R$ होती है।

एक $n=4$ इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_4=Z^{2} R \dfrac{1}{16}$ होती है।

इसलिए, अगर इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है

$$ \begin{aligned} KE & =Z^{2} R \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{16} Z^{2} R \\ & =\dfrac{11}{16} \times 24 \times 24 \times 13.6 eV \\

& =5385.6 eV \end{aligned} $$

उत्तर

$ m_{p} = 10^{-6} $ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान के बराबर होने पर, इसके संगत ऊर्जा द्वारा दी गई है

$$ \begin{aligned} m_{p} c^{2} & =10^{-6} \times \text { इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान } \times c^{2} \\ & \approx 10^{-6} \times 0.5 MeV \\ & \approx 10^{-6} \times 0.5 \times 1.6 \times 10^{-13} \\ & \approx 0.8 \times 10^{-19} J \end{aligned} $$

इसके संगत तरंगदैर्ध्य द्वारा दिया गया है

जहाँ,

$$ \begin{aligned} \dfrac{\hbar}{m_{p} c} & =\dfrac{\hbar c}{m_{p} c^{2}}=\dfrac{10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{0.8 \times 10^{-19}} \\ & \approx 4 \times 10^{-7} m \gg \text { बोहर त्रिज्या } \\ |\mathbf{F}| & =\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{\lambda}{r} \exp (-\lambda r) \end{aligned} $$

$\therefore \quad \lambda \ll \dfrac{1}{r_{B}}$ अर्थात $\lambda r_{B} \ll 1$

इसके अतिरिक्त,

$$ \begin{aligned} & U(r)=-\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{\exp (-\lambda r)}{r} \\ & m v r=\hbar \quad \therefore \quad v=\dfrac{\hbar}{m r} \end{aligned} $$

$$ \dfrac{m v^{2}}{r}=\approx \dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{\lambda}{r} $$

$$ \begin{aligned} & \therefore \quad \dfrac{\hbar^{2}}{m r^{3}}=\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{\lambda}{r} \\ & \therefore \quad \dfrac{\hbar^{2}}{m}=\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0}[r+\pi r^{2}]

\end{aligned} $$

यदि $\lambda=0$

$$ r=r_{B}=\dfrac{\hbar}{m} \cdot \dfrac{4 \pi \varepsilon_0}{e^{2}} $$

$$ \dfrac{\hbar^{2}}{m}=\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot r_{B} $$

क्योंकि, $\lambda^{-1} \gg r_{B}$, तो $r=r_{B}+\delta$ रखें

$$ \begin{matrix} \therefore & r_{B}=r_{B}+\delta+\lambda(r_B^{2}+\delta^{2}+2 \delta r_{B}) ; \text { नगण्य करें } \delta^{2} \\ \text { या } & 0=\lambda r_B^{2}+\delta(1+2 \lambda r_{B}) \\ \delta & =\dfrac{-\lambda r_B^{2}}{1+2 \lambda r_{B}} \approx \lambda r_B^{2}(1-2 \lambda r_{B})=-\lambda r_B^{2} \end{matrix} $$

क्योंकि, $\lambda r_{B} \ll 1$

$$ \begin{matrix} \therefore \quad V(r) & =-\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{\exp (-\lambda \delta-\lambda r_{B})}{r_{B}+\delta} \\ \therefore \quad V(r) & =-\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r_{B}} \quad 1-\dfrac{\delta}{r_{B}} \cdot(1-\lambda r_{B}) \\ & \cong(-27.2 eV) \text { अपरिवर्तित रहता है } \\ KE & =-\dfrac{1}{2} m v^{2}=\dfrac{1}{2} m \cdot \dfrac{h^{2}}{m r^{2}}=\dfrac{h^{2}}{2(r_{B}+\delta)^{2}}=\dfrac{h^{2}}{2 r_B^{2}} 1-\dfrac{2 \delta}{r_{B}} \\ & =(13.6 eV)[1+2 \lambda r_{B}] \\ & =-\dfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 r_{B}}+\dfrac{h^{2}}{2 r_B^{2}}[1+2 \lambda r_{B}] \\ \text { कुल ऊर्जा } & =-27.2+13.6[1+2 \lambda r_{B}] eV \\ & =13.6 \times 2 \lambda r_{B} eV=27.2 \lambda r_{B} eV \end{matrix} $$

सोचने की प्रक्रिया

प्रश्न में हाइड्रोजन परमाणु के इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा के संबंध में एक अतिरिक्त स्थिति के बारे में बताया गया है।

उत्तर

मामले को ध्यान में रखते हुए, जब $r \leq R_0=1 \text{\AA}$

$$ \begin{aligned} & \text { मान लीजिए } \varepsilon=2+\delta \\ & \qquad F=\dfrac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{R_0^{\delta}}{r^{2+\delta}} \end{aligned} $$

जहाँ,

$$ \begin{aligned} \dfrac{q_1 q_2}{4 \pi_0 \varepsilon_0} & =(1.6 \times 10^{-19})^{2} \times 9 \times 10^{9} \\ & K=23.04 \times 10^{-29} N m^{2} \end{aligned} $$

धनात्मक आवेशित नाभिक और नकारात्मक आवेशित इलेक्ट्रॉन के बीच विद्युत आकर्षण बल (कूलॉम बल) आवश्यक केंद्रापाती बल प्रदान करता है।

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{m v^{2}}{r}=\dfrac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{R_0^{\delta}}{r^{2+\delta}} \\ &\text { या } v^{2}=\dfrac{\Lambda R_0^{\delta}}{m r^{1+\delta}} \\ m v r & =n h \cdot r\\ & r=\dfrac{n \hbar}{m v}\\ & r=\dfrac{nh}{m} \sqrt{\dfrac{mr^{(1 + \delta)}}{KR_{0}\delta}}\\ & r=nh \sqrt{\dfrac{r^{(1 + \delta)}}{KR_{0}\delta}}\\ & r^{(1 - \delta)}=\dfrac{K^{2}h^{2}}{mKR_{0}\delta}\\ & r=\left(\dfrac{K^{2}h^{2}}{mKR_{0}\delta}\right)^{\dfrac{1}{1 - \delta}} \end{aligned} $$

[बोहर के दूसरे प्रतिपादन के अनुसार]

इसे $r$ के लिए हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं $\quad r_{n}=\left({\dfrac{n^{2} \hbar^{2}}{m K R_0^{\delta}}}\right)^{\dfrac{1}{1-\delta}}$

जहाँ, $r_{n}$ इलेक्ट्रॉन के $n$ वें कक्षा की त्रिज्या है।

$ n=1 $ और स्थिरांक के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} r_1 & =\left({\dfrac{ \hbar^{2}}{m K R_0^{\delta}}}\right)^{\dfrac{1}{1-\delta}} \\ r_1 & =\dfrac{1.05^{2} \times 10^{-68}}{9.1 \times 10^{-31} \times 2.3 \times 10^{-28} \times 10^{+19}} \\ & =8 \times 10^{-11} \\ & =0.08 nm \end{aligned} $$

$(<0.1 nm)$

यह हाइड्रोजन परमाणु के आधुनिक अवस्था में इलेक्ट्रॉन के कक्षा की त्रिज्या है। $$ \begin{gathered} v_{n}=\dfrac{n \hbar}{m r_{n}}=n \hbar \dfrac{m K R_0^{\delta}}{n^{2} \hbar^{2}} \\ \text { जब } n=1, v_1-\dfrac{\hbar}{m r_1}=1.44 \times 10^{6} m / s \end{gathered} $$

[यह आधुनिक अवस्था में इलेक्ट्रॉन की गति है]

$$ KE=\dfrac{1}{2} m v_1^{2}-9.43 \times 10^{-19} J=5.9 eV

$$

[इलेक्ट्रॉन के आधार अवस्था में KE है]

PE तक $R_0=-\dfrac{K}{R_0}$ [इलेक्ट्रॉन के आधार अवस्था में $r=R_0$ पर PE है ]

$$ P E \text {from} R_0 \text { to } r=+K R_0^ \delta $$

[इलेक्ट्रॉन के आधार अवस्था में $R_0$ से $r$ तक PE है ]

$$ =-\dfrac{K R_0^{\delta}}{1+\delta} \dfrac{1}{r^{1+\delta}}-\dfrac{1}{R_0^{1+\delta}}=-\dfrac{K}{1+\delta} \dfrac{R_0^{\delta}}{r^{1+\delta}}-\dfrac{1}{R_0} $$

$$ \begin{aligned} PE & =-\dfrac{K}{1+\delta} \dfrac{R_0^{\delta}}{r^{1+\delta}}-\dfrac{1}{R_0}+\dfrac{1+\delta}{R_0} \\ PE & =-\dfrac{K}{-0.9} \dfrac{R_0^{-1.9}}{r^{-0.9}}-\dfrac{1.9}{R_0} \\ & =\dfrac{2.3}{0.9} \times 10^{-18}[(0.8)^{0.9}-1.9] J=-17.3 eV \end{aligned} $$

कुल ऊर्जा $(-17.3+5.9)=-11.4 eV$ है

इलेक्ट्रॉन के आधार अवस्था में आवश्यक TE है।